CC BY
416
УДК 530.1: 537.86 + 621.396.96 ББК 32.841 + 32.95
А.А. ПОТАПОВ
ОПЫТ СОЗДАНИЯ И ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГЛОБАЛЬНОГО ФРАКТАЛЬНО-СКЕЙЛИНГОВОГО МЕТОДА В РАДИОФИЗИКЕ, РАДИОЛОКАЦИИ И РАДИОТЕХНИКЕ (1980-2015)
Ключевые слова: фрактал, скейлинг, дробный оператор, динамический хаос, радиофизика, радиолокация, радиотехника, радиосистемы.
Представлены избранные результаты применения теории фракталов, динамического хаоса, эффектов скейлинга и дробных операторов в фундаментальных вопросах радиолокации, радиофизики, радиотехники, теории антенн и электроники. Данными вопросами автор занимается в течение 35 лет. В основе созданного автором впервые в России и в мире научного направления лежит концепция фрактальных радиосистем, топология выборки, глобальный фрактально-скейлинговый метод и фрактальная парадигма. Полученные автором результаты крупной научной и практической значимости были опубликованы в четырех отчетных докладах Президиума Российской академии наук (2008, 2010, 2012, 2013) и в докладе Правительству Российской Федерации (2012).
A. POTAPOV
SHARING EXPERIENCE ON CREATING AND USING GLOBAL FRACTAL-SCALING APPROACH IN RADIO PHYSICS, RADIO LOCATION AND RADIO ENGINEERING (1980-2015)
Key words: fractal, scaling, fractional operator, dynamic chaos, radio physics, radiolocation, radio engineering, radio systems.
The paper presents the selected results of applying the theory of fractals, dynamical chaos, scaling effects and fractional operators in fundamental problems of radiolocation, radio physics, radio engineering, antennas theory and electronics. The author has been investigating these issues for 35 years. The author was the first in Russia and in the whole world to establish the scientific direction that is based on the fractal radio systems conception, sampling topology, global fractal-scaling approach and the fractal paradigm. The results obtained by the author, which are of big practical and scientific importance, were published in four summary reports of the Presidium of Russian Academy of Science (2008, 2010, 2012, 2013) and in the report submitted to the Government of the Russian Federation (2012).
В настоящее время в радиофизике, радиоэлектронике и обработке многомерных сигналов преимущественно, привычно и повсеместно используются целочисленные меры (интегралы и производные целого порядка), гауссов-ская статистика, марковские процессы и т.п. [1]. Замечу, что теория марковских процессов в приложениях достигла уже своего насыщения и исследования проводятся на уровне резкого усложнения синтезированных алгоритмов. Радиосистемы следует рассматривать с точки зрения открытых динамических систем. Относительно радиолокации. Улучшение классических радиолокационных обнаружителей сигналов и их математическое обеспечение также, по сути, достигло своего насыщения и предела. Это заставляет изыскивать принципиально новые пути решения данной проблемы.
Таким образом, вся современная радиотехника базируется на классической теории целочисленной меры и целочисленного исчисления. Так сложилось исторически, что за «за бортом» почти всех разделов науки оказалась обширная область математического анализа, называемая дробным исчисле-
нием, имеющая дело с производными и интегралами произвольного (вещественного или комплексного) порядка [12, 13, 22, 31, 35, 37], а также и вся теория фракталов (!). Одновременно замечу, что в науке часто бывает так, что математический аппарат играет роль «прокрустова ложа» для идеи. За сложной математической символикой и ее значениями бывает трудно разглядеть совершенно простую идею.
В частности, одну из таких идей и выдвинул первым в мире автор в конце 70-х гг. XX в., а именно, предлагая ввести в широкую практику радиофизики, радиотехники и радиолокации (сначала именно в эти фундаментальные научные направления, которыми он тогда интенсивно занимался, участвуя в многочисленных НИР от ИРЭ АН СССР - ИРЭ РАН по радиолокации, ра-диотеплолокации и дистанционному зондированию с крупнейшими КБ и предприятиями СССР [15, 16]) фракталы, скейлинг и дробное исчисление. После долгих интеллектуальных битв сейчас эта идея полностью показала свои преимущества и положительно воспринята большинством интеллектуального научного сообщества.
Последние 35 лет отмечены необычайно бурным международным развитием фракталов применительно к радиолокации и радиофизике [1-34, 36, 3841]. В настоящей работе рассмотрено современное состояние работ в области проектирования, классификации и функционирования радиосистем, основанных на «фрактальной» идеологии или ее применяющих. Классификация эта не представляет собой самоцель: она должна обеспечить исследование будущих фрактальных радиосистем и расчистить дорогу изучению их эволюции.
Ввиду ограниченности объема статьи невозможно изложить разнообразные или намечаемые автором методы, работы, результаты и объекты исследования. Аналитические обзоры предыдущей деятельности напечатаны в «Журнале радиоэлектроники (ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН)» (2010, № 1, 100 с.; URL: http://jre.cplire.ru/jre/jan10/4/text.pdf) и в журнале «Нелинейный мир» (2014, т. 12, № 4, с. 3-38). Имеющаяся в данной работе информация по одному из наиболее перспективных научно-технических направлений будет чрезвычайно полезна для научных и инженерно-технических специалистов. Замечу, что сейчас по данному фундаментальному направлению список авторских работ насчитывает более 700 публикаций, в том числе 20 монографий.
Развитие в ИРЭ имени В.А. Котельникова РАН «фрактальной идеологии» (1980-2015). Определение фракталов. Разработанные автором определения и классификация фракталов были в декабре 2005 г. в США лично представлены математику Б. Мандельброту и одобрены им. Авторская классификация приведена на рис. 1, где описаны свойства фракталов при условии, что D0 - топологическая размерность пространства вложения. Применение в современных информационных технологиях идей масштабной инвариантности - «скейлинга» и разделов функционального анализа, которые связаны с теорией множеств, теорией дробной размерности, общей топологией, геометрической теорией меры и теорией динамических систем, открывают большие возможности и перспективы в обработке многомерных сигналов и в родственных научных и технических областях.
Рис. 1. Авторская классификация фрактальных множеств и сигнатур
Другими словами, полное математическое описание процессов современной обработки сигналов и полей невозможно с помощью формул классической математики. Разрабатываемые ранее автором с учениками текстурные и фрактальные цифровые методы (рис. 2) позволяют частично преодолевать априорную неопределенность в радиолокационных задачах с помощью геометрии или топологии выборки - одномерной или многомерной [17]. При этом большое значение приобретают топологические особенности выборки, а не усредненные реализации, имеющие зачастую другой характер. Глобальный фрактально-скейлинговый метод, благодаря пионерским работам автора, разработан, существует, приобрел известную внутреннюю законченность, имеет общеизвестные мировые приоритеты, а потому в полной мере заслуживает серьезного анализа.
Новые информационные технологии на основе фракталов и скейлинга. Коренное отличие предложенных автором фрактальных методов от классических связано с принципиально иным (дробным) подходом к основным составляющим физического сигнала и поля. Это позволило перейти на новый уровень информационной структуры реальных немарковских сигналов и полей.
Таким образом, это принципиально новая радиотехника. За 35 лет научных исследований авторский глобальный фрактально-скейлинговый метод полностью оправдал себя, найдя многочисленные приложения - рис. 3. Это своего рода вызов времени. Здесь за автора говорят только факты! Все это обозначено автором кратко и выразительно - фрактальная парадигма [8, 13, 22, 27, 33, 39].
Фрактальная геометрия - громадная и гениальная заслуга математика Б. Мандельброта. Но ее радиофизическое/радиотехническое и практическое воплощение в основном - заслуга российской (в настоящее время - международной) научной школы фрактальных методов и дробных операторов под руководством проф. А.А. Потапова (ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН; см., также, сайт www.potapov-fractal.com) [1-34, 36, 38-41].
Рис. 2. Текстурные и фрактальные меры в обработке малоконтрастных изображений и сверхслабых сигналов в интенсивных негауссовских помехах
Несколько утрируя, можно сказать, что фракталы составляли тонкую амальгаму на мощном остове науки конца XX в. В современной ситуации интеллектуальное фиаско потерпели попытки принизить их значение и опираться только на классические знания.
Во фрактальных исследованиях автор всегда опирается на три глобальных тезиса:
1) обработка искаженной негауссовскими шумами информации в пространстве дробной меры с использованием скейлинга и устойчивых негаус-совских вероятностных распределений (1981 г.) - рис. 1-3;
2) применение непрерывных недифференцируемых функций (1990 г.);
3) фрактальные радиосистемы (2005 г.) - рис. 3 и рис. 4.
В дальнейшем логическое объединение указанной выше триады проблем в общий «фрактальный анализ и синтез» и создает основу фрактально-скей-лингового метода (2006 г.) и единой глобальной идеи фрактального естествознания и фрактальной парадигмы (2011 г.), предложенных и интенсивно развиваемых автором [8, 13, 19, 22-24, 27, 33, 39].
Рис. 3. Эскиз развития автором новых информационных технологий на основе фракталов, дробных операторов и эффектов скейлинга для нелинейной физики и радиоэлектроники
Рис. 4. Авторская концепция фрактальных радиосистем и устройств
Концепция фрактального радиолокатора. В настоящее время работы по фрактальной радиолокации проводятся исключительно ИРЭ имени В. А. Ко-тельникова РАН (см., например, работы [1-34, 36, 38-41] и ссылки в них). В соответствии с требованиями, которые предъявляются к перспективным радиолокаторам, рассмотрим обобщенную функциональную схему системы -рис. 5. Она, с одной стороны, достаточно проста, а с другой - содержит все принципиально необходимые элементы. Также здесь может идти речь и об од-ноканальной радиолокационной станции (РЛС), и о многоканальной РЛС.
Рис. 5. Обобщенная функциональная схема классического радиолокатора
Синхронизирующее устройство обеспечивает координацию работы всех элементов схемы РЛС. Генерирование и излучение электромагнитной энергии производится с помощью передающего устройства, состоящего из модулятора, генератора высокой частоты (ВЧ) и передающей антенны. Отраженные сигналы поступают к приемной антенне. Приемное устройство выполняет все необходимые преобразования поступающих сигналов, связанные с их разделением, усилением, выделением от шумов. Выходное устройство предназначается для выполнения заключительных операций по обработке сигналов и преобразования их к виду, требуемому получателем информации. Выходное устройство, в зависимости от результатов измерений, может оказывать то или иное воздействие на приемник (линия Б), антенну (линия В) и передающее устройство (линии Г и Д), что позволяет автоматически изменять требуемым образом вид излучаемых колебаний, условия приема и обработки сигналов, приближая их к наилучшим для конкретной ситуации. Связь выходного устройства с приемной антенной обеспечивает возможность автоматического измерения угловых координат и управление антенной при пеленгации цели. В свою очередь, от антенного устройства в выходное устройство вводятся данные (линия Е) об угловом положении антенны.
От данных рис. 5 можно перейти непосредственно к проектируемому фрактальному радиолокатору. На рис. 6 изображены практически все точки приложения проектируемых в настоящее время фрактальных алгоритмов, элементов, узлов или процессов, которые можно ввести в схему на рис. 5.
В частности, для предложенных автором фрактальных М1МО-систем характерен многочастотный вариант работы, так как фрактальные антенны позволяют одновременно излучать несколько длин волн. Для беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) возможно построение миниатюрного фрактального радиолокатора с фрактальными элементами и современными парамет-ронами. Одновременно фрактальная обработка на пункте управления передаваемой информации с БПЛА позволит резко улучшить и автоматизировать процессы обнаружения, кластеризации и идентификации целей и объектов. Кроме того, нанесение фрактального покрытия на БПЛА резко уменьшит вероятность его обнаружения в полете.
Обработка принятых радиолокационных сигналов, естественно, ведется во всех блоках РЛС, включая антенну, приемник, измерители, и может быть охарактеризована совокупностью математических операций, которые необходимо выполнить для определения тех или иных параметров сигнала. Наряду с общей задачей определения оптимальных алгоритмов обработки сигнала в целом, которая решается при проектировании РЛС, возникает задача выбора оптимальных методов обработки сигналов и способов их реализации на различных ее этапах. Процесс обработки радиолокационных сигналов и полученных при этом данных можно разделить на два этапа: этап извлечения первичной радиолокационной информации и этап обработки данных по первичной информации. Первый этап связан с обработкой непосредственно сигналов и извлечением из них первичной радиолокационной информации и носит обычно название этапа первичной обработки сигналов. Второй этап предусматривает дальнейшую обработку полученных данных и часто носит название этапа вторичной обработки.
Radar
_ I t _
Тонки приложения теории фракталов и дробных операторов
Фрактальная обработка сигналов
Фрактальные MIMO-системы
Адаптивные (по фрактальному _закону)_
ОИ.Й ■ р^тулятррь! дробного порядка
Фрактальные радиоэлементы
Фрактальные системы СДЦ
Фрактальные обнаружители
Фрактальные БПЛА
Фрактальные антенны
Фрактальные активно пассивные системы
Фрактальные
^^^рцртрру
Фрактальные маркеры
i
Фрактальные сигналы и Н-сигналы
Фрактальная модуляция
Фрактальные генераторы
Фрактальные детекторы
Фрактальные фильтры
Фрактальные сенсорные сети
100% Fractal Radar
Рис. 6. Точки приложения фракталов, скейлинга и дробных операторов в классическом радиолокаторе с целью перехода к фрактальной РЛС
Отметим, что устройства фильтрации и измерения параметров сигналов занимают, как правило, значительное место в общем комплексе радиотехнической аппаратуры РЛС и определяют многие ее основные характеристики. На рис. 7 приведены основные виды синтезированных семейств/кластеров принципиально новых динамических фрактальных обнаружителей сигналов.
Рис. 7. Кластеры предложенных автором новых фрактальных обнаружителей сигналов
Принципы первого в мире фрактального обнаружителя сигналов были открыты и предложены автором в работах ИРЭ АН СССР с ЦКБ «Алмаз» еще в 1989 г. [15, 16, 19, 22, 23] (!). Выход (также впервые в мире) на действующий макет фрактального непараметрического обнаружителя радиолокационных сигналов (ФНОРС) произведен в 2004-2005 гг. Отмечена высокая устойчивость предложенных алгоритмов. Один из главных выводов, сделанных нами еще в 80-е годы XX века: работа по точечной оценке фрактальной размерности В приводит к абсурдным результатам. В то же время почти все авторы, пытающиеся использовать фрактальную обработку (и часто не понимая ее физический смысл), дают исключительно точечные оценки, да еще со среднеквадратическим отклонением (абсурд!).
В своих работах мы ввели фрактальные сигнатуры и фрактальные кепст-ры, и проблема точности цифровой фрактальной обработки в режиме реального времени была решена [1-34, 36, 38-41]. В случае комплексирования классического обнаружителя с фрактальным обнаружителем повышается вероятность правильного обнаружения и распознавания. На данном этапе, эта задача уже не имеет глубокого научного интереса, а относится практически к рядовым инженерным техническим решениям. Этот этап мы закрыли, сделав вывод, что более интересна в научном плане, для открытия и фиксации новых радиофизических эффектов, композиция двух фрактальных обнаружителей с различными пространственными координатами на рис. 7. Данные рис. 7 ил-
люстрируют неисчерпаемые возможности методов фрактального обнаружения сигналов. Тем более, что введение их в схемы действующего множества радиолокаторов различного назначения требует минимальных изменений, т.е. необходим лишь ввод сигнала промежуточной частоты. Таким образом, на основе общих логических правил и данных рис. 7 возможен эвристический синтез множества других типов фрактальных обнаружителей.
Очень важный вопрос - синтез принципиально нового «неэнергетического» фрактального обнаружителя сигналов по их сингулярностям и топологии принятой выборки. То есть автор предлагает максимально «уйти» от энергии принимаемого сигнала. Ранее нами было также подробно рассмотрено использование преобразования Радона в современной радиолокации [4-5]. Динамические фрактальные обнаружители, рассмотренные выше, и фрактальные антенны могут широко использоваться и в нелинейной радиолокации [3].
Фрактальное автоматическое обнаружение объектов на радиолокационных изображениях, полученных РСА и БПЛА. Радиолокаторы с синтезированной апертурой (РСА) и БПЛА получили широкое распространение в практике исследования земных покровов. Основными достоинствами таких систем съемки являются нетребовательность к условиям освещенности исследуемого района и нечувствительность к погодным условиям в зоне съемки с достаточно высоким пространственным разрешением. Эти радары являются ключевым элементом современных и перспективных информационных РСА-технологий. Ниже исследуем потенциальные возможности фрактальной обработки информации для решения задач автоматического фрактального обнаружения малоконтрастных объектов по радиолокационным изображениям (РЛИ), полученным космическими и авиационными комплексами.
Исходные данные для цифровой фрактальной обработки РЛИ получены спутниковым радаром с синтезированной апертурой (РСА) PALSAR ¿-диапазона (Япония). PALSAR - космический РСА на длине волны 23 см с пространственным разрешением порядка 7 м, разработанный японским агентством JAXA и успешно отработавший на орбите с 2006 г. по 2011 г. Область применения данных РСА PALSAR включает ледовую разведку, океанографию, картографию, геологию, гидрологию, исследование лесов, решение задач сельского хозяйства и охраны окружающей среды.
В качестве примера на рис. 8 приведено РЛИ дельты реки Селенги в Забайкалье, полученное 7 августа 2006 г. в режиме высокого разрешения FBS на согласованной горизонтальной поляризации. На первом этапе фрактальной обработки РЛИ РСА были измерены поля локальных значений дисперсионной фрактальной размерности D (рис. 9).
В зону съемки (рис. 8) размером примерно 60 х 50 км входят покрытая лесами гористая область Хамар-Дабан (внизу передана более светлым тоном с характерной «смятой» структурой), равнинная область дельты реки Селенги (в середине верхней части снимка, передана более темными тонами) и черный участок на снимке в левом верхнем углу - гладкая водная поверхность озера Байкал. В равнинной части снимка видны линейчатые структуры - границы сельскохозяйственных полей, а также скопления ярких объектов -сильно отражающие элементы зданий и других конструкций в пределах населенных пунктов. Длинные извилистые темные линии на равнине - многочисленные рукава реки Селенги.
Рис. 8. Дельта реки Селенги Рис. 9. Результат общей фрактальной
на снимке РСА РАЬЗАБ. обработки РСА
Предложенные автором в ИРЭ имени В. А. Котельникова РАН фрактальные методы обработки изображений существенно дополняют текстурные и другие методы и позволяют более надежно производить операцию кластеризации [1-34, 36, 38-41]. Еще ранее нами был сделан важный вывод о достаточной трудоемкости и неоднозначности непосредственно прямого использования оценок средней фрактальной размерности В для идентификации земных покровов и метеоцелей на их фоне и определения/обнаружения числа одинаковых объектов. Отметим, что после фрактальной обработки изображений поверхности, кроме устойчивого разделения по типам земных покровов, отмечаются невидимые (скрытые) до этой обработки особенности (как, например, данные кластеризации дистанционного зондирования земных покровов). Это позволяет говорить о применении методов фрактального распознавания для идентификации участков изображения, «невидимых» при классических методах кластеризации по полю яркостей.
Затем было получено эмпирическое распределение значений мгновенной фрактальной размерности В - рис. 10.
Рис. 10. Эмпирическое распределение значений мгновенной фрактальной размерности В
Ниже приведены примеры фрактальной селекции по В (рис. 11-13). Выделенный фрагмент изображения с фрактальной размерностью В « 2,2 вблизи 1-го большого пика (рис. 10) приведен на рис. 11. Следующий выделенный фрагмент изображения с фрактальной размерностью В«2,4 вблизи 2-го большого пика (рис. 10) приведен на рис. 12. Выделенный фрагмент изображения с фрактальной размерностью В « 2,5 (почти броуновская поверхность) вблизи 3- и 4-го больших пиков (рис. 10) показан на рис. 13.
Полученные результаты позволяют эффективно вести дальнейшую разработку высокоинформативных радиолокационных систем мониторинга, направленных на практическое решение тематических задач в различных областях применения РСА и БПЛА. Проведенные экспериментальные исследования показали перспективность применения фрактальной обработки радиолокационных данных авиационного и космического базирования для решения современных радиофизических задач радиолокации и дистанционного зондирования, в том числе и автоматического обнаружения разнообразных объектов.
Рис. 11. Часть РЛИ с В « 2,2 Рис. 12. Часть РЛИ с В « 2,4 Рис. 13. Часть РЛИ с В « 2,5
О перспективных направлениях фрактальных исследований. На основе исключительно собственных работ [1-34, 36, 38-41] (см., также, сайт автора - http://www.potapov-fractal.com) попытаемся дать картину наиболее перспективных направлений фрактальных исследований в области прогресса современных фундаментальных и прикладных наук:
1. Исследование возможностей текстурных (пространственных и спектральных), фрактальных и энтропийных признаков для радиолокационных задач обнаружения.
2. Синтез новых моделей рассеяния радиолокационных сигналов земными покровами на основе теории детерминированного хаоса, странных аттракторов и фрактальных вероятностных распределений - устойчивых распределений.
3. Исследование волновых явлений (распространение и рассеяние волн, процессы диффузии) во фрактальных неоднородных средах на основе операторов дробного интегродифференцирования. Дальнейшее развитие фрактальной электродинамики.
4. Синтез моделей каналов радиолокационных и телекоммуникационных систем на основе пространственных фрактальных обобщенных корреляторов и фрактальных частотных функций когерентности.
5. Исследование возможностей распознавания формы или контуров целей с помощью фрактальных, текстурных и энтропийных признаков. Работа на сингулярностях входной функции.
6. Исследование потенциальных возможностей и ограничений фрактальных методов обработки радиолокационных и связных сигналов, в том числе фрактальной модуляции и демодуляции, фрактального кодирования и сжатия информации, фрактального синтеза изображений, фрактальных фильтров. Переход к фрактальным радиосистемам. Фракталы в акустоэлек-тронике (2012 г.).
7. Исследование адаптивной пространственно-временной обработки сигналов на основе дробной размерности и дробных операторов.
8. Поиск и исследование новых комбинированных методов обнаружения и распознавания классов малоконтрастных целей в интенсивных негаус-совских помехах.
9. Исследование возможностей создания новых сред для передачи информации, многодиапазонных фрактальных поглощающих материалов, конструирование фрактальных антенн и фрактальных частотно-селективных поверхностей и объемов. Дальнейшее развитие теории и техники фрактальных импедансов.
10. Синтез новых классов фракталов и мультифракталов c обобщением понятия меры множеств.
11. Изучение вида или топологии выборки одномерного (многомерного) сигнала для задач, например, искусственного интеллекта с целью создания словарей фрактальных признаков на основе фрактальных примитивов, являющихся элементами фрактального языка с фрактальной грамматикой, т.е. исследование проблемы "размерностного склероза" физических сигналов и сигнатур. Эти понятия, введенные автором, предполагают исследование топологических особенностей каждой конкретной индивидуальной выборки, а не усредненных реализаций, имеющих зачастую другой характер.
12. Прогноз механизмов формирования и характеристик шероховатости с целью управления геометрическими параметрами микрорельефа для получения заданных физико-химических и эксплуатационных свойств изделий при современных неравновесных технологиях обработки их поверхностного слоя. Фракталы в нанотехнологиях. (В 2008 г. автор предложил новую концепцию, а именно, «Скейлинг шероховатого фрактального слоя и нанотехнологии»).
13. Развитие фрактальной неинерциальной релятивистской радиолокации в искривленном пространстве - времени связанных структур [6, 7], т.е. фрактальной геометрии пространства - времени детерминированных структур. (В настоящее время в США данное фундаментальное научное направление получило яркое название «Фрактальная космология - Fractal Cosmology». Наши работы с соавторами значатся в списке основных публикаций (arXiv: Cornell University, USA) по этому главному теоретическому направлению).
Официально признанные результаты фрактальных исследований. Результаты нашей научной деятельности в ИРЭ имени В. А. Котельникова РАН по фрактально-скейлинговой обработке информации в интенсивных помехах, а также по фрактальным радиосистемам и фрактальным радиоэлементам опубликованы в четырех отчетных докладах Президиума Российской академии наук (Научные достижения РАН. М.: Наука, 2008, 2010, 2012, 2013 гг.) и в «Докладе
Правительству Российской Федерации. Об итогах реализации в 2011 году Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008-2012 гг. В трех томах» (М.: Наука, 2012) в разделах «Локационные системы». Приведем ниже текст этих официально признанных достижений:
— В книге «Отчетный доклад Президиума Российской академии наук. Научные достижения Российской академии наук в 2007 году» (М.: Наука, 2008. 204 с.) в подразделе «Локационные системы», раздел «Информационные технологии и вычислительные системы» (с. 41) приведен следующий текст: «Создан эталонный словарь фрактальных признаков оптических и радиоизображений, необходимый для реализации принципиально новых фрактальных методов обработки радиолокационной информации и синтеза высокоинформативных устройств обнаружения и распознавания слабых сигналов на фоне интенсивных негауссовских помех. Установлено, что для эффективного решения задач радиолокации и проектирования фрактальных обнаружителей многомерных радиосигналов существенное значение имеют дробная размерность, фрактальные сигнатуры и кепстры, а также текстурные сигнатуры фона местности (ИРЭ РАН)» - 2007 г., опубликовано в 2008 г.
— В книге "Отчетный доклад Президиума Российской академии наук. Научные достижения Российской академии наук в 2009 году" (М.: Наука, 2010. 616 с.) в подразделе «Локационные системы. Геоинформационные технологии и системы», раздел «Нанотехнологии и информационные технологии» (с. 24) приведен следующий текст: «Впервые в мировой практике предложены и экспериментально доказаны принципы построения новых, фрактальных адаптивных радиосистем и фрактальных радиоэлементов для современных задач радиотехники и радиолокации. Принцип действия таких систем и элементов основан на введении дробных преобразований излучаемых и принятых сигналов в пространстве нецелой размерности при учете их скей-линговых эффектов и негауссовской статистики. Это позволяет выйти на новый уровень информационной структуры реальных немарковских сигналов и полей (ИРЭ РАН)» - 2009 г., опубликовано в 2010 г.
— В книге "Отчетный доклад Президиума Российской академии наук. Научные достижения Российской академии наук в 2011 году" (М.: Наука, 2012. 620 с.) в подразделе «Локационные системы. Геоинформационные технологии и системы», раздел «Информатика и информационные технологии» (с. 199-200) и книге «Доклад Правительству Российской Федерации. Об итогах реализации в 2011 году Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008-2012 гг. В трех томах» (М.: Наука, 2012. 1016 с.) на с. 242 приведен следующий текст: «На основе фрактального анализа проведено систематическое исследование электродинамических свойств фрактальных антенн. Подтверждены широкополосные и многодиапазонные свойства фрактальных антенн и зависимость числа резонан-сов от номера итерации фракталов. Показано, что на основе миниатюрных фрактальных антенн возможна эффективная реализация частотно-избирательных сред и защитных экранов, искажающих радиолокационный портрет цели. Изучены фрактальные частотно-избирательные 3Б-среды или фрактальные "сэндвичи" (инженерные радиоэлектронные микро- и наноконструк-ции). (ИРЭ РАН)» - 2011 г., опубликовано в 2012 г.
— В книге "Отчетный доклад Президиума Российской академии наук. Научные достижения Российской академии наук в 2012 году" (М.: Наука, 2013. 616 с.) в подразделе «Элементная база микроэлектроники, наноэлек-троники и квантовых компьютеров. Материалы для микро- и наноэлектрони-ки. Нано- и микросистемная техника. Твердотельная электроника», раздел «Нанотехнологии и информационные технологии» (с. 195) приведен следующий текст: «Установлено, что в физической основе функционирования мемристора лежит целочисленный квантовый эффект Холла. Получены соотношения между током и напряжением для произвольного типа мемристора. Результаты направлены на практическую реализацию мемристоров как новых элементов электронных схем. (НИИ ПМА КБНЦ РАН, ИРЭ РАН)» - 2012 г., опубликовано в 2013 г.
Выводы. Проблема фракталов в радиолокации, радиофизике и радиотехнике на самом деле необъятна. Автор поставил перед собой эти вопросы еще в 1980 г. и в течение 35 лет работает над их разрешением. Сейчас мы имеем полное основание думать, что обширный и ценный материал, уже полученный, и результаты дальнейших исследований будут использованы в перспективных радиосистемах. Я считаю проблему «топологии выборки» [8, 10, 11, 14, 17, 19, 21-25, 27, 29, 33, 39-41] одной из важнейших во всей радиоэлектронике, и при этом также убежден, что без фрактальности и скейлинга вся теория обнаружения сигналов теряет свое каузальное значение для понятий сигнала и шума. По сравнению с предыдущими работами данная статья добавляет новые черты интерпретации фрактальной радиолокации и радиофизики. Специфика радиолокационных задач нашла здесь особое воплощение. По-видимому, это все и есть те самые прорывные информационные технологии, столь необходимые России сегодня. Запад этого еще не достиг.
Литература
1. Вопросы перспективной радиолокации: Коллективная монография / Б.В. Бункин, А.П. Реутов, А.А. Потапов и др. М.: Радиотехника, 2003. 512 с.
2. Леонов К.Н., Потапов А.А., Ушаков П.А. Использование инвариантных свойств хаотических сигналов в синтезе новых помехоустойчивых широкополосных систем передачи информации // Радиотехника и электроника. 2014. Т. 59, № 12. С. 1209-1229.
3. Нелинейная радиолокация / под ред. А. А. Горбачева, А.П. Колданова, А. А. Потапова, Е.П. Чигина (Библиотека журнала «Нелинейный мир»: Научная серия «Фракталы. Хаос. Вероятность»). М.: Радиотехника, 2005. Ч. 1; 2006. Ч. 2; 2007. Ч. 3.
4. Опаленов Ю.В., Потапов А.А. Стохастические сигналы и преобразование Радона при получении растровых радиолокационных изображений микроволновым цифровым радиолокатором с фрактальной обработкой информации // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45, № 12. С. 1447-1458.
5. Пат. 2211461 РФ, МПК7 G01S13/90. Способ синтеза радиолокационного изображения и устройство для его осуществления / Опаленов Ю.В., Потапов А.А.; заявитель и патентообладатель Ин-т радиотезники и электроники РАН. № 2001116248/09; заявл. 18.06.2001; опубл. 27.08.2003.
6. Подосенов С.А., Потапов А.А., Соколов А.А. Импульсная электродинамика широкополосных радиосистем и поля связанных структур / под ред. А. А. Потапова. М.: Радиотехника, 2003. 720 с.
7. Подосенов С.А., Потапов А.А., Фоукзон Дж., Менькова Е.Р. Неголономные, фрактальные и связанные структуры в релятивистских сплошных средах, электродинамике, квантовой механике и космологии: в 3 т. / под ред. А.А. Потапова. М.: ЛЕНАНД, 2015. 1200 с.
8. Потапов А.А. Глобальный фрактально-скейлинговый метод и фрактальная парадигма в моделировании физико-технических процессов и сред // Вестник Тамбовского университета.
Сер. Естественные и технические науки (Материалы междунар. конф. «Колмогоровские чтения - VI. Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ - 2013), посв. 110-летию со Дня рождения А.Н. Колмогорова»). 2013. Т. 18, № 5. С. 2645-2646.
9. Потапов А.А. К теории функционалов стохастических полей обратного рассеяния // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52, № 3. С. 261-310.
10. Потапов А.А. Новые информационные технологии на основе вероятностных текстурных и фрактальных признаков в радиолокационном обнаружении малоконтрастных целей // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48, № 9. С. 1101-1119.
11. Потапов А.А. О фрактальных радиосистемах, дробных операторах, скейлинге, и не только... // Фракталы и дробные операторы / предисл. Ю.В. Гуляева и С. А. Никитова. Казань: Фэн, 2010. С. 417-472.
12. Потапов А.А. Очерки по развитию дробного исчисления в работах А.В. Летникова // РЭНСИТ, 2012. Т. 4, № 1. С. 3-102.
13. Потапов А.А. Размышления о фрактальном методе, методе дробных интегропроиз-водных и фрактальной парадигме в современном естествознании (Из записных книжек автора) // РЭНСИТ. 2012. Т. 4, № 1. С. 103-142.
14. Потапов А. А. Синергетические принципы нелинейной динамики и фракталы в разработке новых информационных технологий для современных радиосистем // Радиотехника. 2005. № 8. С. 73-88.
15. Потапов А. А. Синтез изображений земных покровов в оптическом и миллиметровом диапазонах волн: дис. ... докт. физ.-мат. наук. М., 1994. 436 с.
16. ПотаповА.А. Спецтема: автореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 1989. 28 с.
17. Потапов А.А. Топология выборки // Нелинейный мир. 2004. Т. 2, № 1. С. 4-13.
18. Потапов АА Фракталы в дистанционном зондировании // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. № 6. С. 3-65.
19. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Логос, 2002. 664 с.
20. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Основы теории рассеяния волн фрактальной поверхностью // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 5. С. 517-544.
21. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Фрактальный анализ сигналов // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 3. С. 261-270.
22. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Университетская книга, 2005. 848 с.
23. Потапов А.А. Фракталы, скейлинг и дробные операторы в обработке информации (Московская научная школа фрактальных методов в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, 19812011 гг.) // Необратимые процессы в природе и технике: сб. науч. тр. / под ред. В.С. Горелика и А.Н. Морозова. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана и ФИАН, 2012. Вып. IV. С. 5-117.
24. Потапов А.А. Фракталы, скейлинг и дробные операторы в современной физике и радиотехнике // Мощная импульсная электрофизика: сб. аннотаций междунар. конф. XIV Харито-новские тематические научные чтения, посв. 110-летию со дня рождения академика Ю.Б. Хари-тона (Саров, 21-25 апреля 2014 г.). Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2014. С. 80-81.
25. Потапов А.А. Фрактально-скейлинговые методы в радиолокации // Юбилейная НТК ОАО «Концерн "Вега"» (Москва, 16-17 октября). М.: ОАО «Концерн «Вега», 2014. С. 9.
26. Потапов А.А. Фрактальные антенны, нанотехнологии, резонансы и плазмоны // Успехи современной радиоэлектроники. 2011. № 5. С. 5-12.
27. Потапов А. А. Фрактальный метод, фрактальная парадигма и метод дробных производных в естествознании // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. Математическое моделирование. Оптимальное управление. 2012. № 5(2). С. 172-180.
28. Потапов А.А., Булавкин В.В., Герман В.А., Вячеславова О.Ф. Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур // ЖТФ. 2005. Т. 75,№ 5. С. 28-45.
29. Потапов А.А., Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Пахомов А.А., Герман В.А. Новейшие методы обработки изображений / под ред. А.А. Потапова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 496 с.
30. Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью // Нелинейный мир. 2008. Т. 6, № 1. С. 3-36.
31. Потапов А.А., Потапов А.А. (мл.), Потапов В.А. Фрактальный конденсатор, дробные операторы и фрактальные импедансы // Нелинейный мир. 2006. Т. 4. № 4-5. С. 172-187.
32. Потапов А.А., Шифрин Я.С., Кузеев Р.Р. Генетические и самоаффинные методы проектирования фрактальных антенн // Антенны. 2014. № 3(202). С. 25-48.
33. Потапов АА. Фрактальный метод и фрактальная парадигма в современном естествознании. Воронеж: Научная книга, 2012. 108 с.
34. Рехвиашвили С.Ш., Потапов А.А. Мемристор и целочисленный квантовый эффект Холла // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57, № 2. С. 207-210.
35. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
36. Foukzon J., Men'kova E., Potapov A.A. The Solution Classical Feedback Optimal Control Problem for m-Persons Differential Game with Imperfect Information. Open Journal of Optimization, 2013, vol. 2, no. 1, pp. 16-25. URL: http://www.scirp.org/journal/ojop.
37. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. N.Y., Academic Press, 1974, 234 р.
38. Potapov A.A. Oscillator with Fractional Differential Positive Feedback as Model of Fractal Dynamics. J. Computational Intelligence and Electronic Systems, 2014, vol. 3, no. 1-2.
39. Potapov A.A. The Global Fractal Method, Fractal Paradigm and the Fractional Derivatives Method in Fundamental Radar Problems and Designing of Revolutionary Radio Signals Detectors // Zbornik radova Konferencije MIT - Matematicke i informacione tehnologije, Vrnjackoj Banji od 5. do 9. septembra i u Becicima od 10. do 14. septembra 2013. godine. Kosovska Mitrovica: Prirodno-matematicki fakultet Ulverziteta u Pristini (Serbia), 2014. P. 539-552.
40. Potapov A.A. The Textures, Fractal, Scaling Effects and Fractional Operators as a Basis of New Methods of Information Processing and Fractal Radio Systems Designing. Proc. SPIE, 2009, vol. 7374, pp. 73740E-1-73740E-14.
41. Potapov A.A., German V.A. Detection of Artificial Objects with Fractal Signatures. Pattern Recognition and Image Analysis, 1998, vol. 8, no. 2, pp. 226-229.
References
1. Bunkin B.V., Reutov A.P., Potapov A.A. et al. Voprosy perspektivnoi radiolokatsii [Questions perspective radar]. Moscow, Radiotekhnika Publ., 2003, 512 p.
2. Leonov K.N., Potapov A.A., Ushakov P.A. Application of Invariant Properties of Chaotic Signals in the Synthesis of Noise-Immune Broadband Systems for Data Transmission. Journal of Communications Technology and Electronics, 2014, vol. 59, no. 12, pp. 1393-1411.
3. Gorbacheva A.A., Koldanova A.P., Potapova A.A., E.P. Chigina Nelineinaya radiolokatsiya [Nonlinear Radar] / Pod red. (Biblioteka zhurnala «Nelineinyi mir»: Nauchnaya seriya «Fraktaly. Khaos. Vero-yatnost'» [Library Journal «The Non-Linear World»: Science series «Fractals. Chaos. Probability»]). Moscow: Radiotekhnika, 2005, pt. 1; 2006, pt. 2; 2007, pt. 3 (in Russian).
4. Opalenov Yu.V., Potapov A.A. Application of Stochastic Signals and the Radon Transform to the Formationof Raster Radar Images by a Microwave Digital Radar with Fractal Data Processing. Journal of Communications Technology and Electronics, 2000, vol. 45, no. 12, pp. 1311-1322.
5. Opalenov Yu.V., Potapov A.A. Sposob sinteza radiolokatsionnogo izobrazheniya i ustroist-vo dlya ego osushchestvleniya [The method of synthesis of radar images and device for Implemented]. Patent RF, no. 2211461, 2003 (in Russian).
6. Podosenov S.A., Potapov A.A., Sokolov A.A. Impul'snaya elektrodinamika shiroko-polosnykh radiosistem i polya svyazannykh struktur [Pulse electrodynamics of wideband radio systems and fields of corresponding structures]. Moscow, Radiotekhnika Publ., 2003, 720 p.
7. Podosenov S.A., Potapov A.A., Foukzon J., Men'kova E.R. Negolonomnye, fraktal'nye i svyazannye struktury v relyativistskikh sploshnykh sredakh, elektrodinamike, kvantovoi mekhanike i kosmologii: v 3 t. [Nonholonomic, fractal and related structures in relativistic continuous media, electrodynamics, quantum mechanics and cosmology. 3 vols]. Moscow, LENAND Publ., 2015, 1200 p.
8. Potapov A.A. Global'nyi fraktal'no-skeilingovyi metod i fraktal'naya paradigma v modelirovanii fiziko-tekhnicheskikh protsessov i sred [Global fractal-scaling method and fractal paradigm in modeling of physical and technology processes and environments]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Ser. Estestvennye i tekhnicheskie nauki (Materialy mezhdunar. konf. «Kolmogorovskie chteniya - VI. Obshchie problemy upravleniya i ikh prilozheniya (OPU - 2013), posv. 110-letiyu so Dnya rozhdeniya A.N. Kolmogorova») [Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences (Proc. of Int. conf. «Kolmogorov readings - VI. General control problems and their applications, dedicated to the 110th anniversary of the birth ofA.N. Kolmogorov»)]. Tambov, 2013, vol. 18, no. 5, pp. 2645-2646 (in Russian).
9. Potapov A.A. The Theory of Functionals of Stochastic Backscattered Fields. Journal of Communications Technology and Electronics, 2007, vol. 52, no. 3, pp. 245-292.
10. Potapov A.A. New Information Technology in Radar Detection of Low-Contrast Targets Based on Probabilistic Texture and Fractal Features. Journal of Communications Technology and Electronics, 2003, vol. 48, no. 9, pp. 1012-1129.
11. Potapov A.A. O fraktal'nykh radiosistemakh, drobnykh operatorakh, skeilinge, i ne tol'ko... [On the fractal radio systems, fractional operators, scaling, and more...]. Fraktaly i drobnye operatory [Fractals and fractional operators]. Kazan, 2010, pp. 417-472.
12. Potapov A.A. Ocherki po razvitiyu drobnogo ischisleniya v rabotakh A.V. Letnikova [Essays on the development of fractional calculus in the A.V. Letnikov's works]. RENSIT, 2012, vol. 4, no. 1, pp. 3-102 (in Russian).
13. Potapov A.A. Razmyshleniya o fraktal'nom metode, metode drobnykh integroproiz-vodnykh i fraktal'noiparadigme v sovremennom estestvoznanii (Iz zapisnykh knizhek avtora) [Reflections on the Fractal Method, Method of the Fractional Integro-Derivatives, and about the Fractal Paradigm in the Modern Natural Science (from the author's notebooks)]. RENSIT, 2012, vol. 4, no. 1, pp. 103-142 (in Russian).
14. Potapov A.A. Sinergeticheskie printsipy nelineinoi dinamiki i fraktaly v razra-botke novykh informatsionnykh tekhnologii dlya sovremennykh radiosistem [Synergistic principles of nonlinear dynamics and fractals in the development of new information technologies for modern radio systems]. Radiotekhnika [Radiotekhnika (Radio engineering)], 2005, no. 8, pp. 73-88 (in Russian).
15. Potapov A.A. Sintez izobrazhenii zemnykh pokrovov v opticheskom i millimetrovom diapa-zonakh voln. Diss. dokt. fiz.-mat. nauk. [Synthesis of Earth's surface images in the optical and millimeter wavelengths. Doct. Diss.]. Moscow, IREE RAS Publ., 1994, 436 p.
16. Potapov A.A. Spetstema. Avtoref dis. kand. tekhn. nauk [Special topic. Abstract of PhD thesis]. Moscow, 1989, 28 p.
17. Potapov A.A. Topologiya vyborki [The topology of the sample]. Nelineinyi mir [Non-Linear World], 2004, vol. 2, no. 1, pp. 4-13 (in Russian).
18. Potapov A.A. Fraktaly v distantsionnom zondirovanii [Fractals in remote sensing]. Zaru-bezhnaya radioelektronika. Uspekhi sovremennoi radioelektroniki [International radio electronics. Advances of modern radio electronics], 2000, no. 6, pp. 3-65 (in Russian).
19. Potapov A.A. Fraktaly v radiofizike i radiolokatsii [Fractals in radiophysics and radar]. Moscow, Logos Publ., 2002, 664 p.
20. Potapov A.A. Fractals in Radiophysics and Radar: Fundamental Theory of Wave Scattering by a Fractal Surface. Journal of Communications Technology and Electronics, 2002, vol. 47, no 5, pp. 461-487.
21. Potapov A.A. Fractals in Radio Physics and Radio Location: Fractal Analysis of Signals. Journal of Communications Technology and Electronics, 2001, vol. 46, no 3, pp. 237-246.
22. Potapov A.A. Fraktaly v radiofizike i radiolokatsii: Topologiya vyborki. Izd. 2-e, pererab. i dop. [Fractals in Radiophysics and Radiolocation: Topology of sample. 2nd ed., revised. and enlarged]. Moscow, Universitetskaya kniga Publ., 2005, 848 p.
23. Potapov A.A. Fraktaly, skeiling i drobnye operatory v obrabotke informatsii (Moskovskaya nauchnaya shkola fraktal'nykh metodov v IRE im. VA. Kotel'nikova RAN, 1981 - 2011 gg.) [Fractals, scaling and fractional operators in information processing (Moscow scientific school of fractal methods in Ko-tel'nikov IREE RAS, 1981 - 2011)]. In: Gorelik V. S, Morozov A.N, eds. Neobratimye protsessy v prirode i tekhnike: sb. nauch. tr. [Irreversible processes in nature and technology: Collected papers, issue IV].]. Moscow, Bauman MSTU & Lebedev Physical Institute RAS Publ., 2012, pp. 5-117 (in Russian).
24. Potapov A.A. Fractals, Scaling and Fractional Operators in Modern Physics and Radio Engineering. Book of Abstracts of the Int. Conf. XIV Khariton's Topical Scientific Reading @High-Power Pulsed Electrophysics@ (April 21 - 25, 2014, Sarov, Russia). Sarov, RFNC-VNIIEF Publ., 2014, pp. 80-81.
25. Potapov A.A. Fraktal'no-skeilingovye metody v radiolokatsii [Fractal-scaling methods in radar]. Yubileinaya NTK OAO «Kontsern «Vega» [Jubilee Scientific and Technical Conference OJSC «Concern «Vega»] (October16 - 17, 2014, Moscow, Russia). Moscow, OJSC «Kontsern «Vega» Publ., 2014, p. 9 (in Russian).
26. Potapov A.A. Fraktal'nye antenny, nanotekhnologii, rezonansy i plazmony [Fractal antennas, nanotechnology, resonances and plasmons]. Uspekhi sovremennoi radioelektroniki [Advances of modern radio electronics], 2011, no. 5, pp. 5-12 (in Russian).
27. Potapov A.A. Fraktal'nyi metod, fraktal'naya paradigma i metod drobnykh proiz-vodnykh v estestvoznanii [Fractal method, fractal paradigm and fractional derivatives method in natural science]. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. Seriya: Matematicheskoe modelirova-nie. Optimal'noe upravlenie [Bulletin of the Nizhny Novgorod University. Series: Mathematical modeling. Optimal control], 2012, no. 5(2), pp. 172-180 (in Russian).
28. Potapov A.A., Bulavkin V.V., German V.A., Vyacheslavova O.F. Fractal signature methods for profiling of processed surfaces. Technical Physics, 2005, vol. 50, no. 5. pp. 560-575.
29. Potapov A.A., Gulyaev Yu.V., Nikitov S.A. et al. Noveishie metody obrabotki izobra-zhenii [The modern methods of image processing]. Moscow: FIZMATLIT Publ., 2008, 496 p.
30. Potapov A.A., Laktyun'kin A.V. Teoriya rasseyaniya voln fraktal'noi anizotropnoi po-verkhnost'yu [The theory of wave scattering anisotropic fractal surface]. Nelineinyi mir [Non-Linear World], 2008, vol. 6, № 1, pp. 3-36 (in Russian).
31. Potapov A.A., Potapov A.A. (Jr.), Potapov V.A. Fraktal'nyi kondensator, drobnye operato-ry i fraktal'nye impedansy [Fractal capacitor, fractional operators and fractal impedances]. Nelineinyi mir [Non-Linear World], 2006, vol. 4, no. 4-5, pp. 172-187 (in Russian).
32. Potapov A.A., Shifrin Ya.S., Kuzeev R.R. Geneticheskie i samoaffinnye metody proektiro-vaniya fraktal'nykh antenn [Genetic and self-affine fractal antenna design methods]. Antenny [Antennas], 2014, no. 3 (202), pp. 25-48 (in Russian).
33. Potapov AA. Fraktal'nyi metod i fraktal'naya paradigma v sovremennom estestvo-znanii [Fractal method and fractal paradigm in modern natural science]. Voronezh, Nauchnaya kniga Publ., 2012, 108 p.
34. Rekhviashvili S.Sh., Potapov A.A. Memristor and the integral quantum Hall effect, Journal of Communications Technology and Electronics, 2012, vol. 57, no. 2, pp. 189-191.
35. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i ne-kotorye ikhprilozheniya [Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications]. Minsk: Nauka i tekhnika Publ., 1987, 688 p.
36. Foukzon J., Men'kova E., Potapov A.A. The Solution Classical Feedback Optimal Control Problem for m-Persons Differential Game with Imperfect Information. Open Journal of Optimization, 2013, vol. 2, no. 1, pp. 16-25. URL: http://www.scirp.org/journal/ojop.
37. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus. N.Y., Academic Press, 1974, 234 р.
38. Potapov A.A. Oscillator with Fractional Differential Positive Feedback as Model of Fractal Dynamics. J. Computational Intelligence and Electronic Systems, 2014, vol. 3, no. 1-2.
39. Potapov A.A. The Global Fractal Method, Fractal Paradigm and the Fractional Derivatives Method in Fundamental Radar Problems and Designing of Revolutionary Radio Signals Detectors. Zbornik radova Konferencije MIT - Matematicke i informacione tehnologije, Vrnjackoj Banji od 5. do 9. septembra i u Becicima od 10. do 14. septembra 2013. godine. Kosovska Mitrovica: Prirodno-matematicki fakultet Ulverziteta u Pristini (Serbia), 2014. P. 539-552.
40. Potapov A.A. The Textures, Fractal, Scaling Effects and Fractional Operators as a Basis of New Methods of Information Processing and Fractal Radio Systems Designing. Proc. SPIE, 2009, vol. 7374, pp. 73740E-1-73740E-14.
41. Potapov A.A., German V.A. Detection of Artificial Objects with Fractal Signatures. Pattern Recognition and Image Analysis, 1998, vol. 8, no. 2, pp. 226-229.
ПОТАПОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСЕЕВИЧ - доктор физико-математических наук, профессор, академик Российской академии инженерных наук им. А.М. Прохорова и Российской академии естественных наук; главный редактор международного журнала «Нелинейный мир»; главный научный сотрудник Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН; Президент совместной китайско-российской лаборатории информационных технологий и фрактальной обработки сигналов (Китай, Гуанджоу), Россия, Москва (potapov@cplire.ru).
POTAPOV ALEXANDER - doctor of Physics and Mathematics, professor, member of Russian A.M. Prokhorov Academy of Engineering Sciences and Russian Academy of Natural Sciences, editor-in-chief of international journal «Nelineynyi mir» (Non-linear world), Chief Scientific Officer of V.A. Kotelnikov Intstitute of Radio Engineering and Electronics of RAS, President of cooperative Chinese-Russian laboratory of informational technologies and signals fractal processing (China, Guanzhou), Russia, Moscow.
