CC BY
11
Условие (И2) принимает вид
03 (Р£ ([х] , )) = ),02([у]е,а )).
Запишем цепочку равенств:
03^([х]%1, [у])) = 03([^(х,у)]е,з) = ^(х,у)); так как ^ — гомоморфизм, то
^з(^(х,у)) = Ф(^1(х),^2(у)) = Ф(01([х]е,1) , 02([у]£,2 )).
Обратная импликация в (1) может не выполняться. Таким образом, тройка отображений (01,02, 03) является изоморфным вложением фактор-игры О/ в игр у Г.
Теорема доказана.
УДК 517.518.85
С.П. Сидоров
ОШИБКА ОПТИМАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ АЛГОРИТМАМИ
Пусть W есть замкнутое уравновешенное выпуклое подмножество линейного пространства X. Рассмотрим проблему оптимального восстановления линейного функционала Ь на основе множества значений линейных функционалов /1,..., /п. Для / € W положим
I/ := (//,...,/п/).
Оператор I : W ^ Кп называется информационным.
Задачи оптимального восстановления функционалов возникают во многих приложениях теории приближения функций и привлекают повышенное внимание. Подробное изложение предмета можно найти в статье [1] и книге [2].
Пусть У — некоторый конус в Кп. Пусть Ф(У) означает класс всех линейных алгоритмов А : Кп ^ К, использующих информацию I, таких, что А(у) ^ 0 для всех V € V.
Величина
в(Ь^,1,У):= вир |Ь/ - А(1/)|
ЛеФ(У) f 66
есть ошибка задачи оптимального линейного восстановления линейного функционала L на W на основе информации If, f G W, с ограничением V.
Нам потребуется следующее утверждение. W
множество линейного пространства X и V есть некоторый конус в Rn. Тогда,
e(L, W, I, V) > sup Lf.
fGW, -IfGV
Доказательство. Имеем e(L,W,I,V) > inf sup (Lf - A(If)) >
^(V) fgW
> inf sup (Lf + A(-If)) >
^Ф^) f gW, -If gV
> inf sup Lf = sup Lf.
Ag$(v) f gW, -If GV f G W, -If GV
□
Рассмотрим конус V+ := {v G Rn : v > 0}.
Пусть n = pr, p G N r G N P,r > 2 D = [0,1]r, X = C(D) есть пространство непрерывных на множестве D функций, Z = (Ci,..., Zr) G GD
A = {(x^,...^ ]) : 0 < j < p} С D множество точек, координаты которых лежат в узлах многомерной сетки
0 < xf] < ... < xf] < 1, i = 1,...,r.
Множество A содержит n точек, перенумеруем их и обозначим a[i], i = 1,..., n.
Пусть L = ô0 I = , ...A„ ^ Т.е. Lf = f (() И If =
= (f (a[1]),...,f (a[n])).
Обозначим Pm множество всех алгебраических многочленов степени порядка не выше m заданных на множестве D, и
< 1, 1 < ij < r, j = 1,..., r j>. Пусть Z G D и xfi] < Zï < xfi+1], i = 1,... , r. Обозначим
1 r ( fc+1] + fc] \2 1 r ( x[ki+1] Jk] \2
p(xi,...,xr) = 2E(xï-Xi 2+Xi j -1E(Xi 2 Xi j .
P *
p = p(xi, ... ,Xr ) G Pm
« ^ ... i
'1 'm
Теорема. Имеет место следующая оценка ошибки оптимальной интерполяции на множестве P^ на основе информации I с ограничением V+:
в(дс ,P2V,V+) =
Доказательство. Если m = 0 или m = 1, то утверждение легко следует из леммы. Рассмотрим случай m = 2. Очевидно, p £ P2 и -Ip £ V+. Из леммы следует, что
e(Sc,P2,I,V+) > sup f (Z) >p(Z). fGP2, -IfGV+
Линейный алгоритм, дающий верхнюю оценку, может быть успешно построен [3]. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00167-а) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Micchelli СЛ., Rivlin T.J. Optimal estimation in approximation theory // A survey of optimal recovery. N. Y,: Plenum Press, 1977. P. 1-54.
2. Трауб Дж., Вожъняковский X. Общая теория оптимальных алгоритмов. М,: Мир, 1983.
3. Васильев Р. К. О порядке приближения функций многих переменных линейными положительными операторами конечного ранга // Мат. заметки. 1993. Т. 53, вып. 1. С. 3-15.
УДК 513.6
М.Н. Сусин
ТОЛЕРАНТНЫЕ ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРОСТРАНСТВА ТОЛЕРАНТНЫХ ПЕТЕЛЬ
В статье с помощью свойств толерантного расслоения путей и точной гомотопической последовательности толерантного расслоения доказываются классические свойства толерантных гомотопических групп пространства толерантных петель.
Толерантное пространство [1] — это пара (X, т), где т £ X х X — отношение толерантности на множестве X, т.е. рефлексивное и симметричное бинарное отношение. Отношения толерантности являются наиболее общей математической моделью понятия схожести и заменяют непрерывность в различных областях математики и ее приложений.
0, m = 0,1,
P(Cb . . . ,Zr), m = 2.
