Оптимизация зоны покрытия систем сотовой связи на загородных участках местности методом стохастического программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.518

ОПТИМИЗАЦИЯ ЗОНЫ ПОКРЫТИЯ СИСТЕМ СОТОВОЙ СВЯЗИ НА ЗАГОРОДНЫХ УЧАСТКАХ МЕСТНОСТИ МЕТОДОМ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

И. А. Зикратов,

доктор техн. наук, доцент Т. В. Зикратова,

преподаватель

Санкт-Петербургское высшее военное училище радиоэлектроники

Обсуждаются вопросы рационального размещения ретрансляторов базовых станций сотовой связи на загородных участках местности с использованием цифровой картографической информации. Предложен метод выбора позиций, основанный на стохастическом программировании с вероятностными ограничениями. Решение представлено в виде детерминированного вектора.

Цифровая картографическая информация в составе геоинформационных систем (ГИС) находит широкое применение в различных предметных областях, в том числе используется для рационального размещения источников электромагнитных волн на местности.

Так, при решении задачи априорного выбора позиций систем радиосвязи на загородных участках местности предложен метод [1], основанный на представлении детерминированных целевой функции и ограничений задачи нелинейного программирования в виде эквивалентной задачи с булевыми переменными. Учитывая, что на величины, входящие в указанные соотношения, оказывает влияние большое число случайных независимых факторов, в настоящей работе приводится ее решение методом стохастического программирования.

Рассмотрим пример. Пусть имеется четыре возможные позиции x1, x2, Xз, X4 размещения ретрансляторов, диаграммы направленности которых охватывают участок местности, через который проходят две трассы А и Б (рисунок).

Из множества точек возможных позиций x1, x2, Xз, x4 расположения базовых станций необходимо выбрать минимальное количество N таких позиций, которые позволят расположенным на них базовым станциям обеспечить устойчивую связь абонентов, двигающихся по маршрутам А и Б в пределах участка, ограниченного пунктирной линией. Положим, что концентрация абонентов на трассах А и Б различная. Вероятность по-

явления абонентов на трассах А и Б обозначим соответственно аА и аБ.

В общем виде модель с вероятностными ограничениями определяется следующим образом [2]:

П

максимизировать 2 = ^CjXj при ограничениях

j=l

■ Зоны покрытия трасс А и Б диаграммами направленности базовых станций х1, х2, х3, х4

Здесь с, Ь и Ь — случайные величины. Известно, что если переменные Еґ распределены нормально, с математическими ожидания-

ми

} и дисперсиями var{ьj}, а также заданы (рассчитаны) ковариации К^ ^ = cov{ьj, Ь^} слу-

чайных величин Ьу и Ьу, то исходные ограничения вида (1) эквивалентны неравенству

ґ=і

+ Ф-1 (а,)ХтБ,X < Ь, (2)

* -і!

где Ф(*)= | е 2 ^ — нормальная

функция распределения стандартизированной случайной величины; ХтБ;Х — квадратичная форма; Б; — і-я матрица ковариаций:

Б,-

var

К,

К

Л

т1 т1

Ь1 , Ьп

var

{ьП}

.(3)

Применительно к рассматриваемому примеру переменные Ху (] = = 1, 2, 3, 4), как и в детерминированной постановке задачи, будем полагать булевыми переменными X] = {0, 1}. Пусть переменные Ь — суть длина участка 1-й трассы, охватываемого диаграммой направленности у-го ретранслятора, в предположении, что эти ретрансляторы установлены на позициях анализируемого множества Х1, Х2, Х3, Х4. Тогда, придерживаясь обозначений, принятых в работе [1] при рассмотрении детерминированной задачи, и учитывая (1)-(3), составим целевую функцию и ограничения для задачи стохастического программирования (см. рисунок):

4

^Ху ^ шт — целевая функ-

]=1

ция;

— ограничение для трассы А

м {ьА }х1+м {ьА }х2+м {ьА }х3 - м {ьА2 }х1х2 -

-м{Аз}х2Хз + Ф-1 (аА)ХтБаX <ЬА;

— ограничение для трассы Б

м {ьБ }х2+м {ьБ }х3+м {ь4 }х4 - м {ьБ,4}х2х4 -

- м|ьз, 4 } Х3Х4 - м{Ь2,3,4 } Х2Х3Х4 + Ф ( аБ )Х Ббх < ,

где Ь1к, г — протяженность участков 1-й трассы, проходящей через зоны покрытия й-го и 1-го ретрансляторов; — суммарная протяженность участков трасс, которые должны находиться в зоне покрытия сети. Решением задачи является детерминированный вектор булевых переменных Х1, Х2, Х3, х4, которые могут принимать значения 0 и 1. Единица означает, что на позиции ретранслятор устанавливается, ноль — не устанавливается.

При составлении матриц ковариаций Б следует учитывать, что если случайные величины независимы между собой, то их ковариации равны нулю. Так, например, из анализа рисунка можно записать матрицу ковариаций длин участков трасс ЬА, I для первого ограничения (трасса А):

Ґ

Б

var

К}

0

0

0

var{ьA^ } 0

0

0

К

Л

тА тА Ь1 , М,2

КЬАЬА

ь2 , М,2

К

тА тА ь2 , т2,3

К

тА тА М , М,2

К

тА тА т2 , т1,2

™г{а}

0 var

К

К

тА тА т2 , т2,3

К

тА тА т3 , т2,3

var

тА тА т3 , т2,3

0

{,3}

Вектор X в квадратичной форме для первого ограничения имеет

вид

Х = {x1, x2, x3, х1, 2, х2, 3}.

По аналогии составляется матрица ковариаций

Б

var{ь^2}

0 var 0

0

0 К

тБ тБ т2 , т2, 4

0

К

тБ тБ

-^>-^,3,4

{} 0 0 0 var{ьБ} К

К

К

тБ тБ тБ тБ

т3, т3,4 т3, т2,3,4

тБ тБ т4 , т2, 4

КтБ

т4, ^3,4

К

тБ тБ т2 , т2, 4

0 К

тб тб var

т4 , т2, 4

0 К Б Б К Б Б

із, із, 4 т4, із, 4

{2,4 }

0 var

К

тБ тБ

-42,4»-42,3,4

}К

тБ тБ т3,4, т2,3,4

0 КтБ тБ КтБ тБ '^1'

т2,4, т2,3,4 І3,4, т2,3,4

{,3,4 }

и вектор X = {х2, х3, х4, х2, 4, х3, 4, х2, 3, 4} для второго ограничения (трасса Б).

В работе [3] показано, что путем введения вспомогательных переменных задачу можно преобразовать к виду суммы функций одной переменной. Тогда решение может быть получено при помощи методов сепарабельного программирования.

Чувствительность решения определяется:

— величинами дисперсий значений дальности радиосвязи при определении (расчете) зон покрытия ретрансляторов на анализируемых позициях, что влияет на значение компонентов матриц ковариаций;

— степенью концентрации абонентов аА, Б.

Очевидно, что для определения величин аА, Б необходимо набирать достаточную статистику передвижения абонентов по соответствующим трассам в пределах рассматриваемого участка местности. Вычислять ковариационную матрицу можно с помощью соответствующей имитационной модели ГИС.

Необходимо отметить, что решая эту задачу на ПЭВМ, можно успешно использовать численные методы, реализованные в надстройке MS Excel «Поиск решения». При этом автоматизацию процесса составления целевой функции и ограничений удобно осуществлять средствами языка Visual Basic for Application.

Так, для приведенного примера, при равных величинах концентрации абонентов aA, Б на трассах А и Б и одинаковых погрешностях расчета зон покрытия базовых станций xx, х2, х3, х4, решением является вектор {0, 1, 1, 0}, т. е. минимальное количество базовых станции N = 2, которые достаточно установить на позициях х2 и x3.

При формировании матриц DA и DБ методом имитационного моделирования использовалось 100 статистических испытаний, время расчета составило 12 с на ПЭВМ класса AMD Athlon(tm)XP 1900+ 1,63 ГГц, 512 МБ ОЗУ.

Очевидно, что в значительной мере точность и время расчета определяются степенью достоверности используемой в ГИС мето-

дики расчета дальности радиосвязи с учетом рельефа и радиофизических свойств подстилающей поверхности.

Таким образом, достоинствами предлагаемого метода выбора позиций являются:

— возможность учета стохастических факторов, влияющих на качество радиосвязи;

— учет концентрации абонентов на рассматриваемом участке местности;

— относительная простота программной реализации в ГИС.

Литература

1. Зикратов И. А., Зикратова Т. В.

К вопросу об оптимизации покрытия систем сотовой связи на загородных участках местности // Ин-формационно-управляющие системы. 2007. № 3. С. 52-55.

2. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Сов. радио, 1974. 400 с.

3. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2 кн. Кн. 1; Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 479 с.