Основные формы r-поверхности в е в четвертой степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75/77 ББК 22.151

В. В. Сидорякина

ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ R-ПОВЕРХНОСТИ В Е4

Аннотация. Дается вывод основных форм обширного класса поверхностей в Е4, для которых индикатриса Дюпена есть окружность.

Ключевые слова: поверхность, основные формы поверхности, нормальная кривизна.

V. V. Sidoryakina

THE BASIC FORMS of R-SURFACE IN E*

Abstract. The conclusion of the basic forms of an extensive class of surfaces in E4 is given, for which indikatrisa Dyupena is a circle.

Key words: a surface, basic forms of a surface, normal curvature.

Изучение R-поверхностей в E4 ранее проводилось В. Т. Фоменко и описано в работе [1]. Рассматривалась поверхность, вектор-функция которой имеет вид:

r(u, v) = {и, V, ф(и, v), ф(и, v)}, (и, v)eD, где функция ((¡о + Ьф), i2 — — 1 является голоморфной функцией от переменной z — u + iv и удовлетворяет уравнениям Коши-Римана.

Целью настоящей работы является изучение поверхностей более общего вида:

х1 = а(и, v), x2=p(u,v), х3 = <p(u,v), jс4 = x/j(u, v), (и, v)eD.

Функции (a + iff), ((¡о + 1ф~) являются голоморфными функциями и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана

(<*u=Pv, и ( <Ри = фу.

\av = -/?„, {(pv = -фи.

Для этого класса поверхностей определяются основные формы. Далее будет показано, что индикатриса Дюпена поверхности F есть окружность и, потому она является R-поверхностью. Теорема 1. Основные формы поверхности F, заданной уравнением (1) имеют вид:

I = (о£ + а% + (р2 + (pZXdu2 + dv2), (2)

II(ñ3) = i 1 =((-«ццУц + aUv<Pv + аиФии ~ av(puv)du2 + 2(~auvcpu - auu<pv +

<*u<Puv + avcpuu)dudv + (auu(pu - auv(pv - au(puu + av<puv)dv2), (3)

¡Kfid = i 1 ({auu<Pv + auvVu ~ «v<Puu ~ au<puv)du2 + 2(auv<pv - auu(pu -

Jau+av+<Pu+<PÍ

av(puv + aucpuu)dudv + (-auu<¡0„ - auv(pu + ar<¡ouu + au<puv)dv2). (4)

Коэффициенты (ú341, co342 линейной формы кручения <и34 поверхности F связаны соотношением (й34Л = —й)34 2 и записываются следующим образом:

^34.1 = , 2± 2л2 ((~аиа™ + auuav - <Pu<Puv + (PvVuuXal + а2+ ср2 + (р2)), (5)

ü>34.2 = , 2 2 2 2—^ (auauv - avauu + <pu(puv - (puu(PvXaÍ + a2 + (p2 + <p2), (6)

Доказательство. Найдем первую квадратичную форму поверхности F. Для отыскания коэффициентов первой квадратичной формы поверхности, вычислим производные вектор-функции r(u, v) = {а(и, v),(3(u, v), <р(и, v), ф(и, v)}, (и, v)eD по переменным и и v:

ги = {аи,Ри.<Ри.Фи).

rv = {av,Pv.<Pv.Vv}.

Используя формулы:

(«и = &. (7)

(<Pv = ~Фи.

получаем

ги = {аи, -а(ри, -у»}, г„ = {а„, аи, <р„, (ри].

Тогда коэффициенты первой квадратичной формы поверхности принимают следующий

вид:

9и = (гш г„) = аЪ + а$ + (р1 + (р1,

912 =_ (?и1 = О, 922 = = а1 + а1 + <р* + <р1

Для первой квадратичной формы имеем:

/ = (а1 + а2 + <р* + (р2)(йи2 + (IV2). Далее находим вторую квадратичную форму поверхности Вычисляем вторые производные вектор-функции г(и,17):

¿ии ~ {"иш Фии>

Гхги {Я-ЦР» Фиу Фж}'

Дифференцируя первое уравнение (7) по переменной и и второе уравнение по переменной V, получаем:

~ Ргт>

Складывая эти равенства, учитывая, что — (¡и1), находим

&ии (Х-рр. (9)

Поступая аналогично с равенствами (8), имеем

(Рии=~(Р™. (10)

Используя соотношения (9) и (10), перепишем найденные ранее значения вторых производных вектор-функции г(и, V):

Ги ~ *ии ~ ("иш — Фии> _Фиу}> ^12 — 'ир — Цт ~ Я-ии> Фиу Фгш}> ^22 = = {~аии/ агю> ~(Рии> ФгюУ

В качестве единичных векторов нормали к поверхности Т7 примем векторы п3, п4, вектор-функции которых имеют вид:

Щ = , 1 ={-<?>„, -<50„, «„, аД

+<Ри+Ч>Ъ

Щ - ■ {(¡Рр, -<ри, -а,,, аи}.

Эти векторы выбирались из следующих условий:

1. Каждый из векторов п3 и п4 должен быть ортогонален векторам ги,?„.

2. Вектора п3 и п4 ортогональны друг другу.

3. Векторы п3 и п4 являются единичными.

Это обеспечивается условиями:

(п3,ги) = 0, ("зЛ) = 0, (п4,ги) = 0, (п4,г„), (п3,п4) = 0, Ы = |п4| = 1.

Находим коэффициенты второй квадратичной формы поверхности по формулам:

К,и = ("«лПД где с = 3,4, = 1,2. Относительно нормали п3, находим _ _ 1 Ь3Д1 = (пз.Гц) = + аи<Рии -

Vа2 + а2 + <р2 + <р2

ЬЗД2 = (п3,г12) = Л-а^Фи ~ аии<Ру + аи<Р™ + а„<рии),

Vа2 + а2 + <р2 + ф2 _ _ 1 Ь3,22 = (п3,г22) = ,С«ииУи - ачу^-ау.<Рии+°Ь><Риу)-

^¡а2 + а2 + ср2 + <р2 Относительно нормали п4, находим _ _ 1 ¿>4,11 = (п^Гц) = («ццУг+^цг'Уц - осу(рии-аи(риу),

Vа£ + а^ + + ^,2 _ _ 1 Ь4Д2 = (п4,г12) = (.сСиуФр-аииФи-ауФиу+аиФии),

^¡а2 + а2 + <р2 + ср2

ь4,22 = Сп4,Г22) = (-«ииУг-^Уи+^Уцц + «и^О-

-Уай + а^ + срI + срI

Тогда, подставляя полученные коэффициенты в уравнение Н(п<т) = Ьс11с1и2 + 2Ъа11йийу + Ь^г^^2 , а = ЗД

получаем, что вторая квадратичная форма поверхности будет иметь вид: _ 1

Я(п3) - Г(-«ццУц + аиуфу + а-иФии - ау(риу)йи2

Vа2 + а2 + ср2 + ср2 + 2(—аии<ри - аии<ру + аисриу + ау(рии)йийу + (<*ии(ри - аир(р„ - аи(рии + ау<риу)йу2),

/Дп4) = | 1 =((<*ииФу + «ш^и - - аи(рик)йи2 + 2{аир<ру - аии<ри -

^аи+ау+Ч>и+Ч>у

ауфщ, + аи(риу)<ЫАу + (-аии<р„ - аи„<ри + а„(рии + аи<рир)с1р2).

Формулы (3), (4) доказаны.

Вычислим коэффициенты (и341, <у34.2 линейной формы кручения ш34 поверхности. С этой целью используем формулы:

«34.1 = ("з,Й4д), й)34.2 = (п3,п4,2) (11)

Дифференцируем п4 = . {у,,, — <ри, —а„, аи} по переменным и и V, получаем:

П4Д — П4,и —

Г_Фу__^Фи____^_) -

I у/а2 + а2 + <р2 + (р^'у/а2 + а2 + <р2 + ф^'у/а2 + а2 + <р2 + ср2' ^а2 + а2 + <р2 + <р2)и

,„ /„2 I ™2 _1_ „2 I ,„2 2(ацацц+а1?аш? + фифии + ФуФиу)

ФиуЛ/ «а "Г "и + Си т С? Су _ /—5-5—-=--

2 -у/а2 + а2 + <р2 + (р2

а2 + а2 + <р2 + (р2

,„ /„2 I „2 _1_ ,„2 I ,п2 I „ 2(ацацц+а1>аш> + (ри(рии + фуфиу) <Рии\ «и + "г + ^ + П т Си _ /—5-5—-5-^

_2 у«й + + +

+ а2 + <р2 + •

„ /„2 4- п-2 4- ,»2 4- ,пг л. „ 2{аиаии+ауаиу + (ри(рии + (ру<риу)

ии "Г" иУ "Г" фи "Г" фу "Г" „ /—=-=—;-=-

_+ а2 + ср2 + (р2

а2 + а2 + (р2 + (р2 '

„ 1„2 л. „2, ,п2 . ,п2 „ 2(аиаии+а1)аи1, + <ри<рии + ФуФиуУ

"ии-у и V ти ' С? «и _ I - .-5—-5—-=■

2-Уа2 + а2 + «¡р2 + «¡р2

а2 + а2 + <р2 + ср2 Фиу("1 + а2+ <р2 + ср2) - (р„(аиаии+акаик + (ри(рии + (ру(рт)

з '

(а2 + а2 + <р2 + <р2) 2

-фии(аи + а2 + Ф^ + Ф2) + сри{аиаии+ауаиу + <ри(рии + <ру<риу)

з '

(а2 + а2 + (р2 + ср2) 2

(Кц + + + <р|) + ^(«и^ии+^у^иу + <Ри<Рии + Уу^цр)

3 '

(а2 + а2 + <р2 + ^о2)2 + + ^ + - ац(ац«ии + «г«цг + СиСии + фуфиу)) = са2 + а2 + «¡о2 + <р2)2 )

=-1-з {.ФиуС®и + + ^ + - ^(аиаии+аг«иг + <Ри<Рии + ^«¡Оиу). + ^ +

^ + <Р%) + Си(аиаии+«г;аию + СиСии + фуфиу). + «г + ^ + + +

ФиФии + фуфиу). + а2 + (р^ + (Р2) - аи(аиаии+ауаиу + (ри(рии + ФуФиу))-

7*4,2 = =

(_фу__-Фи____^и_] _

+ ау + фи + + а2 + (р2 + ф$'у/а2 + а2 + «¡о2 + ф^'у/а2 + а2 + <р2 +

+ + Си + - + ФиФиу + ^^ст)

( (а2 + а2 + <¡02 + <р2)2

~Фиу(а£ + ау+<Ри + фу) + Фи(аиаиу+ауауу + ФиФиу + фуфуу)

3 '

(а1 + а* + ч>1 + <р$) 2 -аууСац + а-1 + (р1 + д>1) + а^а^а^+^а^ + <ри(риу +

з '

+ + <р* + <р2)2

"чш («и

(«2 + СГ 2 + + ,¡(,2)2 )

=---з{фуу(.а^ + а^ + «¡Ои + - <Ру(аиаир+арат + ФиФиу + ФуФуу), ~Фиу^1 + «у +

Фи + фу) + Фи(аиаиу+ауауу + ФиФиу + фуфуу), ~Ят(аи + «I + Фи + Фу) + Яу(аиаиу+ауауу + ФиФиу + ФуФуу)> аиу(а£ + а1 + ф1 + Фу) - аи(а„а„р+аРаг^ + <Ри<Ри1; + ^«Р™)}-

Окончательно, с учетом формул (9) и (10), запишем:

Щ,2=---з {~Фии(а%, + а$ + <р£ + <р%) - фу(аиаиу-ауаии + фифиу - фуфии)> ~Фиу(.«и +

а% + ф1 + фу) + Фи&и«

иу ?®ии "I" ФиФиу фуфии) * ®ии(®и

+ а* + + +

^(^«иу-^^ии + <Ри<Риу - фуфии). «^(«и + + <Ри + фу) - аи(аиаии-аиаии + (рисриу -

фуфии))-

Находим нормальные кривизны по формулам (11), получаем

^34.1 = ("з."4д)

- («2 + а2 + ^ + ^2)2 (~ФиФиЛ«2и + «I + Ф2и + Ф2у)

+ ФиФр(аи<*ии+араир + <ри(рии + (рр(риу) + Ф„Фии(а* + а| + + <р1) ~ ФиФу (<Хиаии+ауаиу + ФиФии + фуфиу)

+ а* + +

+ + <ри<рии + фуфиу) + аииау(а% + а| + <р* + <р|)

— 0Си0Су(ииС[ии+С[уС[иу + ФиФии + фуфиу)) = (~ФиФиу(аи + + Фи + фу) + фуфии («и + Яу + Фи + ф£)-аиаиу(а* + а* +

<Ри + Фу) + аииау(аи + а$ + ф1 + фу))=

((-аиаиу + аииау - фифиу+фуфии)(а£ + «у + ф1 + Фу)},

{аи+а%+Ч>и+(Р$)2

(а1+с4+<р1+<р1)2

Ь>34.2 = (щ,п4:2) = (а2+а2+ф2+ф2)2 {-фиифу («и + «I + <Ри + <?>|) ~ Ф^ "^«ИИ + ФиФиУ ~

фуфии) + ФиФиу(<*и + ау+Фи + фу) ~ Ф 1{аиаиу-ауаии + срисриу - сру(рии) + а| +

^и + - а%(аиаи„-а„аии + <ри<рир - фу<рии) + аиаПу{а1 + а| + Фи + Фу) ~ а£(<Хи<Хиу-<Ху<Хии + ФиФиу - фуфии)) = (~ФииФу(аи + а1 + <рЪ + <р1) - фКаиОиу-ОуОии + <ри<риу - фуфии) +

(а1+с4+<Ри+Ч>1)г

ФиФиу(аи + а1 + <р1 + - (р1(аиаиу-ауаии + (рисри„ - (ру(рии) - а„аии(а1 + + + <р£) -аЦаиаиу-ауаии + сри(риу - фуфии) + аиаиу{сс1 + <х* + (р1 + <р$) - а^(аиаии-ауаии + сри(риу -

ФуФии)) =

г 2 ■ г! 2. (-Фиифу(,<*1 + аи + Фи + фу) + ФиФиу(а1 + а1 + ф1 + ф1) - ауаии{а1 + а* +

ф1 + фу) + аиаиу(а1 + а| + <р* + ср%) - + а| + ф2 + (р^)(аиаии-ауаии + сри(риу -

^ фуфии)) =

Саи + а1 + (р1 + фу)(.-фиифу+фифиу - ОуОии + аи«иу + аиаиу-ауаии + <ри<риу -

фуфии) =

■(«2 +а1+(р1 + фу)(-фииФу+ФиФиу - ауаии + «иаиу)-

Итак, формул^1 (5) и (6) получены. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Индикатриса Дюпена поверхности, заданной уравнением (1), есть окружность. Доказательство. В произвольной точке М(и,х>) поверхности F рассмотрим нормальную плоскость, определяемую векторами п3,п4. Далее найдем нормальные кривизны к3 и к4, определяемые формулами:

Строим вектор нормальной кривизны к. Поскольку к — к3п3 + /с4п4, то \к\2 = \к3\2 + |£4|2, или |&|2 = П ('П*\ Показав, что |&|2 не зависит от ёи и тем

самым установим, что индикатриса Дюпена указанной поверхности есть окружность (см. рис. 1).

Рис. 1

II2 (п3) = „г.„г.тг+тг ((~аииФи + "пуфу + <*иФии ~ ССр<риу)2йиА + 4 (~аии(ри + ССиу(ру +

ии-Г|и1? тФ и тФ V

аи<Рии - а„(рт)(-аиу(ри - аиисру + аи<ри„ + ау(рии)йи3йу + 2(-аии<ри + аиусру + аи<рии -ау<Ри*)(аии<Ри ~ Яиуфу ~ «и<Рии + а„<риу)(1и2с1р2 + Ч-аиу<Ри - Яиифу + «и<Рм + ау(рии)2(1и2(1у2 + 4(-ОиъФи - аии<ру + аи(риу + ау<рии)(аии(ри -а^щ - аи(рии + ат,(ри1))йийу3 + (аии<ри - а^ф» - аи<рии + о^ф^У^4),

Я2(п4) = , СС аии<Р* + аиу(Ри - "у<Рии - ОуРтУЛи4 + 4 (аиис„ + атсри -

ии-Г|тФ и тФ V

Ярфии ~ аи<Риу)(<*м<Ру - ОииФи - Яуфиу + аифии)йи3йу + 2{аиифу + аиусри - ауфии -аи<Рм)(.-аш1фу ~ «иуфи + ЯуФии + аифиу)^и2йу2 +

Чаир<Рр ~ аииФи ~ ЯуФиу + аи<рии)2йи2йу2 + 4(аиг<р1? - аии<ри - ауфи„ + аифии)(-ссиифу -

"иуфи + ОуФии + аифиу)<1ийу3 + (-ОииФъ - аиуфи + а„<рии + аифи1,)2(1 V4).

Тогда

II2 (п3) + II2 (п4) = Айи4 + вйи3йу + Сйи2йр2 + £> йиЛ?3 + Ейр4.

Вычислим коэффициенты А, В, С, Б, Е.

А=„г.„гЛ.т1.тг («1иф1 + + + ~ ^пифи^фр ~ 2 аиифиаифии +

ии-Г|иР ТГ и фV

2аииФи^Фиу + 2аиуФу^иФии ~ 2аиуфу^фиу ~ 2аи<рииа1,<рг№)+ 2 2 2 2 (а1и(р2 + а2у(р2 +

а11 Р'гЦ г V

а2Фии + ^Фиу + 2аиисрраир(ри - 2аиисррар(рии - 2аии(рраи<риу - 2аиусриау<рии -2аирФиаиФиу + ^Фии«иФир)=

; ((«ии + ф1+ф1) + (,ф1и + ф^)(а2+а2) - 2аии(риаи<рии + 2аииФиауФиу + 2аир(р11аи(рии - 2аир(р11а1,(рир - 2аи(рииаг(ри1) - 2аииф„ау(рии - 2аии<руаи(риу -2ат,<риа.0<р,т - 2аш,(риаи(ри„ + 2а„фииаи<ри.„),

В=„2.„г.,п2.т1 (.аииа^ср2 + а2и(ри(рр - аииаи(ри(ри1, - аиис^сриср^-а2^^ -

аии«иуф% + аиаиу<ру(риу + с^а^фуфии-аиаиуфифии ~ аиаии(рии(ру + а2(рии(ри1, + «и«VФии+араирФиФиу + <*уаииФгмФу ~ аиауФир~арФииФир) +

(аииаирфу ~ аииФиФу ~ <*ии<*уФуФ™ + «ии^иФуФии~^уФиФу + «иу«ии<Ри ~

^иуФиФиу аиаииФиФ™ + аи^ф^-а1фииф™)=0

ауаиу(рисриу + аиаир<ри(рии-а„ат<рии<ръ + а„аии<рии<ри + а2(риисрт - аиау<р2и-аиаиу(ру(риу +

С „2.„2.,„2.,„2 ( &Ц.иФи &ш№иуФиФу ^ии^иФиФии "ии"уФиФиу+аииаиуФиФу-а™Ф% ~ auauv(pv(puu + avauv(pvcpuv+auauu(pu(puu - auauv(puucpv

аиФии "I" аиауФииФиу ауаииФиФиV + + аиауФии.Фт> ' - al<plv) +

4 г 2 2 2 2 2 2 22o о

or2 . „2 . т2 . ,п2 \&uv4*u ® UUФу "I"(puv "I" Фии ¿&иу&ииФиФр ~ ¿&и&ирФиФир ~

WU "V TU rV

2auvav(pu(puu - 2auauu<pv(puv - 2avauu(pv<puu+2auav<puu<puv)+

n2 i n2 i ,n2 _i_ ,„2 &ии&иуфифу "I" >&ииФииФу ®u®uu'Pul?фу~&ии&иуфифу~&иуфи

(Zu т uv т (pu т (pv

+ ауаиуфиифи "I" ® u ® uvФиФт>фуФии "I" &ио&уФиФии Фии

- auav(puv(puu + auuau(pv(puv + auvau(pu(puv - avau(puu(puv - al<p2v) + „2.„2^02+т2 («UV^I + ^ииФи + ^ФиУ + <*1ф1ч ~ 2 ОСиУ^ПиФуФи ~ +

ti f rU rV

^ТХХзЫ + «ufuu + a|<fuv + «uvífu + аииф1 +аиФю + "1ф1ч + -

Tuv VilV v

2auauu<puu<pu + 2auuav<pu<puv + 2auvau<pv(puu-2auvav(pv<puv - 2auauv<pu(puv -2avauv(pucpu}l-2auauu(pv(puv - 2auuav<puu<pv)—

; ((«uu + OOu+ró) + (<Puu + ÍOui;)C«u+a|) - 2аииФи<*иФии +

- 2«иФии«рФиу - 2auu(pvav(pulL - 2auu(pvau(puv -2auv<puav(puu - 2auv<puau<puv + 2av<puuau<puv);

D—„2+„24+ía2+m2 (.~аюаииФи + <*™ФиФ* + <*UV"чФиФии ~ ^иФиФу +

Uu Tuv т'Ч* иЧ* v

аии<*и*ф% + <*ии<*ифрфии - auuav(pv(puv-auauu(pu(puv - auauv(puv<pv - a2(puucpuv + ctuctv(puv+ccvccuu(pu(puu ctvctuv(puu(pv ■

4 /• 2 2 2 2

_,2 ,„г,,п2 ,,n2 у&гю&ииФv ~ ^uv^v^PvФии &uv^Pv*Puv ~&uuФи*Pv ~

**U V • U • f

&UUФи Фии ~ &UU &U Фи Фиу "I"&V &UU Фиу фр "I" &uv ФиуФи ~ Фиу Фии ~ Фж ~ &U &UU Фии фу ~

E—„2+„2^n2+,n2 (аииФи + а^Ф2 + «иФии + «Ifuv - 2a.uu(puauv(()v - 2auu(puau(puu +

«и«иуФииФи + аи^Фии+аиФииФиу)—0; 1

a¿+aé+tp£+<p¿

2auu<puav<puv + 2auv<pvau(puu - 2auv<pvav(puv - 2au<puuav<puv) i 2 , 2 2 («¿Lrá + alv<pl +

ttUTltt?rrUTrl?

«lífuu + «uífuv + 2auu(pvauvcpu - 2auu(pvavcpuu - 2auucpvaucpuv - 2auvcpuav<puu -2auv(puau(puv + 2av(puuau(puv)—

„2+„2^п2+т2 ((«UU + + (í»UU + í"uu)Cau + al) ~ ^иФи^пФии +

tU г V

2auu(puav(puv + 2auv<pvau(puu - 2auv<pvav(puv - 2au<puuav<puv - 2auu<pvav<puu - 2auu(pvau<puv -2auv(puavcpuu - 2auv<puau<puv + 2av<puuau<puv).

Таким образом, A—C— E, B—D=0 и

II2 (ñ3) + í/2(ñ4) = Aidu* + 2du2dv2 + dv%

где

„2 ,„21,2 .,„2 (C«uu + a2v)(<pi+<p2) + (<¡(»¿u + <¡o¿v)(au+a|) - 2auu<puau<puu + 2auu<puav<puv +

ti V irtí ir V

2auv(pvaucpuu - 2auv(pvavcpuv - 2au(puuav(puv - 2auu(pvav(puu - 2auu<pvau(puv - 2auv(puavcpuu -2auv<puau<puv + 2av<puuau<puv).

И потому

|Г|2 _ JJ2(ra3)+JJ2(ñ4) __x(du4+2du2dp2+dp4)__

/2 _ (a2+a2+<p2+<p2)2(£iu4+2du2di;2+dv4)

не зависит от ^м и сЬ. Таким образом, индикатриса Дюпена поверхности (1) есть окружность. Теорема 2 доказана.

Следствие. Поверхность ¥, задаваемая уравнением (1), есть Я-поверхность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фоменко, В. Т. Двумерные поверхности коразмерности два: монография / В. Т. Фоменко; в авт. ред. - Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та имени А.П. Чехова, 2012.

2. Картан, Э. Риманова геометрия в ортогональном репере / Э. Картан. - М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 1960.

3. Аминов, Ю. А. Кручение двумерных поверхностей в евклидовых пространствах // Украинский геометриче-

ский сборник. - Харьков: Изд-во Харьков. гос. ун-та, 1975. - Т. 17.

УДК 514.75/.77 ББК 22.151

В. Т. Фоменко

КЛАССИФИКАЦИЯ БИССЕКТОРОВ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ НА ПЛОСКОСТИ

Аннотация. Автор дает полную классификацию множеств точек, равноудаленных от двух окружностей на плоскости.

Ключевые слова: плоскость, точка, окружность, расстояние, эллипс, гипербола, парабола, прямая, луч, отрезок.

V. T. Fomenko

CLASSIFICATION OF THE BISECTORS OF TWO CIRCLES ON THE PLANE

Abstract. The author gives the full classification of the sets of the points equidistant from two circles on the plane.

Key words: plane, point, circle, distance, ellipse, hyperbola, parabola, straight line, ray, segment.

Пусть на плоскости (n) заданы две окружности и С2 радиуса гг и г2, соответственно, с центрами в точках Fx и F2. Будем считать, что 0 < гг <r2<°o, |F1F2| = 2с, с> О, полагая, что окружность нулевого радиуса есть точка, а окружность бесконечного радиуса есть прямая, при этом центр такой окружности находится в бесконечности и константа с не определена. Множество точек плоскости (jt), равноудаленных от окружностей С-у и С2, будем называть биссектором окружностей Ct,C2 и обозначать через (у). В настоящей работе дается полная классификация бис-секторов окружностей Съ С2, заданных на плоскости (jt).

п. 1. Для формулировки теоремы введем следующее определение.

Определение 1. Будем говорить, что окружность лежит внутри окружности С2, если все точки окружности Сг принадлежат открытому кругу с границей С2.

Имеет место

Теорема 1. Пусть 0 < < г2 < оо и окружность С± лежит внутри окружности С2. Тогда биссектор окружностей Съ С2 есть эллипс, фокусы которого совпадают с центрами FltF2 окружностей СЪС2. Для всякого эллипса на плоскости (л) можно указать однопараметрическое семейство окружностей С[, С2, для которых данный эллипс является биссектором для любого значения параметра г, при этом фокусы эллипса являются центрами окружностей С[, С2.

Доказательство. Выберем на плоскости (7г) правую декартову прямоугольную систему координат Оху, взяв за ось Ох прямую, проходящую через точки F1F2 в направлении от Ft к F2, а начало координат О в середине отрезка F±F2. Тогда расстояния р(М, и р(М, С2) текущей точки М(х,у) биссектора (у) до окружностей Сх и С2 даются формулами:

р(М, С-д = VQ + сУ + у2" - гх. р(М, С2) = г2- ^(.х-сУ+у2. В силу определения биссектора имеем р(М, Сг) = р(М, С2), что означает

у/(х + с)2 + у2 + уЦх - с)2 + у2 = г2+г1.

Последнее уравнение есть уравнение эллипса с фокусами в точках F1,F2, которое приводится к виду

х2 у2

■ +--=1.

Докажем вторую часть теоремы. Рассмотрим на плоскости (п) эллипс (О, заданный уравнением

х2 у2 — + — = 1 а2 Ъ2 '

а и Ь - полуоси эллипса, а>Ь; координаты фокусов данного эллипса имеют, соответственно, вид (-с, О) и (с, 0), где с = л/а2 — Ь2. Обозначим через окружность с центром в точке ^ радиуса г > 0, лежащую внутри открытой области с границей (/), а через С2 - окружность с центром в точке /-"г и радиуса (2а —г). Подсчитаем р(М, С[) и р(М, С2), где М - произвольная точка эллипса (V). Имеем

р(м, СО = у/(х — с)2 + у2 — г; р(М, С2) — 2а —г — у/(х + с)2 + у2.