CC BY
79
ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ К ОБОСНОВАНИЮ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Симонов Ю.Т., аспирант Государственной академии повышения квалификации и переподготовки кадров для строительства и
жилищно-коммунального комплекса России
Рассматриваются основные подходы к определению критериев принятия экономических решений и обоснованию решений в условиях неопределенностей стохастической и нечеткой (в смысле Заде) природы: приводятся постановки задач принятия решений при различных вариантах неопределенностей.
Ключевые слова: решение, критерий, вариант решения, эффективность, целевая функция принцип предпочтительности.
BASIC APPROACHES TO THE JUSTIFICATION OF DECISIONS UNDER UNCERTAINTY
Simonov Y., State Academy for advanced training and retraining ofpersonnel for the construction and housing and communal complex
of Russia, the post-graduate student
We consider the main approaches to the definition of criteria for economic decision-making and justification of decisions under uncertainty stochastic and fuzzy (in the sense of Zade) nature: are tasking the decision-making in different variants of uncertainty.
Keywords: decision criteria, alternative solutions, the efficiency, the objective function is the principle of preference.
Экономические решения принимаются на основе определенного критерия. Обоснование его осуществляется исходя из сопоставления эффекта и затрат; выявления и оценки экономических и других составляющих эффективности; учета частного и общего при формировании критериев на разных уровнях анализа; сопоставимости по качеству сравниваемых элементов; анализа возможности и удобства практического использования вводимого критерия. Критерий выбирается на основе анализа определенного экономического процесса или социально-экономической системы (СЭС). Он должен быть, исходя из теории исследования операций [2,8,9], представительным (соответствовать цели системы), критичным к исследуемым параметрам, максимально возможно прост, объединять возможности всех элементов и учитывать имеющиеся неопределенности. Основным принципом при обосновании критерия является строгое соответствие цели функционирования СЭС. Общей формой критерия в постановке задачи при выборе оптимального решения, обеспечивающего выполнение СЭС поставленной цели с максимальным качеством, является эффективность.
Основой обоснования критерия является определение принципа предпочтительности (правила выделения из множества допустимых
вариантов VD подмножества предпочтительных вариантов системы V °pt), отражающего трансформированную систему (модель) предпочтений собственников и высшего менеджмента СЭС (далее - руководство). Его определение осуществляется, как правило, в виде точечно-множественного отображения р , которое ставит в соответствие каждому подмножеству множества Vd подмножество V °pt
р: VD — V °pt, V °pt е VD. (1)
Поскольку выражение (1) не содержит в явном виде количественной основы выбора предпочтительного варианта решения, тогда отображение р можно представить в виде композиции двух отображений:
Р = РЕЛ%р£ ,
где Л% - знак формы композиции отображения; р ^ - отображение множества Vd в некоторую область А m - мерного (в общем смысле) метрического (обычно евклидового) пространства Em количественных оценок свойств СЭС рЕ : Vd —— А, А £ E m ;
р— - обратное отображение множества А во множество Vd (выполняет собственно роль принципа предпочтительности) р— :
А — Vopt, V °pt £ Vd .
В (1) отображение р— собственно и выполняет роль принципа предпочтительности. В конкретных задачах принятия управленческих решений принцип предпочтительности выступает в роли критерия, а отображение р ^ - целевой функции. Считается, что отображение является
однозначным (что нельзя сказать об отображении р— ). Под множеством E m понимается метрическое (обычно евклидово) пространство.
Множество принципов предпочтительности выражает те или иные интуитивные представления руководства о выгодности (полезности) вариантов принятия решений и, соответственно, имеет разное отображение р^ .Чтобы отображение р^ являлось количественной
мерой предпочтительности, оно должно быть вещественно-значной функцией полезности функционирования СЭС.
Принципы предпочтительности вариантов решений зависят от учитываемых факторов. Различают случаи принятия управленческих решений в условиях определенности, риска, неопределенности и нечеткости (в смысле Заде) [1]. Принятие решений в первых трех условиях осуществляется при четко определенном множестве Vd и однозначности отображения целевой функции рЕ . Принятие решений в условиях нечеткости связано с нечеткими представлениями о цели системы, множестве ее допустимых вариантов и условиях применения Y, а также с неоднозначностью отображения р^ . В зависимости от условий принятия решений принцип максимума полезности принимает соответствующую математическую форму.
В обобщенном виде задача принятия решений в условиях неопределенности сводится к следующему: определены множество допустимых вариантов V» и условия применения Y; из множества выбирается предпочтительный вариант (в общем случае их может быть несколько), обладающий максимальной полезностью. Формально такая задача является задачей математического программирования
V &=V °р‘ (у )=а^ та* и (V, у) (2)
Из (2) следует, что при принятии решений в условиях определенности используется принцип предпочтительности, совпадающий по форме с принципом максимума полезности.
Принятие решений в условиях риска имеет место тогда, когда неопределенные факторы условий применения системы являются случайными величинами с известными законами распределения. При этом под риском (обычно ФС) понимается степень несоответствия свойств и характеристик СЭС условиям ее применения. Существо задачи принятия решений в условиях риска состоит в следующем:
определены множество допустимых вариантов V» и условия применения у, известны законы распределения случайных факторов
~ с этих условий; из множества V» выбирается вариант системы (или несколько вариантов), минимизирующий риск в прогнозируемой целевой и информационной обстановке. Минимум риска формально эквивалентен в определенном вероятностном смысле принципу максимума полезности СЭС. Поэтому в зависимости от той или иной содержательной трактовки субъекта принятия решения вероятностного смысла полезности СЭС принцип максимума полезности может принимать формы критериев [4,9]:
Байеса-Лапласа Аг§ | V (У, Г ) Ц (<17 )
О у
Ходжа-Лемана Аг%ПОХ [ % | I/ (у, У ) Ц ((1У )+(1- Х ) ГШП и (V, у )] ^
0 [0,1] - степень доверия к выбранной мере Л у,
Гермейера и (л ~ ~) Л Л(~).
Каждый из рассмотренных принципов предпочтительности допускает некоторый риск из-за ограниченной кратности применения СЭС. Принципы предпочтительности, основанные на критериях Ходжа-Лемана и Гермейера, существенно зависят от субъекта принятия
решений, что обусловлено необходимостью выбора параметра допустимого риска X , во втором - параметра вероятностной меры Л у . Использование критерия Байеса-Лапласа также вносит элемент субъективизма в принцип предпочтительности. Однако за счет интегрирования по мере Л ( у ) такое влияние ослабевает. Поэтому в условиях риска целесообразно в основу принципа предпочтительности брать критерий Байеса-Лапласа.
Отсутствие информации о законах распределения случайных факторов приводит к необходимости осуществлять принятие решений в условиях неопределенности. При этом всегда известно, что неопределенность не является абсолютной: известны области значений неопределенных факторов, внутри которых они могут находиться. В соответствии с обобщенной постановкой задачи при наличии неопределенных факторов возможно различать принятие решений в условиях: а) неопределенности ее задач; б) «природной» неопределенности и в) противодействия конкурентов.
Многозначность отношения предпочтения при нечетком представлении о задачах СЭС порождает соответствующую многозначность функции полезности. В самом сложном случае частные функции полезности независимы друг от друга. В общем случае, векторная функция полезности и позволяет выделить на множестве допустимых вариантов V» два подмножества: множество Парето
ур ={ | иг- иг-(V') > иг-(у') V/ ф к, : и к (у )> и к (у') у V, у''е V»}; (2)
множество Слейтера
у5 ={у'\ иг(у')>и(у'') V/ = 1,2,..., у V,у"е V»}. (3)
Соотношения (2) и (3) математически выражают критерий Парето или Слейтера и являются векторной формой принципа максимума полезности.
Очевидно, что варианты решений, принадлежащие множеству Парето (Слейтера) являются неулучшаемыми (недоминируемыми) в том смысле, что значение любой их частных функций полезности этих вариантов не может быть увеличено без снижения значений других частных функций полезности. Неулучшаемые варианты решений не сравнимы между собой. Поэтому принцип предпочтительности, основанный на критерии Парето или Слейтера, не позволяет выделить на множестве допустимых вариантов V» единственный предпочтительный вариант, но дает возможность сократить множество V» до ур или у5 , упростив тем самым анализ оставшихся недоминируемых вариантов решений. Окончательный выбор из них можно сделать лишь с использованием дополнительной информации о свойствах СЭС, условиях ее применения и экономической реализуемости предъявляемых требований, а также с привлечением экспертов.
При этом, что имеет место включение у р с у 5 , то есть принцип предпочтительности, основанный на критерии Слейтера, слабее
принципа предпочтительности, основанного на критерии Парето.
Таким образом, существо задачи принятия решений в условиях неопределенности заключается в определении на множестве допустимых вариантов V» и заданных условиях применения у по векторной функции полезности и (V, у ) множества Парето
ур = V ^ V» (или множества Слейтера у5 = V°Р ^ V» ) и в последующем выборе из него с привлечением дополнительной
информации (и других принципов) предпочтительного варианта решения.
Принятие решений в условиях «природной» неопределенности проводится при отсутствии сведений о виде и характеристиках вероятностной меры /Л у . В этом случае парирование неопределенностей осуществляется путем принятия гипотезы о некотором допустимом
риске X или связанным с ним допустимом уровне полезности системы.
В качестве такого уровня могут быт приняты значения функции полезности, получаемые в наихудших условиях, либо в условиях, занимающих промежуточное положение между наихудшими и наилучшими. В зависимости от этого принцип предпочтительности может базироваться на критериях [2,3 ]:
Вальда А^ та* / (V, у),
VGVD уеУ
Сэвиджа а^ та* [ та* и (V, у) - и (V, у)],
Гурвица А^ та* [ X ММ и ^,у)+(1-X) ШОХ (v,y)], X е [0,1] - допустимый риск.
Принципы предпочтительности, основанные на критериях Вальда и Сэвиджа, полностью исключают риск, ориентируя субъект принятия решений наихудшие условия применения СЭС. Пессимизм этих принципов может быть оправдан в практических случаях, связанных с однократным применением СЭС.
Принцип предпочтительности, основанный на критерии Гурвица, уравновешивает с помощью допустимого риска X пессимизм первых двух принципов и крайний оптимизм «азартного игрока» [2,4]. Однако на практике правильно выбрать допустимый риск бывает также трудно, как и обосновать принцип предпочтительности. Поэтому при принятии решений в условиях «природной» неопределенности большое применение находит принцип предпочтительности, основанный на критерии Вальда и реализующий принцип гарантированного результата.
В общем случае в условиях «природной» неопределенности задача принятия решений будет заключаться в следующем: определимо множество допустимых вариантов V» и условия применения у, известны диапазоны изменений неопределенных факторов у е У ;
из множества V» выбираются варианты, имеющие максимальное значение функции полезности, превышающее фиксированный допустимый уровень.
Постановка задачи принятия в условиях противодействия формально совпадает с постановкой задачи в условиях «природной» неопределенности («природа» в отличие от разумного противодействия выбирает «стихийно» то или иное состояние без сознательного намерения помешать конкуренту) с использованием принципа предпочтительности, основанного на критерии Вальда. Это обусловлено тем, что конкурент, исходя из имеющейся у него априорной информации о СЭС и способах ее применения, будет стремиться реализовать в
параметрах множества у такие решения у °*, которые минимизируют значения функции полезности у °* = Аг§ ^У^У" и (У>У),
либо позволяют достаточно близко подойти к этой величине. При использовании оценки ШШ и (у,у) в качестве допустимого уровня
значений функции полезности СЭС, принцип максимума полезности будет совпадать с принципом гарантированного результата [2] и математически будет реализовываться в форме максимина [3]
Атё тахтт и ( )
ё уеУв уеУ и к
В общем случае при выполнении требований, определяемых сформулированными ниже аксиомами, любой принцип предпочтительности при принятии решений в условиях противодействия может быть приведен к форме максимина.
Пусть на множестве допустимых вариантов V» определено транзитивное бинарное отношение предпочтения R и функция полезности и (У»У). Пусть также выполняются:
аксиома монотонности (иг (у' ,у) > и (V'' ,у) Уу е у) ^ V' R у'';
аксиома дополнения_( V V» | V» = V' О V» А Rе V» ) ^ Rе V» и
аксиома доминирования (V у у ,уе у у /у | и (V, у )< и (^у) А Rе V» ) (V у у , Rе V» ).
Тогда справедливо следующее утверждение [2]: аксиомы монотонности, дополнения и доминирования определяют в задаче принятия решений в условиях противодействия конкурентов единственный принцип предпочтительности - принцип гарантированного результата в математической форме максимина.
Использование принципа гарантированного результата в качестве принципа предпочтительности позволяет сформулировать задачу
принятия решений в условиях противодействия конкурента в теоретико-игровой постановке:
V о* =Атё та*™" и (V, у).
Для задач такого вида имеет принципиальное значение информированность сторон о действиях друг друга и очередность этих действий.
Неопределенность типа нечеткости (в смысле Заде) могут содержаться в определении задач СЭС, множества ее допустимых вариантов в данных об условиях целевого применения СЭС, а также в оценках значений функции полезности.
Нечеткость определения задач СЭС (нечеткость целей) приводит к нечеткому ее составу и, соответственно, к нечеткому множеству
допустимых вариантов V» . Поэтому постановка задачи принятия решений в условиях нечеткого определения ее задач будет совпадать с постановкой задачи в условиях нечеткого определения множества ее допустимых вариантов.
Пусть множество V» является нечетко определенным и на этом множестве задана функция принадлежности Му (у) . Тогда полезность и = и (у) как образ нечеткого множества V» при четком отображении (рЕ также будет нечеткой с функцией принадлежности
Ми (и) = ) МУ (у) , где (и)={у| у е V0 , фЕ (У»=и).
В этих условиях предпочтительность вариантов решений естественно понимать как достижение компромисса между стремлением получить по возможности большее значение функции полезности при меньшей нечеткости. При таком содержательном определении предпочтительности множество предпочтительных вариантов решений будет совпадать с множеством Парето (или Слейтера)
V = Vр = {у' и (у') > и (О, Ми (у') * Ми (О, Vv//е V»}.
Таким образом, при принятии решений в условиях нечеткого определения множества ее допустимых вариантов (аналогично, в условиях нечеткого определения ее задач) принцип предпочтительности должен основываться на нечетком аналоге критерия Парето (Слейтера), а задача принятия решения должна сводиться к нахождению на нечетком множестве допустимых вариантов СЭС V» множества
Парето Vр (или Слейтера V ^ ) [5].
Нечеткость условий целевого применения СЭС разделяется на «природную» нечеткость и нечеткость противодействия конкурента. При
принятии решений в условиях «природной» нечеткости имеется информация о функции принадлежности Му (У) нечетких факторов диапазону их изменений. Это позволяет провести определенные аналогии с принятие решений в условиях риска, поскольку функцию принадлежности условно можно рассматривать как некоторую субъективную вероятностную меру Му (У) . Тогда, выполнив операцию «осреднения» значений функции полезности СЭС по нечетким факторам условий ее целевого применения, получим формальное выражение принципа предпочтительности, основанного на критерии Байеса-Лапласа, а не Вальда, как при наличии «природной» неопределенности:
ArgmaxjU(v, dY )\ly(dY ).
ь У
Нечеткость противодействия конкурента может быть обусловлена как ошибками представления об облике конкурента, так и ошибками самого конкурента в выборе мероприятий по противодействию СЭС. При наличии таких нечеткостей использование при принятии решения принципа гарантированного результата теряет смысл, поскольку каждому варианту СЭС может быть поставлен в соответствие нечеткий набор контрдействий конкурента. Однако, учитывая, что это приводит к нечеткой оценке значений функции полезности, постановку задачи принятия решений в условиях нечеткого противодействия конкурента можно свести к постановке задачи принятия решений в условиях нечеткой оценки значений функции полезности СЭС.
При нечетком отображении (р^ каждому варианту решения ставится в соответствие нечеткое множество оценок значений функции полезности, что делает невозможным сравнение их друг с другом. Однако если ввести нечеткое отношение предпочтения на множестве и соответствующую ему функцию принадлежности Мя (V , V ) , то можно решить задачу принятия решений в условиях
нечеткой оценки значений ее функции полезности. При этом, исходя из принципа удовлетворения [6,7], естественно считать предпочтительными недоминируемые по функции принадлежности варианты решений. Тогда принцип предпочтительности будет выражать выбор
недоминируемых вариантов, а задача принятия решений - сводиться к задаче нахождения ее допустимых вариантов подмножества недоминируемых вариантов.
Принципом предпочтительности при принятии решений в условиях нечеткой оценки значений ее функции полезности должен быть принцип гарантируемой недоминируемости. В соответствии с этим принципом предпочтительными считаются варианты решений, принадлежащие множеству с максимальным значением степени недоминируемости
V op = Vнд = {v
МЇ(v) = 1 - rnf sup Мк(v/,v)}.
veE VD v є V
(4)
D
Задача принятия решений в условиях нечеткой оценки значений (а также в условиях нечеткого противодействия конкурента) будет заключаться в нахождении на множестве ее допустимых вариантов V» подмножества недоминируемых вариантов нд в соответствии с (8).
Литература:
1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. - Тюмень, ТГУ, 2000.
2. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследований операций. - М.: Наука, 1971. - 384 с.
3. Данскин Дж. Теория максимина и ее приложение к задачам распределения вооружения. - М.: Сов. радио, 1970. - 107 с.
4. Кононенко А.Ф., Халезов А.Д., Чумаков В.В. Принятие решений в условиях неопределенности. - М.: ВЦ АН СССР, 1991.
5. Мистров Л.Е. Методологические основы формирования критерия и показателей эффективности при решении задач синтеза обеспечивающих организационно-организационно-технических систем // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2008. -№4.
6. Сысоев В.В. Конфликт. Сотрудничество. Независимость. Системное взаимодействие в структурно-параметрическом представлении. - М.: Изд-во Московской академии экономики и права, 1999.
7. Сысоев В.В. Структурные и алгоритмические модели автоматизированного проектирования производства изделий электронной техники. - Воронеж: Воронеж. технолог. институт, 1993.
8. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. - М.: Наука, 1978.
9. Экономико-математическое моделирование/ Под ред. И.Н.Дрогобыцкого. - М.: Экзамен, 2006.
