CC BY
30
Розглянуто питання побудови адек-ватних математичних моделей жорстких роторiв газотранспортних i газотурбтних установок з активними радiальними i осьо-вими магттними тдшипниками при рiзних силових характеристиках. Запропоноват аналтичт моделi можуть бути покладе-rn в основу iмiтацiйних моделей, призначе-них для проведення розрахунтв на динамiч-ну стттсть при рiзних режимах роботи роторних машин
Ключовi слова: математична модель,
динамша ротора, АМП
□-□
Рассмотрены вопросы построения адекватных математических моделей жестких роторов газотранспортных и газотурбинных установок с активными радиальными и осевыми магнитными подшипниками при различных силовых характеристиках. Предложенные аналитические модели могут быть положены в основу имитационных моделей, предназначенных для проведения расчетов на динамическую устойчивость при различных режимах работы роторных машин
Ключевые слова: математическая
модель, динамика ротора, АМП
□-□
Problems of adequate mathematical models construction for rigid rotors of gas-transport and gas-turbines plants with the active radial and axial magnetic bearings with different power characteristics are considered. The offered analytical models can be put in the basis of simulations models which are intended for calculations of the dynamic stability for the different operations modes of rotors machines
Key words: mathematical model, rotor dynamics, AMB -□ □-
УДК 534-16:621.822
ОСОБЕННОСТИ АДЕКВАТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ РОТОРОВ В АКТИВНЫХ МАГНИТНЫХ ПОДШИПНИКАХ ГАЗОТРАНСПОРТНЫХ И ГАЗОТУРБИННЫХ УСТАНОВОК
Г.Ю. Марты ненко
Кандидат технических наук, доцент Кафедра динамики и прочности машин Национальный технический университет «Харьковский
политехнический институт» ул. Фрунзе, 21, г. Харьков, Украина, 61002 Контактный тел.: 8 (057) 707-68-79 Е-mail: gmartynenko@kpi.kharkov.ua
1. Введение (Украина) и газотурбинных электростанциях, производимых ОАО «Энергомашкорпорация» (Россия).
В настоящее время активные магнитные подшип- Такое стремительное распространение АМП по-
ники (АМП) находят свое применение в роторных лучили ввиду их явных преимуществ по сравнению
машинах различного предназначения, в том числе с традиционными подшипниками - скольжения, ка-
компрессорах магистральных газопроводов и нефте- чения и газодинамическими, которые применяются в
добывающих станций, генераторах, гидравлических выше указанных роторных машинах. Это отсутствие
турбинах, энергоаккумулирующих установках и др. смазочных маслосистем, снижение потерь на трение,
Так, например, один из ведущих мировых произво- сравнительно большой зазор и т.д.
дителей АМП фирма S2M [1] выпускает магнитные Как известно, принцип действия АМП заключает-
подшипники кроме указанных машин также для де- ся в том, что ротор удерживается в определенной пози-
тандер-генераторных агрегатов, интегрированных ции в радиальном или осевом направлениях магнит-
электроприводных компрессоров, турбодетандеров и ными полями, создающимися электромагнитами [2-5].
др. Такие опоры устанавливаются, например, в центро- Эти электромагниты располагаются на статоре, а токи,
бежных компрессорах газоперекачивающих агрега- которые подаются на их обмотки, изменяются в зави-
тов, изготавливаемых на «Сумское НПО им. Фрунзе» симости от положения ротора в пространстве согласно
заданному закону управления. Таким образом, в систему управления (СУ), кроме указанных элементов входят датчики положения (и, возможно, скорости), которые вырабатывают сигналы рассогласования и через усилители управляют токами в электромагнитах, чтобы вернуть ротор в номинальное (центральное) положение. Законы управления, реализуемые системой регулирования, определяют вид и параметры силовых характеристик АМП, которые для большинства случаев являются нелинейными симметричными и жесткими. Варианты радиального и осевого АМП показаны на рис. 1а и 1б соответственно. Существуют также множество других конструктивных вариантов этих АМП, которые в основном сводятся к увеличению количества магнитопроводов, полюсов, обмоток управления и подмагничивания, но принцип действия всех этих вариантов идентичен представленным на рис. 1.
а)
Рис. 1. Активные магнитные подшипники: а) радиальный, б) осевой
гие характерные для такой системы нелинейности. Последнее можно отнести к существенным недостаткам указанных моделей.
При использовании классического подхода к описанию колебаний механических систем можно также пренебречь в математической модели электромагнитными уравнениями, а действия электромагнитов на ротор заменить силами с нелинейными характеристиками, рассчитанными с учетом закона управления, но представленными в зависимости только от механических обобщенных координат [6]. В этом случае неадекватность модели будет обусловлена неучетом зависимости магнитных сил от токов в цепях, а также особенностей электромагнитных процессов, например постоянной времени изменения токов в обмотках электромагнитов из-за большой индуктивности.
Целью данной работы является выявление особенностей математического описания динамического поведения жестких роторов газотранспортных и газотур-| бинных установок с АМП,
имеющими различные силовые характеристики, которые обусловлены применяемыми законами управления. Предполагается сохранением в уравнениях движения нелинейных слагаемых порядков согласованных с порядком слагаемых в функциях, описывающих восстанавливающие магнитные силы, обеспечить надежную достоверность аналитической модели.
б)
2. Постановка задачи
Для выбора наиболее подходящего варианта АМП для той или иной роторной машины необходимо использование математических моделей наиболее близко к реальности передающих взаимосвязь всех процессов, происходящих в такой сложной электро-магнито-механической системе.
Большинство математических моделей жестких роторов в АМП, известных в литературе, сводится к линеаризации дифференциальных уравнений движения и уравнений, описывающих электромагнитные процессы в системе, которые записываются на основании второго закона Кирхгофа [2-4]. Нелинейные модели практически не используются ввиду основного акцента при исследованиях на выбор и совершенствование систем и алгоритмов управления. В моделях также отсутствует взаимосвязь между радиальными и осевыми смещениями. При этом с одной стороны учитываются особенности действия управляемых магнитных (пондеромоторных) сил, создаваемых электромагнитами и действующими на объект управления (ротор), а с другой стороны - линеаризованные уравнения не позволяют адекватно передать процессы при нахождении системы в предельных режимах (насыщение магнитной цепи, нулевой ток или нулевой зазор), а также не дают возможности отобразить дру-
3. Конструктивные варианты АМП и их силовые характеристики
На рис. 1б представлен классический вариант осевого упорного АМП. В общем случае суммарная сила, создаваемая им и действующая на диск, расположенный на роторе, в зависимости от токов имеет вид [3]:
F =
ЦсУОь + 04 ^Рь -04 4(8а - г)2
4(8а + г)2
(1)
где i - ток управления, 1ь - ток смещения, 8а - номинальный зазор, Sp - площадь и внешнего и внутреннего полюсов, п - количество витков.
Зачастую данная сила при проведении расчетных исследований линеаризуется [3], как показано на рис. 2. Это вносит погрешность при смещении ротора близком к номинальному зазору, либо при нулевом токе.
Для обеспечения устойчивости центрального положения ротора в АМП и придания подвесу необходимых динамических параметров необходимо, чтобы силы изменялись в соответствии с текущим отклонением ротора от данного положения. За это отвечает система управления (СУ), реализующая некоторый алгоритм управления, т.е. изменения тока в зависимости от отклонения.
На рис. 4 показаны различные конструктивные варианты осевых АМП [3], позволяющие либо сконцентрировать магнитный поток, либо усилить его за счет дополнительных обмоток, либо развязать магнитные контура, что повышает эффективность применения АМП в различных роторных машинах. Силовые характеристики для всех перечисленных АМП будут зависеть от применяемых законов управления, но все они будут жесткими симметричными и могут аппроксимироваться полиномами нечетных степеней (см. рис. 3).
Рис. 2. Зависимость магнитной силы в осевом АМП от тока
[3]
Один из вариантов закона управления, а также силовые характеристики (зависимости сил от смещения с учетов закона управления при различных значениях питающего напряжения) осевого АМП приведены на рис. 3 [6]. Токи в обеих обмотках при центральном положении ротора являются токами смещения. Они нужны для того, чтобы создать в подвесе магнитное смещение и тем самым силовой натяг [4], т.е. обеспечить требуемую жесткость АМП. Управление силой происходит за счет увеличения натяга в одном направлении и уменьшения в противоположном.
б)
Рис. 3. Результаты анализа осевого АМП: а) распределение силовых линий магнитного поля (z = 0 и z ), б) закон управления и силовая характеристика
Рис. 4. Конструктивные варианты осевых АМП [3]
При использовании классического радиального АМП (рис. 1а) с восьмью наконечниками, катушки которых попарным соединением создают четырехполюсник магнитная сила, создаваемая каждым полюсом, упрощенно может быть рассчитана по формулам, описывающим плоско параллельный подвес [4]. Однако в действительности зависимость суммарной магнитной силы значительно сложнее [9]. Как и для осевого АМП силовая характеристика будет зависеть от применяемого закона управления, который в этом случае должен учитывать смещение ротора в двух направлениях, а возможно, и скорости этого смещения, и моментальные значения токов в цепях электромагнитов.
На рис. 5 показаны картины эквипотенциальных линий магнитного поля для двух положений ротора, а также силовая характеристика (зависимость модуля равнодействующей магнитных сил от смещения центра опорного участка ротора). Первое из рассмотренных положений ротора - центральное. Анализ рис. 5а показывает, что распределение силовых линий в этом случае симметрично относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей, силы притяжения, которые создаются каждым из четырех электромагнитов, равны по модулю, но действуют в разных направлениях и таким образом их равнодействующая равна 0. Эти силы и создают предварительный натяг, а от их величины зависит жесткость АМП. Во втором положении ротор является смещенным. Распределение силовых линий теряет симметричность, равнодействующая восстанавливающей силы не равна 0, а ее направление противоположно направлению вектора смещения.
а)
б)
Рис. 5. Результаты анализа радиального АМП: а) распределение силовых линий магнитного поля ( х,у = 0 и х,у ~ 8Г /cos45°), б) силовая характеристика
Некоторые из других конструктивных вариантов радиальных АМП представлены на рис. 6. В них рассматриваются возможности разного расположения катушек, что позволяет при том же количестве полюсных наконечников реализовать восемь, а не четыре полюса как в предыдущем случае, или расположить обмотку на участки ярма статора между двумя полюсами, что позволяет сделать АМП более компактным при сохранении тех же характеристик. Другой вариант - разрыв магнитопровода статора, что дает возможность практически избавиться от потоков рассеяния (см. рис. 5а).
Рис. 6. Конструктивные варианты радиальных АМП [3]
Таким образом, практически для всех конструктивных вариантов (как осевых, так и радиальных АМП, при различных законах управления производимого как по току, так и по напряжению, с использованием как аналоговых, так и цифровых СУ) силовые характеристики носят нелинейный характер. Это, несомненно, должно быть учтено при построении математических моделей во избежание проблем связанных с линеаризацией.
4. Описание динамики жесткого ротора в АМП как механической системы
Рассмотрим классический вариант описания колебательного движения вращающегося с постоянной угловой скоростью ротора в упруго-демпферных опорах, основанный на применении уравнений Лагранжа второго рода относительно независимых обобщенных механических координат [7]:
d ЭТ ЭТ ЭР ЭЭД ^ , „ ----+—+-= <2г (г = 1,...,М) ,
® д<1 г ЭЧг ЭЧг
(1)
где Т - кинетическая энергия, П - потенциальная энергия, qr - обобщенные механические координаты, - непотенциальные обобщенные силы, - дис-сипативная функция, М - число обобщенных механических координат.
Рассмотрим форму представления математической модели в этом случае.
Вывод аналитических выражений выполним, например, для ротора центробежного компрессора газоперекачивающего агрегата в полном активном магнитном подвесе по всем пяти степеням свободы ротора как твердого тела. Схема данной системы представлена на рис. 7.
Рассмотрим ротор с дисками общей массой т и центром инерции (масс) в точке С, который вращается с постоянной угловой скоростью ю . Пусть точка О лежит на оси жесткости ротора в плоскости, содержащей точку С, и перпендикулярной этой оси. Введем правую прямоугольную систему координат O'xyz - неподвижная система, ось O*z которой проходит через центры опор ротора (радиальных АМП). Пусть главные центральные моменты инерции равны ^ = ]2 (экваториальные) и (полярный), а динамическая неуравновешенность определяется параметрами - линейными ех = е4, еу = е2
(статическая) и угловыми уx = у4, уy = у2 (моментная ни, в которые не входят силы вызванные неуравно-
неуравновешенность).
Рис. 7. Схема ротора центробежного компрессора в АМП
вешенностью; О - постоянные силы и моменты;
-ЭР/^Г - потенциальные силы, зависящие только от обобщенных механических координат - перемещений и углов поворота, к которым могут быть приведены силы в АМП с учетом принятого закона управления [6].
При сохранении в уравнениях членов высших порядков предположим, что все обобщенные координаты -перемещения и углы поворота ротора, параметры неуравновешенности, а также зазоры в АМП имеют одинаковый порядок малости, что и учтем при определении порядка малости членов уравнений и их исключении из рассмотрения.
Члены третьего порядка ввиду громоздкости записей здесь не приводятся, а члены второго порядка имеют вид [8]:
- f"(x0,.„,ey,elv„,у2) = 0, f''(x0I...,eyIe1I...Iу2) = О,
При записи уравнений движения ротора в АМП для достижения адекватности математической модели необходимо сохранение нелинейных членов относительно обобщенных координат и их производных порядков, согласованных со степенями полиномов аппроксимирующих силовые характеристики рассматривае
мых АМП с учетом законов управления (см. п.3). f„(x ..,e .,у2) = m(Гex-rn2ex + 2raey 1 (e1sinrat + e2cosrat)-Тогда, используя выражения кинетической и 0 у VL yj
потенциальной энергий, а также диссипативную -|ey -ra2ey - 2raex ](e1cos rat - e2sin rat)), (3)
функцию в виде однородной квадратичной формы
обобщенных скоростей, и ограничившись членами fex(xo,...,ey,ei,...,Т2) = mz0(e1sinrat + e2cosrat),
пеPвого, второго и третьего порядков относительно f-(x0,...,ey,e1,...,у2) = mz0(-e1cosrat + e2sinrat). обобщенных координат, их производных и пара- y метров неуравновешенности, легко показать, что нелинейные уравнения движения жесткого ротора в магнитных подшипниках имеют вид [8]:
mx0 + bXox 0 + f;-(x0,.A) + №о,..,ёу) = -др + QXo + HXo(t) + II Xo(t),
my'o + ЬуоУ o + f2"(Xo,...,fjy) + Г(Хо,.А) = -др + Qyo + H yo(t) + Hyo(t)-
mzio + bZoZo + f3"(Xo,...,f)y) + ff(x0 ,...,Öy> = -дР + QZo + Hxo (t),
oz0
Jeöx+Jp®e y+b0i ё x+f;(xo,...,öy)+ff(xo ,...,ёу)=-JP+q 0i+m0i (t)+im 0i (t),
Je.y - J> x+b.e y+f5"(xo,...,e»v)+f^^xo.....e>T>=+q . + m. (t)+im . (t),
Применимость такого математического описания динамики жесткого ротора в магнитных подшипниках подтверждена сопоставлением численных результатов с экспериментальными данными [9]. Однако там же показано, что применение в модели силовых характеристик в зависимости только от перемещений не передает всех электромеханических процессов и их связи.
Эё
5. Описание динамики жесткого
ротора в АМП как электро-магнито-механической системы
приН (t) = mrn2(e4cosrnt-e2sinrat),Me (t) = (Je-Jp)m2(y4cosrnt-y2sinrnt), (2)
Hy (t) = mrn2(e4smrnt + e2cosrat),Me (t) = (Je -Jp)m2(y4sinrnt + y2cosrnt),
где q = (х0,у0^0,8х,8у) - вектор обобщенных координат; 1 = 1..5) - функции второй и третьей степени относительно обобщенных координат и их производных, отражающие соответственно линейные, нелинейные силы и моменты, обусловленные силами инерции и потенциального поля; Н(^), М() - внешние возмущающие силы и моменты, зависящие от време-
Для описания взаимосвязи между механическими и электрическими обобщенными координатами к системе уравнений (2) должна быть добавлена вторая группа уравнений, параметры которых будут зависеть от особенностей применяемых в системе АМП [10, 11].
В этом случае «ротор в АМП» как электромеханическая система описывается уравнениями Ла-гранжа-Максвелла, имеющими структуру уравнений механики [12]:
ЭТ Э(Т + W) + d(P + V) +ЭЭД _ Q dt dqr Э qr dqr dqr г
d dW ЭФ dV ^ + — + -—_ E,„
(r _ 1,...,M)
,(4)
dt dik dik ЭХк
(k _ 1,...,N)
где Ш - коэнергия магнитного поля [4], V - энергия электрического поля, Ф - электрическая дис-сипативная функция, Ек - алгебраическая сумма сторонних электродвижущих сил, ^ - контурные токи, хк - заряды конденсаторов, N - число замкнутых неразветвленных контуров.
1 N
1Е Rksikis,
2 k,s=1
(5)
где Яь - активные сопротивления электрических цепей катушек АМП.
В случае, когда токи проводимости замкнуты и в электрических ветвях отсутствуют конденсаторы, электромеханические системы, кроме уравнений Ла-гранжа-Максвелла (4), могут описываться уравнениями, аналогичными уравнениям Рауса в механике [12]:
d ЭТ ЭТ ЭР ЭЭД дШ „ , , ----+-+-=--+ Qт (г = 1,...,М)
dt Э<1 г Эяг Эяг Эдг Эяг
9W
(6)
^k-+yRCt —=E
dt ¿J CkS
(k = 1,...,N)
где W - энергия магнитного поля [4], - пото-косцепления.
В этом случае в правые части системы уравнений (2) должны быть добавлены члены Рч = -дШ/Эдг, которые представляют собой электромагнитные реакции подвеса, зависящие не только от обобщенных механических координат - перемещений и углов поворота, но и от обобщенных электрических координат - пото-косцеплений или токов, а слагаемые -ЭP/Эqr должны описывать все потенциальные силы в системе кроме реакций подвеса, если таковые имеются.
Для нахождения магнитных сил как через выражение для магнитной энергии (см. (4)), так и коэнергии (см. (6)), могут быть использованы эквивалентные схемы замещения электромагнитных цепей АМП, позволяющие определить магнитные потоки в участках этих цепей [9]. Расчет магнитных цепей АМП может быть выполнен на основе закона подобного второму закону Кирхгофа для электрических цепей с использованием схемы замещения. Применяя метод контурных потоков (аналог метода контурных токов), можно прийти к системе алгебраических уравнений относительно контурных потоков, через которые легко могут быть определены и потоки во всех ветвях. Тогда к системе дифференциальных уравнений (4) или (6) добавится эта система алгебраических уравнений.
Такой подход позволяет учесть кроме нелинейных эффектов и силы сопротивления, и запаздывание в данной электромеханической системе.
6. Выводы
Предложенные математические модели могут быть использованы в имитационных вычислительных моделях для численного изучения поведения жестких
роторов различных машин газотранспортных и газотурбинных установок, работающих как в докритиче-ской области, так и в закритической, при различных эксплуатационных режимах, а также для выбора параметров АМП, систем и алгоритмов управления, программ разгона ротора до рабочих оборотов вращения и его остановки.
Литература
1. Официальный сайт фирмы Societe de Mecanique Magneti-
que S2M (Франция): http://www.s2m.fr.
2. G. Schweitzer, H. Bleuler and A. Traxler Active magnetic
bearings. -Zürich: ETH, 1994. -244 p.
3. Maslen E.H. Magnetic bearings. University of Virginia Depa-
rtment of Mechanical, Aerospace, and Nuclear Engineering Charlottesville, Virginia, 2000. -229 p.
4. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: Те-
ория, расчет, применение. -СПб.: Политехника, 2003. -206 с.
5. Мартыненко Г.Ю. Магнитные подшипники как упруго-
демпферные опоры роторов с управляемой жесткостью // Вюник НТУ «ХП1». -Харгав: НТУ «ХП1», 2008. -№47. -С. 111-124.
6. Мартыненко Г.Ю. Определение силовых и жесткостных
характеристик осевого активного магнитного подшипника при заданном законе управления // Вюник НТУ «ХП1». -Харгав: НТУ «ХП1», 2008. -№36. -С. 133-141.
7. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел. -М.:
«Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1976. -432 с.
8. Мартыненко Г.Ю. Математическое описание динамиче-
ского поведения ротора в магнитных подшипниках в зависимости от принятых упрощений (Часть 1. Жесткий ротор) // Вюник НТУ «ХП1». -Харгав: НТУ «ХП1», 2009.
9. Мартиненко Г. Вибiр способу математичного опису дина-
мши ротора в комбшованому магштному пiдвiсi на тд-сташ експериментальних дослщжень // Дев'ятий мiж-народний симпозiум украшських iнженерiв-механикiв у Львова Пращ. -Львiв: Кiнпатрi Лтд., 2009. -С. 52-53.
10. Мартыненко Г.Ю. Уточнение математической модели ротора на ЭМП за счет определения магнитной проводимости зазоров под полюсами с учетом взаимовлияния смещений в радиальном и осевом направлениях // Вюник НТУ «ХП1». -Харгав: НТУ «ХП1», 2006. -№32. -С. 179-192.
11. Мартыненко Г.Ю. Построение математической модели полного электромагнитного подвеса ротора с использованием взаимосвязанных магнитомеханических уравнений Рауса // Вюник НТУ «ХП1». -Харгав: НТУ «ХП1», 2007. - №22. -С. 107-126.
12. Ходжаев К.Ш. Колебания нелинейных механических систем // Вибрации в технике. -М.: Машиностроение, 1979. -Т.2.-С. 331-347.
k
s=1
