CC BY
11
ST
Educational bulletin "Consciousness"/ | 2022. Vol. 24. n4 Образовательный вестник "Сознание" *—https://e-pubmed.on
g This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
by https://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/
RESEARCH ARTICLE | НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
©Shustova E.N., 2022
http://dx.doi.org/10.26787/nydha-2686-6846-2022-24-4-23-30
Принята 29.04.2022 | Accepted 29.04.2022
PECULIARITIES OF USING THE AXIOMATIC METHOD OF INTRODUCING ELEMENTARY FUNCTIONS IN THE TEACHING OF FUTURE MATHEMATICS TEACHERS AT THE UNIVERSITY
Shustova E.N.
Pitirim Sorokin Syktyvkar State University, Syktyvkar, Russian Federation
ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ
Шустова Е.Н.
ФГБОУ ВО «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина», г. Сыктывкар, Российская Федерация
Abstract. The concept of the development of mathematical education in the Russian Federation focuses on the importance of teaching mathematics as a system-forming factor in human education, the development of his cognitive abilities, logical thinking. At the same time, the problems that exist in the field of mathematical training of schoolchildren are also indicated. In this regard, the problem of improving the quality ofprofessional training of future teachers of mathematics becomes relevant and significant. In the modern specialized school, the axiomatic approach in teaching mathematics is traditionally used to present the geometry course. It should be noted that in order to achieve subject learning outcomes that meet the requirements of educational standards, it is advisable to use formalized methods for studying other mathematical sections. The purpose of the work is to present the features
Аннотация. Концепция развития математического образования в Российской Федерации акцентирует внимание на значимости обучения математике как системообразующего фактора в образовании человека, развитии его познавательных способностей, логического мышления. В то же время указываются и проблемы, существующие в области математической подготовки школьников. В связи с этим проблема повышения качества профессиональной подготовки будущих учителей математики становится актуальной и значимой. В современной профильной школе аксиоматический подход при обучении математике традиционно применяется для изложения курса геометрии. Следует отметить, что для достижения предметных результатов обучения,
of studying mathematics at a university using the axiomatic method of introducing elementary functions in the professional training of teachers. Observation, surveys, questionnaires, conversations with trainees were used as the main research methods; Elements of statistical analysis were used to process the experimental data. The author has developed diagnostic tools for assessing the level of formation of the main components of the methodological competence of future teachers of mathematics. The results of studies conducted with students ofpedagogical areas of study of Pitirim Sorokin Syktyvkar State University (profile "Mathematics"), and their statistical analysis showed the effectiveness of using the axiomatic method in the process of developing the methodological competence of future teachers. The methodology for teaching future teachers of mathematics the axiomatic approach for introducing elementary functions, developed in an experimental study, has been successfully introduced into the educational process of the university.
Keywords: methodological competence, axiomatic method, elementary functions, components of methodological competence, pedagogical experiment.
соответствующих требованиям образовательных стандартов, целесообразно использовать формализованные методы для изучения и других математических разделов. Цель работы состоит в изложении особенностей изучения математики в вузе при использовании аксиоматического метода введения элементарных функций в профессиональной подготовке педагогов. В качестве основных методов исследования использовались наблюдение, опросы, анкетирование, беседы с обучаемыми; для обработки экспериментальных данных применялись элементы статистического анализа. Автором разработан диагностический инструментарий для оценки уровня сформированности основных компонентов методической компетентности будущих учителей математики. Результаты исследований,
проведённых со студентами педагогических направлений подготовки Сыктывкарского государственного университета имени Питирима Сорокина (профиль «Математика»), и их статистический анализ показали эффективность использования аксиоматического метода в процессе формирования методической компетентности будущих педагогов. Разработанная в экспериментальном исследовании методика обучения будущих учителей математики аксиоматическому подходу для введения элементарных функций успешно внедрена в образовательный процесс вуза.
Ключевые слова: методическая компетентность, аксиоматический метод, элементарные функции, компоненты методической компетентности, педагогический эксперимент.
REFERENCES
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
[1]. Popov N. I. Fundamentalization of professional training of mathematicians in conditions of university education: monograph. Yelets: Yerevan State University I.A. Bunina, 2021. 174 p.
[2]. The concept of the development of mathematical education in the Russian Federation: Decree of the Government of the Russian Federation of December 24, 2013 No. 2506-r. // Russian Government [website]. URL: http://government.ru/docs/all/89895/ (date of access: 04/10/2022).
[3]. Federal state educational standard of basic general education: order of the Ministry of Education and Science of Russia dated December 17, 2010, No. 1897 // Ministry of Education of the Russian Federation [website]. URL: https://docs.edu.gov.ru/id703 (date of access: 04/10/2022).
[1]. Попов Н. И. Фундаментализация профессиональной подготовки математиков в условиях университетского образования: монография. Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2021. 174 с.
[2]. Концепция развития математического образования в Российской Федерации : Распоряжение Правительства Российской Федерации от 24.12.2013 № 2506-р. // Правительство России [сайт]. URL: http://government.ru/docs/all/89895/ (дата обращения 10.04.2022).
[3]. Федеральный государственный образовательный
стандарт основного общего образования : приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 г., № 1897 // Министерство просвещения Российской Федерации [сайт]. URL:
Номер свидетельства: ЭЛ№ ФС 77 — 76347 от 02.08.2019, выдан Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций, включен в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и
изданий ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации —--—
[4]. Sadovsky V. N. Axiomatic method of constructing scientific knowledge // Philosophical questions of modern formal logic. M.: Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1962. P. 215-262.
[5]. Usoltseva IV Improving the methodological competence of teachers of educational organizations during the introduction of new standards: dissertation ... candidate of pedagogical sciences. Yoshkar-Ola, 2016. 229 p.
[6]. Shustova E. N. Use of an electronic course for the formation of methodological competence of future teachers of mathematics in the study of elementary functions // Bulletin of the Moscow City Pedagogical University. Series: Informatics and informatization of education. 2019. No. 3. P. 60-68. DOI 10.25688/2072-9014.2019.49.3.07.
[7]. Popov N. I., Shustova E. N. Application of the axiomatic method to introduce an exponential function in teaching future teachers of mathematics. Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Pedagogy. 2020. No. 3. P. 86-94. DOI: 10.18384/2310-7219-2020-3-86-94.
https://docs.edu.gov.ru/id703 10.04.2022).
(дата обращения
[4]. Садовский В. Н. Аксиоматический метод построения научного знания // Философские вопросы современной формальной логики. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1962. С. 215-262.
[5]. Усольцева И. В. Совершенствование методической компетенции педагогов общеобразовательных организаций в период введения новых стандартов : диссертация ... кандидата педагогических наук. Йошкар-Ола, 2016. 229 с.
[6]. Шустова Е. Н. Использование электронного курса
для формирования методической
компетентности будущих учителей математики при изучении элементарных функций // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия: Информатика и информатизация образования. 2019. № 3. С. 6068. DOI 10.25688/2072-9014.2019.49.3.07.
[7]. Попов Н. И., Шустова Е. Н. Применение аксиоматического метода для введения экспоненциальной функции при обучении будущих учителей математики // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Педагогика. 2020. № 3. С. 86-94. DOI: 10.18384/2310-7219-2020-3-86-94.
Shustova E. N. — SPIN ID: 4356-5687; ORCID ID: 0000-0002-9465-1853
Шустова Е. Н. — SPIN ID: 4356-5687; ORCID ID: 0000-0002-9465-1853
For citation: Shustova E.N. PECULIARITIES OF USING THE AXIOMATIC METHOD OF INTRODUCING ELEMENTARY FUNCTIONS IN THE TEACHING OF FUTURE MATHEMATICS TEACHERS AT THE UNIVERSITY // Educational bulletin "Consciousness". - 2022. Vol.24. №4. P. 23-30. Doi: 10.26787/nydha-2686-6846-2022-24-4-23-32.
Для цитирования: Шустова Е.Н. ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ВВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В ВУЗЕ // Образовательный вестник "Сознание". - 2022. Т.24. №4. С. 23-32. Doi: 10.26787/nydha-2686-6846-2022-24-4-23-30.
Введение. Образование является одним из важнейших социальных институтов современного общества. В Российской Федерации всегда уделялось повышенное внимание к уровню и качеству знаний обучающихся, как в среднем, так и в высшем звене [1]. В условиях стремительного развития высокоточных производственных технологий, информатизации общества возрастает потребность подготовки квалифицированных специалистов. Правительство РФ приняло специальные постановления, направленные на развитие образования, в том числе особо отмечается важность математической подготовки школьников и студентов. В частности, Концепция развития математического образования в Российской Федерации акцентирует внимание на значимости обучения математике как
Номер свидетельства: ЭЛ№ ФС 77 — 76347 от 02.08.2019, выдан Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций, включен в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации
системообразующего фактора в образовании человека, развитии его познавательных способностей, логического мышления [2]. В то же время указываются и проблемы, существующие в настоящее время в сфере математической подготовки школьников, включающие в себя, в том числе, нехватку учителей и недостаточный уровень квалификации педагогических кадров. В связи с вышесказанным, актуальным становится проблема повышения качества обучения будущих учителей математики, в первую очередь в вузах.
Подготовка будущих педагогов в высшем учебном заведении должна быть практико-ориентированной, нацеленной на формирование у обучаемых достаточного уровня методической компетентности. Система обучения в вузе должна строиться на основе учёта трудовых функций будущих учителей, а также принятых в России квалификационных характеристик должностей работников образования, стандартов педагога и Федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС) общего образования. В частности, учитель должен уметь учитывать специфику особых образовательных потребностей (в том числе одарённых детей). В настоящее время в старших классах общеобразовательной школы возможно осуществление профильного обучения по различным учебным направлениям, среди которых традиционно востребованной является физико-математическая специализация. Будущий учитель должен быть готов осуществлять педагогическую деятельность в условиях профильной дифференциации, иметь высокий уровень предметных и методических знаний, необходимый для работы в классах с углублённым изучением математики.
В профильной школе необходимо учитывать дополнительные требования к предметным результатам обучения, кроме предъявляемых на базовом уровне подготовки. В частности, освоение углубленного курса математики должно сформировать у обучаемых «представления о необходимости обоснования математических утверждений с помощью доказательств и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений» [3]. Аксиоматический подход традиционно применяется для изложения курса геометрии в школе, однако для достижения вышеуказанных предметных результатов обучения математике необходимо использовать подобные формализованные методы для изучения и других математических разделов. Например, можно вводить подобным образом некоторые элементарные функции - строго, последовательно и научно. Отметим, что при этом следует выбрать аксиоматику, соответствующую возрастным и образовательным возможностям обучаемых, не требующую знания понятий и владения методами, выходящими за рамки школьной программы математики. Умение применять аксиоматический подход к построению математической теории является одной из составляющих методической компетентности учителя математики. Однако следует отметить, что при подготовке будущих педагогов в вузе указанному методу уделяется недостаточно внимания, несмотря на то, что использование аксиоматизации позволяет систематизировать предметные знания обучающихся, сформировать их методические умения, подготовить к профессиональной педагогической деятельности.
Цель исследования состоит в изучении особенностей организации процесса обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения
Номер свидетельства: ЭЛ№ ФС 77 — 76347 от 02.08.2019, выдан Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций, включен в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и
изданий ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации —--—
элементарных функций для эффективного формирования методической компетентности будущих учителей математики.
Материалы и методы. Исследование эффективности применения аксиоматических подходов к введению элементарных функций как средства формирования основных составляющих методической компетентности будущих учителей математики проводилось в условиях реального образовательного процесса Сыктывкарского государственного университета имени Питирима Сорокина (СГУ, SyktSU) со студентами направления подготовки «Педагогическое образование», профиль «Математика». Основными методами исследования являлись анализ научно-методической литературы и нормативных документов; наблюдение, беседы, опросы, анкетирование; применение математического аппарата статистического анализа. Результаты и обсуждение. Метод аксиоматизации является формализованным подходом к построению математических теорий, при котором некоторая совокупность утверждений (аксиом) принимается без доказательства, остальные закономерности и положения выводятся из исходных с помощью логических законов [4]. Следует отметить, что к системе аксиом предъявляются требования непротиворечивости, независимости и полноты. При использовании указанного подхода при обучении будущих учителей математики в вузе обычно основное значение придаётся построению теории, изучению свойств вводимых понятий, без должного внимания к проверке выполнимости вышеуказанных требований к системе аксиом. На наш взгляд, такой подход не позволяет полностью показать явные достоинства метода: строгость и научность, системность и универсальность. Поэтому при организации обучения студентов педагогических направлений подготовки (профиль «Математика») в СГУ методам введения элементарных функций, мы делаем особый акцент на доказательстве непротиворечивости, независимости и полноты используемых аксиоматик.
Как было отмечено ранее, для использования аксиоматического метода в школе основные положения и используемые методы исследования не должны выходить за рамки школьной программы. Рассматривая различные подходы к введению элементарных функций (В. А. Любецкого, Л. М. Лихтарникова, В. А. Ильина и других), мы выяснили, что многие из них требуют знаний из теории групп, числовых систем, комплексных чисел и вряд ли применимы для обучающихся школ. Поэтому в учебном процессе СГУ используются более доступные аксиоматики, доступные и школьникам профильного уровня обучения математике. В частности, экспоненциальная функция определяется с помощью системы аксиом
(Р(х)-Р(у) = Р(х + у), Ух, у е Я; ( р[х) > 1 + х, Ух е Я,
а тригонометрические функции синус и косинус - приведённой ниже системой
(1)
С2(х) + S2(х) = 1, Vx е R; S(x + у) = S(x)-C(y) + С(x)-S(y), Vx, у е R; С(х + у) = С(х)-С(у) - S(x)-S(y), Vx, у е R;
Um S-^=1.
х^0 х
(2)
Для доказательства полноты и непротиворечивости применяемой аксиоматики необходимо построить модель объектов, удовлетворяющих условиям системы, и доказать её
единственность. В качестве таких моделей нами рассматриваются определённые на Я
хп
сходящиеся степенные ряды, для системы (1) - ряд ~, для системы (2) - ряды
(—1)ПХ2П Г_1)Пх2П+1
2п=0 —^—, 2п=0 -ТТ" (^(х) и 5(х) соответственно). Несомненно, следует отметить,
( 2 /1 ) I (2/6 Т 1 ) I
что тема «Числовые ряды» не включена в школьную программу математики, однако её элементы рассматриваются в теории прогрессий, последовательностей и пределов. На различных математических олимпиадах часто предлагаются задания, включающие понятия бесконечных сумм и произведений, поэтому в профильных классах их изучают на кружковых занятиях и элективных курсах.
Чтобы доказать независимость системы аксиом, необходимо для каждого условия системы построить такую модель, для которой указанная аксиома неверна, а все остальные при этом выполняются. Например, для системы (1) легко проверить, что функция /(х) = 1, определённая на к , удовлетворяет первому условию ( /(х)-/(у) = 1 • 1 = 1 = f(x + у), Ух, у е к ) и не удовлетворяет второму (/(х) = 1 > 1 + х, Ух < 0 ). В свою очередь, функция д (х) = х + 1, определённая на к, удовлетворяет второму условию (д (х) = х + 1 > 1 + х, Ух < 0) и не удовлетворяет первому (^(х)-^(у) = (х + 1) • (у + 1) Ф х + у + 1 = $(х + у) при х Ф 0, у Ф 0).
Для оценки эффективности использования аксиоматического подхода к введению элементарных функций в процессе подготовки студентов педагогических направлений подготовки вуза необходимо исследовать изменения в уровне сформированности методической компетентности будущих учителей математики. Анализ трудов учёных-педагогов по методологии компетентностного подхода в образовании показал, что в настоящее время существуют различные подходы к определению самого понятия методической компетентности и его структурных составляющих. В ходе нашего исследования мы опирались на работы И. В. Усольцевой, предлагающей рассматривать такие взаимосвязные компоненты методической компетентности, как знаниевый, деятельностный, личностно-мотивационный, рефлексивный и автономный [5]. Результативность формирования знаниевого компонента можно оценить в ходе выполнения обучающимися различных тестов, контрольных и самостоятельных работ. В частности, в период времени с 2015 по 2020 годы со студентами 4 курса СГУ, обучающимися по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Математика»), было проведено тестирование, оценивающее уровень предметных знаний и умений; средние баллы по 15 вопросам теста (по десятибалльной шкале) до и после изучения аксиоматического метода введения элементарных функций проиллюстрированы на диаграмме рисунка 1. Анализ результатов исследования, в ходе которого был использован критерий Стьюдента, показал, что повышение уровня вышеуказанных знаний и умений можно считать статистически значимым [6].
Помимо системы тестов оценить изменения в уровне методической компетентности будущих педагогов целесообразно, используя специальные учебно-методические ситуации, а также проводя опросы, беседы, анкетирование. В частности, в 2016-2020 годах со студентами педагогических направлений подготовки СГУ было проведено анкетирование по самооценке методических знаний и умений, направленное на изучение изменений в уровне
Номер свидетельства: ЭЛ№ ФС 77 — 76347 от 02.08.2019, выдан Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций, включен в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и
изданий ВАК при Министерстве образования и науки Российской Федерации —--—
~ 28 ~
сформированности основных компонентов методической компетентности будущего учителя математики в области знаний по теории функций.
Рисунок 1 - Результаты тестирования предметных знаний и умений студентов СГУ Figure 1 - The results of testing subject knowledge and skills of SyktSU students
В учебную программу одной части испытуемых была включена дисциплина «Элементарные функции в школьном курсе математики», предполагающая изучение аксиоматического подхода к введению элементарных функций (экспериментальная группа), другая часть респондентов указанную дисциплину не осваивала (контрольная группа). Самооценку уровня сформированности составляющих методической компетентности студенты в ходе анкетирования проводили по четырёхбалльной шкале, высокой оценкой в таком случае следует считать баллы 3 и 4, их процентное количество в ответах испытуемых контрольной и экспериментальной групп в начале и конце учебного года проиллюстрировано на диаграммах рисунка 2.
Рисунок 2 - Процент высоких баллов в анкете самооценки методических знаний и умений студентов СГУ:
К1 - результаты контрольной группы в начале года; К2 - результаты контрольной группы в конце года; Э1 -результаты экспериментальной группы в начале года; Э2 - результаты экспериментальной группы в конце года.
Figure 2 - The percentage of high scores in the self-assessment questionnaire of methodological knowledge and skills of SyktSU students:
K1 - the results of the control group at the beginning of the year; K2 - the results of the control group at the end of the year; E1 - the results of the experimental group at the beginning of the year; E2 - the results of the experimental group at the end of the year.
Анализ результатов анкетирования свидетельствует о значительном росте количества обучаемых экспериментальной группы, считающих высоким свой уровень сформированности компонентов методической компетентности, в то же время в контрольной группе такое изменение несущественно. Таким образом, можно говорить о том, что использование методики обучения студентов педагогических направлений подготовки вуза аксиоматическому методу введения элементарных функций способствует повышению уровня сформированности методической компетентности будущего учителя математики.
Важно, на наш взгляд, кроме исследования уровня сформированности знаний и умений выяснить личное отношение обучающихся к проблеме применения аксиоматического подхода для введения элементарных функций в процессе подготовки будущих учителей математики в вузе, которое студенты 4 курса СГУ выразили в ходе специально организованного опроса [7]. Анализ результатов опроса показал, что будущие педагоги высоко оценивают степень научности предложенного подхода, полагают, что учитель должен уметь применять подобные методы в различных разделах математики, а также, несмотря на сложность процесса обучения, считают материал полезным для будущей профессиональной деятельности и проявляют интерес к дальнейшему изучению аксиоматического подхода. Респонденты особо отмечают важность изучения требований, предъявляемых к системе аксиом, проверку полноты, независимости и непротиворечивости включённых в неё утверждений.
Выводы. Разработанная в экспериментальном исследовании методика обучения будущих учителей математики аксиоматическому подходу для введения элементарных функций успешно внедрена в образовательный процесс вуза. Разработан широкий диагностический инструментарий для оценки уровня сформированности основных компонентов методической компетентности педагога. Результаты исследований, проведённых с обучающимися педагогических направлений подготовки СГУ, и их статистический анализ показали эффективность применения метода аксиоматизации для формирования методической компетентности будущего учителя математики.
Corresponding Author: Shustova Elena Nikolaevna - Assistant Professor, Pitirim Sorokin Syktyvkar State University, Syktyvkar,
Russian Federation
E-mail: shustovaen@yan dex. ru
Ответственный за переписку: Шустова Елена Николаевна -старший преподаватель, ФГБОУ ВО «Сыктывкарский государственный университет имени Питирима Сорокина», г.
Сыктывкар, Российская Федерация
E-mail: sh usto vaen @ yandex. ru
