Оптимизация в динамической модели инвестиционной политики фирм инновационного сектора Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

An initial-boundary value problem on a semi-axis for the generalized Kawahara equation with an absorption term which can degenerate on a bounded interval is considered. A result on large-time decay of weak solutions is established.

Key words: Kawahara equation; initial-boundary value problem; large-time decay of solutions.

Опритова Мария Александровна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Opritova Mariya Aleksandrovna, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]

Фаминский Андрей Вадимович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Faminskii Andrei Vadimovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]

УДК 330.4, 519.86, 517.977.5

ОПТИМИЗАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ПОЛИТИКИ ФИРМ ИННОВАЦИОННОГО СЕКТОРА

© В.А. Остапов, Н.Н. Оленев

Ключевые слова: динамическая модель; венчурное инвестирование; оптимальное управление.

Статья посвящена исследованию процесса инвестирования в инновационные проекты. Построена динамическая модель жизненного цикла инновационных фирм на основе микроописания соответствующего инвестиционного периода. Поставлена и решена неавтономная задача оптимального управления для фирмы инновационного сектора экономики.

В статье дано построение динамической модели, являющейся упрощенным микроописанием деятельности фирм - объектов венчурного инвестирования типа стартапов или других инновационных проектов.

Основной целью исследования этой работы является изучение влияния различных форм инвестирования на прибыль венчурного капиталиста (ВК) и капитализацию фирмы, которая получает от первого инвестиции, выплачивая обратно определенную часть дохода или передавая часть капитала в его собственность.

Существенным аспектом модели является наличие мультипликатора знаний, влияющего на выпуск инновационных фирм. По своей форме он отражает процесс передачи знаний о ведении бизнеса от инвестора к мелким фирмам, что позволяет вторым успешно выходить на рынок. При этом задачей инвестора является масштабирование бизнеса, т. е. превращение мелкого стартапа в крупную корпорацию. Ниже предложена модель, описывающая жизненный цикл инновационного проекта.

Предположим, что состояние фирмы в каждый момент времени Ь определяется капиталом К. Считаем, что фирма существует конечное время Т, которое соответствует длине инвестиционного периода, и выпускает некий продукт в количестве У в единицу времени, нанимая работников в количестве Я, которым платит заработную плату по ставке в. Считаем также, что фирма платит налоги 2. В качестве производственной функции возьмем ПФ Кобба-Дугласа, то есть будем считать, что выпуск У определяется степенной функцией от труда Я и капитала К. Помимо этого считаем, что на выпуск влияют знания фирмы А, или информация, которую она получает от венчурного инвестора, таким образом:

У = АК7 Я1-7.

Мультипликатор знаний А определяется следующим образом:

А = в(в + тАу в-»А*),

где ^а — темп устаревания знаний, в и в —- параметры, тАу — знания, полученные от венчурного инвестора.

Часть выпуска I фирма тратит на воспроизводство основных фондов и собственные инвестиции, остальное продает по цене р. При этом капитал деградирует с темпом ^к , т. е. изменяется в силу уравнения:

К = р1 - ^к.

В работе [1] показано, что для инвестора невыгодно растягивать выплаты инвестиций во времени, поэтому мы считаем, что фирма получает инвестиции Q в качестве стартового капитала, далее делая выплаты Ш в течение инвестиционного периода, т. е. К(0) = Q. Задачей фирмы является максимизация капитала на конец инвестиционного периода:

К (Т) —► тах.

ж

Мы считаем, что фирма не накапливает наличность, т. е. прибыль Пу полностью распределяется между собственными инвестициями и платежами ВИ:

Пу := рУ - вЯ - 2 = р1 + Ш.

Инвестор требует, чтобы полученные от фирмы выплаты вместе с его долей в в капитале фирмы принесли доход не меньше некоторой нормы а, поэтому должно выполняться следующее неравенство:

т

У ШйЬ + вК(Т) ^ аQ. о

При достаточно простых предположениях относительно зависимости 2 и Я от капитала (см. [2]) поставленная задача сводится к следующей задаче оптимального управления:

-Ж1(Т) —► , Ь € [0,Т], Т< ж, х = Ах + Ви,

+с2 о) • в=(-

х(0) = 0)т,

Х2(Т)+ 0Х1(Т) ^ аЯ, (1)

и € [0,аЯ] V*, п

Х € М2, и € М.

Здесь константы а и С2 характеризуют влияние на темп роста фирмы венчурного инвестора и собственный темп роста фирмы соответственно, Х1 — капитал фирмы, Х2 — объем произведенных фирмой выплат по инвестициям, максимальный транш ограничен долей П от ожидаемого дохода инвестора.

С помощью принципа максимума из [3] были получены (см. [2]) траектория оптимального роста для данной задачи и оптимальное управление, соответствующее выплатам фирмы по инвестициям:

=

Qe'

Qe

C2t-^ (e-Ät-1),

C2t-Ct(e-,5t-1) _ aQ Wt-ti)-(e-St-e-

'l) J е-С2(т-ti) + f (e-ST-e-sti )dl ti

t e [0,11]; t e [ti,T].

u* (t) =

Уравнение для момента переключения ti :

0, t e [0,ti];

aQ, t e [ti,T]. n

ß

3c2T- Sl (e-^-1) ec2(T-ti)-St (e-^-e-«l)

n

n

T

Je-c2(r-tl) + f (e-'T-e-Ätl + TJ_ll = 1.

Вид оптимального управления говорит о том, что расплачиваться по ним нужно с максимальной возможной скоростью в самом конце инвестиционного периода в максимально короткие сроки.

Утверждение! Максимум капитала достигается при n ^ ж, т. е. на импульсном управлении, сосредоточенном в момент времени T .

Это значит, что максимум капитала доставляет разовая выплата всей необходимой суммы. Следует заметить, что неравенство (1) вырождается в равенство.

Утверждение 2. При XK (T) ^ ßQ получим W = 0 .

Утверждение 2 говорит о том, что в случае, если на конец периода доля инвестора в капитале фирмы будет достаточно большой, то он не станет выводить свой капитал заранее, а дождется конца периода.

Полученные результаты согласуются с реальным положением дел в отрасли, что подтверждает адекватность предложенной модели. Отсутствие экспоненциально растущей задолженности по кредиту принципиально меняет схему выплат, и фирме выгодней расплачиваться в конце инвестиционного периода, первоначально максимально вкладываясь в собственные инвестиции и накапливая капитал.

ЛИТЕРАТУРА

1. Останов В.А. Задача оптимального инвестирования // Модернизация и инновационное развитие экономических систем. М.: РУДН, 2014. С. 344-362.

2. Оленев Н.Н., Останов В.А. К динамической модели экономики с учетом венчурного капитала. М.: ВЦ РАН, 2014.

n

3. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. С. 387-395. БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 13-07-01020.

Поступила в редакцию 10 июня 2015 г.

Ostapov V.A., Olenev N.N. OPTIMIZATION IN AN INVESTMENT POLICY DYNAMIC MODEL OF INNOVATIVE SECTOR FIRMS

The article investigates the problem of investing in innovative projects. A dynamic model of a lifecycle during an investment period of such a firms is given. Non-autonomous optimal control problem for an innovative firm is solved.

Key words: dynamic modeling; venture investment; optimal control.

Остапов Всеволод Александрович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, аспирант кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]

Ostapov Vsevolod Aleksandrovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Post-graduate Student of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]

Оленев Николай Николаевич, Вычислительный центр им. А.А Дородницына РАН, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected]

Olenev Nicholai Nicholaevich, Dorodnicyn Computing Center of RAS, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher, e-mail: [email protected]

УДК 515.124

О ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫХ И КОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ МЕТРИЧЕСКОГО

ПРОСТРАНСТВА

© Е.А. Панасенко

Ключевые слова: пространство замкнутых подмножеств метрического пространства; вполне ограниченное множество; компактное множество.

В работе продолжены исследования [1, 2] пространства clos(X) непустых замкнутых подмножеств метрического пространства X с метрикой • В частности, рассмотрены критерии полной ограниченности и компактности множеств в (clos(X),рХ) •

Пусть (X, qx ) — метрическое пространство. Будем использовать следующие обозначения: M = X \ M — дополнение к множеству M С X; clos(X) и clbd(X) — пространства всех непустых замкнутых, непустых замкнутых ограниченных подмножеств X, соответственно; Box (x0,r) = {x € X : qx (x,x0) < r}, BX (x0,r) = {x € X : qx (x,x0) ^ r} — открытый и, соответственно, замкнутый шары в пространстве X радиуса r > 0 с центром в точке xo; BX (xo, 0) = 0; qx (x,M) = inf qx (x,y) — расстояние в X отточки x до мно-

X yeM

жества M = 0; dX (M\,M2) = sup qx (x, M2) — полуотклонение по Хаусдорфу множества

xeMi