Особенности аэродинамического воздействия сплошной фазы на капли в закрученном потоке Текст научной статьи по специальности «Физика»

ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ

УДК 532.516

В. В. Харьков, А. А. Овчинников

ОСОБЕННОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ СПЛОШНОЙ ФАЗЫ НА КАПЛИ В ЗАКРУЧЕННОМ ПОТОКЕ

Ключевые слова: вихревой аппарат, моделирование, сила, закрученное течение, капля жидкости.

В рамках данной работы выполнено изучение закономерностей движения дисперсной жидкой фазы в закрученном газовом потоке. Проведен анализ специфических активных сил, в частности, сил, вызванных значительным градиентом скорости газового потока и статического давления, влияющих на аэродинамику капель.

Keywords: vortex apparatus, simulation, force, swirling flow, drop.

The paper is concerned with the study of dispersed liquid phase motion mechanism in swirled gas flow. An analysis of specific active forces affecting the aerodynamics of drops carried out, particularly ones caused considerable gradients of gas flow velocity and static pressure.

При решении технических и прикладных задач часто требуется установить закономерности движения дисперсной фазы в газовых потоках, что является довольно сложной задачей в силу большого количества всевозможных факторов.

Движение одиночной капли в пространстве в общем случае определяется системой дифференциальных уравнений вида:

dV -тк 1- = lLFi,

(1)

где г - радиус-вектор траектории движения капли; 1 - время движения; V - вектор абсолютной скорости капли; тк - масса капли; £ р; - совокупность

/

внешних сил, действующих на каплю.

Среди внешних сил, действующих на каплю в закрученном потоке газа, выделяют силу аэродинамического сопротивления среды, силу инерции присоединенной массы (силу Тэйлора), силу Бассе-Буссинеска, силу Магнуса, силу тяжести, силу Архимеда, реактивную силу Мещерского, силы радиометрической природы, термофорез и фотофорез, световое давление, силы электростатической природы, силу воздействия турбулентных пульсаций сплошной фазы.

В рамках данного исследования рассмотрим некоторые специфические силы, действующие на частицу в турбулентном газовом потоке.

Наличие мощного центробежного силового поля приводит к возникновению центростремительной составляющей силы Архимеда, которая может быть определена из следующего выражения:

^ Рг FAr = тк— Рк

{

- V ф^ 3lz--— lr

(2)

где рг, рк - плотность газа и капли соответственно; ¡г - орт осевой координаты, направленной вдоль оси аппарата; ¡г - орт радиальной координаты; Vр

- тангенциальная составляющая скорости частицы (капли).

Если плотность частицы значительно превышает плотность несущей среды, то действием этой составляющей силы Архимеда по сравнению с центробежной силой можно пренебречь.

Центробежная сила и сила Кориолиса являются фиктивными и записаны в неявном виде в левой части уравнения движения (1) в отличие от совокупности активных сил, представленных явно в правой части уравнения. Математическая запись этих сил зависит от выбора системы координат. Если движение частицы рассматривается в подвижной системе координат, вращающейся вместе с газовым потоком, то в числе активных сил следует учитывать также и силу Кориолиса

Fк = 2 ю W - V тк

(3)

где ю - вектор угловой скорости вращения системы

координат; № - вектор абсолютной скорости среды.

В неподвижной цилиндрической системе координат жестко связанной с вихревым аппаратом центробежная сила и сила Кориолиса будут влиять на перемещение капли как в радиальном, так и в тангенциальном направлениях

F цб = тк—ir,

F к = - тк

-I а

(4)

где №7 - тангенциальная составляющая скорости газа; № р - тангенциальная составляющая скорости

газа; i

ф

орт тангенциальной координаты.

Причем их влияние в обоих направлениях следует рассматривать как решающее.

При движении газового потока в вихревых аппаратах возникает значительный градиент скорости и статического давления. Поэтому использованные уравнения движения материальной точки справедливо лишь для капель или частиц очень малого размера. В противном случае большие градиенты скорости и давления приводят к возникновению

дополнительных сил, аналогичных по своей природе силе Магнуса-Жуковского и выталкивающей силе Архимеда, действующих на частицу и изменяющих ее траекторию. Поэтому уравнения движения материальной точки должны быть откорректированы, например, путем введения дополнительных членов, учитывающих указанные силы в числе активных сил.

Исследование аэродинамики потока в вихревых аппаратах подтвердило, что для области течения, лежащей за завихрителем характерно наличие значительных радиальных и осевых градиентов скорости. Известно, что на частицы, находящиеся в сдвиговых течениях, т. е. течениях с градиентом скорости, действует сила в направлении, перпендикулярном линии тока этого течения. Это явление наблюдается, например, при течении Пуазейля и для частиц, находящихся в плоском или цилиндрическом ламинарном течении Куэтта. В работе [1] на основании решения полных уравнений Навье-Стокса для случая медленного течения вязкой несжимаемой жидкости, получена формула для расчета этой силы, впоследствии названной силой Сеффме-на

с функцией тока для потенциального вихря, вращающегося в направлении часовой стрелки циркуляции

Руу = с 1 §2 УкЛ/х/Уг , (5)

где С1 - коэффициент пропорциональности; 8к -

диаметр капли (частицы); ук = W - V - скорость

капли; х - градиент профиля скорости газового потока; уг - кинематический коэффициент вязкости газа.

Однако экспериментальное определение радиальной силы, возникающей в сдвиговом течении между концентрическими цилиндрами, дало величину в пять раз превышающую вычисленную по уравнению (5). Таким образом, вычисленные величины поперечной силы, действующей на тело, обтекаемое вязкой жидкостью при наличии градиента скорости в потоке, нельзя считать полностью установленным. Для газовых потоков с градиентом скорости, когда вязкостью среды можно пренебречь, к вычислению значения подъемной силы, действующей на сферическую каплю, можно подойти следующим образом. Воздействие потока с градиентом скорости можно представить как воздействие без градиентного потока, движущегося со скоростью Ук, на каплю, вращающуюся вокруг собственной оси с угловой скоростью

юк = Г / 2 ж г К2, (6)

где Г - циркуляция скорости для случая градиентного течения; Гк = 8к / 2 - радиус капли.

В этом случае решение может быть получено путем наложения двух потенциальных движений идеальной жидкости. Для цилиндра радиусом гк такой эффект получается сложением функции тока для обтекания однородным потоком

Г

Т= — 1ПГ. 2ж

(8)

Из решения уравнений (6) и (7) следует, что подъемная сила прямо пропорциональна скорости поступательного движения и величине циркуляции Г:

2ж

Р Уу = -| РГ к Э'П0 ^6 = Рг Ук Г .

(9)

^=-Ук|г - -Г-1 31ПФ

(7)

Этот результат известен как теорема Кутта-Жуковского и применим не только к круглому цилиндру, но и к цилиндрам любой формы, включая несимметричные тела [2].

Необходимость введения дополнительных членов в уравнении движения частицы, учитывающих неравномерность ее обтекания газовым потоком, подтверждается результатом работы [3], где дается сравнительный и количественный анализ сил аэродинамического сопротивления и сил, вызванных градиентом поля скорости при движении частицы в контактной ступени аппарата с осевым плосколопастным статическим завихрителем. Рассматривая частный случай обтекания невращающейся сферы потоком газа с постоянными градиентами компоненты скорости авторы показали, что при определенных условиях эти силы могут достигать больших значений и обязательно должны учитываться при расчете траекторий капель и твердых частиц. Ниже излагается подход автора, позволяющий получить наиболее общие выражения для сил, вызванных градиентами скоростного поля вихревого газового потока, в частности, с учетом вращения частицы вокруг собственной оси, и на основании этих выражений произвести уточнение математической модели движения капель жидкости в вихревом аппарате путем учета силы, вызванной градиентом скоростного поля газового потока в числе активных сил, действующих на каплю, т.е. в правой части дифференциального уравнения (1).

Для определения последней рассматривается частица или капля не как материальная точка с массой тк, а как сфера радиуса г к. По аналогии с

теорией крыла конечного размаха принимается гипотеза плоских сечений. Пренебрегая кривизной цилиндрической системы координат в малой окрестности центра частицы, разбивается сфера плоскостями в направлениях г , ф, I и рассматривается

каждый круговой элемент в отдельности. В силу обтекания элемента радиуса Гэ неравномерным потоком газа возникает поперечная сила, действующая на элемент, величина и направление которой определяется согласно формуле Жуковского:

^РУУ = Рг [У Г], (10)

—»•

где Г - вектор циркуляции скорости вокруг данного элемента; у - вектор относительной скорости данного элемента.

Просуммировав элементарные силы бр Уу

по всем элементам, получается сила рУу , вызванная градиентом поля скоростей.

Для определения относительной скорости каждого элемента и величины циркуляции на элементе функцию скорости газового потока W необходимо разложить в ряд Тэйлора в окрестности центра частицы. Принимая во внимание условие осевой симметрии течения газа, получается:

— — 51^, 5W , W = Wо | + |

о 5г 'о 51 о

I +

1

+ 2

5 г 2

51

5^ I 2 , 5^

I г2 + 5^1 12 + 'о г 512 'о 1

5г 51 'о

п

(11)

Абсолютная скорость кругового элемента с учетом вращения частицы вокруг собственной оси может быть найдена из выражения:

V=V;+[ г ], (12)

где » к - вектор скорости вращения частицы.

Тогда относительная скорость кругового элемента вычисляется по формуле:

У = W - V

(13)

Отсюда для компонент вектора циркуляции Г получаются следующие зависимости: 5д

Гг =Ц ГО г У бвг =\\—5^-бвг =

Г

2

= Ж г 2

2 ^ф |

- 2 Юк--— |о -

51

15^ ф 2 5г 51

| г +...

1 о

5уг 5у1 5г

Гф = ЦГ01 фуб5ф = ]б5ф =

5 ф 5ф

= ж г! I- 2 Юф+

ш,

51

•| | +...] 1 о 5г 1 о

(14)

1 5

ГI = Я ГО IУ ^ = Ц - 57 (г Уф)6 51

Согласно допущению о малости кривизны пространства в окрестности центра частицы можно записать:

• 1 5

51

Г1 = Ит^Я у (г Уф)бвг = Я-^т ^

2

= ж г!

( _ +5Wф | + 1 52Wф | 1 + Л -2» ~дТ~ |о + Т55Г |о1 +...

(15)

Подставляя полученные выражения для относительной скорости и величины циркуляции в формулу (9) для определения силы, действующей на данный элемент и, проводя интегрирование по всем элементам, получаются компоненты вектора силы, возникающей в результате обтекания частицы газовым потоком с большими градиентами скоростей:

РУг = ^"Ж

( 5Wr

3Жг3Рг^¡г |о -2Ю1фо- Vф0^

5 Wz

\ 51 'о 5г 'о '5Wt

|о -2Юф]((1о-VIо) +

г 2

г к

1о

5г

5 W,

| -2 ■о

«II

52W,

ф | + ] 5 W ф

|о +«г1

5I 1о

5г5I 'о

2

5I5r 1о

+... -

Р Уф = ж г3 Рг Ц5^ |о + 2 юг ^(ю

+ |о -2«Iо ^го) +

г! 1о

5 W

ч + 2 «т? !г +

5I 1о

(_5Ш

5г 1о 1 Юф

5 г 2 1о 52W ф

| + К W ф |

|о +»фJ-д¿дГ |о

5 W ф

5г0 \ 5I

| - 2 | п

52 Wr | +

|о +

52W ф

| _ |

'о Юф] 5^ 'о

(16)

Р VI =

4 ж з Г(5 Wr | 5 Wг ж г з рг \I-5F-|--

о 5г 'о

| - 2 I о

Юф I х

:((го - V,о)+|55тЕ1 |о + 2Юг]((фо - Vфо) +

'5 W ф

г 2

г к

1о

5Т |о + 2Юг 5г 'о

|- +

~Юг

52W ф

5г20

5^ф | 5I5г ' о

+... -

Индекс «0» указывает, что значения скоростей и их производных берутся в точке с координатами центра частицы.

Очевидно, что зависимости (15) включают в себя, как частный случай, поперечные силы, возникающие при обтекании вращающейся сферы газовым потоком (эффект Магнуса-Жуковского). Для получения соответствующих выражений достаточно лишь пренебречь градиентами скоростей.

Следует отметить также, что зависимости

для рУу , полученные в работе [3] при рассмотрении

частного случая обтекания невращающейся частицы потоком газа с постоянными градиентами скорости вытекают из (16), если в разложении (11) ограничиться членами первого порядка малости относительно радиуса частицы, ю = 0 и учитывать влияние лиши градиентов тангенциальной и осевой скорости в радиальном направлении.

Физическая природа силы, обусловленная градиентом статического давления, заключается в неравномерных распределениях давления по по-

+

+

+

+

3

в

в

+

5I в.

I

I

верхности частицы, а ее величина равна результирующей

р= рпбв , (17)

в

где П - вектор нормали поверхности частицы; в -поверхность капли или частицы.

По формуле Остроградского-Гаусса:

¿¿--I Pujr -IШ*1?',

и и

(18)

где и - объем частицы или капли.

Градиенты давления можно определить из уравнения Эйлера при обычном для закрученных потоков допущения о малости радиальной скорости и независимости осевой скорости от продольной координаты:

dp

~dr =рг

W ф

dp

ddz ="Рг9 •

(19)

Если предположить, что в центральной части поток вращается по закону твердого тела, а в периферийной наблюдается квазипотенциальное вращение, как следует по теории центробежной форсунки [4], то после подстановки выражений (19) в формулу (17) и выполнения рада преобразований удается записать:

- для центральной зоны

Рг

F w —— тк

Рж

- для периферийной зоны

Г Г W^ 9i' —fir

v /

(20)

Рг

F w ——тк

Рж

9 i' -

3 W| 1 . 2x . 1 - x ----—h-? + )i

4 r

x

3*1 2

3 1 - x2

1 + x

(21)

где х = г к/г .

Выражение (21) можно упростить и привести к виду (20). Для этого достаточно представить слагаемое, стоящее в круглых скобках в виде полиномов по степеням х и пренебречь величинами четвертого порядка малости. Нетрудно заметить, что переход от зависимостей (20) и (21) равнозначен утверждению о том, что градиент статического давления по радиусу аппарата в периферийной зоне вращения потока являются постоянным по объему частицы и равен значению в центре сферы.

Следует отметить, что при получении зависимостей (16), (20) и (21) распределения компонент скорости и давления выбирались равными их значениям на поверхности частицы, при этом пренебре-галось наличием зоны возмущенного течения вокруг последней.

Сложно дать аналитически оценку влияния каждой конкретной силы на движение частицы в отдельности, так как действие их взаимосвязано, неравнозначно по координатным направлениям и зависит от многих факторов [5]. Видно, что сила, вызванная градиентом скорости, сравнима по величине с силой сопротивления в области неустановившегося движения частицы, например, на начальном участке траектории. В то же время ее влияние в тангенциальном и осевом направлениях на порядок ниже. Таким образом, учет данной силы будет особенно важен при расчетах движения капель в тех зонах вихревых аппаратов, где перемещение частиц в радиальном направлении является определяющим. Влияние силы, вызванной градиентом давления, также в максимальной степени сказывается по направлению радиуса аппарата, однако в области установившегося движения частицы.

Анализируя силы, действующие на капли при их движении, в закрученном газовом потоке, следует также иметь в виду, что с увеличением нагрузки аппарата по жидкой фазе интенсивность крутки газового потока падает [6], что, в свою очередь, приводит к резкому уменьшению градиентов полей скорости и статического давления и влияние последних на скоростной режим и траектории движения капель уменьшается.

Литература

1. П.Г. Сэффмен, Механика, 2, 624-632 (1966).

2. Дж. Дейли, Д. Харлеман, Механика жидкости, Энергия, Москва, 1971, 480 с.

3. Е.С. Вязовкин, Н.А. Николаев, Изв. вуз. Хим. и хим. технология, 15, 6, 936-940 (1972).

4. Г.Ф. Кнорре, К.М. Арефьев, А.Г. Блох, Теория топочных процессов. Энергия, Москва-Ленинград, 1966, 491 с.

5. В.В. Харьков, А.Н. Николаев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 14, 445-448 (2014).

6. А.А. Овчинников, В.В. Харьков, Вестник Казанского технологического университета, 17, 23, 322-325 (2014).

© В. В. Харьков - ассистент кафедры оборудования пищевых производств КНИТУ, v.v.kharkov@gmail.com; А. А. Овчинников - старший лаборант той же кафедры.

© V. V. Kharkov - Assistant Professor, Department of Food Production Equipment, Kazan National Research Technological University, v.v.kharkov@gmail.com; A. A. Ovchinnikov - Laboratory Technician from the same Department.