Ортогональные преобразования координатных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 521.95+523.3

Л С.В^ШЕВ

ОРТОГ ОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ \НИЯ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ

Исследуется возможность повышения точности координатных преобразований путем применения моделей ортогонального преобразования с учетом систематических ошибок. В качестве конкурирующих математических моделей трансформации координат использованы станцартная модель аффинного преобразования, ортогональная модель и оптимальное аппроксимирующее описание, полученное подходом регрессионного моделирования.

ЦьЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЙ

При решении зацач координатной привязки одной из основных являемся проблема адекваитого преобразования (трансформации) координат из одной сисгемы в другую. Все разнообразие подходов можно свести к математическим моделям двух типов: детерминированным и аппроксимирую1'щм преобразованиям [1]. В с югвгтетвии с резуттатами работы [1] от детерминированных моделей следует ожидать высокой точности при решении задачи экстраполяции ([1], раздел 4.7), тогда как задача интерполяции (определение координат объектов, располагающихся между опорными) при применении аппроксимирующих выражений и подхода регрессионного моделирования [1] (РМ-подхода) может быть решена более точно, чем при детерминированном описании.

Целью исследований являете* повышение точности моделей трехмерного преобразования координат за счет применения комплексного подхода: детерминированного (геометрического) преобразования и аппроксимирующей модели, описывающей разнообразные систематические ошибки. 3 связи с тгим решались задачи:

формирования класса конкурирующих моделей, соответствующих алгоритмов оценивания параметров и «вну гренних» критериев качества;

- сравнс ния подходов;

- оценки перспектив дальнейших исследований.

МОДЕЛИ И АЛГОРШМЫ 1. Детерминированные модели трансформации координат

В качестве стандартной введем классическую модель аффинного преобразования

хг 'а,, а12 N аиз 'Х2' 'Х10

У1 = а21 а 22 а23 У2 + У10

а32 азз, •

где (XI, У1, 71), (Х2, У2, ¿2) - прямоугольные координаты объекта в системах М1 и М2 соотпетстзенкс; (Х10, У10, 210) - смещение центра системы М1 относительно М2; а - элементы матрицы ориентации А.

Для определения по опорным объектам элементов а и смещения используется метод наименьших квадратов (М1Ж), применяемый к каждой избыточной системе уравнений по отдельности; при этом для оценки точности модели преобразования используется стандартная ошибка

<т =

1

2е?»

, п-р

где е; - ^ак называемые остатки; пир соответственно - количество объектов и оцениваемых параметров.

Геометрическое преобразование (I) не всегда обеспечивает удовлетворительную точность Из-за ошиоок в определениях координат в обоих системах и возможной м\льтиколлинеарности (взаимозависимости') оценок матрица А не всегда будет удовлетворять условиям ортогональности перехода из М2 в М1, записываемым в виде

АтА = Е,(1е1 А = 1. (2)

В связи с указанным основным детерминиризанным преобразованием в работе будет считаться выражение (1), рассматриваемое совместно с условиями (2). Эта задача практически решена в [1]. С общих позиции теооки оптимизации она может рассматриваться как задача численного поиска относительною минимума квадратичной формы Б = £' £ с нелинейными ограничениями в виде равенств (2).

Ш1П5 £,

А.(Х10У1(Ш0)теС,

АТА — П, йс! А = 1,

(3)

п 3

где е - вектор ошибок матричного уравнения регрессии, £Т£ = ^УУп >

Ы1 j=l

в - допустимая область. Для того, чтибы воспользоваться прямым (аналитическим) способом [21. заменим модель (1) матричной записью

X = А У +ХП.

(4)

Тогда алгоритм решения с точностью до смещения и масштабною множителя сведется к следующей схеме:

1 Вычисление матрицы Ь - Х\ г,

где

Х =

Щ

а 1\

,у=

П у

'Х2, У2, /2,

Х2Г У21 П

п /

2. Вычисление матрицы

3. Решение для ио-шой проблемы сооственных значений.

4. Вычисление элементов магрицы А совместным решением уравнении

X - Ат А - Е, ие!^ - 1 метолом множителей Лагоанжа.

5. Вычисление мазрипы остатков

Е-=Х-Х = Х- АУ,

где X - матрица прогноза; А - мазрица оценок.

6. Вычисление статистик Р по кажлой координате [1].

V-')

(6)

с -

2. Аппроксимирующие алгепраичегкие птичомы

С УЧСТОт ОПЫТ« ОГГмСс .ГгГЯ ралЛи 1 пш'Х СпСТСтс пчССКг, ■ кн. IV' II п ССЛСпО*

дезии, геодезии и фотограмметрии в качестве исходного аппроксимирующего описания примем алгебраический полином третьей степени по трем переменным - ПЗ. Тогда любая из трех координат сисгемы М1 запишется в виде Г13 по трем переменным Х2, У2,

Для поиска опгимального усеченного полинема по каждой коорлинатс используется РМ подход [1].

Комплексные модели

В качестве конкурирующей описанным выше моделям предлагаема модель, сосгоятпая из двух аддитивных составляющих: ортогональной составляющей, описанной в разделе 2.1, и аппроксимирующей части, представляющей собой, например, усеченный иолином третьей степени (ПЗ)

XI = амх2 4-а12у2 + апг2 + (П3)х,

У1 = а21х2 + а22у2 + а?3/2 + (П3)у, (7)

71 = амх2 + а32у2 + а3322 +(ИЗ)г, где ач - элементы \; (ПЗ)^ - усеченные аппроксимирующие покиномы. Коэффициенты последних определяются из систем уравнений, составленных по каждой координате. Левыми частыми лих уравнений являются элементы матрицы остатков Е (формула (6)).

4. Критерий качества конкурирующих описаний

N

Следуя [1], тля оценки степени адекватности моделей использовался так называемый « внутренний » критерии Б, определяющий по максимуму значения прогностические свойства модели и оптимальность его структуры при поиске и сравнительном анализе Численныс эксперименты при обработке асгроснимков, проведенные в [1], показали, что из « вщтренних » и « смешанные > критериев именно лот критерий в большинстве случаев приводил к резу,1ьтатам получаемым при использовании « внешних » критериев Последние, как известно, формируются на контролных точках, не используемых при построении математической модели обработки, и счит чются единственно надежными.

5 Пппгпаммнпе обеспечение

Ж А

Для формирования моделей и оценки их параметров использовались программа ортогональной трансформации коор,данат и пакет СПОР [1], обеспечивший поиск оптимальных регрессий.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМНГГОВ

1. Эксперимента-ттъные данные

Для сравнения рассмотренных спосооов решения задачи трансформации прооранственных координат использовались селенодезические координаты 59 опорных объектов лунной поверхности, задаваемых в системах Киевского каталога [4] и каталога, полученного С.1 .Валеевым [5]. Обе системы облики друг к другу по сриентащп! осей, что созлзет о^ень жесткие требования к эффективности предлагаемой комплексной модели.

2. Модели и критерии сравнения

Ниже привечены результаты сггрук-пфно-парамртрического оценивания в виде четырех мо лелей трансформации координат

Модели аффинного преобразования (1):

XI = -0.00418 + 0.99351 X? - 0.00079 У2 + 0.00029 \ 1 = 0.00001 - 0.00099 Х2 н 0.99898 У2 - 0 00129 г2, (8)

7.1 = -0.00383 - 0.00511 Х2 - 0.00120 У2 + 1.00094 ¿2, где XI,У1, 71 - координаты объекта в системе [5]- Х2,У2, 72 - в системе [о]. В каждом из уравнений (9) значимыми иказались слагаемые, значения пара-

мапчао 1/гуттгу тюшд хг ттгтл ХДчтптто ппмвтгттттгм А "

•• » •.-.»г- ? ш '.у ^и:' ги . '.-^хд'-ид : I: ¿ил

из коэ(Ьфициечтов моделей, не удовлетворяет условиям ортогональности 12).

Усеченнее (оптимальные по Р-коитерию) полиномы, полученные на основе постулируемого полинома третьей степени по трем переменным:

XI =-0.00415 + 0.99336X2

У1 = 0.00004 f 0.99883\2, (9^

7Л = 0 00159 + 0.9978о 72. Вид моделей (9) обусловлен незначимоетью ряда слагаемых в (8). Причем структура (9) оптимальна по К-критерию независимо от степени постам илу е-

мого аппроксимирующего описания в виде полиномов от первой до третье! степени по переменным Х2, У2. ¿2.

()ртогональные модели (4) с элементами матрицы А, полученными из решения экстремальной задачи (3):

XI = Х2 - 0.00088 У2 + 0.00093 '¿2,

У1 = 0.00087 Х2 + У2 + 0.00119 Ъ2, (10)

Ъ\ = - 0.00093 Х2 - 0.00119 У2 + Ъ2. ортогональные мо цели вида (7) с учетом систематических ошибок:

XI = -0.00131 + Х2 - 0.00088 У2 + 0.00093 Ъ2 - 0.00373 XI3,

У1 = -0 00188 4 0.00087X2 +■ У? + 0 00119 г2 + 0 00323 XI2, (11)

Ъ\ = -0.00114-0.00093 Х2-0.00119 42 + 72-0.00213XI3.

В моделях (11) смещения центров систем расематрива;шсь совместно с ситематчческими ошибками. Поиск оптимальных структур для описания последних осуществлялся методом пошаювой регрессии. При этом постулируемым полиномом являлся полином третьей степени без .гинеиных слагаемых (ПЗ-П1).

Предварительное заключение о возможности достижения це^ш исследований можно сделать по данным таблицы, содержащей значения статистики Р при применении моделей (8)-(11) по каждой координат«;

Таб.шца

Опенка адекватности моделей трансформации коорлинат

Статистика Модель

X У Ъ

308046 11590486 80914

Р(9) 946008 26240185 236726

И (Ю) 259501 5160780 128621

И 01) 408075 10706792 119571

Сравнивая знячбрия Ь-статистик лля "(Стр^'чниро?ачны\ моц^дяй и (10У приходим к лактючению. что ортогональная модель в целом уступает по прогностическим свойствам обычному аффинному поеооразованию (за исключением тредьен координаты 2). Однако ортогональная модель с учетом систематических ошибок (11) дает в основном более высокие значения как по сравнению с ортогональной моделью (10), так и по сравнению с аффинным преобразованием (по двум координатам из трех).

Что же касается аппроксимирующих моделей (9), полученных при РМ-подходе, то им соответствуют влвое большие значения Р, чем моделям (11).

т е. они обеспечивают в рамках принятого критерия наиболее точные преобразования г>го объясняется отсутствием в (9) незн 1чимых слагаемых, которые в силу детерминированности описания присутствуют во всех остальных моделяу, приводя к возрас ганию случайных ошибок прогноза.

По результатам сравнения можно сделать следующий вывод.

Ортогональные модели с учетом систематических ошибок перспективны для применения при трансформации координат. Однако их использование предпочтительно по сравнении) с оптимальными аппроксимирующими моде-чми [1] в том случае, если все детерминированные слагаемые в правых частях уравнений (10), (11) статистически значимы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные результаты являются предварительными. Ввиту актуальности проблемы будут рассмотрены зацачи трансформации координат с использованием непосредственно внешних критериев. Кроме того, необхопимо исследовать координатные системы с разнесенными осями и повысить точность ортогонального преобразования путем введения смещений нуль-пунктов и масштабного множителя

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ'

1. Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдении М.: Наука, 1991. 272 с.

2. Элбакяг К.И Определение угловой ориентации КЛА и самолетов по фотоснимкам звезд // Космическая иконика; Под ред. Ь.Н.Родионова. М.: Наука, 1973. 240 с.

3. Валеев С.Г., Кадырова Г .Р. Система поиска оптима^ных регрессий // Вестник УлГ ГУ. 1998. 1. С. 32-37.

4 Гаврилов И.В., Кислюк B.C. Сводный каталог селеноцентрических положений 2580 базисных точек на Луне. Киев: Наукова цумка, 1970.

124 с.

5 Valeev S.G. Coordinates of íhe Moon reverse side objects // Earth, Moon,

П1-—,~»r 1 QQ< >T Я/! T? T71

uuu X iúiiwiu. i У GO. IN г i ¿i * ¿ i.

Валесе Ачьфред Су.чтапович, аспирант кафеЛры чЛр-кладная математика и информатика » Улънноьского государственного технического униьерситета, окончи.а фа культет информационных систем и технологии Ульяновского государственного технического универпитета. Имеет публикации в о (титан* информационных технологий.