CC BY
57
А.В. Меньших,
ФГБОУ ВПО Воронежский институт
С.Н. Тростянский,
доктор технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО Воронежский институт
ГПС МЧС России
ГПС МЧС России
МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ВЫБОРА
МЕР БЕЗОПАСНОСТИ
THE MODEL AND NUMERICAL METHOD FOR OPTIMIZING THE SELECTION OF MEASURES ELIMINATING THE THREAT OF SAFETY
Разрабатывается модель оптимизации выбора мер безопасности и численный метод, основанный на использовании общей схемы метода ветвей и границ.
A model of optimizing the choice of actions to minimize the threats of danger and the numerical method based on the use of the general scheme of the branch-and-bound method is developed.
Введение. Принятие управленческих решений при осуществлении аналитической работы в силовых ведомствах, как правило, направлено на противодействие тем или иным угрозам безопасности граждан, охраняемых объектов или государства в целом, угрозам возникновения чрезвычайных ситуаций и заключается в выборе мер устранения этих угроз. Состав и содержание угроз и мер определяется областью ответственности данных ведомств. Применение каждой меры требует определённых материальных затрат, отказ от применения меры или её несвоевременное применение может привести к значительным материальным потерям и даже гибели людей [1, 2].
Поэтому актуальной является задача выбора управленческих решений на применение конкретных мер устранения угроз безопасности в условиях ограничения на ресурс выделяемых для этой цели средств. Однако в процессе решения данной задачи возникает целый ряд проблем.
1) Оценка возможности возникновения угроз безопасности достаточно часто основана на статистической обработке данных, результаты которой могут быть определены только с некоторой погрешностью (примером служат методы обработки данных пожарной статистики, описанные в [3 — 5]). Поэтому выбор мер осуществляется в условиях различной вероятности возникновения угроз безопасности.
2) Для противодействия одной и той же угрозе безопасности могут быть применены различные меры с различной вероятностью успеха, стоимость реализации которых различается.
3) Одна и та же мера может быть направлена на устранение различных угроз безопасности.
Указанные обстоятельства приводят к значительному увеличению сложности задачи выбора мер устранения угроз безопасности, которая в силу своей природы должна решаться за ограниченное время. В связи с этим возникает необходимость разработки модели оптимизации выбора мер и разработки численного метода, который позволял бы находить либо точное решение, либо приближенное решение за требуемое время. Настоящая работа посвящена решению указанных задач.
1. Формализация и построение модели оптимизации выбора мер устранения
угроз безопасности. Рассмотрим множество U = {и1 ,u2,...,us} — угроз безопасности. Обозначим
/ — оценку возможного ущерба при реализации угрозы и1, р1 — оценку возможности (вероятности) реализации угрозы и1.
Будем считать известным множество М = {ть т2,..., тп} мер по устранению угроз безопасности. Обозначим
с ^ — оценку стоимости реализации меры т ^,
— оценку возможности (вероятности) устранения угрозы и1 в случае реализации меры т^.
Рассмотрим влияние принятия меры т^ на оценку возможного ущерба от реализации угрозы безопасности и1. Если мера не принята, то возможный ущерб от реализации угрозы и1 составит величину /1 р1, а если принята, то величину /1р1 (1 - ).
Введём переменные
{1, если мера т ,■ принята,
0
0, если иначе.
Тогда, как подтверждается непосредственной проверкой, оценка возможного ущерба от реализации угрозы и1 описывается выражением /1р1(1 -м1^х^).
Одна и та же мера может приводить к устранению нескольких угроз, и одна и та же угроза может устраняться с помощью различных мер. Поэтому оценка возможного
ущерба от реализации угрозы и1 в случае реализации всех принятых мер составляет тт /1р1 (1 -), а общий возможный ущерб от реализации всех угроз составляет
М,.п}
Е Г т 1п/р 1 - ™)х])]. (1)
1=1 ^е{1„п } )
Суммарные затраты на реализацию всех мер
Е Сл). (2)
]=1
При осуществлении аналитической работы по принятию управленческих решений, направленных на противодействие угрозам безопасности, требуется выбрать такие меры, которые обеспечили бы минимизацию возможного ущерба от реализации угроз
на основе существующего ресурса средств С. Кроме того, может быть задано предельно допустимое значение возможного ущерба 1 .
Обозначим X = (*1,Х2,...,хп). Тогда модель оптимизации выбора мер безопасности имеет вид:
* / * * * \ ( і і( і \
найти X = ^хьХ2,...,хп) = Л^тіп ^ тіп / р ^1 -М/Х/}
і
=1 Vе і1,-п} )
(3)
при ограничениях Е (сл )< С, (4)
7=1
5 ( -7 ■ ^
Е щіп /У (і - м)хі) <1. (5)
і =1 и^-п} ' ]
2. Выбор численного метода решения задачи. Модель (3)—(5) представляет собой задачу нелинейного булева программирования [6]. Все известные точные численные методы решения таких задач содержат явный или неявный ограниченный пере-
бор возможных вариантов и заранее оценить количество оцениваемых вариантов, а, следовательно, время решения всей задачи не представляется возможным. Поэтому при большой размерности задачи нельзя гарантировать, что её решение может быть получено за приемлемое время.
В этом случае для нахождения численного решения задачи целесообразно использовать общую схему метода ветвей и границ [7]. Этот метод в среднем требует большего времени реализации, чем другие методы (например, чем метод динамического программирования), но в отличие от других методов позволяет на первом шаге получить приближённое решение, которое на последующих шагах только улучшается. Поэтому, если лимит времени на решение задачи исчерпан, то всегда можно ограничиться приближённым решением.
Все известные модификации метода ветвей и границ различаются способом построения дерева частичных решений, способами оценок частичных решений и способом обхода вершин дерева частичных решений. Разработаем новую модификацию метода, позволяющего решать рассматриваемую задачу. При этом ограничимся только описанием указанных способов, считая известной общую схему метода ветвей и границ [7].
3. Способ построения дерева частичных решений. В качестве частичных решений будем рассматривать множества возможных решений
Ло1 ,о2,...,ок = (о1 , °2’-.’Ок ,Щк+1 ,Щк+2,...,Щп ), где с?1,&2,...,&к — определённые значения переменных *1, *2,..., *к,
Щ-+1,Щ-+2,...,Щ -- неопределённые значения переменных Хк+1, Хк+2,..., хп .
Дерево решений будем строить следующим образом:
вершиной дерева является Л = (щ,щ,.,Щп) — множество всех возможных вариантов значений переменных X = (*1 х,...,хп );
непосредственными потомками вершины являются множества Л и Л;
для произвольной вершины дерева решений Л0^ ак непосредственными по-
томками являются Л ,о2 ,...,ак,1 и Л ,02 ,...,ак,о.
Переход от вершины к её непосредственному потомку будем называть спуском по дереву решений, а к непосредственному предку — подъёмом по дереву решений.
При спуске по дереву решений мощность множества решений, соответствующих вершинам дерева, уменьшается и концевые вершины дерева содержат всего одно решение.
Полнота охвата всего множества вариантов и непротиворечивость построения определяются следующим очевидным свойством:
Ло1 ,о2,...,ок = Ло1 ,о2,...,ак,1 ^ Ло1 ,о2,...,ак,0 ■
4. Способы оценок частичных решений. Для каждого частичного решения необходимо определить их оценки по каждому показателю — ущербу от реализации угроз и стоимости мер безопасности.
Поскольку задача предполагает минимизацию ущерба, то в соответствии с общей схемой метода ветвей и границ соответствующая оценка должна быть нижней оценкой на данном множестве, монотонно возрастающей при спуске по дереву решений оценкой .
Утверждение 1. Выражение
5 С С / \ I \Х\
тт /1 р1 (1 -мО,■) тт /1р\1 -)
ие{1,..,к} К ] ]]^{к+1,.„п} К
(6)
тт
V
является нижней достижимой и монотонно возрастающей оценкой возможного ущерба для всех вариантов множества Л0, ак.
Доказательство. Данное выражение соответствует оценке (1) для вектора решений X = (^1,02 ,...,0’к,1,1,...,1). Поскольку каждое значение х.■ = 1 не увеличивает зна-
чения выражения (1) (это соответствует тому, что принятие каждой меры не может увеличить общий ущерб), то оценка (6) является нижней оценкой.
Достижимость оценки определяется тем, что она соответствует множеству
Лах ,s2,...,ст*,1,1,...,1 ^ Ls1 ,s2,—,sk.
Монотонность следует из того, что Fs s 0к £ Fs s 0k ак . Действительно,
т. к. sk+1 £ 1, то
j min{ min flpl 1 - wljsj )flpl (l - w[+Sk+1). min flpl (l - wj-)
i=1 V V Ml-,k} jelk+2>-->n}
j (min[ ?nm fp1 (1 - wjsj)fpl (1 - wk+1) mm f p1 (1 - wj)
i=1 V v M1’-*} Mk+2 .■■.nj ,
Для решения задачи (3)—(5) доопределим классическую схему метода ветвей и
границ возможностью проверки ограничений (4) и (5). Так как эти ограничения пред-
полагают, чтобы оценки стоимости мер безопасности и возможного ущерба не превышали порогового значения, то оценки также должны быть нижними и монотонно возрастающими при спуске по дереву решений. Для оценки возможного ущерба такая оценка уже получена выше. Найдём оценку стоимости мер безопасности.
Утверждение 2. Выражение
CSl’U2’.:’Sk = /С ^j^j ) (7)
j=1
является нижней достижимой и монотонно возрастающей оценкой стоимости мер безопасности для всех вариантов множества Лаs s .
Доказательство. Данное выражение соответствует оценке (2) для вектора решений X = (s,S2’...’Sk’0’0’...’0). Поскольку каждое значение х- = 0 не увеличивает значения выражения (2) (это соответствует тому, что непринятие новых мер не может увеличить общую стоимость их реализации), то оценка (7) является нижней оценкой.
Достижимость оценки определяется тем, что она соответствует множеству
L(7j,S2 ,...,sk,0,0,...,0 £ L(7j ,S2,...,Sk .
Монотонность следует из того, что Cs s s £ Cs s s s . Действительно,
’ s1 ,s2 ,...,°k s1, s2 ,...,<Jk,°k+\ ^ ’
т. к. sk+1 ^ ^ то Z (c jsj) £ E (cjsj)+ ck+1 sk+1.
j=1 j=1
5. Способ обхода дерева частичных решений. В процессе обхода для каждой вершины Л^ s s осуществляется проверка допустимости решения по формулам
Cs1s2.sk £ C , (8)
F(Jl’S2’ ■’Sk £ F . (9)
Если хотя бы одно из условий (8) и (9) не выполняется, то для всех потомков этой вершины оно также не будет выполняться, поскольку эти оценки монотонно возрастают при спуске по дереву решений в силу утверждений 1 и 2. Это означает, что для множества вариантов, соответствующего вершине s s, стоимость мер безопасности уже превысила выделенный ресурс или потенциальный ущерб от угроз безопасности превысил предельное значение.
На первом шаге находится начальное решение.
Обход начинается с вершины Л = (щ,&2,—,&>п). Осуществляется спуск по дереву решений до тех пор, пока выполнены условия (8) и (9). В случае невыполнения хотя бы одного из этих условий осуществляется подъём на один уровень и спуск продолжается, начиная с ещё не пройденной вершины — непосредственного потомка.
Первый шаг заканчивается, когда будет достигнута концевая вершина или если окажется, что ни одна концевая вершина не может быть достигнута. В последнем случае задача (3)—(5) не имеет решения.
Если концевая вершина достигнута, то соответствующее ей решение Лаа
является начальным приближённым решением задачи. Назовём данную вершину рекордной, а соответствующую этой вершине оценку ущерба от реализации угроз безопасности Ь = Е тт /грг(1-м>1,а,-)| — временным рекордом.
г=1 )
На втором шаге и последующих шагах осуществляется улучшение начального решения. В целом эти шаги повторяют первый шаг за исключением следующего:
1) обход начинается с непосредственного предка последней рекордной вершины;
2) после подъёма спуск продолжается только по не пройденным на предыдущих шагах вершинам;
3) кроме условий (8) и (9) для каждой вершины Ла^ аа а дополнительно проверяется условие
з С С / \ / ЧЛЛ
^а1 а2 ,-ак X
/=1
< Ь. (10)
тт тт (г р (1 - м>\а,-) тт (г р1 (1 - м>г ,■)
у Ыик} К ] ]]Ф+1.,,п} ^ Ы))
Если условие (10) не выполняется, то для всех потомков этой вершины оно также не будет выполняться, поскольку оценка (6) монотонно возрастает при спуске по дереву решений в силу утверждения 1. Это означает, что ущерб от угроз безопасности для всех вариантов решения задачи, соответствующих этим вершинам, будет больше, чем для уже найденного рекордного решения. Поэтому дальнейший спуск по дереву решений является бесперспективным, осуществляется подъём на один уровень.
Выполнение алгоритма решения задачи заканчивается, когда на очередном шаге не удастся достичь концевой вершины. В этом случае последняя рекордная вершина соответствует точному решению задачи.
Если в процессе решения задачи будет исчерпан лимит времени на её решение, то последнюю рекордную вершину следует рассматривать в качестве приближённого решения.
Заключение. Для практического использования разработанных модели и численного метода необходимы оценки параметров модели, т. е. стоимости ущерба от угроз безопасности, вероятности их возникновения и оценок возможности устранения угроз с помощью принимаемых мер. Значения указанных показателей, применительно к задачам, решаемым в государственной противопожарной службе, частично в явном или неявном виде содержатся в данных пожарной статистики и могут быть найдены с помощью существующих методов [3—5, 8].
Если в процессе решения задачи окажется, что задача (3)—(5) не имеет решения,
то следует либо увеличить объём финансирования существующих мер безопасности С, либо использовать другие потенциально допустимые меры. Предложенная модель может использоваться при разработке систем поддержки принятия управленческих решений в силовых ведомствах, осуществляющих противодействие угрозам безопасности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ямалов И.У. Моделирование процессов управления и принятия решений в условиях чрезвычайных ситуаций. — М.: Лаборатория базовых знаний, 2013. — 288 с.
2. Брушлинский Н.Н. Системный анализ деятельности Государственной противопожарной службы. — М.: МИПБ МВД РФ, «Юникс», 1998. — 255 с.
3. Меньших А.В. Моделирование структуры временных рядов пожарной статистики // Вестник Воронежского института МВД России. — 2012. — № 4. — С. 97—103.
4. Меньших А. В., Тростянский С.Н. Исследование взаимосвязи показателей пожарной статистики / Вестник Воронежского института МВД России. —2013. — № 1. — С. 48—53.
5. Меньших А. В., Тростянский С.Н. Оценка параметров систем одновременных уравнений в моделях пожарной статистики // Вестник Воронежского института ГПС МЧС России. — 2013. — № 3(8). С. 37—40.
6. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование / под ред. Д.Б. Юдина. — М.: Наука, 1969. — 368 с.
7. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергия, 1980. — 424 с.
8. Тростянский С.Н., Шуткин А.Н., Бакаева Г.А. Экономический подход к прогнозированию пожарных рисков на объектах различных форм собственности // Вестник Воронежского института Государственной противопожарной службы МЧС России.
— 2011. — №1. — С.27—29.
REFERENCES
1. Yamalov I.U. Modelirovanie protsessov upravleniya i prinyatiya resheniy v uslovi-yah chrezvyichaynyih situatsiy. — M.: Laboratoriya bazovyih znaniy, 2013. — 288 s.
2. Brushlinskiy N.N. Sistemnyiy analiz deyatelnosti Gosudarstvennoy proti-vopozharnoy sluzhbyi. — M.: MIPB MVD RF, «Yuniks», 1998. — 255 s.
3. Menshih A.V. Modelirovanie strukturyi vremennyih ryadov pozharnoy statistiki // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2012. — № 4. — S. 97—103.
4. Menshih A.V., Trostyanskiy S.N. Issledovanie vzaimosvyazi pokazateley po-zharnoy statistiki / Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. —2013. — № 1. —S. 48—53.
5. Menshih A.V., Trostyanskiy S.N. Otsenka parametrov sistem odnovremennyih uravneniy v modelyah pozharnoy statistiki // Vestnik Voronezhskogo instituta GPS MChS Rossii. — 2013. — № 3(8). S. 37—40.
6. Korbut A.A., Finkelshteyn Yu.Yu. Diskretnoe programmirovanie / pod red. D.B. Yudina. — M.: Nauka, 1969. — 368 s.
7. Korshunov Yu.M. Matematicheskie osnovyi kibernetiki. — M.: Energiya, 1980. —
424 s.
8. Trostyanskiy S.N., Shutkin A.N., Bakaeva G.A. Ekonomicheskiy podhod k pro-gnozirovaniyu pozharnyih riskov na ob'ektah razlichnyih form sobstvennosti // Vestnik Voronezhskogo instituta Gosudarstvennoy protivopozharnoy sluzhbyi MChS Rossii. — 2011.
— № 1. — S. 27—29.
