CC BY
60
Серия «Естественные науки» Опыт применения вариационного принципа Гамильтона-Остроградского к практическим вопросам составления дифференциальных уравнений
свободных малых колебаний
к.т.н. доц. Серов М.В., доц. Аверьянова Г.М., Карначева Е.В.
Университет машиностроения 8(495)223-05-23,№@тат1.ги
Аннотация. В статье рассмотрена возможность применения интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского к практическим вопросам составления дифференциальных уравнений свободных малых колебаний для системы с двумя степенями свободы. Получена и решена система дифференциальных уравнений свободных малых колебаний механизма вытягивания кристалла в установке для выращивания кремния, что позволяет при проектировании установки добиться устранения резонансных частот.
Ключевые слова: вариационный принцип Гамильтона-Остроградского свободные колебания, дифференциальные уравнения, установка выращивания кристалла кремния
Введение
Фактически весь монокристаллический кремний, используемый для производства интегральных схем, производится по методу Чохральского [1]. Рост кристаллов по методу Чо-хральского заключается в затвердевании атомов жидкой фазы на границе раздела фаз. Скорость вытягивания оказывает влияние на форму границы раздела фаз между растущим кристаллом и расплавом, которая является функцией радиального градиента температуры и условий охлаждения боковой поверхности растущего кристалла.
Установка для выращивания кристаллов кремния включает в себя четыре основных узла: печь, в которую входит тигель, механизм вытягивания кристалла, устройство для управления составом атмосферы и блока управления [1]. Наиболее опасными для технических объектов оказываются вибрационные воздействия.
Механизм вытягивания должен с минимальной вибрацией и высокой точностью обеспечить реализацию параметра процесса роста кристалла - постоянную скорость вытягивания. На качество выращиваемого кристалла влияют колебания, возникающие вследствие вибраций фундамента и упругих деформаций деталей механизма вытягивания кристалла. Чтобы иметь возможность при проектировании системы исключить резонансные частоты путём соответствующего подбора масс и размеров деталей механизма вытягивания необходимо знать собственные частоты его колебаний.
В настоящее время задачи теоретической и прикладной механики решаются с помощью уравнений Лагранжа второго рода. Однако вывод этих уравнений, предложенный самим Ла-гранжем, отличается известной сложностью.
В работе [2] были исследованы дифференциальные уравнения свободных малых колебаний механизма для вытягивания кристалла, составленные методом Лагранжа для системы с двумя степенями свободы, и определены собственные частоты колебаний.
Однако наибольший эффект при решении задач движения систем под действием приложенных к ним сил дает применение интегрального принципа Гамильтона-Остроградского [3]. На основе указанного принципа легко получить дифференциальные уравнения и в дальнейшем использовать их для описания движения сложных механических устройств, в том числе при колебаниях систем со многими степенями свободы.
В данной работе рассматривается опыт применения интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского к практическим вопросам составления дифференциальных уравнений колебаний для системы с двумя степенями свободы.
Обычно различают дифференциальные и интегральные принципы. Эти принципы мож-
но получить из общего уравнения динамики [3].
При рассмотрении интегральных вариационных принципов речь будет идти исключительно о системах с геометрическими или голономными связями. Принцип, определяемый равенством (1), в общей форме, пригодной и для консервативных и неконсервативных систем, называется принципом М.В. Остроградского [3]:
к
{(ЪА + ЪТ) Л = 0. (1)
ь
При движении системы в консервативном силовом поле первая вариация действия по Гамильтону должна быть равна нулю и равенство (1) приобретает вид:
ч
ЪБ = б[ ЬЛг = 0, (2)
ч
где: Ь = Т — П - функция Лагранжа, Т - кинетическая энергия системы; П - потенциальная энергия системы.
Интеграл Б с переменным верхним пределом будем называть действием материальной системы по Гамильтону:
ч
Б = | ЬЛ. (3)
к
Принцип, определяемый равенством (2) называется принципом Гамильтона-Остроградского. Этот принцип показывает, что при движении системы по «прямому» пути первая вариация действия по Гамильтону должна быть равна нулю. Равенство (2) - частный случай равенства (1).
Целью работы являются теоретические исследования применения вариационного принципа Гамильтона-Остроградского к практическим вопросам составления и решения дифференциальных уравнений свободных малых колебаний механизма вытягивания кристалла в установке для выращивания кремния.
Постановка задач
Расчётная схема механизма для вытягивания кристалла представлена на рисунке 1.
В механизме для вытягивания кристалла затравочный кристалл (затравка) крепится к
каретке 1, которая с постоянной скоростью порядка 0,3 - 7 мм/мин поднимается вверх по двум направляющим колоннам 2 посредством стальной ленты 3, переброшенной через неподвижный блок 4 и наматываемой на барабан 5. Осью блока 4 служит траверса, соединяющая концы направляющих колонн.
При расчёте направляющие колонны принимаются абсолютно жесткими, трением каретки о направляющие пренебрегаем, проскальзывание ленты по блоку отсутствует.
Механическая система (механизм для вытягивания кристалла) имеет две степени свободы. За обобщённые координаты примем координату х, определяющую положение каретки 1 и угол поворота блока ф отсчитываемые от положений статического равновесия. В положении статического равновесия х = 0, ф = 0 .
Результаты исследований
Воспользуемся равенством (2) и покажем, что из интегрального принципа Гамильтона-Остроградского так же, как из принципа Даламбера-Лагранжа, можно получить дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы с двумя степенями свободы:
'2
Ъ Б = Ъ| ЬЛ = 0, (4)
'1
или с учётом функции Лагранжа (считаем, что варьирование и интегрирование - переставимые операции) получим:
'2
5Б = |(5Т — Ъп) сИ = 0. (5)
Вычисляем кинетическую энергию системы:
Т = ^1 + (6)
2 2 '
где: т - масса каретки, J - момент инерции блока относительно оси вращения. Проварьировав функцию (6), для изохронных вариаций найдём:
5Т = тХ 5X + JCфЪф. (7)
Воспользуемся тождеством для преобразования первого члена:
— (Х5х) = ХЪх + X—5х. (8)
йГ ' Л
Так как — 5 х = 5 х (считаем, что варьирование и дифференцирование - переставимые
Л
операции), то с помощью (8) запишем:
х Ъх = Л(х Ъх)—хЪх. (9)
А
Аналогичным тождеством воспользуемся для преобразования второго члена:
—(фЪф)=фЪф+ф—Ъф . (10) ш Л
Так как Л Ъф = Ъ ф, то с помощью (10) запишем:
фЪф = —(фЪф)—фЪф . (11)
Л
Подставив результаты (9) и (11) в формулу (5), найдём:
ЪТ = —(тхЪх)—тхЪх + Л(JCфЪф)—JCфЪф . (12)
Л Л
Потенциальная энергия механической системы:
п = п + п, + п + п2
кар бл 12
(13)
где: Пшр = —тях - потенциальная энергия силы тяжести каретки, Пбл = 0 - потенциальная
энергия силы тяжести блока, так как точка приложения силы тяжести блока неподвижна, п1 - потенциальная энергия упругой силы стальной ленты длиной 11, П2 -потенциальная энергия упругой силы стальной ленты длиной 12.
п =— а
2
А2.
х+А —шг
ст т
(14)
где: с1 - коэффициент жёсткости стальной ленты длиной 11, Аст - удлинение этой ленты в положении статического равновесия, ш - угол поворота блока, г - радиус блока. После преобразований получаем:
П =— ^ (А2 — х2 —А2 — 2хА + 2хшг + 2А шг — ф2г2)= <с1
1 г\ \ ст ст ст т ст т ' п
2
Найдём:
2
х — шг) + 2А ст(х —
(х — Шг)].
П 2 = —■
2
22 фст г
2 2
Ф + Фст 1 г
(15)
(16)
где: с2 - коэффициент жёсткости стальной ленты длиной /2, фст - удлинение этой ленты в положении статического равновесия, фст - угол поворота блока при статическом приложении к системе силы тяжести каретки. После преобразований получаем:
12 _
П 2 =— С2 (ф! г 2 —ф2 г 2 — 2 ф Фст г 2 —ф2^ г 2 )= С2 (ф2 г 2 + 2 фф^ г 2 ) . Рассмотрев положение равновесия каретки и блока, найдём:
тЕ = с1Аст ; с2г фст = тё'; с1аст = с2г фст ■
Тогда подставив выражения потенциальной энергии системы, найдём:
П = ПШр + Пх + П 2 =—т^х +
2
х — ф г1 +
2А ст (х — фг)]+ С2 (ф2 г 2 + 2 ф фст г 2 ).
(17)
(18) (19)
тя тя
Подставив в (19) выражения А ст =-, фст =-, получим:
С
П = —тех +--
2
>2 ~ тя х — ф г 0 + 2 — с,
'1
+ — 2
ф2 г2 + 2 ф — г
С2 0
= —тях + -
2
с1 [ х — ф г
= —тях +
с1 I х — ф г
+ тя (х — ф г)+ ф2 г2 + тя ф г =
( 12 2 2 с1 ( х — ф г 1 + с2 ф г
(20)
2 2
+ тях — тя фг + ф г +тяфг = В положении равновесия при значениях х = 0 и ф = 0 для консервативной системы
должны выполняться равенства:
дП
д х
х=0
= 0,
дп
дф
х=0
= 0.
(21)
ф=0 ^ ф=0
Для потенциальной энергии, принимая во внимание равенство (20), окончательно получим:
\2
П = 2 с1(х—ф г )2+2 С2 Ф 2 г 2.
Проварьировав функцию (22) для изохронных вариаций, найдём:
(22)
2
С
2
2
с
2
С
2
5п = с1 (х — фг) 5х— с1г (х — фг)5ф + с2 фг2 5ф. (20)
Для применения принципа Гамильтона-Остроградского внесём результаты (12) и (20) в равенство (5), получим:
5£ = 2 — (тх5х) — тх5х + —ф5ф) — JCф 5ф—
; — —г . (21)
— (с1 (х — фг) 5х — с1г (х — фг) 5ф + с2 фг2 5 ф)]— = 0 После перегруппировки слагаемых в формуле (21) получим:
5£ = 2 — (тх5х) + — (JCфЪф) — тх 5х — Jc ф 5ф—
^ ё —г —г . (22)
— (с1 (х — фг)5х — с1г (х — фг)5ф + с2 фг2 5ф)]— = 0
Нетрудно видеть, что первый и второй интегралы в формуле (22) обращаются в нуль. Действительно,
ч
| d (mx 8x)= mx 8 = 0, (23)
j d (Jc ф5ф)= Jc jdj = 0. (24)
ti
Напомним, что в основу вывода интегрального принципа Гамильтона-Остроградского положено условие соединения начала и конца «прямого» и «окольного» путей. Значит, в данном случае при значениях времени t = t1 и t = 12 имеем 8x = 0 и 6ф = 0. Поэтому интегралы (23) и (24) обращаются в нуль и уравнение (22) принимает вид:
ч
8 S = II- mx 8x - Jc j 8j -
j . (25)
— (c (x - jr)dx - c^r (x - jr)d j + c2 jr2 8j)]dt = 0 В подынтегральном выражении вариации обобщенных координат 8x и 8j линейно независимы, так как неголономные связи отсутствуют. Поэтому коэффициенты при них дожны быть порознь равны нулю. Имеем:
mx + c1 (x - j r) = 0, (26)
Jc j + (c1 + c2 )r 2j-c1rx = 0. (27)
Таким образом, выражения (26) и (27) являются искомыми дифференциальными уравнениями свободных малых колебаний механической системы с двумя степенями свободы. Запишем полученные дифференциальные уравнения (26) и (27) следующим образом:
х + ах-аг х = 0]
г > (29)
ip + by-d х = 0 J
где: а = — ; ¿ = +с*) ■ d = 5L. m J J
Решение системы дифференциальных уравнений (29) будем искать в виде:
x = A к2 sin (kt + a)|
/ Л, (30)
j = B sin (kt + a) J
где: A и B постоянные величины.
Подставив эти решения в уравнение (4), получим:
(31)
A (a - к2)-bar = 0 - Ad + B (b - к2 ) = 0
Однородная линейная система имеет решения, отличные от нуля, если определитель системы равен нулю.
a - к - ar - d b - к2
= 0.
(32)
Раскрыв определитель, получим уравнения частот:
(а — к 2 )(ь — к 2 )— аёг = 0. (33)
После ряда преобразований собственные частоты колебаний запишутся в следующем
виде:
к'1
a + b
2
(a + b )2 4
- a (b - dr )
k2 =,
a + b
2
- +
(a + b )2 4
- a (b - dr ).
(34)
Проведём определение коэффициентов жесткости стальной ленты на двух участках механизма.
ЕЕ ЕЪк
На участке длиной l1: с1 = ■
На участке длиной l2: с2 =
l
■a
l
l
12 '2
где: Е - модуль Юнга стали (материала ленты), Е - площадь поперечного сечения ленты, 5 - толщина ленты, к - ширина ленты.
Заключение
Применение вариационного принципа Гамильтона-Остроградского при составлении дифференциальных уравнений свободных малых колебаний для механизма вытягивания кристалла в установке для выращивания кремния оказалось целесообразным и эффективным.
Получена система дифференциальных уравнений движения для механической системы с двумя степенями свободы. В результате решения системы дифференциальных уравнений определены собственные частоты колебаний системы и коэффициенты жесткости стальной ленты на двух участках механизма вытягивания кристалла.
Полученные соотношения дают возможность при проектировании установки исключить резонансные частоты путём соответствующего подбора масс направляющих колонн, каретки, блока и размеров направляющих колонн.
Литература
1. Интернет-ресурс: http://www.bibliofond.ru/view.аspx?id=43201
2. Щербаков А.В., Серов М.В. Сб. тр. МНК ММТТ-27, Т. 5. Тамбов: ТГТУ, 2014.
3. Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики: Учебное пособие. Т. 2. - М. Наука, 1977. - 544 с. ил.
