CC BY
21
УДК 539.374
ОСОБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ В КУРСЕ «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА» С УЧЕТОМ РЕАЛИЙ
ФГОС ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ
В.В. Семенов
В статье предлагается проблемное изложение особенностей расчета статически неопределимых систем, допускающих возможность рационального использования работы материалов за пределами закона Гука. Знакомство студента на ранней стадии обучения со сложным вопросом учета - неупругой работой материалов - на примере расчета рассматриваемых систем двумя методами: расчета и выявленного преимущества метода предельного равновесия пробуждает интерес к изучаемому предмету. Способствует поискам нужной информации о возможности учета работы материалов в упругопластической стадии работы при кручении, сдвиге, изгибе и сложных видах сопротивления.
Ключевые слова: статически неопределимые системы; неупругие деформации; перераспределение усилий; значимые компетенции.
PECULIARITIES OF LIMIT EQUILIBRIUM METHOD IN «ENGINEERING MECHANICS COURSE» TAKING INTO ACCOUNT THIRD-GENERATION FEDERAL EDUCATION STANDARD
V.V. Semenov
The article describes problematic statement of redundant system calculation peculiarities implying efficient use of materials beyond Hooke’s Law. The authors suppose that introduction to a complicated accounting problem (concerning inelastic behavior of materials) at the beginning of the education - through the example of calculation by two methods: calculation and advantages description with the help of limit equilibrium method - sparks the interest of students to the subject matter. Moreover this approach promotes search of necessary information about ways of materials behavior records in elastic-plastic working phase during torsion, shifting, bending and other types of complicated resistance.
Key words: redundant system, inelastic deformation, force redistribution, significant competences.
В условиях перехода российской высшей школы на многоуровневую систему подготовки (бакалавриат, специалитет, магистратура) одной из главных задач вузов является осуществление инновационной образовательной программы, направленной на обеспечение современного качества и конкурентоспособности профессионального образования на основе его фундаментальности - «знание основных принципов легко возместит незнание некоторых фактов». При общем сокращении аудиторных часов преподавателю важно побудить интерес к изучаемому предмету и научить студентов приобретать знания.
Курс «Техническая механика» (Сопротивление материалов) оказывается переходным предметом от общетехнических предметов к специальным, является первым разделом науки о прочности и надежности элементов конструкций и сооружений. Реальные тела в технической механике наделяются целым рядом гипотез - допущений, позволяющих существенно упростить изложение теоретических основ и расчетный аппарат.
Однако в условиях обновления профессионального образования на компетентност-ной основе путем усиления его практической направленности - нацеленного на приобретение значимых компетенций - возникает насущная необходимость знакомить студентов с проблемами учета несплошности, неоднородности материала, неупругой работой, суще-
ственной разницей теоретической и фактической прочности конструкционных материалов, возможной и эффективной работой конструкций с трещинами.
Проблемное изложение лекционного материала преследует цель - вызвать интерес к изучаемому предмету и научить студентов поискам нужной информации - приобретать знания. Остановимся на актуальных вопросах работы конструкций за пределом упругости.
Расчет статически неопределимых конструкций как упругих систем, излагаемый авторами многочисленных учебников и пособий по «Сопротивлению материалов», дает известную картину распределений усилий в их элементах. Ограничиваясь рассмотрением только упругой стадии работы, можно проектировать различные системы и конструкции достаточно надежно, но это приведет, как правило, к перерасходу материалов.
Строительные нормы и правила [1] рекомендуют рассчитывать статически неопределимые системы (СНС), выполняемые из пластичных сталей с учетом неупругих деформаций материала по методу предельного равновесия. Рассматриваемый метод, являясь одним из прикладных методов теории пластичности, дает ряд преимуществ перед расчетом конструкций по упругой стадии деформации. Однако программа подготовки бакалавров не предусматривает изучение курса «Основы теории упругости и пластичности», как это предлагается одними авторами [2]. Другие авторы [3, 4] ограничиваются расчетом статически неопределимых систем по разрушающим нагрузкам, методом, не используемым в строительстве более полувека.
Основоположниками метода предельного равновесия являются российские ученые (1936г.) А.А. Гвоздев, А.Р. Ржаницин, Н.И. Безухов.
При расчете по упругой стадии предельное состояние системы отождествлялось с моментом перехода наиболее нагруженного стержня в пластическую стадию. В методе предельного равновесия опасное состояние конструкций из материалов, обладающих хорошо выраженными пластическими свойствами, характеризуется началом интенсивного развития деформаций системы без увеличения нагрузки, т. е. моментом превращения конструкций в геометрически изменяемую систему с бесконечно малой степенью подвижности. Условия малых деформаций сохраняются, что предопределяет возможность расчета несущей способности по недеформируемой схеме.
Для реализации указанного метода необходимо:
1) чтобы материал обладал хорошими пластическими свойствами, относительное удлинение при разрыве s r должно быть не менее 4 %;
2) чтобы процесс деформирования, вплоть до состояния предельного равновесия, включал в себя определенный участок работы системы за пределом упругой области, т. е. чтобы появление первого пластического элемента не приводило конструкцию к потере геометрической неизменяемости.
Первое требование исключает возможность применения метода предельного равновесия к расчету конструкций, материал которых или недостаточно пластичен, или вовсе хрупкий.
Второе требование указывает на то, что расчеты по предельному равновесию дают результаты, отличные от расчетов по упругой стадии, только для статически неопределимых систем.
Действительно, статически определимые конструкции приобретают свойство геометрической изменяемости после возникновения уже одного пластического элемента. Момент перехода к состоянию предельного равновесия для них совпадает с концом упругой стадии; упругопластическая стадия работы в таких конструкциях отсутствует.
В противоположность этому, в статически неопределимых системах появление пластического элемента приводит лишь к уменьшению статической неопределимости на одну степень, но отнюдь не к исчерпанию ее несущей способности. Система продолжает оставаться геометрически неизменяемой и способной воспринимать дополнительную нагрузку, в процессе роста которой происходит так называемое перераспределение усилий. Оно выражается в том, что после того как в одном наиболее напряженном элементе воз-
никло предельное усилие текучести (неизменное в последующем), прирост нагрузки на конструкцию воспринимается за счет увеличения напряжений в других ее элементах, продолжающих до известного предела работать упруго. Состояния предельного равновесия система достигнет в момент превращения в геометрически изменяемую, при заметно больших значениях нагрузки.
При расчете конструкций за пределом упругости по предложению профессора Л. Прандтля используют упрощенную диаграмму зависимости между напряжениями и продольными деформациями о - е . Считают, что материал следует закону Г ука до предела текучести, а достигнув его, неограниченно деформируется при постоянном напряжении. Такая диаграмма называется обычно диаграммой работы упруго-пластического тела или диаграммой Прандтля (рис. 1).
Идеализация Прандтля (неучет упрочнения и разупрочнения материала) оказывается возможной вследствие того, что в момент достижения предельного состояния для большинства конструкций наибольшие относительные деформации не выходят за пределы площадки текучести. Кроме того, расчеты по методу предельного равновесия подтверждаются многочисленными опытами, поскольку лучше отражают действительную работу строительных конструкций, чем расчеты конструкций как чисто упругих систем.
Рис. 1. Диаграмма растяжения (сжатия) Л. Прандтля
Рассмотрим пример, иллюстрирующий некоторые из высказанных выше соображений. Представим себе конструкцию (рис. 2.), состоящую из абсолютно жесткого диска, подвешенного на двух стержнях различной длины из одинакового упругопластического материала, деформируемых согласно диаграмме Прандтля. Будем полагать, что жесткий диск по мере увеличения нагрузки Г может перемещаться только параллельно самому себе.
Проследим процесс деформирования системы вплоть до возникновения состояния предельного равновесия.
I5 1 - „ ( Г 1 1 2 ч Г р с ‘ ’-■С1
' 5Г Ч 1 N ] .
- 1 ^ і <
4
а ' Г а
Рис. 2. Деформации СНС при увеличении нагрузки до предельного значения
Предположим вначале, что 12 < 11, вследствие чего с увеличением нагрузки F напряжение в стержне 2 будет расти быстрее, чем в стержне 1. Предельное усилие N2u и соответствующее ему напряжение текучести оу возникнет сначала в стержне 2. При этом стержень 1 будет продолжать работать в упругой стадии с некоторым напряжением
01 < оу . Момент, соответствующий возникновению пластической деформации в стержне
2 (первый пластический элемент) является концом упругой работы или предельным состоянием системы при расчете ее по упругой стадии. Предельная нагрузка, вызывающая такое состояние при одинаковых площадях поперечных сечений А стержней составит
К =(0У +°1 )• А . (1)
Величина перемещения жесткого диска в конце упругой стадии работы системы А равняется упругому удлинению стержня 2:
О у • 12
гу= гу 12 =8 у • 12 =—^~ , (2)
а соответствующее этому перемещению напряжение - в стержне 1:
8 Т7 гу ¡1 г О у • 12 Е ¡2
о, =8, ■ Е =-------• Е =----------= оу■ — (3)
11 ¡, Е ¡, ¡, . (3)
С учетом формулы (3), предельная нагрузка для статически неопределимой системы, рассчитываемой по упругой стадии, может быть определена по следующему выражению:
Ге = а„ ■ А
(4)
Т~1 в
Отметим, что если бы материал для стержня 2 был хрупким, величина Ки явилась
бы в этом случае уже разрушающей нагрузкой, следовательно, конструкция смогла бы работать только в упругой стадии. Результаты расчета по методу предельного равновесия не отличались бы от данных, полученных при расчете системы как упругой. Несущая способность системы, исходя из упругой работы материала, определяется по выражению (4) при замене предельного сопротивления о, = о у на расчетное сопротивление
Г = R ■ А
ґ I Л 1 + -1
V У
(5)
В рассматриваемой задаче после достижения нагрузкой значения К разрушения не происходит. С окончания упругой работы в стержне 2 устанавливается постоянное предельное усилие N2u = оу • А, и система становится статически определимой. При дальнейшем увеличении нагрузки К и перемещении жесткого диска вниз деформации этого стержня являются уже чисто пластическими, а вся дополнительная нагрузка будет восприниматься только стержнем 1, работающим еще в упругой стадии.
Приращение силы К возможно до тех пор, пока усилие в стержне 1 также не достигнет предельной величины N1u = оу • А . Предельная нагрузка для системы в состоянии
текучести обоих стержней может быть определена из рассмотрения равновесия - момента, когда конструкция находится в состоянии неустойчивого равновесия и может становиться геометрически изменяемой, без увеличения внешней нагрузки:
К," = 2о у • А. (6)
Экспериментальная проверка предельной несущей способности статически неопределимых систем подтвердила близкое совпадение ее с данными расчетов по методу предельного равновесия.
Выше предполагалось, что 12/1, < 1 для обратного соотношения длин, т. е. при
I, < 12, (меняется последовательность перехода стержней в пластическое состояние) формула, определяющая предельную несущую способность (6) сохраняется без изменения, а выражение (4) принимает вид
F: =а, • A
ґ О 1 + л
V l2 J
(7)
Из сказанного вытекает, что несущая способность статически неопределимой конструкции не зависит от последовательности образования пластических элементов, однако изменение соотношения жесткости стержней меняет значение нагрузки, вызывающей образование первого и последнего пластического элемента, следовательно, влияет на де-формативность системы.
Завершая изложение основ расчета статически неопределимых систем, отметим, что учет температурных напряжений, начальных (монтажных) напряжений, а, равно как и осадки опор в методе расчета по предельному равновесию, излишен. Поскольку еще в предшествующий состоянию предельного равновесия момент система становится статически определимой, для которой указанные воздействия влияния не оказывают.
Обеспечение требований - бесконечно малой степени подвижности, неразрушимости статически неопределимых конструкций, проектируемых по методу предельного равновесия - достигается ограничением величин максимальных усилий (напряжений) в стержнях системы
N, max * R, ■ A или О max * R, . (8)
Тогда условие обеспечения несущей способности жесткого диска, подвешенного на двух стержнях можно записать в виде
Fmax * 2R • A. (9)
Выражение (6) используется только при определении теоретического значения предельной несущей способности Fu и при проведении экспериментальных исследований стадии разрушения.
Условие (9) позволяет:
1) решить проектировочную задачу, найти требуемое значение площади поперечного сечения стержней:
F
A > max
2R
2) проверить прочность заданной системы непосредственно по выражению (9);
3) вычислить несущую способность конструкции, определяемую по правой части условия:
= 2R • А.
Экономичность расчетов по методу предельного равновесия
Расчет по методу предельного равновесия позволяет, как уже отмечалось, вскрыть резервы прочности конструкций за счет пластических свойств материалов, остающихся вне поля зрения методологии расчета упругих систем. В результате расчеты по предельному равновесию могут приводить к более или менее значительной экономии материалов.
Экономичность метода зависит от очень многих факторов, в числе которых наиболее важную роль играют степень статической неопределимости, схема передачи нагрузок,
деформативные свойства, возможность возникновения неупругих деформаций. Поэтому дать количественную оценку степени экономичности можно только для конкретной конструкции. Ограничимся при выяснении экономичности метода анализом результатов расчета жесткого диска, удерживаемого на двух стержнях и рассмотренного выше.
Установим величину превышения предельной нагрузки FЦ’1, определенной для
конструкции по методу предельного равновесия над таковой F¡ , вычисленной на основании расчета системы по упругой стадии работы. Для чего строим график отношения
FЦ’1 /FU как функции от 12/11 (рис. 3), где на участке 0 < 12/11 < 1 при определении F¡ использовано выражение (4), а на участке 1 < Ь/Ь выражение (7). Значение Fup1, не зависящее от порядка возникновения пластических элементов, определяется на всем протяжении графика по формуле (6).
К
2,00 1,75 1,50
1,25 1,00
Рис. 3. Увеличение несущей способности СНС при расчете по предельному равновесию
График свидетельствует, что во всех случаях, при которых конструкция является статически неопределимой (при ь/ь ^ 1 ), ее предельная несущая способность, подсчитанная с учетом упругопластической работы материала, до двух раз превышает вычисленную по упругой стадии. Превышение оказывается тем больше, чем значительнее в упругой стадии разница напряжений в обоих стержнях конструкции. Несущая способность при 12/11 = 1 по обоим методам расчета оказывается одинаковой, это объясняется тем, что при
12 = 11 система становится практически статически определимой. Последнее обуславливает одновременное возникновение пластических элементов в стержнях 1 и 2, из-за чего ее несущая способность исчерпывается уже в конце упругой стадии, пластические свойства остаются неиспользованными.
Необходимо подчеркнуть, что экономический эффект от расчета статически неопределимых систем с учетом перераспределения усилий не исчерпывается лишь снижением расхода материалов. Искусственное регулирование усилий в таких системах позволяет значительно улучшить их эксплуатационные свойства. При этом выравнивание усилий способствует решению другой проблемы - унификации и стандартизации конструкций, узлов их сопряжений.
Знакомство с двумя методами расчета СНС и выявленным преимуществом метода предельного равновесия пробуждает у студента, уже на раннем этапе изучения «Технической механики», интерес к учету работы материала за пределами упругости, как при прочностных, так и деформационных расчетах различных систем. С другой стороны, полученные знания о пластическом поведении статически неопределимых конструкций при выполнении расчетов подобных систем, позволяют лучше понять сущность явления, называемого перераспределением усилий.
1 2 3 4 5
Практико-ориентированный подход к изучению рассматриваемой темы, на наш взгляд, решает важную задачу приобретения студентом значимых компетенций.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. СНиП II-23-81*. Стальные конструкции / Госстрой России. М. : ФГУП ЦПП, 2004. 90 с.
2. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М. : Высш. шк., 2008. 560 с.
3. Варданян Г.С., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов. М. : ИНФРА-М, 2003. 480 с.
4. Михайлов А.М. Сопротивление материалов. М. : Изд-во «Академия», 2009. 448 с.
Информация об авторе
Семенов Валерий Васильевичкандидат технических наук, профессор кафедры «Сопротивление материалов и строительной механики», тел.: (3952) 40-51-44,
89025665057, e-mail: 665057@mail.ru; Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Information about the author
Semenov V.V.,Candidate of Technical Sciences, professor, Material Resistence and Building Machinery Department, tel.: (3952) 40-51-44, 89025665057, e-mail: 665057@mail.ru; Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.
