CC BY
42
УДК 535.42
Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2006, вып. 1
Ю. А. Толмачев, Цзюэ Ван
ОСОБЕННОСТИ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ УЛЬТРАКОРОТКИХ ИМПУЛЬСОВ
Введение. Развитие физики и техники фемтосекундных световых сигналов поставило на повестку дня задачу изучения внутренней структуры таких импульсов во времени и ее зависимости от условий их формирования. С этой целью применяются интерференционные методы, причем исследуется интерференция импульсов в нелинейной среде, при которой образуются быстро перемещающиеся в пространстве полосы. В результате таких опытов измеряются сложная комбинация сдвинутых во времени сигналов типа автокорреляции и ее усредненный rio времени спектр. Вместе с тем при интерпретации происходящих процессов в нелинейной среде допускается прямой перенос понятий классической оптики и радиофизики на явления дифракции и интерференции ультракоротких импульсов, состоящих из одного-двух колебаний электромагнитного поля. Реально данный перенос сопряжен с определенными трудностями, обусловленными прежде всего особенностями использования классических методов и привычками исследователей к анализу квазимонохроматических процессов и стационарных световых полей. В случае фемтосекундных импульсов процессы взаимодействия волн становятся сугубо нестационарными, требуется вернуться к исходным представлениям и результатам математического описания распространения и взаимодействия волн. Примером могут быть неожиданные свойства поля дифракции дельтаобразных во времени волн, обнаруженные нами при анализе рассеяния на типовых объектах оптики - щели и круглом отверстии [1, 2], а также при использовании таких понятий для разработки кодовой системы записи информации, имеющей полную аналогию с объемной голографией [3, 4].
Задача настоящей работы состоит в том, чтобы указать на некоторые проблемы, возникающие при описании интерференции ультракоротких импульсов в прозрачной материальной среде с показателем преломления, отличным от единицы. В качестве примера поспешного переноса методов радиофизики на поля светового диапазона упомянем группу исследований, результаты которых широко цитируются и используются ь мировой науке. Их цель - решение важнейшей и нетривиальной задачи восстановления формы зависимости амплитуды электромагнитной волны от времени на основании результатов энергетических измерений. Аббревиатура основного метода - FROG -расшифровывается как Frequency Resolved Optical Gating и предполагает возможность стробирования во времени одного оптического импульса с помощью другого [5]. Имеется целая группа аналогичных методов со сходной интерпретацией принципов работы, где используется нелинейное рассеяние света в квадратично-нелинейной прозрачной среде [6]. Общую их основу составляет формирование интерференционной картины при взаимодействии двух сфокусированных волн, скрещивающихся под небольшим углом в области фокусов.
Постановка задачи. В процессе формирования фемтосекундных импульсов исследователь получает, как правило, пространственно-когерентный приближенно гауссов пучок. Применим для оценок свойств его поля вблизи фокуса линзы результаты, приведенные для монохроматической волны в [7], которые не слишком отличаются от данных компьютерного моделирования процесса фокусировки фемтосекундных импульсов в [8]. Положим длительность
© Ю. А. Толмачев, Цзюэ Ван, 2006
импульса равной 100 фс. Тогда при показателе преломления вещества n « 1,5 пространственная протяженность волнового пакета импульса в направлении распространения равна приблизительно 20 мкм, а диаметр и длина фокальной перетяжки для линзы с фокусом 0,5 м -соответственно 200 и 320 мкм. В пределах такого объема можно считать форму фронта импульса плоской.
Необходимо также иметь в виду, что в процессе измерений методом FROG смещение во времени одного импульса относительно другого составляет 100-300 фс, что соответствует линейному сдвигу всего на 30-90 мкм. Как видно из приведенных оценок, в области фокуса линзы наблюдаются два распространяющихся со скоростью света в данной среде волновых пакета. Они имеют форму тонких дисков, диаметр которых велик по сравнению с расстоянием взаимного смещения. Без особых ограничений на начальном этапе можно считать, что эти диски характеризуются бесконечно большим поперечным по отношению к направлению распространения размером, и амплитуда волны не зависит от поперечных координат. Кроме того, будем полагать среду настолько тонкой, что расплыванием пакетов вследствие дисперсии показателя преломления п вещества можно пренебречь (это соответствует условиям применимости метода FROG). Таким образом, вблизи фокальной плоскости линзы мы имеем дело с пересечением двух тонких больших в поперечном размере волновых пакетов.
Для определения зависимости амплитуды волны от времени в методе FROG с помощью классического спектрального прибора малой разрешающей силы изучают зависимость от относительного сдвига импульсов энергетического спектра света, рассеянного вследствие дифракции падающей волны на индуцированных волнами неоднородностях показателя преломления (самодифракции).
Конкретные задачи данной работы можно теперь сформулировать следующим образом:
необходимо внимательно рассмотреть процесс интерференции двух плоских волн, в том числе в прозрачной изотропной среде типа стекла;
обсудить, какие физические процессы скрываются за словом «самодифракция» вол-
hw
описать во времени на качественном уровне процесс формирования наблюдаемого поля излучения в линейном и нелинейном случаях.
Начнем с линейного взаимодействия волн. Будем полагать, что волновой пакет представляет собой отрезок монохроматической волны с периодом Т, содержащий N колебаний. "Удобно представить этот пакет в виде свертки знакопеременной последовательности ¿-образных волн, имеющей период Т, с одним полупериодом косинусоиды такого же периода. Данное представление позволяет сохранить основную характеристику процесса - периодичность - и при качественном анализе пренебречь плавными переходами амплитуды поля:
Здесь координата г отсчитывается в направлении распространения данной волны, V = с/п - фазовая скорость, символом <8> обозначена операция свертки по координате г. Поле системы двух волн, очевидно, можно представить в форме
(1)
фо (z) =
cos 2тг (z/vT) 0
при \z\ < vT4, при \z\ > vTA.
ф (t,x,y,z) = Фо (zi) ®6(t- Zi/v) +фо (z2) ®6(t - Z2/v) .
(2)
Рис. 1. Схема сложения и движения волновых фронтов при интерференции.
Жирные стрелки показывают направления распространения волн, тонкая - общее направление движения интерференционных максимумов и минимумов. Остальные обозначения в тексте.
Теперь в линейном случае анализ структуры поля нетрудно свести к изучению процессов взаимодействия периодической последовательности ¿-волн, осуществив двухмерную свертку с функцией ip0 на заключительном этапе. Более того, такая процедура позволяет вести достаточно строгое качественное исследование, перейдя в пространство частот.
Область взаимодействия пакетов ¿-волн показана на рис. 1. Общую ось 2 удобно провести так, чтобы она образовывала биссектрису угла схождения пучков, а ось х, например, совместить с плоскостью рисунка, направив ось у перпендикулярно этой плоскости. Тогда оси z двух пучков образуют с осью 2 углы ±а. В подобном представлении две плоские ¿-волны пересекаются по одной прямой, положение которой зависит от угла а и пространственной (или временной) задержки одной волны относительно другой, точнее, от величины (¿i — ¿2)/cosа. Следы линий пересечения ¿-компонент пакетов, соответствующие положениям максимумов и минимумов (т. е. пучностей) поля, показаны на рис. 1 кружками: положительный полупериод - черным, отрицательный - белым. Простой геометрический анализ свидетельствует, что они образуют правильную пространственную решетку с периодами
Тх = vT/sma = Л/sin a, Tz = vT/cosa = A/cosa,
где А — сТ¡n - средняя длина волны колебания цуга в среде.
Практика применения монохроматических колебаний в интерферометрии и голографии привела к тому, что образованную двумя когерентными волнами интерференционную картину привычно считают стационарной. На самом деле стационарными являются только направления распространения пучностей поля или положения его узловых поверхностей. В изучаемом случае пучности образуются суммой двух ¿-функций, а
представляющие их черные и белые кружки движутся в пространстве в направлении оси г со скоростью
vz = v/cosa > v. (3)
Рассматриваемая геометрия имеет место в обычной 2-лучевой интерферометрии, например в опытах с бипризмой Френеля, и хорошо изучена. Результат эксперимента при наблюдении энергетического распределения поля в направлении Oz зависит от способа регистрации и структуры поля. Нетрудно видеть, что в случае монохроматических волн, который можно представить сверткой с бесконечной последовательностью ¿-волн, при интегральном способе регистрации (в частности, с помощью фотопластинки или CCD-матрицы с большим временем накопления энергии сигнала), положительная и отрицательная ¿-функции дают одинаковый отклик, и пространственная картина интерференции представляет собой набор эквидистантных бесконечно-узких линий одинаковой амплитуды с пространственным периодом Тх = wT/2sina = A/2sina. Обрыв цуга колебаний, т. е. уменьшение длины временной его когерентности, приводит к спаду зарегистрированной приемником энергии колебаний поля с ростом значений \х\. На рис. 1 это соответствует уменьшению размеров области переложения двух волн ограниченной длительности.
Влияние временного сдвига между волновыми пакетами. Эксперименты по системе FROG и близкие к ним связаны с введением в одно из плеч интерферометра задержки одной из волн по отношению к другой. Мы имеем полную аналогию с классическими интерференционными экспериментами по измерению показателя преломления вещества. Возникающие здесь проблемы хорошо известны. Если спектр колебания достаточно узок, т. е. волна монохроматична настолько, что в пределах поля наблюдения спад контраста интерференционной картины невелик, эксперимент позволяет измерить йеличину сдвига только в том случае, если можно проследить его непрерывное изменение от нулевого (или иного начального) значения, так как экспериментатор должен зафиксировать смещение положения выделенного им экстремума интерференционной картины. При малой длине когерентности (малой длине цуга) проблема снимается, так как обычно хорошо определяется координата максимума ахроматической полосы.
В качестве иллюстрации на рис. 2 показаны два положения друг относительно друга ограниченных по времени цугов длительностью At. Интегральная во времени картина интерференции двух таких цугов имеет абсолютный максимум при нулевой разности хода между пучками и симметричный линейный спад амплитуды колебаний к некоторому среднему фону на расстоянии vAt/sin а по обе стороны от центра. Следствием фиксированной задержки одного из пучков относительно другого является общий линейный сдвиг интерференционной картины без изменения ее структуры, как это наблюдается, например, в интерферометре Рэлея. Вместе с тем именно предположение о зависимости структуры поля интерференции от сдвига лежит в основе всех методов, использующих анализ спектрального состава излучения, рассеянного интерференционной картиной, в том числе метода FROG.
При проецировании области взаимодействия пучков на вход спектрометра возникает новая проблема: необходимо знать, насколько полно оптическая система охватывает излучение всей области переложения пучков. В противном случае требуется учесть зависимость конфигурации геометрического фактора регистрирующей системы от времени задержки между пучками. Помимо выхода области интерференции за пределы области, проецируемой на вход спектрального прибора, возможны и эффек-
Рис. 2. Два взаимных положения волновых пакетов при различной взаимной задержке импульсов.
ты, связанные со смещением области взаимодействия пучков за пределы нелинейной среды, особенно в методе FROG, где неоднократно подчеркивается, что нелинейный прозрачный материал (кристалл или стекло) должен быть «очень тонким».
Явление самодифракции в интерференционной картине. Возникновение пространственных неоднородностей поля электромагнитной волны, обусловленных как переменной в пространстве-времени напряженностью поля самой волны, так и интерференцией, вызывает появление неоднородностей поляризации вещества, в котором распространяются волны. В простейшем скалярном однородном случае поляризацию Р можно представить в виде бесконечного ряда
Р (х, z, t) = х(1) [Ех (х, z, 0 + Е2 (х, z, i)] + х(2) [Si t) + Е2 (x,z, t)]2 + ... .
Здесь Ek - напряженность поля волны, х^ - константы восприимчивости г-го порядка прозрачного вещества. Для интересующего нас случая не слишком сильных полей можно ограничиться первыми двумя членами суммы.
Движение волн и соответствующее быстрое перемещение интерференционной картины приводит к тому, что поляризация среды в каждой точке пространства становится функцией времени. Изменяющаяся поляризация индуцирует собственное вторичное поле, которое на больших расстояниях от источника можно представить следующим образом [7]:
(4,
где - угол между направлением колебаний осциллятора и направлением распространения излученной волны; R - расстояние, отсчитанное от осциллятора. Описанное явление и составляет физическую основу процесса самодифракции излучения.
Свойства вторичного излучения. В большинстве проведенных к настоящему времени экспериментов собственные частоты осцилляторов, из которых состоит вещество, намного превышают частоту падающего поля (внешнее ИК-излучение фем-тосекундного импульса проходит через стекло или кристалл с полосой поглощения в УФ-области спектра). Индуцирование поляризации электромагнитным полем в такой системе относится к слабым взаимодействиям, задержка фазы колебаний между внешним полем и вторичным невелика (именно наличие такой задержки приводит к отличию от единицы показателя преломления), поэтому будем рассматривать приближенно процесс возбуждения поляризации как безынерционный. В случае квадратичной нелинейности это тем более верно.
Итак, вследствие интерференции волн в веществе образуется упорядоченная система неоднородностей поляризации, движущаяся в пространстве со скоростью, превышающей скорость распространения света в среде (3). Рассматриваемая система полностью аналогична возбуждению излучения Вавилова-Черенкова при распространении в среде быстрой заряженной частицы. Следовательно, вторичное излучение можно рассматривать как именно такое излучение и использовать основные выводы соответствующей теории. Для амплитудно-пространственного распределения поля имеем
Здесь п - единичный вектор направления на точку наблюдения из точки излучения, д - угол между п и направлением распространения неоднородности поляризации, ш -круговая частота колебаний.
Как видно из соотношения (5), в результате рассеяния спектр сигнала меняется: амплитуда спектральных составляющих рассеянного излучения возрастает прямо пропорционально квадрату частоты. К такому же результату приходим непосредственно из формулы (4) для монохроматического сигнала. Очевидно, что даже в рассматриваемом линейном случае происходит существенное изменение спектра мощности рассеянного ультракороткого (а значит - широкополосного) импульса в сравнении с падающим, так как энергетическое спектральное распределение рассеянного излучения оказывается пропорциональным четвертой степени частоты.
Следующим моментом, который вытекает из интерпретации рассеянного излучения как излучения Вавилова-Черенкова, является возможность установить направление распространения вторичной волны. Зная скорость перемещения возмущения и используя известные соотношения для угла излучения, вытекающие из (4), находим, что вторичная волна поляризации первого порядка излучается точно в направлении распространения первичных волн. Таким образом, единственным фактором, указывающим на действие эффекта Вавилова-Черенкова, может служить изменение спектрального состава излучения при рассеянии в прозрачной среде.
Обратимся к результатам конкретного эксперимента [9]. На рис. 3 показаны зарегистрированная интенсивность ультракороткого импульса как функция времени (а) и соответствующий спектр (б), полученные в результате анализа методом FROG. Штриховой линией на рис. 3, а показана аппроксимация формы импульса функцией
(5)
/(О =ехр(-0,4О [1 +cos£] sin 15£,
£ = OJt.
I, отн. ед. 1,0 -
а
I, отн. ед. 1,01-
0,5
| ,4,5 фс
"I:
0,5
0,0
0
20
600
800 1000
фс
X, нм
Рис. 3. Результат восстановления формы (а) и спектра (б) реального фемтосекунд-ного импульса (сплошная линия, [9]) и его аппроксимация в данной работе (штриховая линия).
Приведенный на рис. 3, б наблюдаемый спектр содержит явно выраженную асимметрию побочных максимумов, которая по относительной величине совпадает в пределах ошибок измерения с показанным на рис. 3, б расчетным спектром мощности рассеянного импульса (б), учитывающим множитель и4.
Не будем останавливаться здесь на более детальном анализе изменения спектра импульсных сигналов при самодифракции излучения, так как приведенные выше формулы (1), (2) настолько просты, что позволяют читателю с легкостью провести соответствующие преобразования. В сплошном спектре рассеянного сигнала, очевидно, максимум интенсивности приходится на частоту, соответствующую периодичности последовательности ¿-функций, а скорость спада спектральной плотности определяется формой огибающей. Подчеркивание центральной частоты обусловлено также пространственной структурой интерференционной картины.
Случай нелинейный оказывается не более сложным. Не следует только искать квадраты ¿-функций, достаточно, например, представить квадрат одного периода косинусоиды следующим образом:
чтобы анализ стал столь же элементарным, как и в описанном линейном случае.
Обратим внимание на то, что движение максимумов интерференционной картины, обусловленное квадратичным взаимодействием, происходит с той сисе скоростью, что и экстремумов первого порядка. Следовательно, и угол рассеяния, и спектральные характеристики излучения должны совпадать с рассмотренными выше.
Заключение. Представленные в работе результаты показывают, что любое исследование, основанное на анализе процесса формирования объемной картины интерференции двух плоских ультракоротких световых импульсов в прозрачной среде должно учитывать принципиально нестационарный характер взаимодействия волн как между собой, так и с веществом. Игнорирование таких особенностей может приводить к
/(0 = 2 [¿(« + Т/4)+*(1-Т/4)]®в(0,
1
)] при Ш < Т/4, при > Т/4,
появлению ошибок в интерпретации результатов измерений. В частности, источниками ошибок могут быть изменение объема переложения волновых пакетов при сдвиге одного импульса относительно другого, смещение этого объема относительно зоны, излучение которой концентрируется оптической системой на измерительную систему, и выход области пересечения пучков за пределы среды. По внешним проявлениям подобные эффекты могут быть приписаны изменению внутренней структуры интерференционной картины и включены в данные для математической процедуры определения зависимости поля волны от времени.
Summary
Tolmachev Yu. A., Wang Jue. Peculiarities of the interference of ultrashort pulses.
The internal structure of interference pattern formed by two ultrashort pulses is shown to be independent on the relative time shift of pulses. The extremis of formed electromagnetic field propagate at the velocity exceeding the velocity of light. As a consequence, the effect of self-diffraction is interpreted as the Cherenkov emission. Results of analysis are compared with those of the known experiment.
Литература
1. Сулейменов И. Э., Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 88. JV= 1. С. 104-109. 2. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, № 3. С. 457-463. 3. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 1997. Т. 83, JV« 5. С. 824-831. 4. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 1997. Т. 82, № 4. С. 679-682. 5. Trebmo R., Капе D. J. // J. Opt. Soc. Amer. 1993. Vol. A10. P. 1101-1111. 6. Steinmeyer G. // J. of Optics A: Pure and Apply Optics. 2003. Vol. 5. P. Rl-R15. 7. Борн M., Вольф Э■ Основы оптики / Пер. с англ.; Под ред. Г. П. Мотулевич. М., 1970. 8. Romallosa К. М., Bantang J., Saloma С. // Phys. Rev. A. 2003. Vol. 68. P. 033812-5. 9, Baltuska A., Pshenichnikov M. S., Weirsma D. A. // J. Quant. Electron. 1999. Vol. 35. P. 459-478.
Статья поступила в редакцию 24 сентября 2005 г.
