CC BY
46
УДК 658 DOI 10.12737/4170
Получено 03.02.2013 Одобрено 26.02.2013 Опубликовано 16.06.2014
Гатауллин Т.М.
д-р экон. наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Государственный университет управления», г. Москва
e-mail: [email protected]
Николотова С.В.
аспирант, ФГБОУ ВПО «Государственный университет управления», г. Москва
e-mail: [email protected]
основная задача предприятия в рыночной экономике
Аннотация
Приведено решение основной задачи предприятия в рыночной экономике, заменяющей линейную задачу оптимального планирования в плановой экономике. Эта задача основана на теории игр.
Ключевые слова:
плановая экономика, рыночная экономика, теория игр.
Gataullin ï^.
Doctor of Economics, Professor, FSBEI HPE «State University of Management», Moscow
e-mail: [email protected]
Nikolotova S.V.
Postgraduate Student, FSBEI HPE «State University of Management», Moscow
e-mail: [email protected]
Enterprise's Main Task in Market Economy
Abstract
The enterprise's main task in the market economy has been posted and its decision has been presented. This task is based on games theory and substitutes a linear task of optimal planning under state-planned economy.
Keywords:
state-planned economy, market economy, games theory.
70 лет наша страна жила в плановой экономике. Во всех технических вузах страны изучалась основная задача предприятия в плановой экономике. Линейная модель оптимального планирования, записываемая в матрично-векторной форме
СХ ^ max AX< B, X> 0,
где X — план производства; A — матрица норм расхода или технологическая анализируемого предприятия; B — вектор запасов ресурсов, C — строка удельных прибылей от реализации производимой продукции.
Созданная усилиями замечательных ученых — Л.В. Канторовичем, Дж. фон Нейманом, Дж. Данцигом — теория линейного программирования (ЛП) и ее важнейшая часть, теория двойственности, составляют сегодня основу высшего образования экономистов, а сами теории составляют основу прикладной математики. в статье представляем возможную замену указанных теорий игровой моделью производственно-хозяйственной деятельности — основной задачей предприятия в рыночной экономике. в роли анализируемого предприятия может выступать небольшая (на 2—5 работников) мастер-
ская по ремонту обуви, небольшая (на 20—30 работников) мебельная фабрика, делающая мебель по заказу населения, средних размеров автосервис типа «Оетег» (50—70 работников), сравнительно большой (на 100 работников) типовой магазин (типа «Дикси», «Пятерочки» и т.п.), супермаркет (более 100 работников) и т.д. Основное отличие от указанного выше «предприятия» плановой экономики — работа не по плану, а для удовлетворения услуг населения. Заметим, между прочим, что в постиндустриальной экономике сфера услуг становится преобладающей.
Введем необходимые математические объекты (в скобках указаны их размерности): вектор-столбец Х(т) видов и объемов видов деятельности; А = (Ах, ...,
Ат), где Х(т) — вектор-столбец прибыли, которую
т ]
можно заработать на удовлетворении спроса на у-й вид деятельности. Основной иллюстрацией будем считать следующую.
Магазин формирует план продаж на предстоящую неделю: видов товаров т (прохладительные напитки, кофе и чай, хлеб и кондитерские изделия, мороженое, мясо и полуфабрикаты из него, рыба и морепродукты и т.п.). Будем считать, что спрос на товары известен, имеет несколько градаций (непро-
гнозируемых, зависящих, например, от погоды) и зависит от неконтролируемых администрацией магазина факторов, например, количества больных работников или попросивших временные отпуска на несколько дней); этот спрос не регулируется и не прогнозируется, но полностью удовлетворяется. Приведенная выше задача максимизации прибыли заменяет, как и в указанной выше линейной модели, информацию о себестоимости изделий в анализируемом предприятии. рассматриваемая основная задача становится такой: найти план работы, т.е. веро-
т
ятностный вектор-столбец Р = (р.),р. >0,^р. = 1
з=1
распределения сил предприятия по видам деятельности, максимизирующий гарантированную среднюю прибыль.
рассмотрим задачу лП:
V ^ тах,
РТ ■ А; > V,
т
р > 0,Х р, = 1.
I=1
Приведем конкретный иллюстрирующий пример из [1].
магазин может завезти в различных пропорциях товары 4-х типов {Лх, Л2, Л3, Л4}. Их реализация и прибыль зависят от типа товара и состояний спроса, который может иметь 4 градации и 5 возможных состояний, например, спрос на товар Л1 может иметь значения 200, 400, 600, 400, 700.
Определим оптимальные пропорции закупаемых товаров из условия максимальной средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибылей
товары ^----прибыль от реализации —>
Л1 (200 400 600 400 700л
A A3
лЛ
300 400 600 500 800 400 500 600 500 800 v700 300 500 200 100,
рассматриваемая задача может быть проанализирована как игра с Природой: магазин, 1-й игрок — активный; он выбирает тип товара или их смесь в различных пропорциях; Природа, 2-й игрок — пассивный; элементы матрицы — прибыли — выигрыши магазина, т = 4, п = 5,так что у 1-го игрока 4 чистых стратегии, у 2-го игрока-Природы — 5 чистых стратегий.
Для анализа игры можно было бы применить теорию лП, однако обойдемся без мощных теорем лП. Запишем задачу более подробно:
V ^ max,
PT ■ Aj > V, j = l,...,m.
Как в матричных играх здесь тоже справедливо утверждение: если стратегия Р обеспечивает 1-му игроку выигрыш не менее V против каждой чистой стратегии 2-го, то она обеспечивает выигрыш не менее V и против любой (вероятностной) стратегии 2-го.
Обозначим
Dj = {(V,P): PT ■ Aj > V,(V,P) с R1+m},D = nDj ,
тогда рассматриваемая задача такова: во множестве D найти самую высокую точку (считая по координате V). Поскольку все множества Dj ограничены и замкнуты, стало быть компактны, то и множество D таково, так что существование этой точки несомненно.
По структуре задачи в решении задачи будем строить нижнюю огибающую (по координате V) семейства гиперплоскостей в общем случае (отрезков в нашем конкретном случае), затем в этом множестве ищем самую верхнюю точку (по координате V).
Для упрощения игры применим принципы доминирования:
доминирование выглядит так: 2-я строка доминирует 1-ю (a2 > a1); точно так же 3-я строка доминирует 2-ю. Удаляем верхние две строки — 1-ю и 2-ю, исходные данные упрощаются.
Остается такая матрица
' 400 ч 700
500 300
600 500
500 200
800Л 100
но упрощения продолжаются: теперь применимо доминирование со стороны 2-го игрока (Природа не «зловредна», но 1-й игрок хочет получить гарантированную максимальную прибыль, поэтому при графическом решении задачи отбрасываем «большие столбцы». Так, 2-й столбец доминирует 4-й — В2 > В4 , а этот 4-й доминирует 3-й, так что удаляем 3-й и 2-й столбцы и остается такая матрица (400 500 800^
, игру с которой решать будем гра-
^700 200 100,1
фически. рассмотрим графическое решение игры: обозначим (х, 1 - х) оптимальную стратегию 1-го игрока и начертим графики 3-х функций:
^(х) = 400х + 700(1 - х), v2( х) = 500х + 200(1 - х), v3( х) = 800х +100(1 - х)
Классическая теория двойственности сохраняется с очевидными изменениями формулировок.
Рассмотрим еще одну подобную задачу. Предприниматель озабочен частыми проверками: пожарными (П), электробезопасностью (Э), архитектурным надзором (А), миграционной службой (М). Проверки завершаются штрафами. матрица штрафов (как в предыдущей задаче штрафы меняются из-за различных режимов работы предприятия предпринимателя и характера проверок):
A =
П 200 400 550 600
Э 600 400 300 200
A 200 200 200 200
M 300 400 300 300
Нижнюю огибающую образуют отрезки трех прямых
у1( X) = 400X + 700(1 - х); у2( х) = 500х + 200(1 - х); у3(х) = 800х +100(1 - х).
Верхняя точка этой нижней огибающей — точка С пересечения прямых 1-й и 2-й:
4 х + 7(1 - х) = 5х + 2(1 - х),
отсюда
X* = 5/6, v1(X*) = 400X * +700(1 - х*) = 450.
Эта стратегия и позволяет магазину получить максимальную среднюю прибыль — V = 450, причем при отходе его от оптимальной стратегии х* = 5/6 эта средняя прибыль уменьшается из-за случайного (не сознательного!) изменения Природой выбора 2-го столбца — при уменьшении х* и выбора 1-го столбца — при увеличении х*. Однако и администрация магазина должна внимательно следить за ситуацией: если Природа вдруг выберет 3-ю стратегию, надо увеличить х*, что приведет к увеличению средней прибыли магазина.
Добавляя при необходимости положительные элементы, можем считать цену игры положительной, и, вводя новые переменные
X = Р / V, У] = 1] / V, получим симметричную пару двойственных задач:
X x ^ min
i=1
X yj ^ max
j=1
Xaijxi >1 j = 1,...,n XацУз ■ = i =1 j =1
xi > 0 i = 1,...,m yj > 0 j- 1,...,n
m
Как и предыдущую задачу, эту рассмотрим как игру Предпринимателя с Природой. Предприниматель хочет платить гарантированный средний штраф, не более, поэтому он игнорирует последние две малые строки в силу их малозначительности, а поскольку мы хотим минимизировать проигрыш 2-го игрока, то, чтобы свести рассматриваемую игру к привычной схеме оставшуюся матрицу
П 200 400 550 600
B =
Э 600 400 300 200 перевернем
R =
^200 600л
400 400
550 300
600 200
Итак, Природа — 1-й игрок, имеет 4 чистых стратегии; Предприниматель — 2-й игрок и мы хотим найти стратегию 2-го, гарантирующую минимальный средний проигрыш.
Соответствующая задача ЛП такова:
V ^ min,
Rj ■ P < V, j = 1,...,m.
Приведенной матрице можно придать следующий содержательный смысл: проведение проверки и наложение штрафов на филиале предприятия описывает 3-я строка снизу; в праздничные дни — верхняя строка; у предпринимателя распределение сил между Пожаробезопасностью (П — столбец слева) и Электробезопасностью (Э — столбец справа). Обозначим y вероятность уделять внимание 1-й заботе, (1 - у) — 2-й заботе (опасности быть оштрафованным электриками) и рассмотрим четыре функции:
V
V
V
x
v1( y) = 200y + 600(1 - y); v2( y) = 400y + 400(1 - y); v3( y) = 550y + 300(1 - y); v4( y) = 200y + 600(1 - y).
находим верхнюю огибающую
м>(у) = sup{ví■ (у): ■ = 1,...4}
и ее нижнюю точку V — пересечение прямых у2, г4: 400у + 400(1 - у) = 200у + 600(1 - у), так что координаты точки V есть у* = 2/3, V = 400. Итак, гарантированный средний штраф равен V = 400, не более; распределение сил (внимания) между Пожарной безопасностью и Электробезопасностью (2/3, 1/3). При отходе Предпринимателя от оптимальной стратегии его средний штраф увеличивается при уменьшении у* за счет выбора Природой случайного (не сознательного) 4-й стратегии и при увеличении у* за счет случайного (не сознательного) выбора Природой 2-й стратегии. При этом Предприниматель должен внимательно следить за действиями проверяющих: если он заметит их отход к 1-й или 3-й стратегии, то должен скорректировать выбор у*, увеличив или уменьшив эту величину с целью уменьшения средней величины штрафов.
Литература
1. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций. 3-е изд. М.: Изд.-торговая корпорация «Дашков и К», 2006.
References
1. Shapkin A.S., Mazaeva N.P. Matematicheskie metody i modeli issledovaniya operatsiy [Mathematical Methods and Models of Operations Research], Moscow, «Dashkov i K» Publ., 2006.
