CC BY
52
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014
А.В. Меньших,
Воронежский институт ГПС МЧС России
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫБОРА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ
СЛУЖБЕ
OPTIMIZATION OF THE SELECTION OF STATISTICAL DATA USED FOR MANAGEMENT DECISIONS IN THE STATE FIREFIGHTING SERVICE
Разрабатываются методы оценки эффективности панелей пожарной безопасности и определяется модель оптимизации выбора статистических данных для принятия управленческих решений в Государственной противопожарной службе.
Methods for evaluating the efficiency offire safety panels are developed and optimization model selection statistics for management decisions in the State Firefighting Service is defined.
Введение. Эффективность работы государственной противопожарной службы во многом определяется правильностью и своевременностью принятия управленческих решений в ходе осуществления аналитической работы, которые минимизируют риски возникновения чрезвычайных обстоятельств. Одним из видов управленческих решений являются решения на осуществление мер пожарной безопасности, позволяющих снизить риски. Применение каждой меры требует определённых материальных затрат, отказ от применения меры или её несвоевременное применение может привести к значительным материальным потерям и даже гибели людей. Поэтому актуальной является задача выбора оптимальных управленческих решений на применение конкретных мер пожарной безопасности [1—3].
Принятие управленческих решений предполагает предварительный мониторинг пожарной обстановки в зоне ответственности органа, осуществляющего проведение аналитической работы в интересах подготовки данных для последующего их анализа. Поэтому правильность управленческих решений во многом определяется достоверно-
234
Информатика, вычислительная техника и управление
стью результатов анализа данных пожарной статистики [4—8]. В связи с этим возникает задача выбора данных для мониторинга пожарной обстановки.
Формализация задачи. В качестве данных пожарной статистики используется информация о количестве пожаров различного вида, числе погибших и пр. в различных регионах, на разных объектах (жилой фонд, хозяйственные объекты), в различной местности (города, сельские поселения) и т. д. Таким образом, пожарная статистика — это система статистических панелей, представляющих собой совокупность пространственно-временных данных
A
a
t,r,p
(1)
где t є T — индекс, описывающий интервалы времени (месяцы, кварталы или годы), r є R — индекс, описывающий административную единицу (район, город или регион), p є P — индекс, описывающий показатель пожарной статистики.
Для практического использования при решении задачи принятия управленческих решений должны быть выбраны наиболее значимые на данном этапе аналитической работы данные, а также должна быть устранена их мультиколлинеарность. Без ограничения общности можно считать, что все панели являются частным случаем одной панели
Л =
fy,r,p
(2)
в которой интегрированы все данные, содержащиеся в панелях вида (1). Возможность такой интеграции вытекает из одинаковости формата представления всех панелей пожарной статистики.
Обозначим К — множество всех панелей пожарной статистики, которые могут быть порождены статистической панелью (2); p{A j — величину, отражающую содержательную полезность панели A; Z [A j — величину, отражающую статистическую значимость панели A ; V[л1 j — величину, отражающую трудоёмкость анализа панели A .
Важнейшим является показатель содержательной полезности p[A j, поскольку он напрямую связан с правильностью принятия управленческих решений. Статистическая значимость Z [л‘ j должна быть такой, чтобы обеспечить погрешность управленческих решений не выше допустимой. Будем считать Z [л1 j логической переменной, принимающей значение 1, если мультиколлинеарность отсутствует, и 0 — если иначе. Трудоёмкость V[a‘ j должна обеспечивать возможность принятия решения за время, приемлемое с точки зрения лица, принимающего решение. Наиболее существенным фактором, влияющим на данное время, является объём данных. Учитывая, что он является практически единственным фактором, который может объективно численно измерен, в дальнейшем под V[л1 j понимается размерность панели A . V — предельно допустимое значение объёма данных. Таким образом, задача выбора панели принимает следующий вид:
найти A = ArgmaxP\A j (3)
A1 єК
при ограничениях:
235
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014
Z (і11= 1; (4)
V(л)< V . (5)
Задача в такой постановке до сих пор не решалась. Поэтому обратимся к её анализу и выбору метода решения.
Выбор метода решения задачи. Как показывает опыт осуществления аналитической работы в Г осударственной противопожарной службе, для выбора оптимального варианта исходных данных при принятии управленческих решений панели пожарной статистики могут преобразовываться с использованием операций [7] частичного исключения данных и частичного суммирования.
Первая операция используется при выборе наиболее значимых показателей пожарной статистики, а вторая — при переходе к анализу данных по укрупнённым временным интервалам (например, поквартальной статистики вместо помесячной или погодовой вместо поквартальной). В результате выполнения данных операций может быть образовано некоторое иерархически упорядоченное множество, что может быть использовано для генерации альтернативных вариантов панелей. Приведём формальное описание указанных выше операций и основанный на них способ иерархического упорядочения панелей пожарной статистики.
Математически частичное суммирование, как правило, означает, что на множествах значений индексов T,R,P заданы отношения эквивалентности, по которым осуществляется факторизация множеств на классы эквивалентности. Это позволяет определить на множестве панелей пожарной статистики отношение частичного порядка ^, задающего иерархическую структуру этих панелей.
Пусть задана панель A
а
J
ъ,Р,С
Будем считать, что A > Л, если
а] г = Z Z Z alt , r, p , где TT, Rp, P^ — классы эквивалентности множеств
teTT reRp рєрс
T,R,P. Рассмотрим случай, когда требуется использовать не всю панель, а только некоторую её часть, описываемую множествами индексов T ,R ,P . Пусть задана панель
A =
а
ъ,р£
где t є T, r є R, p є P . Доопределим отношение частичного порядка
следующим образом: Л > Л , если T ^ T,R ^ R,P ^ P . Для практического использования при генерации вариантов панелей удобно осуществлять:
операцию частичного исключения для индексов (r,p), которые соответствуют
показателям пожарной статистики;
операцию частичного суммирования для индекса t , который описывает временной параметр.
Рассмотрение численных примеров позволяет выдвинуть предположение, что полученный частичный порядок таков, что чем ниже уровень иерархии, тем меньше вычислительная сложность их анализа и, в то же время, меньше содержательная интерпретация результатов. Однако данный факт требует строгого доказательства, для чего требуется знание явного вида оценок показателей эффективности.
Оценка содержательной интерпретации результатов. Данная оценка может быть получена на основе учёта важности данных для принятия решений, содержащихся
236
Информатика, вычислительная техника и управление
в панели Л =
5
t,r,p
со всеми данными, которые потенциально могут быть использо-
ваны на рассматриваемом этапе принятия управленческих решений. Данной панели
можно поставить в соответствие её матричное представление 3 =
5
t,(r,p)
так, что
столбцы матрицы 3і соответствуют парам значений параметров анализируемых данных (r,p ).
Вначале учтём возможность частичного исключения данных, содержащихся в
панели Л =
5
t,r,p
. С этой целью разобьём её на несколько непересекающихся частей
Л,ЛЛ,...,Л (Л = Л иЛ U... U Л ) так, чтобы каждая часть соответствовала отдель-
ному столбцу матричного представления 3і панели, т. е. соответствовала значениям одного показателя. Обозначим Л1 ,Л1 ,...,Л — их коэффициенты важности для содержательного анализа в ходе осуществления аналитической работы по принятию управленческих решений.
Учтём теперь возможность частичного суммирования данных. Для этого каждо-
му столбцу матричного представления 3і сопоставим 3і1,3і’2,...,3iMi — возможные результаты суммирования данных, содержащихся в этом столбце. Обозначим
/U’1 ,U’1 ,...,UMi — коэффициенты важности данных представлений для содержательного анализа в ходе осуществления аналитической работы по принятию управленческих решений.
Коэффициенты Л ,і є {1,2,...,N} и uik,k є{ц,2,...,Мі} могут быть найдены, например, с помощью метода анализа иерархий, разработанного Т. Саати [9]. Если па-
нель A
at,r,p
получена из обобщённой панели (2) с помощью операций частичного
исключения данных и их частичного суммирования, то она представляет собой объеди-
~i к
нение некоторого количества представлений данных вида A , соответствующих столбцам вида 3i,k, т. е.
A = U Aik , (6)
(i,k )єАл
где Aa — множество допустимых значений пар индексов (i,k). Определим характеристическую функцию
1,если представление данных Ai,k используется в панели A,
hi,k =
[0,если иначе.
Полученное представление позволяет определить оценку содержательной интерпретации результатов с помощью панели A:
. . N Mi
P(A)= Z т,кЯи1к
i=1к=1
(7)
237
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014
Очевидно, что чем выше панель находится в описанном иерархическом упорядочении, тем для большего количества пар индексов {i,k) hi k = 1, что доказывает возрастание значения P{A) при увеличении уровня иерархии.
Оценка мультиколлинеарности панелей данных пожарной статистики. Как
было указано выше, под мультиколлинеарностью понимается высокая взаимная корре-лированность данных. Выделяют две формы мультиколлинеарности [10]:
явную или функциональную, при которой, по крайней мере, одна из парных зависимостей между данными является линейной;
скрытую или стохастическую, при которой, по крайней мере, одна из парных зависимостей между данными является сильно коррелированной.
Наличие явной мультиколлинеарности означает, что
Г
det
M1
V
0,
(8)
где M'
a
t> {г, Р)
матричное представление трёхиндексной панели A1, в которой
столбцы соответствуют парам значений {r,p) анализируемых данных и фактически представляют собой значения случайных величин. Статистический анализ таких данных с помощью существующих методов невозможен, т. к. он предполагает нахождение
матрицы, обратной Mi [{Mi , что теоретически невозможно в силу равенства (8) [10].
Если мультиколлинеарность является скрытой, то результаты анализа данных становятся статистически незначимыми при проверке по критерию Фишера или критерию Стьюдента. Точных количественных методов для проверки наличия скрытой мультиколлинеарности не существует и поэтому используют различные эвристические приёмы [10]. Один из методов проверки заключается в нахождении коэффициентов
парной корреляции столбцов матрицы M i . Если коэффициент больше некоторого порогового значения (часто 0,8), то имеет место мультиколлинеарность. Другой метод заключается в нахождении индекса множественной детерминации, рассчитанного для одного из столбцов со всеми остальными. Если этот индекс превышает 0,6, то считается, что имеет место мультиколлинеарность.
Одним из основных путей борьбы с этим явлением является частичное исключение из рассмотрения тех наборов данных, которые вызывают мультиколлинеарность
[10]. При этом, если коэффициент корреляции двух столбцов матрицы M1 больше порогового значения, то исключают тот, который менее важен, исходя из содержательного смысла задачи.
Все перечисленные методы исключения мультиколлинеарности являются эвристическими и поэтому не могут гарантировать во всех случаях выполнения выдвинутого ранее предположения об уменьшении мультиколлинеарности содержащихся в панелях данных при уменьшении уровня иерархии в иерархическом представлении множества панелей пожарной статистики, что является следствием статистической природы данного показателя эффективности.
Оценка объёма панели пожарной статистики. Данная оценка, как показано выше, в значительной степени характеризует трудоёмкость анализа панели. Учитывая
238
Информатика, вычислительная техника и управление
представление панели (6), и тот факт, что части панели Ai,k следующую оценку:
N Mt
V(A)= Z Z hi’k
i=1k=1
~i’k
не пересекаются, получим
(9)
где
размерность (количество элементов) вектора 3
i.k
, соответствующего ча-
~i k
сти панели A ’ .
Общий вид модели оптимизации выбора панели пожарной безопасности.
Обозначим Hs =\hSi ) =1, ... n — s -й набор всех возможных характеристических
l’k k=1’M,
функций, а V — множество всех таких наборов. Очевидно, что каждый набор Hs определяет одну и только одну панель пожарной безопасности As. Анализ значений his k показывает, что в каждой панели возможно использование только одного пред-
ставления значений показателя, полученных после осуществления операции частичного суммирования по временному параметру. Поэтому для фиксированных значении i и
s только не более одного значения hs k равно 1.
С учётом полученных выше описаний задача (3)—(5) оптимизации выбора панели пожарной безопасности принимает следующий вид:
* найти H = Argmax N Mi . Z Z h? kAiMi’k (10)
Hs eV i=1k=1 ’
при ограничениях:
и N (11)
N Mi Z Z hi,k ~i’ k VI (12)
i=1k=1
M, N}’ Vs.
Z h?k < 1;i e{1 2,... (13)
k=1
Указанная задача отличается от классической задачи линейного булева программирования наличием условия (12), которое можно проверять только после нахождения решения. В случае, если решение не удовлетворяет этому условию, то необходимо повторить выполнение алгоритма поиска решения вновь. Очевидно, что при решении задачи нельзя обойтись без некоторого ограниченного перебора вариантов. Размер общей панели (2) столь велик, что количество альтернативных вариантов решений может оказаться очень большим и решение задачи оптимизации за приемлемое время будет невозможным. Причём заранее определить, что временной ресурс для нахождения точного решения задачи недостаточен, как правило, невозможно.
Описание алгоритма оптимизации. В описанных условиях оказывается целесообразным использование алгоритмов, основанных на схеме «ветвей и границ» [11]. Данные алгоритмы обладают важным преимуществом: уже на первом этапе реализации алгоритма находится приближённое решение, которое в дальнейшем постепенно улучшается. Таким образом, если ресурс времени на поиск оптимального решения исчер-
239
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014
пан, то можно использовать последнее найденное приближённое решение задачи оптимизации. Алгоритм, который принято называть «методом ветвей и границ» фактически представляет собой только определённую совокупность принципов и общую схему решения задачи. В каждом конкретном случае для этой схемы необходимо разработать совокупность правил, учитывающих специфику задачи. Обратимся к разработке алгоритма на основе использования общей схемы метода ветвей и границ с учётом особенностей решаемой задачи.
В основе алгоритмов, использующих общую схему метода ветвей и границ, лежит либо процедура иерархического упорядочения вариантов решений задачи оптимизации, либо процедура последовательного разбиения рассматриваемого множества вариантов решения задачи оптимизации на иерархически упорядоченную систему подмножеств. В данном случае целесообразно использовать первую процедуру. Иерархически упорядоченная система решений называется деревом частичных решений (варианты решений называют вершинами этого дерева). На каждом шаге вариант решения проверяется на возможность содержания в них оптимального варианта, что называется оценкой частичного решения. Если вариант может оказаться оптимальным или предшествовать оптимальному, то происходит рассмотрение нижестоящих в иерархическом упорядочении вариантов, в противном случае осуществляется переход к рассмотрению следующего варианта. Выбор следующего варианта осуществляется с помощью определённого способа обхода вершин дерева частичных решений.
Все алгоритмы, построенные на общей схеме метода ветвей и границ, различаются адаптированными к условиям решаемых оптимизационных задач способом построения дерева частичных решений, способами оценок частичных решений и способом обхода вершин дерева частичных решений. Разработаем новые алгоритмы, позволяющие решать рассматриваемые оптимизационные задачи. При этом ограничимся только описанием указанных способов, считая известной общую схему метода ветвей и границ [11].
В качестве частичных решений будем рассматривать панели A1, которые содержатся во множестве К, а в качестве дерева частичных решений — построенное выше иерархическое упорядочение панелей. При этом вершиной дерева является панель (2), а последующие панели строятся с помощью описанных выше операций частичного исключения данных и частичного суммирования. Переход от вершины к её непосредственному потомку будем называть спуском по дереву решений, а к непосредственному предку — подъёмом по дереву решений.
Для каждого частичного решения A1 выше уже определены оценки по показателям содержательной интерпретации результатов р{аі j в соответствии с формулой (7) и объёма
панели V A j в соответствии с формулой (9). Поскольку оптимизационная задача предполагает максимизацию содержательной интерпретации результатов, то в соответствии с общей схемой метода ветвей и границ соответствующая оценка должна быть верхней оценкой на данном множестве, монотонно убывающей при спуске по дереву решений оценкой.
N Мг
Утверждение 1. Выражение P{A)= £ £ kik^rf’ является верхней достижи-
i=1к=1 ’
мой и монотонно убывающей оценкой содержательной интерпретации результатов.
240
Информатика, вычислительная техника и управление
Доказательство. Очевидно, что чем выше панель находится в описанном иерархическом упорядочении, тем для большего количества пар индексов (i,k) hj k = 1,
что доказывает уменьшение значения P(a) при уменьшении уровня иерархии. Дости-
жимость оценки вытекает из того, что она рассчитывается для конкретных панелей. Доопределим классическую схему метода ветвей и границ возможностью проверки объёма пожарной статистики. Так как это ограничение предполагает, чтобы оценка показателей не превышала порогового значения, то она также должна быть верхней и монотонно убывающей при спуске по дереву решений.
N Mi
Утверждение 2. Выражение V(A) = ЕЕ hi k
i=1k=1
~i, k
является верхней достижи-
мой и монотонно убывающей оценкой объёма панели.
Доказательство аналогично доказательству утверждения 1.
В процессе обхода для каждой вершины Ai осуществляется проверка допустимости частичного решения по формуле (12). Если это условие выполняется для какого-то решения, то оно выполняется и для всех потомков, поскольку данная оценка является монотонно убывающей.
На первом шаге находится начальное решение. Обход начинается с вершины Л и осуществляется спуск по дереву решений до тех пор, пока не будет выполнено условие (12). После этого проверяется выполнение условия (11). Если оно выполнено, то начальное решение найдено. Если нет, то спуск продолжается до тех пор, пока не будут одновременно выполнены условия (12) и (11). В случае если достигнута концевая вершина, а условия не выполнены, то осуществляется подъём на один уровень и спуск продолжается, начиная с ещё не пройденной вершины — непосредственного потомка. Если ни разу одновременно не будут выполнены условия (12) и (11), то задача (10) —
(13) не имеет решения. Если решение найдено, то назовём соответствующую вершину
рекордной, а соответствующую ей оценку — временным рекордом Prec .
На втором и последующих шагах осуществляется улучшение начального решения. В целом эти шаги повторяют первый шаг за исключением следующего:
обход начинается с непосредственного предка последней рекордной вершины; после подъёма спуск продолжается только по не пройденным на предыдущих шагах вершинам;
кроме условий (12) и (11) для каждой вершины A1 проверяется условие
p(A )> Prec . (14)
Если условие (14) не выполняется, то для всех потомков этой вершины оно также не будет выполняться, поскольку оценка (7) монотонно убывает при спуске по дереву решений в силу утверждения 1. Это означает, что оценка содержательной интерпретации результатов, которые могут быть получены с помощью данной панели, будет меньше, чем для уже найденного рекордного решения. Поэтому дальнейший спуск по дереву решений является бесперспективным, осуществляется подъём на один уровень. Последняя рекордная вершина соответствует точному решению оптимизационной задачи (10)—(13). Если в процессе решения задачи будет исчерпан лимит времени на её решение, то последнюю рекордную вершину следует рассматривать в качестве приближённого решения.
241
Вестник Воронежского института МВД России №4 / 2014
Заключение. Разработанные модель и алгоритм оптимизации выбора статистических панелей пожарной безопасности позволят заменить эвристический подход к отбору исходных данных для принятия управленческих решений и, тем самым, повысить эффективность аналитической работы в Государственной противопожарной службе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Брушлинский Н.Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы. — М.: МИНЬ МВД РФ, «Юникс», 1998. — 255 с.
2. Меньших А.В. Логико-арифметические методы оценки управленческих решений в условиях недостоверности и неполноты информации / А.В. Меньших, С.Н. Тростянский // Системы управления и информационные технологии. — 2013. — № 4. — С. 39— 42.
3. Меньших А.В., Тростянский С.Н. Оценка параметров систем одновременных уравнений в моделях пожарной статистики // Вестник Воронежского института ГНС МЧС России. — 2013. — № 3(8). — С. 37—40.
4. Меньших А.В., Тростянский С.Н. Моделирование структуры временных рядов пожарной статистики // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 4. — С. 97—103.
5. Меньших А.В., Тростянский С.Н. Исследование взаимосвязи показателей пожарной статистики // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — №1. — С. 48—53.
6. Меньших А.В. Методы выявления полифрактальности во временных рядах пожарной статистики // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 2014. — Т. 16. — № 1. — С. 60—62.
7. Меньших А.В. Иерархическая структуризация данных пожарной статистики // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VI международной научной конференции «НМТУКТ-2013». — Воронеж: ИНЦ Воронежского государственного университета, 2013. — С. 160—161.
8. Меньших А.В., Тростянский С.Н. Логико-арифметические методы выбора управленческих решений в государственной противопожарной службе // Вестник Воронежского института ГНС МЧС России. — 2014. — № 2(11). — С. 36—39.
9. Саати, Т. Принятие решений: Метод анализа иерархий: пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1993. — 278 с.
10. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой. — М.: Проспект, 2011. — 288 с.
11. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергия, 1980. — 424 с.
REFERENCES
1. Brushlinskiy N.N. Sistemnyiy analiz deyatelnosti Gosudarstvennoy proti-vopozharnoy sluzhbyi. — M.: MIPB MVD RF, «Yuniks», 1998. — 255 s.
2. Menshih A.V. Logiko-arifmeticheskie metodyi otsenki upravlencheskih resheniy v usloviyah nedostovernosti i nepolnotyi informatsii / A.V. Menshih, S.N. Trostyanskiy // Sis-temyi upravleniya i informatsionnyie tehnologii. — 2013. — # 4. — S. 39— 42.
242
Информатика, вычислительная техника и управление
3. Menshih A.V., Trostyanskiy S.N. Otsenka parametrov sistem odnovremennyih uravneniy v modelyah pozharnoy statistiki // Vestnik Voronezhskogo instituta GPS MChS Rossii. — 2013. — # 3(8). — S. 37—40.
4. Menshih A.V., Trostyanskiy S.N. Modelirovanie strukturyi vremennyih ryadov pozharnoy statistiki // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2012. — # 4. — S. 97—103.
5. Menshih A.V., Trostyanskiy S.N. Issledovanie vzaimosvyazi pokazateley pozharnoy statistiki // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2013. — #1. — S. 48—53.
6. Menshih A.V. Metodyi vyiyavleniya polifraktalnosti vo vremennyih ryadah pozharnoy statistiki // Dokladyi Adyigskoy (Cherkesskoy) Mezhdunarodnoy akademii nauk. — 2014. — T. 16. — # 1. — S. 60—62.
7. Menshih A.V. Ierarhicheskaya strukturizatsiya dannyih pozharnoy statistiki // Sovremennyie metodyi prikladnoy matematiki, teorii upravleniya i kompyuternyih tehnologiy: sbornik trudov VI mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii «PMTUKT-2013». — Voronezh: IPTs Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta, 2013. — S. 160—161.
8. Menshih A.V., Trostyanskiy S.N. Logiko-arifmeticheskie metodyi vyibora upravlencheskih resheniy v gosudarstvennoy protivopozharnoy sluzhbe // Vestnik Vo-ronezhskogo instituta GPS MChS Rossii. — 2014. — # 2(11). — S. 36—39.
9. Saati, T. Prinyatie resheniy: Metod analiza ierarhiy: per. s angl. — M.: Radio i svyaz, 1993. — 278 s.
10. Ekonometrika / pod red. I.I. Eliseevoy. — M.: Prospekt, 2011. — 288 s.
11. Korshunov Yu.M. Matematicheskie osnovyi kibernetiki. — M.: Energiya, 1980. — 424 s.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Меньших Анастасия Валерьевна. Преподаватель кафедры прикладной математики и инженерной графики.
Воронежский институт ГПС МЧС России.
E-mail: [email protected]
Россия, 394052, г. Воронеж, ул. Краснознаменная, 231. Тел. (473) 2363-305.
Menshikh Anastasiya Valeryevna. Lecturer of the chair of Applied Mathematics and Descriptive Geometry.
Voronezh Institute of State Firefighting Service at the Ministry of Emergency Situation of Russia.
Work address: Russia, 394052, Voronezh, Krasnoznamyonnaya Str., 231. Tel. (473) 236-33-05.
Ключевые слова: статистические панели; оценки показателей эффективности; мультиколлинеарность; оптимизация выбора.
Key words: statistic panels; performance evaluation; multicollinearity; the optimization selection.
УДК 519.25
243
