CC BY
44
Из совокупности (11) и (12) находим:
Е (п, к) =у|ос82 а. (18)
Формула (10) следует из (18) при у=1 и, соответственно можно заключить, что при деформировании окружности на плоскости сумма длин главных полуосей образуемого эллипса не изменяется и равна диаметру окружности, как и при отображении её на плоскость с наклоном а<45°.
Определение интеграла (13) и его геометрическое представление допускает интерпретируемость изменения периода колебаний математического маятника длиной 1 с изменением угла отклонения его от вертикали на угол в. При замене эллиптического интеграла его приближённым выражением (13) период колебаний маятника [3] равен:
Т = 4Щ 4^(п/2,к)1 _^в/4). (19)
Выражение (15) совпадает с (19) и, если ассоциировать период колебаний со временем прохождения маятника по замкнутой кривой, то это движение происходит по растянутому эллипсу, полученному из окружности радиусом Я=^И/^. Погрешность в определении периода колебаний по (19) достигает 2,3 % только при отклонении маятника от вертикали на 90°.
Можно заключить, что введённое геометрическое представление нормальных эллиптических интегралов первого и второго рода позволяет их интерпретировать и определить элементарными выражениями с оценкой допущений. Оно оказалось результативным при определении параметров эластики продольного изгиба стержня [4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. - С. 751-761.
2. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). - М.: Наука, 1968. - С. 103-108.
3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: Т. 1. Механика. - М.: Наука, 1988. - С. 41.
4. Анфилофьев А.В. Стрела прогиба и сближение концов стержня в продольном изгибе // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т. 42. - № 2. - С. 188-193.
УДК 538
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ В СТРУКТУРНОНЕУСТОЙЧИВОМ КРИСТАЛЛЕ
Е.Е. Слядников
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН. г. Томск Томский научный центр СО РАН E-mail: opi@hq.tsc.ru
Теоретически показано, что в окрестности структурного перехода мартенситного типа внешнее воздействие уменьшает площадь горба, разделяющего минимумы двухямного потенциала атома. Это приводит к возникновению эффекта квантового туннелирования и уменьшению асимметрии двухямного потенциала, что открывает возможность переходов из узлов исходной решетки в узлы конечной решетки (конфигурационных смещений) и возникновения предпереходного состояния.
1. Введение
Классические континуальные модели кристаллических сред описывают далеко не все явления, происходящие в твердых телах при изменении внешнего воздействия [1, 2]. К этим явлениям в первую очередь относятся эффекты нелинейной упругости, неупругости, сдвиговой неустойчивости, предпере-ходные состояния, структурные превращения мар-тенситного типа. Причина этого в том, что в теории упругости сплошной среды [3] постулируется неизменность ближайшего окружения атома в процессе деформирования, структура решетки и силовые связи при упругой деформации не перестраиваются.
Поэтому для описания подобных явлений необходимо формулировать новые микроскопические модели кристаллов, учитывающие изменения кристаллической структуры реальных тел и возбуждение дополнительных степеней свободы атомной решетки [2, 4].
В этой работе построена микроскопическая модель кристалла, испытывающего структурный переход мартенситного типа, в которой атомная решетка рассматривается как двухуровневая квантовая система (квантовая система псевдоспинов) [4]. В рамках этой модели обосновывается, что средний одночастичный потенциальный рельеф атома имеет двухямный характер, а сами атомы решетки структурнонеустойчивого кристалла подчиняются законам квантовой механики. К выбору модельного одночастичного потенциального рельефа атома в виде двухямного можно придти из анализа связи сдвиговой устойчивости кристалла и ближнего порядка смещений атомов решетки.
Кристаллогеометрические характеристики твердого тела определяются состоянием электрон-атомной системы, в частности, концентрацией, локальной конфигурацией электронов, наличием эффектов ангармонизма в потенциале межатомного
взаимодействия [5, 6]. Это обстоятельство обусловливает, с одной стороны, возникновение конечных (конфигурационных) смещений атомов из узлов решетки в окрестности структурного превращения [1, 2]. С другой стороны, внешнее воздействие приводит к изменению топологии поверхности Ферми, сдвигу уровня Ферми электронов и к постепенной подготовке решетки к переходу из исходной структуры в конечную структуру. Конфигурационные смещения атомов из узлов решетки возрастают, начинают коррелировать между собой, в результате чего возникает ближний порядок смещений (статические смещения) атомов. Эти эффекты нарастают по мере увеличения внешнего воздействия и при достижении порогового значения приводят к потере устойчивости решетки в определенных кристаллографических направлениях. Неупругость кристалла в окрестности структурного превращения резко возрастает, что связано с облегчением зарождения структурных дефектов в кристаллах со сдвиговой неустойчивостью [1, 2].
2. Кристаллический потенциал
в структурнонеустойчивом кристалле
Экспериментальные особенности в поведении структурнонеустойчивого кристалла и результаты теоретических исследований [1-4] позволяют предположить, что средний одночастичный потенциальный рельеф атома можно выбирать в виде суперпозиции одночастичных потенциальных рельефов исходной и конечной структуры (в виде асимметричного двухямного потенциала). Под структурнонеустойчивым кристаллом здесь и далее будем понимать кристалл, испытывающий превращение мартенситного типа (как полиморфное, так и изоморфное), вызванное изменением температуры или внешней механической силы. Например, при значении внешнего воздействия ниже критического более глубокая потенциальная яма соответствует исходной структуре, а мелкая яма соответствует конечной структуре. Состояние атома в глубокой яме будет основным, а состояние атома в мелкой яме возбужденным, поскольку совместный переход атомов в возбужденное состояние в кристалле возможен только в результате структурного перехода [1, 2], то есть когерентно. Условия появления когерентного поведения атомов решетки при изменении внешнего воздействия могут быть разными, и эта работа посвящена нахождению возможной физической причины возникновения когерентности в структурнонеустойчивом кристалле. И как следствие когерентности - определению возможного физического механизма возникновения предпереходного состояния в структурнонеустойчивом кристалле, как «суперпозиции двух структур с появлением в пространстве междоузлий новых разрешенных состояний» [1, 2].
Для определения понятия потенциального рельефа атомов рассмотрим плотность распределения атомов в кристалле
р(г, /) = £ V,<5(г -г (0), (1)
где VI - объем /-ого атома, суммирование ведется по всем атомам кристалла, расположенным в точках г;(/) в момент времени ¡. Энергию атомной системы, которой соответствует плотность распределения атомов р(г,/), можно представить в виде функционального ряда
Е (/) = Е0 +| У1(т, t )р(г, t) йг +
+(1/2) | К2(г, г') р(г, 0 р(Г, 0 йгйГ + .... (2)
Здесь ¥к - потенциал к-частичного взаимодействия атомов, интегрирование ведется по всему объему кристалла. По определению одночастичный потенциальный рельеф атома в момент времени / имеет вид
и (г, Г) = 8Е (/)/5р(г, /). (3)
Подставляя (1, 2) в выражение (3), получим и (г, t) = ¥1(т, /) + |К2(г, г') р(г', /) йг' +..., (4)
где наличие переменной / в одночастичном потенциале учитывает зависимость внешнего поля от времени. Суммируя бесконечный ряд (4) по известным потенциалам к-частичного взаимодействия атомов V, в каждый момент времени / можно найти форму рельефа и(г,/), задающего распределение атомов р(г,/). Однако, согласно (4), вид рельефа и(г,/) определяется зависимостью р(гД и поэтому решать задачу требуется самосогласованно. Такое решение может быть достигнуто либо с использованием теории псевдопотенциала [7], либо по аналогии с методом функционала электронной плотности [8], либо методами машинного моделирования [9].
Имея в виду дальнейшее рассмотрение макроскопических свойств, везде далее следует провести процедуру усреднения по времени ¡, отвечающему микроскопическим флуктуациям в распределении атомов р(г,/). Следуя эргодической гипотезе [10], для проведения такого усреднения вместо одного рельефа и(г,/), заданного в микроскопически определенный момент времени ¡, введем ансамбль сглаженных по времени эффективных рельефов {и(г)}. Они играют роль самосогласованных полей, действующих на атом, которые определены с учетом распределений р(г), получающихся при усреднении (1). Неравновесность системы выражается в медленном изменении усредненных величин и(г), р(г) со временем. Наличие ансамбля рельефов {и(г)} является отражением возможности перестройки заданного микроскопического рельефа и(г,/) в результате внешнего воздействия и взаимодействия атомов в кристаллической системе.
Оставляя в стороне вопрос о причинах той или иной перестройки потенциального рельефа и(г,/), представим ее заданием ансамбля эффективных рельефов {и(г)}. Тогда по определению средний потенциальный рельеф будет иметь вид функционального интеграла
< и (г) >= | и (г) Р{и (г)|Ди (г). (5)
где Р{Ц(г)} - плотность вероятности конкретного потенциального рельефа Ц(г) из ансамбля {Ц(г)}. Разумно предположить, что в структурнонеустойчивом кристалле наиболее вероятными являются потенциальные рельефы исходной решетки ЦА(г) и конечной решетки Ц^г). Для простоты выберем плотность вероятности Р{Ц(г)} при температуре структурного перехода в виде суммы 5-функций Р{и (г)} = (1/2)5[и (г) _и А( г)] +
+(1/2)5[и (г) -им (г)]. (6)
Тогда подставляя (6) в (5), получим
< и (г) >= (1 / 2)ил (г) + (1 / 2)им (г). (7)
Поскольку средний одночастичный потенциальный рельеф является периодической функцией координат, то достаточно рассмотреть его в одной элементарной ячейке с центром в начале координат. Потенциальные ямы узла исходной структуры и узла конечной структуры в элементарной ячейке при превращении мартенситного типа находятся на расстоянии, много меньшем межатомного, Ь«10-9 см [1, 2]. В случае, когда ширина локальной ямы исходной структуры ЦА(г+Ь/2) с центром в точке г=—Ь/2 и ширина локальной ямы конечной структуры ЦА(г-Ь/2) с центром в точке г=Ь/2 много меньше расстояния между ним, для потенциала <Ц(г)> (7), в котором находится атом, можно использовать следующее представление < и (г) >=-Уй [5 (г + Ь /2)+ 5 (г - Ь/2)]. (8)
Из (8) следует, что средний одночастичный потенциальный рельеф атома в структурнонеустойчивом кристалле имеет двухямный характер.
3. Атом в двухямном асимметричном потенциале
Рассмотрим кристалл, в котором происходит структурный переход, исходная структура - конечная структура при критическом значении внешнего воздействия. Для изоморфного превращения элементарная ячейка кристалла содержит только один атом, вектора конечных конфигурационных смещений атомов одинаковы, поэтому атомы кристалла образуют только одну подрешетку. В случае полиморфного превращения элементарная ячейка кристалла содержит несколько атомов, причем вектора конечных конфигурационных смещений атомов разные, поэтому кристаллическую решетку удобно разбить на несколько подрешеток с одинаковыми векторами конечных конфигурационных смещений.
Пусть значение внешнего воздействия меньше критического, то есть кристалл находится в исходной структуре. Тогда согласно результатам, полученным в предыдущем параграфе, каждый атом по-дрешетки будет находиться в асимметричном потенциале, который имеет два различных по глубине локальных минимума. Левая глубокая яма соответствует исходной структуре подрешетки, а правая мелкая яма конечной структуре подрешетки. Для
простоты вычислений будем считать, что минимумы исходной и конечной структур подрешетки лежат на одной оси, например х. Когда ширина локальных ям много меньше расстояния между ними для потенциала Ца(х), в котором находится атом, можно использовать следующее представление иа (х) = -уй5( х + Ь /2) - У2Ь5( х -Ь / 2). (9)
Здесь 5(х) - дельта-функция Дирака, ось х совпадает с осью, вдоль которой идет структурный переход в подрешетке, Ь - расстояние между левым и правым минимумом потенциала, У1, У2 - глубина левой, правой ямы соответственно, й - ширина левой и правой локальной ямы. Интегралы
ад ад
| У1й8(х + Ь/2) = уй, | У2й8(х-Ь/2) = У2й
-ад -ад
дают нам площадь (мощность) локальной ямы в точке -Ь/2 и Ь/2 соответственно. Мы считаем, что левая локальная яма больше правой (У1>У2), а расстояние между локальными ямами значительно больше ширины локальной ямы (Ь>>й). Удобно разделить асимметричный потенциал и(х) (9) на симметричную часть Ц(х), с локальными ямами одинаковой глубины, и поправку Д Па(х), связанную с разной глубиной (асимметрией) локальных ям иа (х) = и, (х) + Ди а (х), и5(х) = -У2йЗ(х +Ь /2) -У2й5(х -Ь /2), (10)
Диа(х) = (У2 - У)й5(х + Ь /2).
Предполагая асимметричную поправку малой (У|>У2)/У|<<1, сначала исследуем движение атома подрешетки в симметричном потенциале, а асимметрию потенциала затем учтем по теории возмущений. Хорошо известно, что движение атома в потенциальной яме Ц(х) (10) подчиняется уравнению Шредингера [11]
[-(Й2 /2т)д2 / дх2 + Пх(х)]¥(х) =-еГ(х). (11)
где Т(х) - волновая функция атома, -е - собственное значение энергии атома, которое выбрано явно отрицательным (е>0) так, как ищем только локализованные в потенциальной яме решения уравнения Шредингера. Симметричный потенциал Ц(х) задает два равновесных положения атома, причем при классическом движении атома его основное состояние в каждой локальной яме дважды вырождено, то есть е+=е- для четной Т+(х) и нечетной ¥_(х) собственной волновой функции (рисунок). Учет квантового туннелирования атома через потенциальный барьер между левой и правой локальной ямой снимает это вырождение (е+>е-) и существенно влияет на динамику такой двухуровневой системы. Чтобы найти собственные энергии е+,е- и собственные функции Т+,Т- из уравнения (11) запишем волновые функции Т+,Т- в виде
= А± {ехр[к± (х - Ь /2) ± ехр[кт± (х + Ь /2)}, для х <-Ь/2,
^± = А± {ехр[^± (х - Ь/2) ± ехр[-кт± (х + Ь /2)},
для -Ь/2<х<Ь/2, (12)
¥± = А± {ехр[-к± (х- Ь/2) ± ехр[-к+ (х + Ь /2)}, для х > Ь/2.
Здесь к- - характерный радиус локализации четной (+) и нечетной (-) волновой функции, А± -нормировочная константа. Волновые функции (12) должны удовлетворять граничным условиям и условиям нормировки, которые позволяют определить величины к± и А±:
¥± (-Ь/2 - 0) = ¥± (-Ь/2 + 0),
¥± (Ь/2 - 0) = ¥± (Ь/2 + 0), (13)
-(Й2 /2т)[д хТ± (-Ь /2 + 0) --д хТ± (-Ь /2 - 0)]¥( х) = -У2й Т± (-Ь / 2),
-(Й2 /2т)[дхТ±(Ь/2 + 0) --д хТ± (Ь /2 - 0)]¥( х) = -У2й Т± (Ь / 2), (14)
2
+ад ^ +ад
1|¥±(х)| йх = 1, | ^+ (х)'Р- (х)йх = 0. (15)
-ад -ад
Рисунок. Основное состояние и собственные функции для симметричного двухямного потенциала
Решая уравнение Шредингера (11) совместно с (13-15), получим
(Й2/ т)к± = У2й[1 ± ехр(-к± Ь)],
(2А±2 / к± )[1 ± (1 + к± Ь) ехр(-к± Ь)] = 1, (16)
е± = (Й2/2т)к±2. (17)
Поправку к собственной энергии атома ЙД, связанную с влиянием асимметрии потенциала ДЦа(х), вычислим в первом порядке теории возмущений по волновым функциям четного и нечетного состояний (12)
ЙД =< Т- |диа|¥+ >= (У2- У)йА+ А_ х х[1 + ехр(-к+Ь) -ехр(-к-Ь) -ехр(-к+ Ь- к-Ь)]. (18)
В пределе «слабого» туннелирования к±Ь>>1, что соответствует случаю почти классической атомной решетки, выражения (16-18) принимают вид
(Й2/ т)к± = У2й[1 ± ехр^К^1)],
А± = к± /2, к0 = У2й/(Й2 /т), (19)
Йю = е+ -е- = (Й2 /2т)[к+2 - к2] =
= 2У2йк0 ехр(-К-') ^ 0. (20)
ЙД = (У2 - У1)йк+ /4, (21)
К = (Й2/ т)/(У2йЬ). (22)
Здесь Йю - расщепление энергий четного и нечетного состояний атома (величина, характеризующая туннельный эффект), Кч - коэффициент кван-товости двухуровневой системы, который мал, когда туннелирование мало, и стремится к единице, когда туннелирование велико. Из (19-22) видно, что в пределе к±Ь>>1 расщепление энергий Ню стремится к нулю, туннельный эффект практически отсутствует. Следовательно, когерентная связь между четным и нечетным состоянием атома отсутствует, и мы имеем дело с классическим движением атома в левой потенциальной яме. Проведем оценку величин (19-22) для типичного переходного металла. Для значений У2=6,5.10-12 эрг, й=10-10 см, Ь=10-8 см, т=10-22 г, У|-У2=1,6.10-16 эрг, получим Кг1=6,4.102, к+=к-=6,4.1010 см-1, Ню^-0, ЙД=1,6.(У2-У|)=-2,6.10-16 эрг. Это означает, что на расстоянии Ь=10-8 см площадь горба, разделяющего левый и правый минимумы двухямного потенциала, равна У2Ь=6,5.10-20 эрг.см и квантовое туннелирование атома практически отсутствует, а асимметрия потенциала велика.
В пределе «среднего» туннелирования к+Ь«1, что соответствует случаю «среднеквантовой» атомной решетки, выражения (16-18) принимают вид
кчк±Ь = [1 ± ехр(-к±Ь)], (23)
(2А2/к± )[1 ± (1 + к± Ь)ехр(-к± Ь] = 1, (24)
Йю=е+-е-= (Й2/2т)[к+2 -к.2], (25)
ЙД = (У2 - У )йА+А_ [1 + ехр(-к+ Ь) -- ехр(-к-Ь) - ехр(-к+ Ь -к- Ь)]. (26)
Из (23-26) видно, что в пределе к±Ь«1 расщепление энергий отлично от нуля, а туннельный эффект велик. Следовательно, когерентная связь между четным и нечетным состоянием атома существует, и мы имеем дело с квантовым движением атома в двухямном потенциале. Проводя оценку величин (23-26) для значений У2=1,5.10-13 эрг, й=10-10 см, Ь=10-9 см, т=10-22 г, У|-У2=1,6.10-16 эрг, получим К^-1=1,5, к+=1,7.109 см-1, к-=0,5.109 см-1, Йю=3,6.10-14 эрг, М=0,16.(У2-У1)=-1,6.10-17 эрг. Это означает, что на расстоянии Ь=10-9 см площадь горба равна У2Ь=1,5.10-22 эрг.см, квантовое туннелирование атома велико, и необходимо учитывать квантовые свойства атомов решетки, а асимметрия потенциала значительно уменьшилась.
В пределе «сильного» туннелирования к+Ь^1, к-Ь<<1, что соответствует случаю «сильноквантовой» атомной решетки, выражения (16-18) принимают вид
Кдк+Ь = [1 ± ехр(-к+Ь)], (27)
(Й2 /т)к- = У2й[к-Ь - (1/2)к-2Ь2], (28)
А+2 =к+ /4, А = 1/(2к- Ь2), (29)
Ню = е+ - е- = (Й2 / 2т)к+2,
ЙД = (У2 -У1)йА+А-к-Ь[1 + ехр(-к+ Ь)]. (30)
Из (27-30) видно, что в пределе к+Ь^1, к-Ь<<1 расщепление энергий Ню четного и нечетного состояний велико, туннельный эффект велик. Следовательно, когерентная связь между четным и нечетным состоянием атома велика, и мы имеем дело с сугубо квантовым движением атома в двухямном потенциале. Отметим, что при стремлении коэффициента квантовости К к единице радиус локализации нечетной волновой функции к^1=Ь/(2/[1-К?] стремится к бесконечности, а асимметрия двухям-ного потенциала М«к-/2^0. Это свидетельствует о полной делокализации атома в двухямном потенциале и о неустойчивости состояния исходной кристаллической подрешетки с асимметричным двухямным потенциалом (М<0) относительно перехода в состояние кристаллической подрешетки с симметричным двухямным потенциалом (М=0), когда Д^1. Состояние кристаллической подре-шетки с симметричным двухямным потенциалом (М=0) будем называть предпереходным. Проводя оценку величин (27-30) для значений У2=10-13 эрг, й=10-10 см, Ь=10-9 см, т=10-22 г, У|-У2=1,6.10-16 эрг, получим К,-1=1, к+=1,3.109 см-1, к-=0,0хм-1, Йю=2,6.10-14 эрг, М=0Дэрг. Это означает, что на расстоянии Ь=10-9 см площадь горба равна У2Ь=10-22 эрг.см и квантовое туннелирование атома играет главную роль в его движении, атом полностью делокализован в двухямном потенциале, а асимметрия потенциала равна нулю.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пушин В.Г., Кондратьев В.В., Хачин В.Н. Предпереходные явления и мартенситные превращения. - Екатеринбург: УрО РАН, 1998. - 367 с.
2. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.
3. Ландау Л.Д. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. - 248 с.
4. Слядников Е.Е. Предпереходное состояние и структурный переход в деформированном кристалле // Физика твердого тела.
- 2004. - Т. 46. - № 6. - С. 1065-1071.
5. Блинц Р., Жекш Б. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики.
- М.: Мир, 1975. - 270 с.
4. Обсуждение результатов
Предложенная модель позволяет заключить, что средний кристаллический потенциал в кристалле, испытывающем структурный переход мартенси-тного типа, имеет двухямный характер. Поэтому систему конфигурационных возбуждений в структурнонеустойчивом кристалле необходимо описывать как квантовую систему псевдоспинов (квантовую двухуровневую систему). Эффект квантового поведения атомов решетки становится существенным, когда характерное расстояние между узлами исходной структуры и сопряженными узлами конечной структуры составляет менее 0,1 А (меньше амплитуды нулевых колебаний атома), а площадь горба, разделяющего левый и правый минимумы двухямного потенциала, менее У2Ь=1,5.10-22эргсм.
В окрестности структурного перехода исходная -конечная структура внешнее воздействие уменьшает площадь горба, разделяющего минимумы двухямного потенциала атома. Это приводит к возникновению эффекта квантового туннелирования атома и уменьшению асимметрии двухямного потенциала, что открывает возможность переходов из узлов исходной решетки в узлы конечной решетки (конфигурационных смещений) и возникновения предпереходного состояния. Под предпереходным состоянием кристалла здесь понимается такое конденсированное состояние кристалла, в котором атом решетки, вследствие эффекта квантового туннелирования, полностью делокализован в симметричном двухямном потенциале, то есть когда вероятность обнаружить атом в узле исходной и конечной структуры одинакова.
Таким образом, по мере увеличения внешнего воздействия ангармонические эффекты нарастают, а конфигурационные смещения атомов из узлов решетки увеличиваются и начинают коррелировать между собой. В результате этой корреляции происходит потеря устойчивости решетки в определенных кристаллографических направлениях, возникает ближний порядок смещений (статические смещения) атомов, протекает структурное превращение.
6. Вакс В.Г Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлек-триков. - М.: Наука, 1973. - 327 с.
7. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. - М.: Мир, 1973. - 557 с.
8. Марч Н., Кон В. Теория неоднородного электронного газа. -М.: Мир, 1987. - 400 с.
9. Биндер К. Методы Монте-Карло в статистической физике. -М.: Мир, 1982. - 337 с.
10. Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов. - М.: Мир, 1980. - 423 с.
11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1989. - 521 с.
