Организация и методика проведения подготовительных занятий по высшей математике для студентов первых курсов технических вузов Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

УДК 378:51

Рогачевский Анатолий Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Сибирский государственный университет им. академика М.Ф. Решетнева, г. Красноярск

rogach45@mail.ru

ОРГАНИЗАЦИЯ И МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ ЗАНЯТИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕРВЫХ КУРСОВ

ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

В настоящее время для освоения студентами некоторых тем высшей математики нередко используются плановые учебные часы по дисциплине «информатика». В статье предлагается проводить подобные, дополнительные, занятия для достижения более общей цели: для подготовки студентов к эффективному прохождению курса высшей математики. Предлагается методика проведения таких занятий. В основе методики лежит решение задач, которые алгоритмически просты, быстро решаются - и, вместе с тем, максимально ясно раскрывают суть изучаемых математических объектов («демо-задачи»). Далее, с помощью комплексов демо-задач могут изучаться более сложные математические объекты.

Как известно, новая парадигма высшего образования такова: «От обучения студентов - к самостоятельному приобретению ими знаний». Проведенный в статье методологический анализ показывает, что освоение студентами сути метода демо-задач - это освоение ими конкретного способа «самостоятельного приобретения знаний».

Ключевые слова: интерактивная среда обучения, интенсивность процесса обучения, подготовительные занятия, инструкции МаИСЛО-программы, педагогические цели, учебный план, парадигма высшего образования.

В обзорной работе Н.А. Медведева [6] отмечаются проблемы преподавания в рамках нового образовательного стандарта высшего образования (ФГОС ВО). Приведены данные о сокращении аудиторных часов, отводимых на изучение физико-математических дисциплин и данные об отсутствии дисциплины «высшая математика» в некоторых технических вузах. Автор цитирует мнения руководителей крупных предприятий о недопустимо низком уровне фундаментальной подготовки выпускников бакалавриата. Как итог, автор [6] оценивает положение, сложившееся в преподавании указанных дисциплин в технических вузах, как «критическое». Согласно новому образовательному стандарту нехватка аудиторных часов для обучения студентов в прежнем объеме, должна компенсироваться их самостоятельной работой. Но, разве кто-нибудь их, студентов, «учил учиться»? Поэтому реализовать новую парадигму высшего образования «От обучения - к приобретению знаний» - серьезная проблема. Такова формулировка проблем высшего образования на методологическом уровне. Однако, перейдем к прагматике. Рассмотрим возможности исправления описанной ситуации, ограничившись, проблемами, связанными с преподаванием высшей математики в технических вузах. Очевидно, исправлять положение нужно, начиная с первого курса, так как низкую по уровню компетенций подготовку по математике имеют уже абитуриенты [8].

Приведем также мнение ректора Московского государственного университета В.А. Садовниче-го. Выступая на Всероссийском совещании работников образования, в январе 2000 г., он заявил: «...разрыв между высшей и общеобразовательной школой достиг катастрофической глубины». Таким образом, преподаватель должен быть готов к тому, что на первом курсе в каждой учебной группе в на-

чале учебы может оказаться значительный процент студентов именно с таким, «катастрофическим» начальным уровнем компетенций. Для краткости будем называть этих студентов «отстающими», а остальных студентов - «успевающими». Подчеркнем, речь идет именно о начальном уровне компетенций, то есть, о том, что есть проблема, которую нужно решить. Согласно публикациям, в ряде вузов приняты радикальные меры для повышения уровня компетенций студентов. (Сразу отметим -меры, независящие от начального их уровня, что педагогически некорректно в отношении отстающих студентов).

В учебные планы по дисциплине «информатика» и/или «информационные технологии» включено изучение пакетов программ МаШСАЭ, МайЪАВ и других, им аналогичных. Одно из оснований для этого: в случае задач с заданным алгоритмом решения, запись соответствующей программы, например, в МаШСАБ сходна с записью решения задачи «на бумаге». Поэтому, считают авторы нововведения, решая математические задачи в среде МаШСАБ (далее - МС) студент будет учиться математике. Если студент решит много задач, результат учебы будет отличным!

Автор сознательно упрощает позицию идеологов такой «компьютерной поддержки» обучения студентов - несомненно, она полезна в случае многих педагогических ситуаций. Однако, использование МС, подобное описанному выше, не имеет отношения к решению очерченных изначально проблем. Напомним: это, во-первых, сокращение аудиторных учебных часов, что приводит к сокращению материала, который проходится в аудитории. Но не материала математики, который выносится на экзамен! А на экзамене студент должен будет продемонстрировать понимание математики, как системы логически и семантически связанных

© Рогачевский А.Г., 2018

Педагогика. Психология. Социокинетика № 4

209

элементов. Он должен будет не только решать, задачи со сложными алгоритмами решения, но и системно объяснять их решение. Проблема будет снята, если компенсировать сокращение количества часов, отводимых на аудиторные занятия, путем повышения эффективности этих занятий. Более того, желательна подготовка до начала аудиторных занятий и по базовому школьному материалу

Напомним о второй, «катастрофической», проблеме - о наличии в каждой учебной группе значительного процента отстающих студентов.

Ограничимся задачами преподавания высшей математики (далее - просто «математики») на первом курсе. Обе сформулированные выше проблемы будут в той или иной степени решены, если педагогической целью в отношении всех студентов будет их подготовка к усвоению основных разделов математики перед тем, как эти разделы будут изучаться обычным «аудиторным» способом. Такой результат должен быть достигнут независимо от начального уровня их компетенций. Далее будет предложены как организация, так и методика проведения такого рода подготовительных занятий. Вначале сформулируем ключевые моменты предлагаемой методики. Основной целью является создание интенсивно функционирующей обучающей интерактивной среды, в которую погружен каждый студент. При этом, во-первых, для решения задач используется вычислительная (программная) среда пакета МаШСАБ (МС). Кроме того, предполагается, что «элементы» интерактивной среды (студенты, преподаватель, компьютеры), решают простые задачи определенного типа - «демонстрационные задачи» (демо-задачи). Их структура и назначение раскрыты ниже. Методика опирается, также на общие принципы известного в педагогике подхода, который называют «коллективным способом обучения» (КСО) [5].

Отметим, что согласно многочисленным публикациям на тему «компьютерная поддержка изучения математики», ключевым моментом обучения является интерактивная пара «обучающая система, то есть обучающий программный комплекс - студент» [4]. В предлагаемом «демо-подходе» студенты сами разбиваются на группы, и организуется иная интерактивная структура. Ее назначение - студент должен начать проявлять себя, как личность: он сам должен ставить перед собой задачи, и, для их «апробирования» или решения, он может задавать любые вопросы своим однокурсникам и преподавателю. (А это не так просто для «отстающего» студента... Привыкшего быть отстающим!).

И, конечно, преподаватель, как элемент интерактивной структуры, не только консультирует студентов. Он является организующим элементом интерактивной среды: наблюдает за работой каждого студента (или группы студентов, работающих вместе) и направляет ее с помощью наво-

дящих вопросов. И психологически поддерживая ее! Как было сказано, в общих чертах этот поход сходен с подходом КСО, который можно считать апробированным.

Предложим следующую организацию подготовительного занятия. В начале занятия, посвященного конкретной теме, преподаватель читает краткую лекцию по ключевым моментам темы: Демонстрируя формулы и графики, он разъясняет определения, теоремы и свойства математических объектов, решает типичные задачи. Преподаватель предупреждает, что выполненные на текущем занятии задания будут сразу защищаться. Но, при этом можно будет пользоваться конспектом лекций. Затем студенты получают варианты сходных заданий (с одинаковым алгоритмом решения). Итак, задачи вариантов, сходны, решаются «сообща», но, защищаются каждым студентом по отдельности.

На начальном этапе прохождения конкретной темы задания должны быть максимально простыми - по многим причинам. Прежде всего, напомним о наличии в группе отстающих студентов. (Далее, конечно, задания для них будут усложняться). Эти, начальные, задания, благодаря их простоте будут быстро выполняться одними студентами -и тут же будут обсуждаться между всеми (напомним: алгоритм решения для всех заданий одинаков). То есть, обмен информацией в интерактивной среде (между всеми ее элементами!) будет быстрым, а само занятие эффективным. Такие задания, максимально простые, относящиеся к одной узкой теме математики (и, поэтому, имеющие одинаковый алгоритм решения) уже «анонсированы» выше как демонстрационные. Темы должны быть базовыми: умножение матриц, уравнение прямой, геометрический смысл производной, уравнение касательной к графику функции, применение необходимого и достаточного признаков экстремума и так далее. Третья причина требования максимальной простоты: на первых занятиях студенты только-только начали изучать МС.

Четвертая причина: выполненные задания защищаются с использованием лекций. Это второй кючевой момент методики: в случае демозадач, задания выполняются быстро, поэтому преподаватель не раз будет проверять знание студентом и лекции по теме занятия, и предыдущих лекций (см. ниже описание защиты демозадачи (а)). Точнее говоря, преподаватель будет проверять понимание студентом математики, как системы объектов, имеющих определения и свойства, объектов логически связанных теоремами и их следствиями. Свои ответы студент должен будет пояснять графиками. Это без труда делается в МС.

Приведем примеры демозадач для темы «Исследование функции на экстремумы». Задачи по этой теме наиболее эффективны в плане обучения, так как при их анализе и решении студент будет

210

Вестник КГУ ^ 2018

использовать графические средства МС. Преподаватель, читая вводную лекцию по данной теме, дал определения экстремумов, используя графики. Далее, он продемонстрировал решение этих задач в MathCad с помощью необходимого и достаточного числа признаков. Студенты должны выполнить решение на компьютере таких же задач из своих вариантов и построить необходимые графики. (Напомним, они только начали осваивать работу с МС).

Итак, демо-задача (а). Уровень сложности нулевой (алгоритм решения состоит из одного этапа). Дана функция у(х)=х2 - 2. Требуется найти стационарные точки (х, _у(х)) этой функции, То есть требуется найти корни х производной. Вопросы к защите выполненного задания таковы. Постройте график заданной функции. Дайте определение минимума функции. Поясните его в случае минимума данной функции) в точке (0, -2), используя график и средство «трассировка». Сформулируйте необходимый признак экстремума. С какой целью он применяется? (Если надо, используйте лекцию).

Пояснения преподавателя относительно решения задачи в среде МС. Сначала следует ввести блок программы (инструкцию), задающий исследуемую функцию с помощью оператора :=, для его вставки используется панель инструментов «Калькулятор». Затем следует ввести блок, вычисляющий производную (команда «вычислить» выглядит, как «стрелка»). В МС эта команда вставляется с помощью панели инструментов «Символьная». Итак, МС-программа имеет вид у(х) := х2 -2

• 2 х.

теме. Как уже было сказано, после вводной лекции по теме занятия все студенты получают варианты демо-задач нулевого уровня сложности и с одинаковым алгоритмом решения. Все работают сообща, согласно сформулированным выше правилам. Однако, дальнейшие этапы занятия, по конкретной математической теме, для «успевающих» и «отстающих» студентов могут отличаться. Первыми решают и защищают задачи успевающие студенты. Преподаватель объявляет об их успехах и дает им более сложные задания. (В случае темы, которая разбиралась выше, это может быть задание второго уровня сложности: «Исследовать на экстремумы многочлен третьего порядка»). Многочлены в заданиях должны быть разными. Указание: после вычисления производной с помощью инструк-

ции f (х) :=

dy( х) dx

потребуется решить уравнение

dy( х) сСх

Результат решения формулируется следующим образом. Согласно необходимому признаку экстремума, данная функция имеет экстремум при х = 0. Других экстремумов нет. Пример окончен. При защите выполненного задания студент должен пояснить геометрический смысл необходимого признака с помощью графика функции.

Демо-задача (б) первого уровня сложности (двухэтапный алгоритм решения). Ту же функцию у(х) = х2 - 2 требуется исследовать на экстремумы. Первый этап решения только что выполнен. (Вопрос при защите: почему это так? Сформулируйте необходимый признак экстремума и объясните, как он применялся. Сформулируйте достаточный признак экстремума).

Второй этап алгоритма решения: используем достаточный признак. Для этого вычисляем вторую производную. Определяем знак второй произ-

С Су(х)

водной. Вычисления в МС: — (—;—) ^ 2.

ах ах

Знак второй производной положительный, следовательно, в стационарной точке функция имеет минимум. Это соответствует графику. Пример окончен.

Дадим боле подробные рекомендации по организации подготовительного занятия по конкретной

fx) = 0 (предыдущее выражение присваивает производной имя fx)). Для решения этого уравнения средствами МС проще всего использовать функцию root(fx), х, a, b). Числа a и b должны быть таковы, чтобы между ними находилась искомая стационарная точка, а других стационарных точек там не было. Числа a и b находятся по графику. Отметим, что решение с помощью solve могло привести не к одному числу, а к сложным «арифметическим» конструкциям.

Работа преподавателя, как организующего «элемента» интерактивной обучающей среды, происходит непрерывно. Преподаватель, обходя студентов, поднявших руку («задание выполнено»), как бы обсуждает с ними возникшие вопросы. Не обязательно при этом объявлять, что начинается прием защиты. В результате таких обсуждений преподаватель без труда определит отстающих. Им следу -ет после «защиты» дать варианты заданий того же уровня для «закрепления пройденного материала» (при общении с отстающими студентами желательны привычные для них школьные формулировки). Отметим, что в компьютерных классах нередко 8-12 рабочих мест. И деление учебных групп на подгруппы - обычная практика. Поэтому преподаватель имеет значительный ресурс времени для организации занятия, для опроса студентов и приема защит. Кроме того, как показывает практика, отстающие успевают выполнить за одно занятие не менее двух-трех «нулевых» заданий, то есть они не раз будут «защищать пройденный материал».

Примеры других демо-задач.

Тема занятия: прямая на плоскости X, Y. Демо-задачи на тему лекции и занятия.

1. (Нулевой уровень). Даны две точки А и В на осях X и Y. Запишите в тетради уравнение прямой, которая проходит через них. Постройте прямую в МС. Трассировкой найдите координаты точек пересечения прямой с осями. Сравните со значениями х и у, которые дает полученное уравнение.

Педагогика. Психология. Социокинетика № 4

2. (Нулевой уровень). Дано конкретное уравнение «прямой с угловым коэффициентом «к», найдите параметр Ь.

3. (1-й уровень). Дано уравнение прямой в общем виде: —2у + 3х + 6 = 0.

Найдите в тетради точки пересечения с осями, найдите тангенс к угла наклона прямой к оси X запишите данное уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом. Постройте прямую в МС. Найдите точки пересечения с осями трассировкой. Сравните с полученными ранее значениями.

После задачи 3 уместно разбирать тему «Решение системы двух линейных уравнений». При этом можно рассмотреть и графическое решение системы, и решение матричным методом.

Очевидно, что создать комплексы демозадач по выбранным темам несложно. Однако, сделаем очевидное, но очень важное замечание. Содержание подготовительных занятий (их тематика и соответствующие комплексы задач) должно быть детально согласовано с программой будущих занятий по основному курсу математики. Подобные согласования содержаний занятий отражают самую суть процесса конвергенции преподавания физико-математических дисциплин и прикладных информационных технологий.

Проведем методологический анализ предложенной методики проведения подготовительных занятий по математике. Это позволит дать «демо-подходу» методологическое обоснование. Благодаря использованию демо-задач функционирование интерактивной системы «студент - компьютер - другие студенты - преподаватель» идет посредством обмена краткими и понятными сообщениями. Поэтому использование демо-задач (и «демо-подход» в целом) позволит эффективнее решать обе педагогические задачи, поставленные в начале статьи. Во-первых, «отстающие» студенты будут быстрее приобретать компетенции в решении задач начального уровня. И сделают свой первый шаг на пути превращения в субъект обучения. Успевающий же студент, освоив метод демо-задач, тем самым освоит способ «самостоятельного приобретения знаний» (как того требует парадигма современного высшего образования). Решая сформулированные самостоятельно демо-задачи, а затем, при необходимости, усложняя их, он сможет углублять свои компетенции в том или ином, нужном ему, разделе математики.

Отметим глубокую связь между общей проблемой приобретения знаний и научной методологией. С этой общей проблемой имеют дело и педагоги, и субъекты обучения (то есть, учащиеся, приобретающие знания) и ученые. Научная методология (научный метод) используется учеными при исследовании объектов познания или их отдельных свойств, которые ранее не изучались. Например, это может быть исследование свойств вещества при сверхниз-

ких температурах [2; 3]. Какие вещества будут исследоваться в первую очередь? Те, что имеют простейшую структуру. Те, у которых молекулы состоят из одного атома. Ученые всегда сначала берутся за «демо-задачи», выбирая объект исследования максимально простым, но, с условием, что он будет по-прежнему иметь основные свойства «исходного» объекта исследования. Ньютон и Коперник продемонстрировали это на примере расчета движения Земли вокруг Солнца. Они пренебрегли размером Земли, но оставили наличие у нее массы. Нечто похожее делалось выше при разборе темы «Исследование функции на экстремумы»: из всех функций были выбраны такие, у которых производная в точке равна нулю, а вторая производная в этой же точке нулю не равна. То есть объект исследования был выбран нами именно такой: функция в некоторой точке имеет экстремум. При этом было сделано максимальное упрощение объекта исследования, не нарушающее это свойство: за исследуемую функцию был взят многочлен второго порядка х2 - 2.

Итак, сформулируем один из возможных методов научного исследования: для изучения основных (самых «коренных») свойств объекта исследования следует пренебречь остальными его свойствами. Этот подход можно назвать принципом максимального упрощения исследуемого объекта [7]. В отличие от метода моделирования [1] здесь фигурирует ключевое слово «максимальный», то есть рекомендуется упрощать объект исследования максимально, но сохраняя при этом те свойства, которые исследователь считает самыми существенными. Акцент здесь делается на интересы исследователя. Метод демо-задач - это вариант использования принципа максимального упрощения исследуемого объекта, применяемого учеными. Или, возможно, учащимися для изучения нового материала. Выше было показано, как с помощью демо-задач нарастающего уровня сложности можно изучать основные разделы математики.

Итак, в данной статье предложена и теоретически обоснована методика создания интерактивной обучающей среды на подготовительных занятиях по высшей математике на первых курсах технических вузов. А именно методики, опирающейся на принципы коллективного способа обучения и научную методологию. Предлагаемый подход соответствует современному процессу конвергенции преподавания физико-математических дисциплин и развития информационных технологий.

Библиографический список

1. Глинский Б.А. Моделирование как метод научного исследования (гносеологический анализ) / Б.А. Глинский, Б.С. Грязнов, Б.С. Дынин, Е.П. Никитин. - М.: Моск. ун-т, 1965. - 246 с

2. Косьмин А.Д. Теория и методология познания. - М.: Экономика, 2006. - 478 с.

212

Вестник КГУ 2018

3. Князев Н.А. История и методология науки и техники. - Красноярск: СибГАУ им. М.Ф. Решет-нева, 2010. - 224 с.

4. Котюргина А.С. О применении пакетов прикладных программ в преподавании общего курса математики // Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе - 2015. - № 3. -С. 102-105.

5. Кузнецова Н.С., Болдакова И. В. Коллективный способ обучения - обучение через общение // Вестник Костромского государственного университета. Серия: Педагогика. Психология. Социоки-нетика. - 2017. - № 1. - С. 17-19.

6. Медведева Н.А. Реформы в высшем образовании - кто ответит за последствия? // Математика в высшем образовании. - 2016. - № 14. - С. 43-46.

7. Рогачевский А.Г. О методологии преподавания инженерно-технических расчетов // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. - 2017. - № 1. - С. 69-72.

8. Соловьев А.Н., Бурухина Т.Ф. // Анализ уровня подготовки абитуриентов по математике в «эпоху ЕГЭ» // Ученые записки Российского государственного социального университета. -2009. - № 7 (2). - С. 68-72.

References

1. Glinskij B.A. Modelirovanie kak metod nauchnogo issledovaniya (gnoseologicheskij

analiz) / B.A. Glinskij, B.S. Gryaznov, B.S. Dynin, E.P. Nikitin. - M.: Mosk. un-t, 1965. - 246 s

2. Kos'min A.D. Teoriya i metodologiya poznaniya. - M.: EHkonomika, 2006. - 478 s.

3. Knyazev N.A. Istoriya i metodologiya nauki i tekhniki. - Krasnoyarsk: SibGAU im. M.F. Reshetneva, 2010. - 224 s.

4. Kotyurgina A.S. O primenenii paketov prikladnyh programm v prepodavanii obshchego kursa matematiki // Aktual'nye problemy prepodavaniya matematiki v tekhnicheskom vuze - 2015. - № 3. -S. 102-105.

5. Kuznecova N.S., Boldakova I.V. Kollektivnyj sposob obucheniya - obuchenie cherez obshchenie // Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Pedagogika. Psihologiya. Sociokinetika. -2017. - № 1. - S. 17-19.

6. Medvedeva N.A. Reformy v vysshem obrazovanii - kto otvetit za posledstviya? // Matematika v vysshem obrazovanii. - 2016. - № 14. - S. 43-46.

7. Rogachevskij A.G. O metodologii prepodavaniya inzhenerno-tekhnicheskih raschetov // Vestnik KGPU im. V.P. Astafeva. - 2017. - № 1. - S. 69-72.

8. Solov'ev A.N., Buruhina T.F. // Analiz urovnya podgotovki abiturientov po matematike v «ehpohu EGEH» // Uchenye zapiski Rossijskogo gosudarstvennogo social'nogo universiteta. - 2009. -№ 7 (2). - S. 68-72.

Педагогика. Психология. Социокинетика J 14 4

213