Оптимизация управления технологическим процессом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выбор значения параметра регуляризации а осуществляется через минимизацию специально подобранного регуляризующего оператора. Его, а затем и решение задачи минимизации затруднительны в условиях нашей задачи. Открытыми остаются вопросы: почему изменяются только элементы главной диагонали и почему величина их изменения одинакова? Ответы на самом деле очевидны - так удобно с вычислительной точки зрения. Принять этот ответ, не имеющий технического и технологического обоснования, нельзя. В этой связи предлагается получить «верхнюю» по устойчивости оценку решения. Далее предлагается усовершен-, :

1. Изменяются все коэффициенты ау матрицы, т.е. вводится множество корректирующих параметров ау .

2. Знак параметра выбирается из условия максимизации детерминанта матрицы. Вопрос может быть решен использованием пробных шагов: сравнение двух

,

.

3. Абсолютная величина поправочного коэффициента выбирается как наибольшее допустимое по ошибке идентификации коэффициента.

Вернемся к рассмотрению примера. Пусть известно, что все коэффициенты матрицы А заданы с 5 % ошибкой. Кроме того, очевидно, что элементы главной диагонали для увеличения значения определителя матрицы следует изменять в направлении противоположном изменению элементов второстепенной диагонали. Для исходной системы детерминант равен: - 0,02. Поправочные коэффициенты, исходя из выше приведенных условий, будут равны:

ап = 0,0325, а12 = - 0,0425, а21 = - 0,018 и а22 = 0,022.

Новое значение матрицы имеет вид

%(0,62 0,89\

1,0,38 0,42,

:

критерию снижения вероятности выхода за пределы допустимых норм. Теперь значение определителя равно - 0,0778. Эффект метода на первом этапе процедуры очевиден. Как же изменилось решение при тех же исходных данных, которые заданы таблицей 1? Это можно увидеть из ее двух последних столбцов. Физически нереализуемых решений теперь уже нет, динамика изменения решений сопоставима с динамикой изменения коэффициентов матрицы. Увеличение порога варьирования коэффициентов матрицы (в примере он был равен 5%), если это позволяют , .

З.А. Мелихова, О.А. Мелихова ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ

В качестве критериев оценки оперативного управления технологическим процессом могут служить различные производственные или экономические показатели, такие как длительность цикла изготовления заказанной продукции, качество получаемой продукции, ее себестоимость, объем и т.д. Из всех возможных показателей следует выбрать такие, которые наиболее удобно определять при оптимизации производственного процесса и которые наиболее точно характеризуют предъявляемые к нему требования.

При решении оптимизационных задач оценку качества решений можно проводить по одному скалярному критерию эффективности или по нескольким критериям в случае векторной оптимизации. Многокритериальная векторная оптимизация в настоящее время приобретает большое значение. Объясняется это тем, что резко возросла сложность практических задач, для решения которых привлекаются различные методы оптимизации. Основные трудности многокритериальной оптимизации связаны со следующими тремя проблемами.

Первая проблема заключается в выборе принципа оптимальности, который строго определяет свойства оптимального решения и отвечает на вопрос, в каком смысле оптимальное решение превосходит все остальные решения. Эта проблема часто называется проблемой скаляризации, поскольку выбор принципа оптималь-, , , являющемуся функцией локальных критериев.

Вторая проблема связана с нормализацией векторного критерия эффективности. Она вызвана тем, что очень часто локальные критерии, являющиеся компонентами вектора эффективности, имеют различные масштабы измерения, и сравнение их становится невозможным. Поэтому приходится приводить критерии к единому масштабу измерения, т.е. нормализовать их.

Третья проблема связана с учетом приоритета или различной степени важности локальных критериев. Известно, что при выборе решения следует добиваться наивысшего качества по всем критериям, но степень совершенства по каждому из них имеет различную значимость.

Известны некоторые пути преодоления основных трудностей, возникающих при векторной оптимизации [1-3]. Они позволяют снизить уровень неопределенности при формализации задач подобного класса. При этом задача выбора решения представляется в форме, более определенной и удобной для поиска оптимального решения. Однако, все известные методы решения многокритериальных задач, такие как метод последовательных уступок, синтез глобального критерия и другие, не позволяют полностью снять неопределенность, а только уменьшают ее. Поэтому многокритериальную оптимизацию имеет смысл применять в том случае, когда при выборе основных параметров модели оптимизации не требуется высокая точность, т.е. когда имеет место значительных запас устойчивости оптимальных решений к изменению параметров модели. В большинстве практических задач используется однокритериальная локальная оптимизация, так как при этом достигается большая точность и эффективность при выборе решения.

В данной работе для оптимизации управления технологическим процессом, в качестве которого рассматривается мартеновский процесс получения стали, критерием эффективности является его продолжительность. Известно, что общая продолжительность плавки т влияет на такие показатели работы мартеновской печи как ее производительность, удельный расход топлива и другие и меняется в довольно широком диапазоне. Изменение т в широком диапазоне затрудняет координацию работы печей и вспомогательного оборудования, снижает ритмичность работы и вызывает значительные потери производства. В работе ставится задача оптимизации управления технологическим процессом, при котором обеспечивается требуемое качество стали (полученная марка стали совпадает с запланированной) и средняя продолжительность плавки принимает минимальное значение для заданных начальных условий.

Мартеновский технологический процесс получения стали относится к сложным высокотемпературным физико-химическим процессам. Исходным сырьем для

него является металлическая шихта, состоящая из чугуна и стального лома (скра-).

изменяться в самых широких пределах - от 100% чугуна до 100% стального возврата. В ходе плавки твердые составляющие исходной шихты должны быть рас,

линией ликвидуса. Температура металла, при выпуске из мартеновской печи, зависит от его химического состава, в первую очередь, от содержания углерода. Для низкоуглеродных сортов стали эта температура обычно близка к 1600°С. При

-

150° . , -

шой процент прихода тепла относится в мартеновском процессе на долю тепловых эффектов химических реакций, протекающих в ванне. В основном необходимый подъем температуры обеспечивается топливом, сжигаемым в рабочем пространст-.

окисления примесей ванны, т.е. окислительный процесс должен быть построен во времени с таким расчетом, чтобы обеспечить указанный подъем температуры. Правильный подбор шихты определяется, главным образом, концентрацией углерода к моменту расплавления шихты.

С точки зрения управления, исследования и математического описания мартеновскую плавку можно разделить на три периода: завалка, плавление и доводка. Период завалки оказывает существенное влияние на продолжительность . , , -жаемой шихты, необходимыми промежуточными прогревами ее и составляет 3540% .

Длительность плавления зависит от емкости печи, теплового режима и состава загружаемых материалов. Процесс плавления заканчивается тем скорее, чем больше отношение чугуна к скрапу. Оперативное управление процессом в период завалки и плавления состоит, главным образом, в выборе такого соотношения чугуна и скрапа в шихте, такого теплового режима, при которых обеспечивается необходимое содержание углерода по расплавлении.

В период доводки для контроля за ходом процесса берется несколько проб металла на химический анализ для определения концентраций углерода, марганца, , . Управление плавкой в этот период заключается в обеспечении такой скорости вы,

к концу периода доводки.

, -чению готовой стали определенной марки, характеризующейся заданной областью допустимых значений химического состава и температуры жидкого металла.

На основании содержательного описания, с учетом выбранного критерия эффективности и основных параметров процесса, влияющих на его продолжитель-, -даемых процессов можно представить в виде многошагового дискретного процесса с конечным числом шагов. В качестве состояний процесса в каждый момент времени выбраны соответствующие дискретные значения основных параметров (вес шихты в тоннах для периода завалки, число мульд для периода плавления и

),

переходу из одного состояния в другое в дискретные моменты времени сопоставлены соответствующие время перехода (время завалки Т3, время плавления Тпл,

время между 1 и ] пробами Т^) и управление, под действием которого осуществляется этот переход (соотношение чугуна и лома в шихте в период завалки и плавления, скорость выгорания углерода в период доводки). В результате этой формализации математическая модель технологического процесса представляется в виде ориентированного связного графа в=(Х,Ж) без циклов с упорядоченными вершинами и взвешенными дугами [4], относительно которого предполагаем:

• длительность процесса или число шагов заранее известно и равно т;

X =[хи 1- е I,]е J}, I = {0,1,...,т}, J = {1,2,...,р};

V ={у^\]е J,vе N}, N = {1,2,...,Ц, Vm =0;

• результат выбора любого управления на 1 шаге также заранее известен и равен Т(ху,хцу), где ц=1+1,т, т.е. из любого состояния ХуеХ1 возможны переходы или в состояния множества Х1+1 или в конечн ое состояние.

Для оценки управления этим процессом выбран аддитивный критерий эф,

т-1

Тт ( ,К ) = X Т,

- =0

т - , Т1 - ,

достигнутые на отдельных шагах.

Используя метод функциональных уравнений динамического программирования, необходимо найти такое управление V* = YV*, при котором критерий эф-

т

К * ^Т*т = тт Тт (У),

V сК*,

где V = YVг■ - множество возможных управлений,

-

V^ - множество допустимых управлений.

Для получения основного функционального управления используется сформулированный Р.Веллманом принцип оптимальности [5], заключающийся в следующем: “оптимальное поведение обладает тем свойством, что, каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения”.

Математическая формулировка этого принципа, который легко проверить доказательством от противного, позволяет получить необходимые функциональ-. ,

:

т1п Тт (X0 ) = тт тт Тт (X0 ) (1)

V0,V1,■■■,Vm-1 ^ ^Ь^,-",^-!

и, учитывая сепарабельность структуры целевой функции Тт (X, V),

:

Тт (X0 ) = ^ ШП [ (X0 , [ ) + ТX V ) + - + Т(Xт-1, ^ )] . (2)

V0,V1,■■■,Vm-1

(1) (2) :

<(Х0) = шп^ тш ТТ,')+ Т(Х1,У1) +... + Т(Хт)]

М) '1 ,'2 ’•••,'т-1

и окончательно получаем

Т (X 0) = шш [т (X 0,') + -1 (X1)]. (3)

'0

(3)

х0 ■ е Х0 найти такое V *у е К0, при котором целевая функция принимает свое

минимальное значение, обозначаемое Тт (х0 ■).

Относительно 1 шага функциональное уравнение записывается в виде

Тт-, X) = тт[т(X, , V, ) + <-М(ХМ)], (4)

где ц=1+1,ш, причем Т {Хт) = 0 для всех хт е Хт .

Относительно последнего шага находим

Т* (Хт-1 ) = Шп[т(Хт-1 , 'т-1 ) + Т {Хт )] = ШШ Т((т-1 , 'т-1 ) - (5)

'т-1 'т -1

Имея функциональные уравнения (3)-(5), можно рекуррентно, начиная с последнего шага, определить последовательности Т* '(Хт-1 ), (Хт-2 ),...,Тт (Х 0 ) И

С.^-2,...,V*, представляющие собой минимальные значения целевой функции и соответствующие оптимальные уравнения на каждом 1 шаге.

, -тора V* = Y V* и минимальная продолжительность процесса, выбранная в каче-

1е1

стве критерия эффективности, равна Тт (Х0). Важной особенностью изложенной процедуры оптимизации является ее итеративный характер. На каждом 1 шаге используется одна и та же процедура определения Тт_1 (X,) при известном значении Тт-а(х^). Эта итеративность или периодическая повторяемость значительно упрощает процесс программирования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1990. - 544 с.

2. . . . - .: . радио, 1980. - 232 с.

3. Саами Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1993. - 320 с.

4. Мелихова О.А., Мелихова ЗА. Имитационное моделирование сложных технологических процессов // Материалы Международной НТК “Интеллектуальные САПР”. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2004, №3(38). - С. 178-181.

5. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. - М.: Наука, 1969. - 250 с.