CC BY
55
Key words: mobile robot, manipulator, TV-modulus, angle of elevation, angle of azimuth, angle velocity, aberration, scanning, blurring.
Androsov Alexey Yurievich, postgraduate, elarkin@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Gorshkov Alexey Anatolievich, postgraduate, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Lutskov Yuriy Ivanovich, candidate of technical science, docent, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.391
ОШИБКИ ПРИ ВВОДЕ ДАННЫХ В ЭВМ
А.А. Аршакян
Исследуется процесс ввода сигнала заданной формы в ЭВМ. Показано, что ввод может быть осуществлен под управлением тактового генератора с высокостабильной частотой, внешних прерываний и полинга. Полинг порождает поток заявок на транзакции со случайными параметрами. Определена плотность распределения времени между двумя последовательными транзакциями. Найдены ошибки ввода данных для исследованных случаев.
Ключевые слова: сигнал, ввод, прерывание, полинг, высокостабильный генератор, частота Найквиста, шум стохастической дискретизации.
Современные системы автоматизации и управления, как правило, включают ЭВМ, на которой реализуются законы управления, различного рода логические функции, связь с другими объектами, интерфейс с оператором и т.п. [1, 2, 3]. Включение ЭВМ фон-неймановского типа в контур цифрового управления порождает проблемы, связанные с последовательным характером интерпретации алгоритмов. Одной из проблем является проблема чистого запаздывания между транзакциями, что понижает точность обработки данных в системе [4, 5, 6, 7].
Управление оцифровкой данных сенсорной системы при вводе их в бортовую ЭВМ может осуществляться в результате:
функционирования встроенного таймера, формирующего запросы на ввод данных из сенсорной системы с высокостабильной частотой; программным путем (с использованием процедуры поллинга); внешних, по отношению к ЭВМ, прерываний [8]. В первом случае, ошибка дискретизации при вводе данных является минимальной [2, 3]. Моделью прибора, осуществляющего дискретизацию, является идеальный мультипликативный дискретизатор, в котором преоб-
разование сигнала выражается как произведение функции х(?) на дискрети-
¥
зирующую функцию о(?) = X 8(? - кТ), которая представляет собой век-
к=-¥
тор бесконечных сумм импульсов с бесконечно малой длительностью и бесконечно большой амплитудой
¥
Х(? ) = х(?) 15(? - кг), (1)
к=-¥
где г - период дискретизации; - кг) - ¿-функция Дирака.
Сигнал х(?) и дискретизирующая функция о(?) должны удовлетворять теореме Котельникова [2], которая формулируется следующим образом. При дискретизации сигнала х(?), имеющего ширину области ненулевых значений спектральной характеристики Ь идеальным дискретизатором с периодом г, должно выполняться условие Найквиста, т.е.
Ь £2р. (2)
г
Без искажений сигнал с ограниченной областью ненулевых значений спектральной характеристики восстанавливается с помощью идеального восстанавливающего фильтра, имеющего прямоугольную передаточную характеристику Ж(ю) вида
. 1 при Ж (ю) = \
0 при
ю< а/2; (3) Ю> а/2, (3)
где а - ширина восстанавливающего фильтра; ю - круговая частота.
Фильтр Ж(ю) должен быть широкополосным настолько, чтобы спектр Х(ю) X(ю) = 3[х(?)], где 3[...] - преобразование Фурье, полностью лежал внутри границы области ненулевых значений частотной характеристики фильтра. Фильтр Ж(ю) должен быть узкополосным настолько, чтобы области ненулевых значений соседних сдвинутых спектров не попадали внутрь границы области ненулевых значений частотной характеристики фильтра. Приведенные условия позволяют дополнить (2) следующим неравенством:
2Р
Ь < а < — . (4)
г
В случае, если условие (4) не выполняется, даже в случае идеального восстанавливающего фильтра возникает ошибка дискретизации [2, 3, 9, 10, 11], величина которой определяется следующим образом:
а 2
е = 2 Ц X (ю)|2 dw + 2 X ]
а к=-¥, о
2 к Ф 0
X
' 2рГ 2 ю--
V г
dw, (5)
где первый интеграл характеризует мощность части спектра центральной (основной) области спектра, попавшей, фильтруемой восстанавливающим фильтром, а второй интервал характеризует мощность боковых частей спектра, пропускаемых фильтром.
Во втором и третьем случае в системе обработки данных имеет место стохастическая дискретизация, которая вносит дополнительную ошибку.
При поллинге возникает задача оценки параметра потока сигналов управления вводом данных. При этом алгоритмы, реализующий поллинг, имеют ряд специфических особенностей, которые были исследованы в ряде работ [12, 13, 14]. Алгоритмы являются циклическими, т.е. они имеют оператор начала, но не имеют оператора окончания; опрос периферийных устройств производится в цикле, за счет включения в алгоритм специальных операторов управления транзакциями; выбор ветви продолжения вычислительного процесса в местах ветвления алгоритма является случайным и определяется условиями, включенными в операторы принятия решения и законами распределением обрабатываемых данных; Время выполнения операторов алгоритма является случайным, причем функции распределения времени выполнения операторов также определяются законами распределения обрабатываемых данных.
Процесс интерпретации детерминированного алгоритма при организации поллинга рассматривается как полумарковский процесс с непрерывным временем [12, 13, 14, 15]:
м = {а, я, ад}, (6)
где a = {а1, ..., а]-, ..., а^ - состояний процесса, совпадающее со множеством операторов алгоритма; Я = ] - матрица смежности размером JxJ, отражающая структуру алгоритма; Н(() - полумарковская матрица размером JxJ, задающая стохастические и временные параметры полумарковского процесса;
|1, если из состояния aj можно попасть в состояние ап;
■1п ~ 10, если из состояния а j нельзя попасть в состояние ап;
н(г) = р ® /(?)=\рм • fjn (?)]; (7)
Р = [pjn ] - матрица вероятностей переключения в и-е состояние после завершения пребывания в j-м состоянии; / (? ) = [fjn (?)] матрица плотностей
распределения времени пребывания полумарковского процесса в j-м состоянии при условии последующего переключения в и-е состояние.
При смене состояний полумарковского процесса он через случайные моменты времени попадает с определенной вероятностью в операторы запроса на ввод сигнала s(t).
В [12] показано, что полумарковский процесс, моделирующий работу обобщенного алгоритма, является эргодическим.
428
Выделим в циклическом алгоритме операторы опроса контроллера ввода сигнала x(t). Без нарушения общности рассуждений можно считать, что выделенные операторы алгоритма, а следовательно и состояния полумарковского процесса имеют индексы с наименьшими значениями, т.е.
A з As = (а^..., as,..., aS), 5 < ^ (8)
Очевидно, что каждое переключение из состояния а5 е As в состояние аг е As формирует поток опросов контроллера ввода сигнала х(().
Расщепим состояние а5 е As на два: начальное а^) и конечное а5 (е). Таким образом, из исходного эргодического полумарковского процесса (6) формируется полумарковский процесс
М = (А', Я, Н'(0], (9)
в котором:
А = {а1(Ь),а5(Ъ), а5(Ъ)+1, ауaJ, aJ+1^aJ+5(е)|; (10) матрица Я' = [я уп] имеет размеры ^ + 5)x(J + 5), а ее элементы
Яуп имеют значения
к']П =
0, если у > J, или 1(Ъ) < п < 5(Ъ);
Я]п, если 5(Ъ)+1 < у < J и 1(Ъ)< п < J; (11)
или если 5(Ъ)+1 < у < J и J + 1(е)< п < J + 5(е);
матрица имеет размеры (J + 5 )х ^ + 5), а ее элементы
Иуп ^) имеют значения
У ( ) =
0, если у > J, или 1(Ъ) < п < 5(Ъ);
^), если 5(Ъ) +1 < у < J и 1(Ъ) < п < J;
(12)
или если < п < J + 5(е);
состояния подмножества {а1(Ъ),...,as(ъ),...,а5(ъ)} являются начальными, а состояния подмножества {аJ+1(е),..., аJ+s(e),..., аJ+5(е)} являются поглощающими.
Рис. 1. Формирование начального и конечного состояний в эргодическом полумарковском процессе
Развитие полумарковского процесса (9) представляет собой блуждания по графу состояний (10), (11) со взвешенными плотностями распределения (12). Каждая случайная последовательность переключений начинается в одном из начальных состояний подмножества {а1(ь),..., а8 (ь ),..., а$ (ь )} и оканчивается в одном из поглощающих состояний подмножества {aJ..., aJ+^у..^ aJ+£(в)\(рис. 1).
Для матрицы Н' (?) может быть найдена характеристическая матрица по зависимости
Н» = 3[Н' (?)]. (13)
По характеристической матрице может быть найдена плотность распределения времени блужданий по промежуточным состояниям полумарковского процесса из а8(р) в aJ+г( е)
^«(0=^^« (14)
К ' К ' Ps(Ь),г(е)
где
¥
К(Ь),г(е)(?)= X 3-1 [14ь)[Н'М]и /«(е)]; (15)
и=1 v '
3-1 - обратное преобразование Фурье; 6 - знак транспонирования; /5(Ь) = [0, ..., 0, 1, 0, ..., 0, 0, ..., 0];
1(Ь) s(ь)-1 s(Ь) ф)+1 J J+l(e) J+£(е)
/5(е) = [0, ..., 0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0];
1(ь) J J+1(е) J+s(e )-1 J+s(e) J+s(e )+1 J+£ (е)
¥
Р1(Ь),г(е) = |К{Ь),г(е)(?)dt.
0
В результате проведенных выкладок определены взвешенные плотности, вероятности и плотности распределения полумарковской матрицы процесса
М' = {А", Я", Н"(?)}, (16)
где А' = {а1,..., ,..., а£} - множество состояний, соответствующих операторам алгоритма, генерирующим запрос на выдачу/получение данных от периферийного устройства; Я" = [$'8г ], RSг = 1 - матрица смежности размером БхБ, отражающая структуру полного графа с петлями; Н" (? ) = [^г (?)] -полумарковская матрица размером £х£; Н^г (?) = ) г(е)(?); 1 < $(Ь), г(е), я, г < £
Полумарковский процесс (16), также как и полумарковский процесс (6), является эргодическим, причем каждое его переключение моделирует
430
одно обращение алгоритма к периферийному устройству.
Известно, что для внешнего, по отношению к эргодическому полумарковскому процессу (16), наблюдателя вероятность пребывания процесса в произвольный момент наблюдения в наблюдаемом состоянии равна отношению математических ожиданий времени пребывания к времени возврата в наблюдаемую позицию. С учетом этого плотность распределения времени между двумя опросами периферийного устройства при вводе сигнала x(t) определяется по зависимости:
S (b ) S(e )
&(t )= È È ps(b )hS(b), r (e )(t ), (17)
s(b )=1 r (e)=1
где И^(ь )r (e)(t ) - определяется выражением (15);
p
T
= —S.
s(b ) T
-L С
(18)
Т8 - математическое ожидание времени пребывания процесса в состоянии а; Т^ - математическое ожидание времени возврата процесса (16) в состояние а
S '
S
Ts = i t È hS(b),r(e)(t)dt
0 r(e)=1
(19)
Величина Т8 может быть определена по вышеприведенной методике определения плотностей /*(р )г е)^). Расщепим состояние а 5 на состояние а8 и состояние а£+1 (рис. 1). При этом будет сформирован полумарковский процесс
Ыт = {А Н т ^)}, (20)
Лт Г / /1
где А ={а1,..., а 5 _1, а 5, а 5+1,..., а £, а £+1} - множество состояний;
(1 ... 1 о 1 ... 1 П 1
R" =
1 ... 1 0 1 ... 1 1 1 ... 1 0 1 ... 1 1 1 ... 1 0 1 ... 1 1
h'" (t )=
' hy(t )
hS-1,1(t ) hS,1 (t ) hS+1,1(t )
hS ,1(t ) 0
1 ... 1 0 1 ... 1 1
0 ... 0 0 0 ... 0 0
1 ... s -1 s s +1...
h1, s-1(t ) 0 h1, s+1(t )
S S +1
s -1.
s . s + 1
S S+1
hs-1, s-1(t ) 0 К-1, s+1(t )
Ks-1(t ) 0 hs, s+1(t )
К+1, s-1(t ) 0 К+1, s+1(t )
hS ,s-1(t ) 0 hS, s+1(t ) 000
h" S (t ) Ц s (t ) ' К-1, S(t ) К-1, s(t )
hs, S(t ) hs,s(t )
hs+1, S (t ) hs+1, s (t )
hS, s (t ) hS, s (t ) 00
OO
Полумарковский процесс (20) не является эргодическим, блуждания из состояния в а£+1 дают составляющие плотности распределения времени возврата в состояние as.
Среднее время Т8 возврата процесса (16) в состояние as определяется по зависимости
~ = I? X3-1[/*3[Г(?)]и/б+1^. (21)
0 и=1
Таким образом, плотность распределения времени между двумя опросами датчика при вводе сигнала х(?) может быть определена исходя из алгоритма поллинга (структурный аспект), плотностей распределения времени
Время выполнения операторов алгоритма является случайным, причем функции распределения времени выполнения операторов также определяются законами распределения обрабатываемых данных. В третьем случае, когда ввод данных х(?) обеспечивается по сигналу внешних, по отношению к ЭВМ, прерываний плотность распределения времени между двумя последовательными транзакциями можно также считать распределенным по закону g (?), причем если этот закон формируется программным путем, то для его определения может быть использована вышеизложенная методика, примененная к внешнему устройству. Если прерывания организуются аппаратно, то плотность распределения g (?) может быть определена, например, экспериментально.
Рассмотрим два последовательных ввода данных в ЭВМ. Поместим начало координат временной оси в момент времени первой транзакции. Тогда интервал времени между начальной и следующей транзакцией является случайной величиной, распределенной по закону g (?) (рис. 2). Сигнал х(?) будем считать гладкой, трижды дифференцируемой функцией.
В первом приближении можно считать, что сигнал, подвергающийся дискретизации, на интервале, отстоящем от момента первой транзакции на величину, определяемую плотностью распределения g(?), меняется по линейному закону х(?)
х(? ) = с(? - Tg)+ х0, (22)
¥
где Х0 = x(Tg), где Tg = Itg(?)Л - математическое ожидание плотности
0
dx(t)
распределения g(?); с-
dt
кривой х(?) в точке Т^.
коэффициент наклона касательной к
?=Т
Момент первой транзакции
gх(x)
Момент следующей транзакции
Рис. 2. Случайные транзакции при вводе сигнала х(()
х(?) + сТ^ — Х0
Из (22) следует, что ?
. В этом случае плотность рас-
пределения величины х в сечении Tg определяется зависимостью
gx (х ) = - • g
х + сТ^ — х0 с
(23)
Таким образом, шум представляет собой серию импульсов с дисперсией, определенной в виде
Вх = с2 У (? — Т§ )2 g (? )dt.
(24)
?=0
Для оценки величины шума следует определить стах. Максимума
dx
величина с = — с достигает в точках dt
d2х(?) = 0. d3х(?)
dr
dt3
< 0, пусть это бу-
дут точки стах1,..., стах j (с),..., стах J (с). Тогда мощность шума от стохас-тичности дискретизации не превышает значения
8 < {тах[стахЬ ..., стах j(с),
^тах J\c
J (с
)Р I(? — ТЕ)2g(?)dt. (25)
?=0
Шум стохастической дискретизации добавляется к ошибке, определенной в результате несоблюдения условий Найквиста, вытекающих из теоремы Котельникова, и увеличивает общую ошибку дискретизации.
Таким образом, в этой статье приведены аналитические математические модели различных способов ввода данных в ЭВМ. Показано, что при полинге и вводе данных по внешним прерываниям возникает эффект случайности времени между двумя последовательными транзакциями. Это порождает дополнительную ошибку ввода, которая может быть оценена объективно, во-первых, с использованием условий Найквиста, а во-вторых, по параметрам плотности распределения временных интервалов между транзакциями. Оценка возникающих ошибок на этапе проектирования систем обработки данных позволяет сформировать методики их оптимального
с
с
проектирования.
Список литературы
1. Ларкин Е.В., Жуликова (Котова) Н.А. Оценка производительности бортовых управляющих ЭВМ /Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. Вып. 5. Ч. 2. Тула: ТулГУ, 2002. С. 266 - 271.
2. Котов В.В., Ларкин Е.В., Устинов Л.А. Основы проектирования наземных комплексов Тула: Изд-во ТулГУ, 2005. 210 с.
3. Ларкин Е.В., Акименко Т.А., Аршакян А.А. Управление информационными процессами в робототехнических комплексах специального назначения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. 150 с.
4. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Временные и вероятностные характеристики транзакций в цифровых системах управления // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 252 - 258.
5. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Прогнозирование времени выполнения алгоритма // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 301 - 315.
6. Ларкин Е.В. К вопросу об оптимизации времени выполнения алгоритмов // Алгоритмы и структуры систем обработки информации. Тула: ТулГТУ, 1995. С. 41 - 48.
7. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Обобщенная полумарковская модель алгоритма управления цифровыми устройствами // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 221 - 228.
8. Ларкин Е.В. Моделирование прерываний // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами. Тула: ТулГТУ, 1994. С. 74 - 80.
9. Ларкин Е.В., Аршакян А.А., Клещарь С.Н. Оценка статических потерь информации в сканирующих устройствах // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 388 - 392.
10. Ларкин Е.В., Аршакян А.А. Определение соотношения сигнал/шум в системах наблюдения // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 168 - 175.
11. Ларкин Е.В., Аршакян А.А. Наблюдение целей в информационно-измерительных системах // Сборник научных трудов Шестой Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами «СУЭТО-6» Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 222 - 225.
12. Ларкин Е.В., Гулимов М.В. Метод построения статических моделей процесса стохастической дискретизации по времени цифровых систем управления // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Ч. 2. Тула: ТулГУ, 2001. С. 8 - 12.
13. Ларкин Е.В., Гулимов М.В. Вероятностный анализ цифровых
систем управления со случайным периодом дискретизации // Известия ТулГУ. Проблемы специального машиностроения. Вып. 4. Ч. 2. Тула: Тул-ГУ, 2001. С. 12 - 16.
14. Ларкин Е.В., Гулимов М.В. Стохастическая дискретизация при цифровом управлении объектами // Известия ТулГУ. Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Т. 3. Вып. 1. Вычислительная техника. Тула: ТулГУ, 2001. С. 11 - 15.
15. Ларкин Е.В. К вопросу о расчете временных характеристик сетей Петри-Маркова // Известия Тульского государственного университета. Вычислительная техника. Автоматика. Управление. Т. 1. Вып. 1. Вычислительная техника. Тула: ТулГУ, 1997. С. 68 - 75.
Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, докторант, elarkinamail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ERRORS OF INPUT DATA TO COMPUTER A.A. Arshakyan
Process of input of signal pre-determined form to computer is investigated. It is shown, that input may be done under control of high-stable tact generator, external interruptions and poling. Poling generates flow of transactions with probable parameters. Density of time between sequential transactions is determined. Errors of input data for all investigated cases are found.
Key words: signal, input, interruption, poling, high-stable generator, Nyquist frequency, stochastic discrete noise.
Arshakyan Alexander Agabegovich, candidate of technical science, postgraduate, [email protected], Russia, Tula, Tula State University
