CC BY
40
УДК 330.101.54
АЛ. Сараев, Л.А. Сараев *
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ И ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФАКТОРОВ МОДЕРНИЗИРУЕМЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ
В статье предложена многофакторная математическая модель логистической динамики экономического развития модернизируемого предприятия. Рассмотрены случаи однократной и периодической смены производственных технологий на предприятии.
Ключевые слова: предприятие, технологии, факторы производства, производственная функция, логистическая динамика, ресурсы.
Производственное предприятие как элемент хозяйственной системы реального сектора экономики, выпуская готовую продукцию, затрачивает определенный набор ресурсов. В самом общем случае такой набор ресурсов целесообразно представлять в виде n -мерного вектора пространства Rn объемов факторов производства [1—4]
Q = (Ql,02,■■■, Qn ).
В качестве компонентов этого вектора Qf могут выступать основной капитал (производственные фонды), привлекаемые в производство трудовые ресурсы, используемые в производстве материалы, применяемые технологии, различного рода инновации и т. д.
Изменяемые во времени объемы факторов производства и являются функциями времени Qi = Qi (t). Кроме того, они представляют собой способные накапливаться и образовать определенные фонды кумулятивные величины, объемы которых определяют скорости их роста или убывания во времени. Переменная времени t предполагается непрерывной, единицей ее измерения служит так называемый производственный период, в качестве которого может быть выбран один год,
один квартал, один месяц и т. д. Функции Qi = Qi (t) предполагаются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми на всей числовой оси (— ¥ < t <¥), при
этом каждый компонент вектора объемов факторов производства Qi = Qi (t) органичен сверху и снизу своими предельными значениями
0 < Qi (t )< Qi, (i = 1..n).
Здесь Qi = lim Qi (t), lim Qi (t) = 0.
t®¥ t®—¥
* © Сараев А.Л., Сараев Л.А., 2014
Сараев Александр Леонидович ([email protected]), Сараев Леонид Александрович ([email protected]), кафедра математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Выпуск продукции предприятия V обеспечивается некоторой многофакторной производственной функцией Кобба-Дугласа [5; 6]
V = РП. (1)
5=1
Здесь степенные показатели производственной функции а* представляют собой эластичности выпуска по соответствующему ресурсу; Р — стоимость продукции произведенной на единичные объемы ресурсов.
Предельное значение производственной функции V вычисляется по формуле
v=рп q: , (2)
s=1
и, таким образом, выражение (1) принимает вид
Qs
qs=Q. (3)
= n Q
V=VПqas, qs=Q
s Q
s=1 Qs
Изменения во времени компонентов вектора конфигурации используемых ресурсов Qj обусловлены двумя обстоятельствами. С одной стороны, скорости роста объемов факторов производства прямо пропорциональны их количеству, а с другой стороны, рост этих величин ограничен предельными возможностями предприятия. Поэтому временные изменения величин факторов производства могут быть описаны системой дифференциальных уравнений
^ = x (t). Qt (t).(V — V(t)\ (4)
Здесь Xi (t) = OLj - 0(t) — удельные скорости роста факторов производства Qj (t). Коэффициенты dj задают интенсивность роста каждого ресурса, а функция 9 (t) определяет длительность периодов смены технологий производства, его цикличность [7; 8].
Подставляя в систему (4) производственную функцию (3), получаем
^=a 9(t )Qj (t )V Л—П qSs (t))
dt V s=1
или в безразмерной форме
dqt (t)
in \
= a - V -9(t)• qi(t) 1 — П qass (t)
dt V s=1
(5)
(6)
Решениями систем уравнений (5) или (6) являются так называемые интегральные логистические кривые, монотонно возрастающие от нижних границ до верхних границ. В качестве начальных условий для системы уравнений (5) целесообразно
выбирать значения компонентов вектора Я, соответствующие уровню производственного фактора в момент времени смены технологии производства ? = ^ .
=гг = а 6 )=а. (7)
Начальные условия для системы уравнений (6) принимают вид
Ъ()-- -а
4.7, - -Л>1)- - . (8)
Рассмотрим сначала однофакторную модель динамики выпуска продукции предприятия (п - 1). Тогда система дифференциальных уравнений (6) сводится к одному уравнению первого порядка
)-а V
^ V-е((). -().( - -'(()) (9)
с начальными условиями
-\t--t - -(()- - - ^. (10)
Уравнение с разделяющимися переменными (9) является обобщением уравнения П. Ферхюльста и носит название уравнения М. Розенцвейга [9]. Его решение для начального условия (10) имеет вид
- - • еаТ
4 (1 + (еааТ - ) . (11)
= t
Здесь Т()-V• |е(т)dт . Из соотношения (11) находим функцию фактора про-
t
изводства в
о--а ,
0' +(^"Т - 1\0°)' • (12)
Подставляя формулу (12) в производственную функцию (1), получаем динамическую производственную функцию выпуска продукции предприятием:
V о'•&•<?•аТ
в' +(еа• *Т -1)0' . (13)
Формы логистических кривых для функций (12) и (13) определяются видом функции )- ае() — удельной скорости роста фактора производства в, задающей длительность периодов смены технологий производства и его цикличность. Если эта скорость постоянна, то стандартный график логистической кривой на
рис. 1 имеет точку перегиба в момент времени t - t.
Если применяемые в производстве технологии к моменту времени t - t морально устаревают, фактически останавливают экономический рост предприятия, то функция удельной скорости роста уменьшается к этому моменту времени до нуля.
Если же последующее, после момента времени t - t, обновление производственных технологий, перевооружение и модернизация производства приведут к росту
функции X(t) = a - dit), то соответствующие логистические кривые для фактора
производства Q будут иметь в момент времени t = t не только точку перегиба, но и, как показано на рис. 2, точку так называемого минимакса. Подобные изменения функции Q(t ) удобно описывать с помощью функции параболы четной степени 6(t) = (t - tt )2p [7].
, IQ
Рис. 1
Рис. 2
При циклической смене технологий производства предприятия логистическая кривая будет иметь несколько точек минимакса. Здесь функцию в ) уместно опи-
сывать в виде косинусоиды Q(t) = 1 + cos • -—- J • Параметр к описывает периодичность точек минимакса логистической кривой. На рис. 3 и рис. 4 представлены графики логистических кривых для значения параметра к = 1 и к = 2 соответственно.
^ Q
А Q
Рис. 3. Параметр к = 1
Рис. 4. Параметр к = 2
Рассмотрим теперь двухфакторную модель динамики выпуска продукции предприятия (п = 2). В качестве первого фактора выберем основной капитал (производственные фонды) (21 = К, в качестве второго фактора — привлекаемые в производство трудовые ресурсы (2 = ^. В этом случае система дифференциальных уравнений (6) запишется в виде
3
3
2
2
1
0
0
0
3
3
3
2
2
1
0
0
0
8
4
0
8
4
dk (t ) = a V
■у ■e(t)• k - ka ()■ ib ())
dt (14)
df = ß ■ V ■e(()■ i ()(i - ka ()• ib ())
Начальные условия (8) для системы (14) принимают вид
klt=Tk = k (tk ) = k
1Ц- = l (T)=T. (15)
Здесь
a = ai, b = a2, a = ai, ß = a2,
k = K, i = L, k = K, l = L . K L K L
Установим связь между безразмерными факторами производства k и l. Разделив первое из уравнений (14) на второе, получим
dk = a dl
~k ~ ~ß' T'
a
Общее решение этого уравнения представляет собой функцию k = C ■lß • Поскольку предельные значения безразмерных факторов производства k и l равны
единице lim k(t) = lim l(t) = 1, то константа тоже равна единице С = 1 • Таким об-
t®¥ t®-¥
разом, величины и связаны соотношением
к _ I Ь .
Подставляя формулу (16) в систему уравнений (14), находим
— _ а -V-в-к-(1 - к" )
_ ь-V-в-I-(1 - г).
_ а-а + Ь-Ь _ а-а + Ь-Ь
Здесь " _ а 'у _ ь •
Решения уравнений (17) при начальных условиях (15) имеют вид
(16)
(17)
k =
7 a ■ T
k^e
(l + (ea■u t -1) ■ ku ) «
t ^t
l =-—-Г •
(l + (eßvT -1) ■ T)V
а
Функции факторов производства К и Ь определяются выражениями
К • К • еаТ
К —-
1'
^К" + {в™Т - 1) К" )"
Ь —_Ь •Ь • ^_г. (19)
(г + (е^Т -!)• Ь)^
Подставляя формулы (19) в производственную функцию (1), получаем динамическую производственную функцию выпуска продукции предприятием
у — р К" • К" • еа'и'т У-Т.е
• К"+{еа • " 'т -1) • К"' Ь"+(ер*т -1) • ь • (20)
Для трехфакторной модели динамики выпуска продукции предприятия (п — 3) первым фактором выберем основной капитал (производственные фонды) Ql — К, вторым фактором — привлекаемые в производство трудовые ресурсы Q2 — Ь, третьим фактором — используемые в производстве материалы и технологии Qз — М. Здесь система дифференциальных уравнений (6) принимает вид
^ — а Vв()• к()•(! -ка()• /Ъ()•тс())
йи
^ — Р V•в()./(>(1 -ка(()• 1Ъ()•тс(()) (21)
^йт^ — у V•в().т(()(1 -ка()• /Ъ()■ тс())• Начальные условия (8) для системы (21) преобразуются в соотношения
(22) — т .
а — а, Ъ — Й2, с — аз, а — а1, р — а2, у — аз,
к — — / — - т—М к — К J — Ь т — М
К' Ь' М' К' Ь' М'
Система (21) позволяет установить связь между безразмерными факторами производства к, /, т
к1 г = к (Тк) — к
/ ((/)— /
и—ц
т [—г К. 1 1ш — т ((т):
Здесь
Лк _ а Л
~к ~ Ь Т
Лк а Лт
— _------(23)
к у т
Л1 _ р Лт
I у т .
Решение этих уравнений с учетом предельных значений безразмерных факторов производства Нш к(/) _ Нш I(/) _ Пш т() _ 1, дает
а Ь у
к _ Iр , I _ т у , т _ ка. (24)
Подставляя соотношения (24) в систему уравнений (21), находим
Лк „ а
— _а •Vв Л1
•V•в •к• (1 -ки)
^ = В V в • !• (1 - Г) (25)
— _ у Vв-т-(1 -т*) .
Здесь
а а + Ь В + с •у а а + Ь В + с у а а + Ь В + с у
и _----, V _----, * _----
а В у
Решая уравнения (24) при начальных условиях (22), находим
, к•еаТ к _-
(1 + (еаиТ -1) • ки) и
Т^е^ т , л '
(1 + (ер , т-1 )• )V (26)
_ уТ т •е
т _-
Т_
(1 + (еу • * т -1) • т* /
Выражения для функций факторов производства К, Ь, М принимают вид
^ К-К-еа -Т
К —-
1'
^К + (еаи-Т -1) .К")"
Ь —_ЪЪеЬ Т_г, (27)
[ Г + (еВ'у ' Т -1) . ЬУ ) У
М—
+ -М-М-е7-Т
1 •
(М* +(е7• -Т -1) -М*)*
Подставляя формулы (26) в производственную функцию (1), получаем динамическую производственную функцию выпуска продукции предприятием
V — Р-
-р" а-и-Т Ту Ту В-у-Т 77* 77* 7
К -К -е Ь -Ь -ер М -М -е'
Ки +(еа-и-Т -1) - К" Ьи +(еВуТ -1)-Ь М* + (е 7' -1) - М*
(28)
Совершенно аналогично для многофакторной модели динамики выпуска продукции предприятия при произвольном п для системы дифференциальных уравнений (6) с начальными условиями (8) устанавливается связь между безразмерными факторами производства
¿41 ах
-—---. (29)
41 aj У '
Решение этих уравнений с учетом предельных значений безразмерных факторов производства () — 1, дает
41 — .
Подставляя в систему уравнений (6) соотношения (30), находим
— а,^-в-(1 -), 0 — 1..п).
(30)
(31)
1
Здесь и1 — а5 'as .
а1 5—1
Решая уравнения (31) при начальных условиях (8), находим
К- еаТ 4г —---Г .
(1 + (еа'"'Т -1)- )и
(32)
а
Выражения для функций факторов производства 01 принимают вид
о _ а-а-еа'-Т
^ /_ / \ _ ч 1 (33)
[ о"' +(еаи'Т -1) • О* ) "' .
Подставляя формулы (26) в производственную функцию (1), получаем динамическую производственную функцию выпуска продукции предприятием
^ а"' о "' -еа''Т
V =р •П / 0' е \--(34)
И а* +(еа'-"'Т -1) • а*. (34)
Библиографический список
1. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Континуальная теория производственного процесса и производительности факторов производства промышленных предприятий // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 7 (98). С. 196—203.
2. Сараев А.Л., Сараев Л.А. К теории структурной модернизации производственных предприятий // Вестник Самарского государственного университета. 2012. № 10 (101). С. 160-169.
3. Сараев А.Л., Сараев Л.А. К оценке прибыли и затрат предприятий, модернизирующих структуру производства // Вестник Самарского государственного университета. 2013. № 1(102). С. 186-196.
4. Мантуленко А.В., Сараев А.Л. , Сараев Л.А. К теории оптимального распределения факторов производства, производственных и трансакционных издержек // Вестник Самарского государственного университета. 2013. № 7(108). С. 117-126.
5. Ю.Н. Черемных Микроэкономика. Продвинутый уровень: учебник. М.: Инфра-М, 2013. 844 с.
6. Грачева М.В., Фадеева Л.Н., Черемных Ю.Н. Моделирование экономических процессов: учебник. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 351 с.
7. Сараев А.Л. Уравнения динамики экономического развития предприятия, модернизирующего производственные технологии // Основы экономики, управления и права. 2014. № 3(15). С. 93-100.
8. Нижегородцев Р.М. Модели логистической динамики как инструмент экономического анализа и прогнозирования // Моделирование экономической динамики: риск, оптимизация, прогнозирование. М., 1997. С. 34-51.
References
1. Saraev A.L., Saraev L.A. Continual theory of industrial process and factor productivity of industrial enterprises. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2012, no. 7 (98), pp. 196-203. [in Russian]
2. Saraev A.L., Saraev L.A. To the theory of structural modernization of industrial enterprises. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2012, no. 10 (101), pp. 160-169. [in Russian]
3. Saraev A.L., Saraev L.A. To the estimate of profits and expenses of enterprises modernizing structure of production. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2013, no. 1 (102), pp. 186-196. [in Russian]
4. Mantulenko A.V., Saraev A.L., Saraev L.A. To the theory of optimal distribution of factors of production, operating and transaction expenses. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2013, no. 7(108), pp. 117-126. [in Russian]
5. Cheremnykh Yu.N. Microeconomics. Advanced level. Textbook. M., Infra-M, 2013, 844 p. [in Russian]
6. Gracheva M.V., Fadeeva L.N., Cheremnykh Yu.N. Modeling of economic processes. Textbook. M., Yuniti-Dana, 2005, 351 p. [in Russian]
7. Saraev A.L. Equations of dynamics of economic development of enterprises that modernize production technologies. Osnovy ekonomiki, upravleniia i prava [Foundations of Economics, Management and Law], 2014, no. 3 (15), pp. 93—100. [In Russian]
8. Nizhegorodtsev R.M. Models of logistic dynamics as an instrument of economic analysis and forecasting in Modelirovanie ekonomicheskoi dinamiki: risk, optimizatsiia, prognozirovanie [Modelling of economic dynamics: risk, optimization, forecasting]. M., 1997, pp. 34—51. [in Russian]
A.L. Saraev, L.A. Saraev*
SPECIFIC CHARACTER OF DYNAMICS OF PRODUCT RELEASE AND INDUSTRIAL FACTORS OF MODERNIZED ENTERPRISES
In the published article multi-factor mathematical model of logistic dynamics of economic development of modernized enterprise is suggested. Cases of single and periodic change of production technology on the enterprise are viewed.
Key words: enterprise, technology, factors of production, production function, logistic dynamics, resources.
* Saraev Alexander Leonidovich ([email protected]), Saraev Leonid Alexandrovich ([email protected]), the Dept. of Mathematics and Business-Informatics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
