CC BY
109
Основы решения задач с параметрами для подготовки абитуриентов к ЕГЭ по математике
Борискина Ирина Петровна доцент, к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
им. Н. П. Огарева ул. Большевистская, 68, г. Саранск, 430005, +7(8342)270256 irinaboriskina@mail. ru
Нуштаева Анастасия Владимировна к.т.н., доцент кафедры информатики и автоматизации Московский технологический институт, РФ, г. Москва Москва, Ленинский просп., 38А anastesi@yandex.ru
Макарова Наталья Владимировна студентка направления «Информатика и вычислительная техника» Института электроники и светотехники Национальный исследовательский Мордовский государственный университет имени
Н.П. Огарёва
ул. Б.Хмельницкого, 39, г. Саранск, 430005, (8342)478691 nat makarova@list.ru
Табачкова Марина Юрьевна доцент, к.пед.н., доцент кафедры математического анализа Национальный исследовательский Мордовский государственный университет
им. Н. П. Огарева ул. Большевистская, 68, г. Саранск, 430005, +7(8342)270256 tabachkova-marina@mail.ru
Аннотация
Статья посвящена исследованию методов решения задач с параметрами. Рассмотрены и проанализированы основные моменты решения уравнений с параметрами. Результаты исследования могут быть использованы для подготовки учащихся 10-11 классов общеобразовательных средних школ, а также выпускников техникумов к ЕГЭ по математике. Помимо представленных решений с подробным описанием и различными подходами, описываются также возможности овладения подобными навыками с помощью современных информационных технологий.
The article is devoted to the study of methods for solving problems with parameters. The basic moments of solving equations with parameters are considered and analyzed. The results of the study can be used to prepare students of 10-11 grades of secondary schools, as well as graduates of technical schools for the exam in mathematics. In addition to the presented solutions with a detailed description and different approaches, the possibilities of mastering such skills with the help of modern information technologies are also described.
Ключевые слова
Параметр, функция, уравнение, интеллектуальная система Math-Bridge,
математический редактор формул
Parameter, function, equation, Math-Bridge intelligent system, mathematical formula editor
Введение
Задачи с параметрами, давно вошедшие в практику вступительных испытаний в вузы и ЕГЭ по математике, принадлежат к числу задач, наиболее трудных для абитуриентов, как в логическом, так и техническом плане. В этих задачах выбор метода, процесс решения, запись ответа предполагают определенный уровень знаний школьника, позволяющий анализировать, сравнивать и обобщать полученные результаты.
Рассмотрены и проанализированы основные виды уравнений с параметрами. К ним относятся: линейные и квадратные уравнения, дробно-рациональные уравнения с параметром, сводящиеся к линейным, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения с параметрами.
Исследуются методы решения данных уравнений. А именно: аналитический метод, функциональный подход, графические методы для координатной плоскости (Х; У) и координатной плоскости (Х; А).
Различные подходы к решению уравнений с параметрами
Чтобы определить алгоритм решения задачи с параметром, необходимо задать себе простой вопрос: как бы решалась задача, если бы вместо параметра стояло конкретное число. При этом не следует забывать, что параметр, в действительности являясь числом, может принимать любые значения. Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра. При разных значениях параметра приходится использовать различные методы, применяемые при решении уравнений и неравенств с постоянными коэффициентами. Поэтому основной принцип аналитического решения задач с параметрами заключается в разбиении области изменения параметра на такие участки, что на каждом из них получается уравнение или неравенство, которое можно решить одним и тем же методом. На вступительных экзаменах и ЕГЭ по математике чаще всего встречаются два типа задач с параметрами:
1) для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений уравнения или неравенства;
2) найти все значения параметра, при каждом из которых выполняются заданные условия.
Ответы в задачах этих двух типов различаются по существу: в ответах к задачам первого типа перечисляются все возможные значения параметра, для каждого из которых записываются полученные решения; в ответах к задачам второго типа перечисляются все значения параметра, для которых выполнены условия задачи.
Во многих задачах требуется определить значения параметров, при которых заданная функция удовлетворяет определенным условиям. Это задачи с параметрами, в которых ставятся вопросы, касающиеся областей определения и значений функций, промежутков возрастания и убывания, точек максимума (минимума), наибольших и наименьших значений. При решении задач такого типа целесообразно исследовать функцию, используя ее производную. Подобные задания были представлены в блоке «С» вариантов ЕГЭ по математике. Предложенные задачи классифицированы в зависимости от того, какое свойство функции является основным в решении [1].
При изменении параметра меняются функции, входящие в уравнение или неравенство, а в соответствии с этим меняются и различные характеристики этих функций, влияющие на множество решений. Удобным средством для изучения таких изменений, облегчающим анализ и решение задачи, являются те или иные графические интерпретации. Можно выделить два основных приема, используемых в задачах с параметрами:
1) построение на плоскости (Х; У) семейства кривых, зависящих от параметра
а;
2) построение графического образа задачи на плоскости «параметр-неизвестная», например, на плоскости (Х; А).
Первый подход часто оказывается удобным в задачах с двумя неизвестными х и у и одним параметром. Второй обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь неизвестная х и параметр.
Пример 1. Найти все значения параметра Ь, при которых уравнение
4sin x — 7 = b(l + ctg2 x) имеет хотя бы одно решение.
Аналитическое решение:
При sinX Ф 0, т.е. X Ф ЯП, n е Z, данное уравнение равносильно
уравнению: 4 sin3 x - 7 sin2 x = b.
Пусть sin x = p ^ -1 < p < 1 и p Ф 0.
Тогда 4p - 7p = b . Построим схематично график функции:
y(p) = 4p3 - 7p2при p í[-1;0)^(0;1];
У(p) = 12p2-14p;
y(p) = 0 O 12p2 -14p = 0 ; или 2p(6p - 7) = 0 ; откуда ^ = 0 ; p2 = 7.
6
И Pl и p2 £ [-l;.0)u(0;l] (рис. 1). У(Р) / + - \
Рис.1. Интервалы монотонности и экстремума функции у(р)
Исследуем функцию у(р) в граничных точках области определения у( р) = -1; у(1) = -3.
При р ^ 0; у(р) ^ 0.
Из рисунка 2 видно, что график функции у( р) пересекается с семейством прямых у = Ь, хотя бы в одной точке, при Ь е [— 1; 0).
_а_2_
_х_4_ \
/ /
7 Г
/ I 1— 10
-12 ¥(Р)
Рис. 2 График функции
у(р) = 4р3 - 7р2
Пример №2
При каких значениях параметра р уравнение 1о§3 (23 - |х2 - 2х - 3) =
имеет 3 различных корня.
Решение:
1) Аналитическое.
2х - 3 )= 1о§ [ 3 + 1о^ (69 - 3р)
ОДЗ: I23-|х2 -2х-3 > 0 ^
х2 - 2х - 3 < 23
[3р < 69 х2 - 2х - 26 < 0 ^ х2 - 2х + 20 > 0 ^ р < 23
х е (1 - д/27; 1 + 727); р < 23. В области допустимых значений функции данное уравнение равносильно:
[69 - 3р > 0
- 23 < х2 - 2х - 3 < 23 р < 23
23-1 х2 -х2 - 3 = 69 Ър ^ \х2 - 2х - 3 = P ^
| х2 - 2 х - 3 = р [х2 - 2х - 3 > 0 \х2 - 2х - 3 = -р I х2 - 2 х - 3 < 0
Для того чтобы исходное уравнение имело три решения, уравнение первой системы должно иметь два решения, а уравнение второй системы - одно решение, или наоборот. Значит в одной из систем дискриминант больше нуля, а в другой дискриминант равен нулю.
Д = 4 - 4(-3 - р) > 0 I р + 4 > 0
1 ^ р = 4.
Д = 4 - 4(-3 + р) = 0 [ р = 4
Д = р + 4 = 0
Д = р - 4 = 0
^ 0
2) Графическое
Построим график функции (рис. 3) у (х) = |х2 - 2х - 3| и семейство прямых
у2 (х) = р : х2 - 2х - 3 = 0 ^ Х1 =-1; Х2 = 3; . =+ 2 = 1; ^(1) = 1 - 2 - 3 = -4
2
14
12 У
\ 10
\ д
\ 6
\ _4_
0 \У *
Рис. 3. График функции (рис. 3)
у (х) = х2 - 2х - 33
Практическая отработка получаемых знаний и навыков
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.
По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2-3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным [2].
Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы большие усилия со стороны педагогов по созданию подобных заданий и контролю за их выполнением, что приводит к введению дополнительных курсов в школе, дополнительным материальным затратам. Успешному изучению методов решения задач с параметрами при достаточно небольших затратах времени со стороны педагога могут помочь современные информационные технологии, которые в настоящее время
так привлекают школьников. Обучение при их использовании становится более увлекательным, живым, востребованным [3].
В частности, в подготовке к ЕГЭ могут помочь специализированные интеллектуальные программные комплексы, которые позволят облегчить работу педагога, поскольку обладают способностью генерировать различные задания на основе базовых, а также обеспечат не только контроль за выполнением заданий, но и своевременную корректировку и подсказку на определенном этапе ее решения. В качестве системы для отработки навыков решения задач с параметрами и закрепления материала можно использовать интеллектуальную систему Math-Bridge, являющуюся узкоспециализированной интеллектуальной средой разработки учебных объектов для математических и инженерных дисциплин, разработанной Немецким исследовательским центром по искусственному интеллекту (Deutsches Forschungszentrum für Künstliche Intelligenz-DFKI). Интеллектуальный редактор учебных объектов позволяет создавать объекты различной конфигурации в зависимости от их целей и назначения, которые способствуют отработке полученных теоретических знаний на практике. Возможности редактора математических формул очень широки: предусмотрена вставка специальных символов (букв греческого алфавита, знаков принадлежности множеству и др.), кроме того существуют шаблоны, которые позволяют с легкостью составлять такие элементы как обыкновенные дроби, матрицы, системы уравнений и другие [4-5].
Упражнение, позволяющее отработать навык решения параметрических уравнений, должно содержать как минимум три типа компонентов: в первом будет содержаться описание задачи, второй объект будет отображать реакцию системы при правильном ответе, третий - сообщит студенту о том, что его решение было неверным. Соединяя между собой эти объекты, мы можем сделать содержимое упражнения динамическим и адаптивным. В результате формируется ориентированный граф, отображающий структуру рассматриваемого упражнения (рис. 4).
Здесь блоки Task содержат постановку задачи. Блоки Interaction представляют собой компоненты для взаимодействия с обучающимся (ввод ответа, выбор одного ответа из нескольких). Блоки Correct и Wrong содержат в себе реакцию системы на ответ обучающегося [6]. В блоках Hint находятся подсказки - необходимый для выполнения конкретного задания теоретический материал. Как видно из рисунка, если обучающийся вводит верный ответ, система оповещает его об этом и происходит переход к следующему блоку с заданием. В случае неверного ответа, система предлагает повторить некоторый теоретический материал и попробовать ответить еще
Рис. 4. Ориентированный граф
Интерфейс для обучающегося, начинающего выполнение задачи, выглядит следующим образом (рис. 5)
Рис. 5. Рабочее окно системы Math-Bridge с условием задачи
В случае неверного ответа, предлагается помощь в виде одного из способов решения параметрических задач на определенном шаге. Она появляется в том же окне, что позволяет обучающемуся не тратить время на поиск необходимых теоретических сведений, а быстро освежить в памяти те или иные моменты и продолжить выполнение упражнения (рис. 6).
Рис. 6. Рабочее окно системы Math-Bridge с неправильным ответом и
подсказкой
Таких подсказок может быть несколько, так же, как и задач, разнообразие которых обеспечит сама система. Когда обучающийся ответит верно, система оповещает его об этом следующим образом (рис. 7), после чего система предложит следующее задание.
Область допустимых значений:
xe(l-V27^ + V27);/?<23 xe(l-j2T,l + JT7);p >23
х е (-1;3);/> < 23 х е (-1;3);/? > 23
Верно!
Рис. 7. Рабочее окно системы Math-Bridge с правильным ответом
Заключение
В настоящее время существует большое количество математических пакетов программ, которые могут быть использованы в качестве инструмента отработки навыков у учащихся при подготовке к ЕГЭ, но далеко не все они предоставляют возможности, связанные с тонкой настройкой инструментария обучения.
Учитывая тот факт, что задачи с параметрами могут быть рассмотрены в множестве комплексных чисел, интеллектуальная программа Math-Bridge позволит произвести настройку и расширить круг рассматриваемых задач с параметрами, что обеспечит более углубленное изучение математики как самостоятельно, так и при использовании ее на факультативных курсах, поскольку комплексные числа не входят в программу школьного курса математики [7-8]. Результаты исследования показывают, что привлечение информационных технологий в дополнение к традиционному обучению позволят повысить успеваемость, облегчить работу педагога, повысить интерес к знаниям, расширить банк заданий для отработки навыков решения задач с параметрами. Предложенный подход может быть использован для подготовки учащихся 10-11 классов общеобразовательных средних школ, а также выпускников техникумов к ЕГЭ по математике. Предлагаемый материал ориентирован не только на получение навыков решения типичных задач с параметрами, но и на повышение уровня их математической культуры, развития логики мышления и тем самым на подготовку к ЕГЭ.
Литература
1. Табачкова М.Ю., Борискина И.П. Интерактивные методы обучения в математике. Интеграция образования. 2014. Т. 18. № 3 (76). С. 65-70. Захарова И.В., Кузенков О.А. Опыт реализаций требований образовательных и профессиональных стандартов в области ИКТ в российском образовании. // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2016. Т. 12. № 31. С. 17-31.
2. Захарова И.В., Кузенков О.А. Опыт реализаций требований образовательных и профессиональных стандартов в области ИКТ в российском образовании Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2016. Т. 12. № 31. С. 17-31.
3. Захарова И.В., Кузенков О.А., Солдатенко И.С. Проект MetaMath программы темпус: применение современных образовательных технологий для
совершенствования математического образования в рамках инженерных направлений в российских университетах Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2014. № 10.
4. Новикова С.В. Преимущества компьютерных тренажёров при изучении вычислительных методов//Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (EducationalTechnology&Society)» -2015. -V.18. -№2. -C.478-488. -ISSN 1436-4522.
5. Савкина А.В., Савкина А.В., Федосин С.А. Виртуальные лаборатории в дистанционном обучении. Образовательные технологии и общество. 2014. Т. 17. № 4. С. 507-517.
6. Савкина А.В., Нуштаева А.В., Борискина И.П. Информатизация курса "Алгебра и геометрия" с помощью интеллектуальной обучающей системы Math-Bridge. // Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (Educational Technology & Society)» 2016. Т. 19. № 4. С. 479-487.
7. Новикова С.В., Валитова Н.Л., Кремлева Э.Ш. Особенности создания учебных объектов в интеллектуальной системе обучения математике Math-Bridge // Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (EducationalTechnology&Society)». 2016. Т. 19. № 3. С. 451-462.
8. Кремлева Э.Ш., Новикова С.В. Использование интерактивных формул и выражений в динамических тест-объектах e-learning системы Math-Bridge Международный электронный журнал «Образовательные технологии и общество (EducationalTechnology&Society)». 2017. Т. 20. № 1. С. 366-380.
