CC BY
12
2020 Математика и механика № 66
МЕХАНИКА
УДК 532.5.01
DOI 10.17223/19988621/66/6
В.А. Архипов, С.А. Басалаев, Н.Н. Золоторёв, К.Г. Перфильева
ОСАЖДЕНИЕ БИДИСПЕРСНОГО КЛАСТЕРА ТВЕРДЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ1
Представлены результаты экспериментального исследования гравитационного осаждения бидисперсного кластера твердых сферических частиц в вязкой жидкости. Разработана экспериментальная установка для исследования осаждения сферического полидисперсного кластера равномерно перемешанных частиц с нулевой начальной скоростью осаждения и с контролируемым значением начальной объемной концентрации частиц. Получены качественные и количественные данные по движения бидисперсного кластера твердых сферических частиц. Проведен сравнительный анализ характеристик осаждения моно- и бидисперсного кластера частиц.
Ключевые слова: бидисперсный кластер частиц, гравитационное осаждение, коэффициент сопротивления, экспериментальное исследование.
Исследование характеристик движения кластера частиц при осаждении в поле силы тяжести представляет интерес в задачах экологии (в частности, очистка воды от угольной пыли в открытых разрезах) и метеорологии, в теплоэнергетике, в химической технологии и в ряде других отраслей техники и технологии [1, 2].
Для определения эволюции формы и скорости осаждения кластера частиц используются, как правило, результаты экспериментальных исследований, так как теоретический анализ задачи не позволяет однозначно определить данные параметры [3-7]. Результаты экспериментальных исследований закономерностей гравитационного осаждения совокупности твердых частиц приведены в работах [8-16]. Анализ известных экспериментальных методов показал, что одним из определяющих факторов, влияющих на характеристики осаждения частиц, является способ введения частиц в жидкость.
В настоящей работе представлены метод и результаты экспериментального исследования гравитационного осаждения с нулевой начальной скоростью бидис-персного кластера твердых сферических частиц в вязкой жидкости.
Описание установки и методика проведения эксперимента
Схема установки [17] для исследования осаждения кластера твердых частиц приведена на рис. 1. Установка состоит из прозрачной кюветы с жидкостью, выполненной в виде прямоугольной призмы размером 300x300x900 мм, погруженного в вязкую жидкость сферического контейнера, наполненного твердыми сфе-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 15-1910014) и Минобрнауки РФ в рамках государственного задания N0. 0721-2020-0036..
рическими частицами и системы визуализации. Контейнер состоит из неподвижной 1 и подвижной 2 водонепроницаемых оболочек, заполненный частицами 3. Подвижная оболочка закреплена на оси 4, установленной в подшипниках 5 с возможностью ее вращения. Заполненный частицами контейнер закрывают поворотом подвижной оболочки и помещают в кювету 6 с жидкостью 7. После этого контейнер наполняют водой через патрубок 8 с вентилем 9 из емкости 10, излишек воды вытесняется через дренажную трубку 11. Перемешивание частиц с водой в контейнере производится воздействием ультразвуковых колебаний от генератора 12 типа УЗГМ-10-22МС. В процессе перемешивания постепенно вода вытесняется вязкой жидкостью, подаваемой в контейнер из емкости 13 через вентиль 14 и патрубок 15. После полного замещения воды вязкой жидкостью контейнер открывают, и сферический кластер частиц начинает осаждаться в кювете с жидкость. Визуализация осаждения проводится в двух ракурсах с использованием видеокамер 16 типа «Citius C 100» и «Panasonic HDC-SD60».
10 13
Fig. 1. Schematic diagram of the experimental setup
Время открытия контейнера, обеспечивающее минимальную деформацию кластера в период открытия, определяется формулой [17]
0.45 Д ц
А/ <-
(1)
(р р-Р1 ^ Я
где Д - диаметр контейнера; - коэффициент динамической вязкости жидкости; рр - плотность материала частиц; рг - плотность жидкости; Дтах - диаметр наиболее крупных частиц в кластере; я - ускорение свободного падения.
Начальная объемная концентрация частиц в кластере определяется формулой
Со = Д
Дс 1=1
(2)
где N , Д, - количество и диаметр частиц ,-й фракции.
Результаты экспериментального исследования
Экспериментальное исследование гравитационного осаждения бидисперсного кластера твердых сферических частиц в вязкой жидкости проводилось с использованием смеси шариков из стали марки 95Х18 диаметром 2 и 3 мм. Плотность материала частиц рр = 7748 кг/м3 измерялась взвешиванием на аналитических весах набора из 100 шариков. Для ввода частиц в вязкую жидкость использовался контейнер диаметром Д = 28 мм. В качестве жидкости использовалось силиконовое масло ПМС-10000. Плотность жидкости рг = 972 кг/м3 измерялась ареометром при температуре эксперимента. Коэффициент динамической вязкости жидкости = (9.78 ± 0.03) Пас при Т = 23.5 °С измерялся по скорости стационарного осаждения в стоксовском режиме (при числах Рейнольдса Яе << 1) стального шарика диаметром 3 мм. Время открытия контейнера, рассчитанное по формуле (1), составляло А/ = 0.2 с.
Предварительно определялись характеристики осаждения одиночных частиц диаметром Д, входящих в кластер (Д = 2 мм, Д = 3 мм). В табл. 1 приведены измеренные и рассчитанные значения скорости осаждения и. Расчет скорости осаждения проводился для стоксовского режима (Яе,- << 1) по формуле [18]
и -(р р -Р')
18Ц/
-ЯД,2.
(3)
Здесь же приведены значения чисел Рейнольдса для одиночных частиц:
РгиД
Яе =-
(4)
Таблица 1
Характеристики осаждения одиночных частиц, входящих в кластер
/ Д, мм и, см/с Яе,- • 103
экспер. расчет
1 2 0.15 0.151 0.30
2 3 0.34 0.340 1.01
3 2.6 - 0.255 0.66
Для бидисперсного кластера частиц при оценке и, Яе,- по формулам (3), (4) в первом приближении использовался диаметр эквивалентной частицы диаметром
А3, объем которой равен полусумме объемов входящих в кластер частиц разных размеров:
А = 30.5((+а3).
Скорость осаждения кластера частиц, и пройденное им расстояние определялись покадровой обработкой результатов скоростной видеосъемки. Скорость осаждения на высоте К (г - номер кадра) рассчитывалась по формуле:
ис (К) = (й,+1 -К- , г = 1,2,...п,
где Л,+ь Н-1 - пройденное кластером расстояние на г-1 и г+1 видеокадрах; Аti -интервал времени между г-1 и г+1 видеокадрами; п - количество видеокадров. Расстояние К, пройденное кластером, определялось по его центральной точке. По полученным экспериментальным данным рассчитывалось число Рейнольдса для кластера частиц
Ке = Р/чА
№
(5)
Экспериментальное значение коэффициента сопротивления кластера рассчитывалось по формуле [18]
са = 4 ^с01 ^ -1
А з и2 01Р/
(6)
Для сравнения характеристик осаждения моно- и бидисперсного кластера частиц были проведены эксперименты с осаждением частиц одинакового диаметра и их смеси. Условия экспериментов и осредненные по результатам 5 дублирующих опытов характеристики осаждения (С0, рс, ис, ис = ис/и, Яес, СА) монодисперсного и бидисперсного кластера частиц приведены в табл. 2. Значения С0, Яес, СА рассчитывались по формулам (2), (5), (6), плотность кластера частиц - по формуле
Рс =Р I + С0 (р Р -Р/ ) .
Таблица 2
Условия проведения и результаты экспериментов
Д-, мм Сс Рс, кг/м3 ис, см/с и с Яес Св
2 3 экспер. расчет
N 300 - 0.11 1717 3.26 21.7 0.09 264 267
- 300 0.37 3479 10.20 30.0 0.28 91 86
150 150 0.24 2598 5.86 23.4 0.16 178 150
Здесь же приведены рассчитанные для стоксовского режима осаждения значе ния коэффициента сопротивления кластера:
24
Яес
(7)
На рис. 2 приведены видеокадры гравитационного осаждения моно- и бидисперсного кластера частиц для разных моментов времени. Анализ экспериментальных данных показал, что качественная картина осаждения сферического бидис-персного и монодисперсного кластера частиц аналогичны. Для условий проведенных экспериментов процесс осаждения можно разделить на три стадии: движение сферы, формирование и движение сфероида с образованием циркуляции периферийных частиц, деформация сфероида и отрыв частиц от его поверхности.
1см
1см
1см
t = 4с
*=1с
t = 2с
Ш
t= 8с
t = Зс
t = 4с
t = 12с
¿= 6с
t = 6с
Ф щ Щ1
i = 16с
t= 9с
¿ = 8с
i=20c
t = 12с
t = lib-
Рис. 2. Видеокадры осаждения кластеров частиц: а - монодисперсный кластер частиц (Dy = 2 мм); b - монодисперсный кластер частиц (D2 = 3 мм); с - бидисперсный кластер частиц (D3 = 2.6 мм)
Fig. 2. Video frames of the particle cluster sedimentation: (a) monodisperse particle cluster (Dj = 2 mm), (b) monodisperse particle cluster (D2 = 3 mm), and (с) bidisperse particle cluster (D3 = 2.6 mm)
b
a
с
В отличие от результатов [15, 16], стадия распада сфероида не наблюдалась, что связано с большими значениями начальной концентрации частиц в настоящей работе. Отметим, что процесс осаждения бидисперсного кластера частиц характеризуется более интенсивным вытеснением с поверхности в окружающую жидкость частиц меньшей фракции, а также более интенсивной циркуляции периферийных частиц в направлении, противоположном движению кластера.
На рис. 3 представлены зависимость скорости осаждения моно- и бидисперсного кластера частиц от пройденного расстояния. Для всех проведенных серий экспериментов наблюдалось монотонное снижение на 1215 % скорости кластера по траектории его движения, что можно объяснить уменьшением рс за счет срыва частиц с его поверхности.
Показано, что основным фактором, влияющим на скорость осаждения кластера частиц, является его начальная концентрация. С увеличением С0 от 0.11 до 0.37 скорость осаждения (измеренная для И = 300 мм) возрастает от 3.26 до 10.20 см/с. Отметим, что значения безразмерной скорости осаждения кластера для всех проведенных серий имеют близкие значения (ыс = 23-30). Значение коэффициента сопротивления СБ = 264 для монодисперсного кластера с Б1 = 2 мм соответствует стоксовскому режиму осаждения (СБ = 24/Яес = 267). Для бидисперсного кластера частиц значение СБ = 178 на 45 % превышает расчетное (СБ = 24/Яес = 122).
Выводы
• Представлен способ исследования, обеспечивающий моделирование осаждения сферического полидисперсного кластера равномерно перемешанных частиц с нулевой начальной скоростью осаждения и с контролируемым значением начальной объемной концентрации частиц.
• Экспериментально показано, что качественная картина осаждения бидис-персного кластера частиц аналогична осаждению монодисперсного кластера частиц и характеризуется более интенсивным вытеснением с поверхности кластера в жидкость частиц меньшей фракции, а также более интенсивной циркуляцией периферийных частиц в направлении, противоположном движению кластера.
• Скорость движения кластера частиц монотонно уменьшается по его траектории, введение кластера с большей концентрацией частиц приводит к увеличению скорости осаждения.
Рис. 3. Зависимость скорости осаждения кластера частиц от пройденного расстояния: a -монодисперсный кластер частиц (Di = 2 мм); b - монодисперсный кластер частиц (D2 = 3 мм); c - бидисперс-ный кластер частиц (D3 = 2.6 мм) Fig. 3. Velocity of the particle cluster sedimentation as a function of the covered distance: (a) monodisperse particle cluster (Di = 2 mm), (b) monodisperse particle cluster (D2 = 3 mm), and (c) bidisperse particle cluster (D3 = 2.6 mm)
• Показано, что в отличие от монодисперсного кластера частиц, значение коэффициента сопротивления бидисперсного кластера частиц не соответствует
формуле (5) для стоксовского режима осаждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Романков П.Г., Курочкина М.И. Гидромеханические процессы химической технологии. Л.: Химия, 1982.
2. Броунштейн Б.И., Фишбейн Г.А. Гидродинамика, массо- и теплообмен в дисперсных средах. Л.: Химия, 1977.
3. Васенин И.М., Дьяченко Н.Н., Ёлкин К.Е., Нариманов Р.К. Математическое моделирование двухфазных конвективных течений с малыми частицами // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. № 6. С. 19-25.
4. Невский Ю.А., Осипцов А.Н. Моделирование гравитационной конвекции суспензий // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. № 7. C. 98-105.
5. Пикущак Е.В., Миньков Л.Л. Влияние поправки Озеена на выражение для скорости оседания мелких частиц в бидисперсной суспензии // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 33. С. 88-95. DOI: 10.17223/19988621/33/9.
6. Матвиенко О.В., Андропова А.О. Исследование движения частицы в потоке жидкости вблизи подвижной стенке // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 36. С. 85-92. DOI: 10.17223/19988621/36/10.
7. Дик И.Г., Миньков Л.Л, Неессе Т. Гидродинамическая модель ускорения седиментации мелких частиц в бидисперсной суспензии // Теплофизика и аэромеханика. 2001. Т. 8. № 2. С. 283-294.
8. Хоргуани В.Г. О характере и скорости падения системы частиц одинаковых размеров // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1966. Т. 2. № 4. С. 394-401.
9. Metzger B., Nicolas M., Guazzelli E. Falling clouds of particles in viscous fluids // J. Fluid Mechanics. 2007. V. 580. P. 283-301. DOI: 10.1017/S0022112007005381.
10. Daniel W.B., Ecke R.E., Subramanian G., Koch D.L. Clusters of sedimenting high-Reynolds-number particles // J. Fluid Mechanics. 2009. V. 625. P. 371-385. DOI: 10.1017/ S002211200900620X
11. Ekiel-Jezewska M.L., Metzger B., Guazzelli E. Spherical cloud of point particles falling in a viscous fluid // Phys. Fluids. 2006. V. 18. P. 038104-1-038104-2. DOI: 10.1063/1.2186692.
12. Yin X., Koch D.L. Hindered settling velocity and micro structure in suspensions of solid spheres with moderate Reynolds numbers // Phys. Fluids. 2007. V. 19. P. 093302-1-09330215. DOI: 10.1063/1.2764109.
13. Anthony J.C. Ladd. Sedimentation of homogeneous suspensions of non-Brownian spheres // Physics of Fluids. 1997. V. 9. No. 3. P. 491-499. DOI 10.1063/1.869212.
14. Mylyk A., Meile W., Brenn G., Ekiel-Jezewska M.L. Break-up of suspension drops settling under gravity in a viscous fluid close to a vertical wall // Phys. Fluids. 2011. V. 23. P. 063302-1-063302-14. DOI: 10.1063/1.3600660.
15. Архипов В.А., Усанина А.С. Режимы осаждения консолидированной системы твердых сферических частиц // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2017. № 5. С. 74-85. DOI 10.7868/S0568528117050085.
16. Архипов В.А., Усанина А.С. Гравитационное осаждение высококонцентрированной системы твердых сферических частиц // Теплофизика и аэромеханика. 2017. Т. 24. № 5. С. 739-750.
17. Архипов В.А., Басалаев С.А., Перфильева К.Г., Маслов Е.А. Способ исследования осаждения сферического облака полидисперсных твердых частиц в вязкой жидкости // Патент на изобретение РФ № 2703935. Опубл.: 22.10.2019 г. Бюл. № 30.
18. Архипов В.А., Васенин И.М., Усанина А.С., Шрагер Г.Р. Динамическое взаимодействие частиц дисперсной фазы в гетерогенных потоках. Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2019.
Статья поступила 22.12.2019 г.
Arkhipov V.A., Basalaev S.A., Zolotorev N.N., Perfil'eva K.G. (2020) SEDIMENTATION OF A BIDISPERSE CLUSTER OF SOLID SPHERICAL PARTICLES. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 66. pp. 77-85
DOI 10.17223/19988621/66/6
Keywords: bidisperse particle cluster, gravitational sedimentation, drag coefficient, experimental study.
A new method for the experimental study of gravitational sedimentation of a polydisperse cluster of solid spherical particles in a viscous fluid is presented. The method is based on the preliminary ultrasonic mixing of the particles in a spherical container and assumes the introduction of a spherical cluster of particles at a given concentration and zero initial velocity into a fluid. This method is used to determine sedimentation characteristics of a bidisperse cluster of particles (steel balls, 2 and 3 mm in diameter) in silicone oil. A qualitative pattern of the cluster evolution, a sedimentation rate, and a drag coefficient are obtained. A comparative analysis of sedimentation characteristics of monodisperse and bidisperse particle clusters is carried out in the range of Reynolds numbers Re = (0.30^0.66)-10-3. It is shown that, in contrast to a monodisperse cluster of particles, the drag coefficient of the bidisperse cluster of particles does not correspond to a correlation CD = 24/Rec for the Stokes sedimentation.
Financial support. This study was supported by the Russian Science Foundation (project No. 1519-10014) and the Ministry of Education and Science of the Russian Federation within the framework of State Assignment No. 0721-2020-0036.
Vladimir A. ARKHIPOV (Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Research Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Sergey A. BASALAEV (Candidate of Physics and Mathematics, Research Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Nikolay N. ZOLOTOREV (Candidate of Physics and Mathematics, Research Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Kseniya G. PERFIL'EVA (Research Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Romankov P.G., Kurochkina M.I. (1982) Gidromekhanicheskie protsessy khimicheskoy tekhnologii [Hydromechanical processes in chemical technology]. Leningrad: Khimiya.
2. Brownstein B.I., Fishbein G.A. (1977) Gidrodinamika, masso- i teploobmen v dispersnykh sredakh [Hydrodynamics, mass and heat transfer in disperse systems]. Leningrad: Khimiya.
3. Vasenin I.M., D'yachenko N.N., Elkin K.E., Narimanov R.K. (2004) Mathematical modeling of two-phase convective flows with fine particles. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 45(6). pp. 788-793. DOI: 10.1023/B:JAMT.0000046025.09468.9a.
4. Nevskiy Yu.A., Osiptsov A.N. (2009) Modeling gravitational convection in suspensions. Technical Physics Letters. 35(7). pp. 340-343. DOI: 10.1134/S1063785009040154.
5. Pikushchak E.V., Min'kov L.L. (2015) Vliyanie popravki Ozeena na vyrazhenie dlya skorosti osedaniya melkikh chastits v bidispersnoy suspenzii [Influence of Oseen's correction on fine particle settling velocity formula for bidisperse suspension]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 33. pp. 88-95. DOI: 10.17223/19988621/33/9.
6. Matvienko O.V., Andropova A.O. (2015) Issledovanie dvizheniya chastitsy v potoke zhidkosti vblizi podvizhnoy stenki [Studying the particle motion in a fluid flow in the vicinity of a movable wall]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 36. pp. 85-92. DOI: 10.17223/19988621/36/10.
7. Dueck J.G., Minkov L.L., Neesse T. (2001) A hydrodynamic model for enhanced sedimentation of small particles in a bidisperse suspension. Thermophysics and Aeromechanics. 8. pp. 259-269.
8. Horguani V.G. (1966) O kharaktere i skorosti padeniya sistemy chastits odinakovykh razmerov [On the pattern and velocity of settling for a system of equal-sized particles]. Izvestiya AN SSSR. Fizika atmosfery i okeana - Izvestiya. Atmospheric and Oceanic Physics. 2(40). pp. 394-401.
9. Metzger B., Nicolas M., Guazzelli E. (2007) Falling clouds of particles in viscous fluids. Journal of Fluid Mechanics. 580. pp. 283-301. DOI: 10.1017/S0022112007005381.
10. Daniel W.B., Ecke R.E., Subramanian G., Koch D.L. (2009) Clusters of sedimenting high-Reynolds-number particles. Journal of Fluid Mechanics. 625. pp. 371-385. DOI: 10.1017/S002211200900620X.
11. Ekiel-Jezewska M.L., Metzger B., Guazzelli E. (2006) Spherical cloud of point particles falling in a viscous fluid. Physics of Fluids. 18. pp. 038104-1-038104-2. DOI: 10.1063/1.2186692.
12. Yin X., Koch D.L. (2007) Hindered settling velocity and microstructure in suspensions of solid spheres with moderate Reynolds numbers. Physics of Fluids. 19. pp. 093302-1-09330215. DOI: 10.1063/1.2764109.
13. Anthony J.C. Ladd. (1997) Sedimentation of homogeneous suspensions of non-Brownian spheres. Physics of Fluids. 9(3). pp. 491-499. DOI: 10.1063/1.869212.
14. Mylyk A., Meile W., Brenn G., Ekiel-Jezewska M.L. (2011) Break-up of suspension drops settling under gravity in a viscous fluid close to a vertical wall. Physics of Fluids. 23. pp. 063302-1-063302-14. DOI: 10.1063/1.3600660.
15. Arkhipov V.A., Usanina A.S. (2017) Regimes of sedimentation of a consolidated system of solid spherical particles. Fluid Dynamics. 52. pp. 666-677. DOI: 10.1134/ S0015462817050088.
16. Arkhipov V.A., Usanina A.S. (2017) Gravitational settling of a highly concentrated system of solid spherical particles. Thermophysics and Aeromechanics. 24. pp. 719-730. DOI: 10.1134/S0869864317050079.
17. Arkhipov V.A., Basalaev S.A., Perfil'eva K.G., Maslov E.A. (2019) Sposob issledovaniya osazhdeniya sfericheskogo oblaka polidispersnykh tverdykh chastits v vyazkoy zhidkosti [A method of studying sedimentation of a spherical cloud of polydisperse solid particles in a viscous fluid]. RF Patent 2703935.
18. Arkhipov V.A., Vasenin I.M., Usanina A.S., Shrager G.R. (2019) Dinamicheskoe vzaimodeystvie chastits dispersnoy fazy v geterogennykh potokakh [Dynamic interaction of disperse phase particles in heterogeneous flows]. Tomsk: Tomsk State University Publishing House.
Received: December 22, 2019
