Основные этапы построения математических моделей элементов сложной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х_______

УДК 519.95

Рюкин Александр Николаевич

канд. техн. наук, доцент НИУ «МЭИ»

г. Москва, РФ E-mail: alryukin@yandex.ru

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ

СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ

Аннотация

Выделяются основные этапы общей стратегии системного подхода к построению математической модели сложной системы. Выделяется теоретический и формальный подходы построения моделей. Идентификация модели базируется на использовании активного или пассивного экспериментальных методов.

Ключевые слова

Математическая модель, теоретический и формальный подходы, детерминированные и стохастические модели, динамические и статические модели, активный и пассивный экспериментальные методы.

К построению математической модели объекта управления приступают при условии, что известна цель управления. При этом необходимо иметь в виду, что конечной задачей исследований, проводимых, например, при создании больших информационно-управляющих систем, является разработка алгоритма управления.

При рассмотрении математической модели как функционального оператора, являющегося отображением соответствующего технологического оператора и построения математической модели как части системного анализа, например, технологических процессов, выделяют следующие основные этапы общей стратегии системного подхода к построению математической модели сложной системы: качественный анализ структуры; синтез функционального оператора; проверку адекватности и идентификацию операторов.

Построение математической модели состоит из следующих этапов: выделение объекта

моделирования (в пространстве, во времени и в координатах его поведения); выбор вида модели и способа ее разработки; разработка модели, включая ее идентификацию. Выделение объекта моделирования заканчивают составлением параметрической схемы.

Математическую модель определяют так же, как функциональный оператор, отображающий функциональное преобразование пространства входных переменных (управляющие и возмущающие воздействия) в пространство оценок выходных переменных.

При использовании теоретического подхода модель строится на основе соотношений, вытекающих из физических законов; при использовании формального подхода - на основе принципов «черного ящика». Поэтому первый подход применяют в тех случаях, когда известны законы, которым подчиняются технологические процессы, протекающие в объекте моделирования, второй - в случае отсутствия такой информации.

Детерминированные модели, построенные с использованием теоретического подхода, имеют ряд существенных преимуществ: их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании; они более качественно и правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте, даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели; они пригодны для обобщений, связанных с изучением общих свойств объектов определенного класса, и для прогнозирования поведения объекта.

Если априорная информация об объекте моделирования не обладает достаточной полнотой или из-за его значительной сложности невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенно, то принимают стохастическую модель.

59

_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х________

Наиболее полное представление о поведении объекта дают динамические модели. Однако их использование приводит к довольно сложным вычислительным задачам, поэтому для объектов, инерционностью которых можно пренебречь по сравнению с временным интервалом, на котором решается задача управления, или при сравнительно малом спектре возмущений ограничиваются статическими моделями.

Когда можно пренебречь пространственной неравномерностью переменных, используют модели с сосредоточенными переменными, в противном случае - модели с распределенными переменными. Последние можно построить только при использовании теоретико-физического подхода. При этом вычислительная задача еще больше усложняется.

Идентификация модели базируется на использовании активного или пассивного экспериментального метода. При активном эксперименте исследователь сам выбирает нужное регулярное воздействие, которое поступает на вход объекта. При этом фиксируется реакция объекта на регулярные входные воздействия. При пассивном эксперименте исследователь лишь регистрирует случайные входные воздействия, возникающие при нормальной эксплуатации объекта, и реакцию объекта на эти воздействия.

Активные методы требуют меньше времени на наблюдения и обработку результатов, чем пассивные, и поэтому их применяют во всех случаях, за исключением тех, когда их использование вызывает трудности, т.е.: на объектах, где целенаправленное изменение входных воздействий недопустимо по условиям технологического регламента; на объектах, у которых не удается на время эксперимента стабилизировать все внешние возмущающие воздействия; на объектах, имеющих высокий уровень шумов при невозможности выделить в выходном сигнале объекта компоненту отклика объекта на входное регулярное воздействие.

Для построения теоретических моделей используют конечные алгебраические или трансцендентные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Конечные уравнения применяют для построения статических моделей, обыкновенные дифференциальные уравнения - для создания динамических моделей объектов с сосредоточенными переменными или статических моделей объектов с распределенными переменными, зависящими только от одной пространственной координаты. Математическая модель с обыкновенными дифференциальными уравнениями должна содержать начальные условия. Дифференциальные уравнения в частных производных используют для математического описания динамики объектов с распределенными переменными и стационарных режимов тех же объектов, но с распределенностью более чем по одной пространственной координате. В первом случае математическая модель наряду с начальными условиями должна содержать условия, задаваемые в общем случае функциями времени, во втором случае - граничные условия, которые могут зависеть от координат.

В ряде случаев от непрерывного объекта с распределенными переменными переходят к дискретному объекту с сосредоточенными переменными, производя замену дифференциальных уравнений разностными соотношениями.

Виды формальных моделей значительно более разнообразны и зависят от выбранного способа их разработки.

Наибольшее распространение среди формальных методов разработки статических моделей получили экспериментально-статистические методы с применением корреляционного и регрессионного анализов.

Статическая модель в виде уравнения регрессии удобна для выполнения математических операций, дает возможность использовать программно-технические комплексы при обработке экспериментальных данных, однако не несет почти никакой информации о физико-химических механизмах процесса.

Экспериментально-статистические методы разработки статических моделей включают следующие операции: выбор способа экспериментирования (активный или пассивный); предварительный выбор вида уравнения регрессии; планирование активного эксперимента; проведение эксперимента, включая сбор исходного статистического материала в режиме нормальной эксплуатации при пассивном экспериментировании; определение коэффициентов регрессии; статистический анализ результатов.

Пассивный эксперимент применяют в тех случаях, когда входные переменные не поддаются целенаправленному изменению. Это связано с целым рядом недостатков пассивных методов: при

60

_______МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №8/2015 ISSN 2410-700Х_____

проведении эксперимента чаще всего поддерживается стабильный режим, при котором колебания входных переменных сводят к минимуму, поэтому изменения выходов в этих условиях обусловлены, прежде всего, влиянием неконтролируемых входов. Математическая модель, полученная при обработке таких опытных данных, естественно, не может быть использована для управления: ошибки в измерении входов, значительно большие при пассивных экспериментах, чем при активных, искажают модель больше, чем ошибки в измерении выходной переменной. Эти искажения могут оказаться настолько большими, что полученные уравнения станут непригодными для анализа и управления; корреляция между факторами приводит к корреляции между коэффициентами уравнения регрессии, и ошибка в оценке влияния одного фактора приводит к ошибочной оценке влияния других факторов, которые коррелируются с первым.

Вид уравнения регрессии выбирают на основе анализа априорной информации исходя из возможности использования линейной модели.

При планировании эксперимента опыты ведутся по заранее составленной программе, что позволяет свести к минимуму число необходимых опытов и одновременно выявить оптимальное значение искомой функции. Выбор плана определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта моделирования.

При проведении эксперимента обращают внимание на точность поддержания планируемых значений факторов и точность измерения выходной переменной. Особое внимание должно быть уделено исключению временного фактора за счет одновременной фиксации переменных в установившемся режиме. При пассивном эксперименте сбор исходного статистического материала оформляется в виде специальных таблиц.

© А.Н. Рюкин, 2015

УДК 534.833:621

Шмырев Виктор Иванович, к.т.н., доцент, РГСУ, Булаев Игорь Викторович, ассистент, Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ).

Шмырев Денис Викторович, преподаватель Российский государственный социальный университет (РГСУ),

г. Москва, РФ, е-mail: v.shmyrev@bk.ru

ЗВУКОПОГЛОЩАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДЛЯ ОБЛИЦОВКИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ЗДАНИЙ

Аннотация

Рассмотрены конструкции звукопоглощающих элементов для малошумных зданий и сооружений.

Ключевые слова

Звукопоглощающий элемент, звукоизолирующие свойства, звукопоглощающие материалы.

Шум и вибрация являются вредными производственными факторами, поэтому одной из актуальных задач исследователей на современном этапе является создание эффективных технических средств шумовиброзащиты производственного персонала [1,с.25; 2,с.67]. Эта задача решается за счет размещения в конструкциях зданий и сооружений виброизолирующих опор, воспринимающих вибрацию, что повышает сейсмическую надежность и безопасность здания или сооружения, а также подвесных потолков, звукопоглощающей облицовки и штучных звукопоглотителей [3,с.70].

На рис.1 изображена схема звукопоглощающего элемента, на рис.2 и 3 - варианты звукопоглощающего элемента. Звукопоглощающий элемент (рис.1) выполнен в виде гладкой 1 и перфорированной 2 поверхностей, между которыми размещена звукопоглощающая конструкция, состоящая из трех слоев звукопоглощающего материала, при этом первый слой 3, более жесткий, выполнен сплошным и профилированным и закреплен на гладкой поверхности 1, второй слой 4, более

61