CC BY
14
УДК 624.04
DOI: 10.53815/20726759_2022__14__1__35
А. С. Смирное1'2, Е. А. Дегилевич1
1 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого 2 Институт проблем машиноведения Российской академии наук
Оптимизация цепной линии и ее модификаций
В работе рассматриваются вопросы оптимизации обычной нерастяжимой цепной линии (ЦЛ) в однородном поле тяготения вблизи поверхности Земли, а также ее модификаций - растяжимой ЦЛ и ЦЛ в ньютоновом поле. В качестве критерия оптимизации выступает минимизация силы натяжения в точках подвеса ЦЛ, где она достигает своего наибольшего значения среди всех точек ЦЛ, и это обеспечивается путем выбора оптимальной длины ЦЛ. Для всех рассматриваемых вариантов на основе выражения для натяжения ЦЛ в указанных точках строится аналитическое решение оптимизационной задачи. В ходе ее решения можно получить достаточно несложные конечные выражения и дать наглядные графические иллюстрации. Кроме того, показано, что для модификаций ЦЛ в предельных случаях получаются решения, которые полностью согласуются с вариантом обычной ЦЛ. Полученные результаты представляют теоретический интерес и имеют важное практическое значение для проектировщиков и строителей линий электропередач (ЛЭП), канатных дорог в высокогорной местности, различных длинномерных тросовых конструкций и прочих цепных систем.
Ключевые слова: цепная линия, оптимизация, натяжение на опорах, растяжимая цепная линия, ньютоново поле.
1'2 1
1
2
Optimization of the catenary and its modifications
The paper deals with the optimization of an ordinary inextensible catenary in a homogeneous gravitational field near the Earth's surface and its modifications, viz. a stretch able catenary and a catenary in the Newtonian field. The optimization criterion is tension force minimization at the suspension points of the catenary where it reaches its highest value among all the catenary points. This is ensured by choosing the catenary-optimal length. For all considered versions, analytic solution of the optimization problem based on the expression for the catenary tension at the specified points is constructed. In the course of a solution, it is possible to obtain fairly simple final expressions and give visual graphic illustrations. Besides, it is shown that for catenary modifications in limiting cases, we obtain solutions that are completely consistent with the version of the ordinary-catenary. The obtained results are of theoretical interest and of great practical importance for designers and builders of power lines, cable cars in high altitude areas, various long length cable structures and other chain systems.
Key words: catenary, optimization, tension at suspension points, extensible catenary, Newtonian field.
© Смирнов А. С., Дегилевич Е. А., 2022
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022
1. Введение
История исследований цепной линии (ЦЛ) берет свои истоки более трехсот лет назад (с началом работ выдающихся ученых Я. Бернулли, Г. Лейбница, X. Гюйгенса и И. Бернулли по этой теме) и продолжается в настоящее время. Несмотря на то, что ЦЛ используется человечеством отнюдь не первое тысячелетие в различных механизмах и в повседневной жизни (например, бельевая веревка), наибольший интерес в практическом применении ЦЛ в различных областях технологий и строительства возник относительно недавно, когда она стала основным элементом различных конструкций - в первую очередь вантовых мостов, линий электропередач (ЛЭП) и канатных дорог [1]. Многие современные исследования ЦЛ посвящены изучению ее динамических и прочностных характеристик, а также возможности использования непрерывных и дискретных моделей ЦЛ в различных постановках. В этих работах используются как строгий аналитический подход [1-3], так и численные процедуры [4,5].
Благодаря появлению всевозможных композитных материалов открылся широкий простор для воплощения новых строительных и конструкционных решений. В тех случаях, когда композит в силу своей определенной структуры может становиться более податливыми при тех или иных условиях окружающей среды [6], растяжимость композитного троса начинает вносить определенный вклад в проблему обеспечения прочностных характеристик, что в свою очередь влечет за собой необходимость исследования этого влияния. Кроме того, примером растяжимых цепных систем могут служить веревочные и подвесные мосты, которые зачастую встречаются в курортных районах, на туристических маршрутах и в местах переправ через небольшие реки в провинциальных районах различных стран. Растяжимость таких мостов начинает проявляться из-за гибких веревок (или лиан, что можно встретить в Индии), которые могут удлиняться под собственным весом и весом более массивных деталей настила.
В научных журналах уже давно начали появляться исследования и о грандиозных космических конструкциях и механизмах, размеры которых соизмеримы с планетами и даже звездами, к примеру, сфера Дайсона [7]. Несмотря на то, что человечество пока не способно производить такие огромные машины, ученые все равно делают расчеты и анализируют, как лучше сооружать и как оптимизировать эти конструкции, что может помочь следующим поколениям. Еще одним примером технологии, существование которой трудно представить в нынешних условиях, можно считать вари-двигатели [8]. Необходимость в механизме существования отрицательной массы породило различные исследования как для изучения свойств и способов получения такой массы [9], так и для оптимизации формы самого вар и-двигателя [10]. Стоит отметить, что описанные технологии могут содержать тросовые элементы, скрепляющие отдельные детали конструкций, а наличие гравитационного притягивающего центра ставит перед конструкторами задачу минимизации напряжений в креплениях тросов, которые будут испытывать воздействие ньютонова поля тяготения. Если же говорить об объектах, которые находятся не в открытом космосе, а располагаются на поверхности Земли, то необходимость учета влияния гравитационного центра (когда сила притяжения направлена не вертикально вниз, а по радиусу к притягивающему центру) возникает лишь на больших высотах. Примером такой высотной конструкции, которая может содержать гибкие тросы, является петля Лофстрома [11]. Пусковая петля в теории может стать альтернативой взамен ракетному запуску объектов в космос, и по расчетам данное сооружение должно иметь высоту 80 км и длину 2000 км. В последние десятилетия возник интерес применения цепных систем в конструкциях орбитальных станций, что повлекло за собой появление исследований и научных работ в этой области [1, 12]. Интересно отметить, что поскольку закон всемирного тяготения имеет схожий вид с законом Кулона [13], то трос в ньютоновом поле будет вести себя так же, как электрически заряженная нить или ЛЭП под действием притяжения заряженного объекта. Поэтому изучение данной постановки может пролить свет сразу на две задачи, которые могут найти практическое применение.
Учитывая вышесказанное, решение оптимизационных задач в отношении ЦЛ представляет значительный теоретический и практический интерес. Именно этому вопросу и посвящена настоящая работа, где рассматриваются как обычная ЦЛ в однородном гравитационном поле, так и ее две ее модификации - растяжимая ЦЛ и ЦЛ в ньютоновом поле. Поскольку сила натяжения в тросовых конструкциях, содержащих ЦЛ, нередко приближается к предельно допустимым значениям, что может повлечь за собой обрыв троса, то в качестве критерия оптимизации естественно принять минимизацию этой силы на опорах ЦЛ, где она принимает наибольшее значение среди всех своих точек.
2. Обычная ЦЛ
Рис. 1. Цепная линия
Рассмотрим сначала обычную ЦЛ в однородном гравитационном поле (рис. 1). Ее уравнение хорошо известно из курса дифференциальной геометрии:
у = а (сЬ -а - I) ,
где а - параметр. Нетрудно понять, что при достаточно больших значениях длины ЦЛ ее вес также будет велик, что приводит к значительной силе натяжения на опорах. В то же время при длинах ЦЛ, близких к длине пролета, сила натяжения на опорах также будет весьма большой, так как почти горизонтальная сила натяжения должна компенсировать вертикальную нагрузку веса ЦЛ. На основе этих рассуждений можно заключить, что имеется некоторое оптимальное значение длины ЦЛ, которое и обеспечивает минимизацию силы натяжения на опорах. В работе [2] была решена указанная задача оптимизации
обычной ЦЛ. В частности, в ней были получены следующие выражения:
_
_ 2Н'
Та,в _НсЬ^ сЬ,, 2а 2г
Н
а _ —,
(1)
где Та,в — натяжение ЦЛ на опорах А и В, Н — горизонтальная составляющая силы Т (совпадающая со значением Т в вершине ЦЛ), 1о — длина пролета, ц — сила тяжести на еди-
семейства ЦЛ различной длины, соединяющих точки А и В. Вычисляя производную Та,в
значения параметра г*, отвечающего минимуму силы натяжения на опорах:
сШ г± — г *.
(2)
Единственным вещественным корнем уравнения (2) является г* ~ 1.2, а отвечающая ему длина ЦЛ при этом будет равна
г , вЬ г* ь — ¿о-~
1.261 о.
(3)
*
Для удобства сопоставлений результатов, которые мы будем осуществлять в дальнейшем после решения оптимизационных задач, связанных с модификациями обычной ЦЛ, целесообразно ввести в рассмотрение безразмерный параметр 5 по формуле:
5 = Ь - 1 (4)
Ясно, что данный параметр показывает, на сколько процентов длина ЦЛ Ь превышает длину пролета 1о- В частности, из (3) и (4) видно, что оптимальное значение этого параметра для обычной ЦЛ есть 5* ~ 0.26, то есть длина ЦЛ будет превышать в этом случае длину пролета на 26%.
3. Растяжимая ЦЛ
Рассмотрим теперь первую модификацию обычной ЦЛ - растяжимую ЦЛ. В этом слу-
= 90 я = 1 д 1+РТ' Р ЕБ'
где до — сила тяжести на единицу длины еще нерастянутой ЦЛ, Я — удельное относительное удлинение ЦЛ, Е — модуль упругости материала ЦЛ, Б — ее площадь сечения. Известно, что длина ЦЛ в нерастянутом состоянии Ьо определяется параметрами а, до, 1о и Я и удовлетворяет следующему условию связи [14]:
42°- 2 до1°)=ё. (5)
Что же касается силы натяжения на опорах, то она определяется формулой
ТА,в = Нсь(^ - Ядо1о) , а = Н, (6)
2 а 2 о
которая в случае Я = 0 совпадает с (1), как этого и следовало ожидать. Вводя в рассмотрение безразмерные параметры г = до1о/2Н, к = Ядо1о/2 и £ = Ьо/ 1о, перепишем формулу для силы (6) и условие связи (5) в следующем виде:
ТАв = ^сЬ(* - кО , -С = 0. (7)
2
Таким образом, задача минимизации силы Та,в сводится к решению задачи на условный экстремум. Составим с этой целью функцию Лагранжа, сразу отбрасывая в выражении для Та,в несущественный масштабный множитель до1о/2:
Л = 1 сЬ (х - к£) + Л
¡Ж( г - к£) . -:--?
причем Л - множитель Лагранжа. Вычисляя частные производные функции Л по г и £ и приравнивая их нулю, получим:
дЛ ( - Л) - ке) + (Лг - 1) сЪ(г - кЦ) 0
я" = -2- = 0' ^
дх х2
= - к 8Ь(,г - к() - — сЬ(х - ^) -Л = 0. (9)
д
Из (8) и (9) вытекают следующие уравнения:
* - к£) = 1-ЛГ' сЬ(г - ке) = ' (10)
где предполагается, что г_АиА2 _ 1. В самом деле, для особого случая г _ Л из уравнения (8) сразу же находим А2 _ 1, а поскольку г > 0, то А _ 1. При этих условиях из (9) следует уравнение к ехр(1 — к£) + 1 _ 0, которое, очевидно, несовместно, так что высказанные предположения являются справедливыми. Возвращаясь теперь к уравнениям (10), перемножим их и получим еще одно уравнение, необходимое для дальнейших действий:
Л<г — *)_ КШ (">
Полученные соотношения содержат четыре параметра: г, к С и А. Остается исключить А
г(к). Для этого подставим (11) в условие связи (7) и получим:
А(1 — Аг)
1). (12)
А
функций, которое после преобразований с учетом (10) и (11) сводится к виду
1 _ сЬ2(г — кО — вЬ2( г — к^) _ — ^ .
А
к
А _ ± , -. (13)
д/г2( г2 — 1) + к2 ' ;
Для определения подходящего знака в этом выражении следует проделать дополнитель-
сЬ( — к )
к
это требование сводится к выполнению следующего неравенства:
А( — А)
АтзА > а (14)
вЬ(г — к£) может принимать только положительные значения. Из этих рассуждений можно заключить, что и Л(г — к£) также должен быть положительным, что в свою очередь с учетом первой формулы (10) приводит к неравенству:
А' г — А
А/ < 0. (15)
Н)
г —А
Далее необходимо рассмотреть два случая: 1)г>Аи2)г<А.
> А —1 < А < 0 А > 1
из этих вариантов —1 < А < 0 го (15) вытекает уеловие г > 1/А, пересекая которое с предположением г > А, устанавливаем, что итоговым решением будет именно г > А, кото-
А < 0 > 0 А > 1 < 1 / А
предположением г > А.
Случай 2. г < А. В этом случае го (14) вытекает, что А < — 1 или 0 < А < 1. В первом А < —1 < 1/ А
ложением г < А дает именно решение г < А, которое, однако, не отвечает смыслу задачи, А < 0 > 0 0 < А < 1 > 1 / А
что несовместно с предположением г < А.
Таким образом, на основе высказанных рассуждений можно заключить, что в выраже-
-
ветствует условиям задачи, является -1 < Л < 0. Формула (13) представляет зависимость Л = Л(г, к), поэтому для исключения оставшегося параметра £ необходимо подставить (13) в (12). Тогда выражения для этих параметров будут иметь вид
Л =__к_ £ = V^2(^ - 1) + к2 + кх
Л = /^(г 2 - 1) + к2 ' * = Х2(г2 - 1) .
Поскольку в предыдущем разделе уравнение для поиска г* (2) записывалось через гиперболический котангенс, целесообразно в настоящем разделе поступить аналогичным образом. Записывая указанное уравнение исходя из (10)
1 / ^ — Л
- ке ) = т^'
подставим в него (16), в результате чего получим
, I \/г2( г2 - 1) + к2 + кг\ г\/г2( г2 - 1) + к2 + к . .
CtM к~--2.-2 ^- 1 = ; о, о ^ . о .-. (17)
г2(г2 - 1) У Vг2(г2 - 1) + к2 + кг'
*
ЦЛ на опорах будет иметь минимум, с параметром я, который линейно связан с удельным относительным удлинением Я и характеризует податливость ЦЛ. Заметим, что в случае нерастяжимой нити (к = 0) уравнение (17) совпадает с уравнением (2), как это и должно быть, откуда ранее было получено значение X^ ^ 1.2. График зависим ости г* от к представлен на рис.2, который отчетливо демонстрирует увеличение г* с ростом к. Кроме того, по аналогии с предыдущим разделом введем величину
' = Ьо - ' = « -1
и построим зависимость оптимального значения 5* от параметра к, которая также приведена на рис. 2. Для этого при заданном значении к из (17) следует определить х*, после чего
*
ЦЛ (к = 0) 5* ~ 0.26, как это было показано ранее. Отметим, что по мере увеличения к
*
для достижения минимума силы натяжения на опорах необходимо принимать исходную длину ЦЛ меньшей длины пролета, тем самым осуществляя ее предварительное растяжение перед закреплением ее концов в опорных точках. Отметим, что оптимальная длина ЦЛ совпадает с длиной пролета (5* = 0) при к ~ 0.25.
В заключение разговора о растяжимой ЦЛ отметим, что параметр к можно переписать в виде
= Яд о ¿о = док = рд к к = 2 = 2ЕБ = 2Е ' 1 j
где д — ускорение свободного падения. Ясно, что величина док представляет собой вес нити, длина которой равна длине пролета. Для оценки применимости полученных результатов на практике рассмотрим в качестве примера стальной трос, который имеет следующие характеристики: модуль Юнга Е = 2 ■ 1011 Па, площадь сечения Б = 2 см2= 2 ■ 10-4 м2, длина пролета к = 100 м, плотность р = 7800 кг/м3, вес погонного метр а стали до = рБд = 15.3 Н/м. При таких входных данных значение параметра >с по формуле (18) будет иметь порядок 10-5, так что такой трос можно считать нерастяжимым, и его оптимальная длина будет составлять Ьо* = 126 м. Из примера видно, что добиться значения к порядка десятых долей единицы, скорее всего, невозможно с помощью однородных металлических нитей, однако если конструкция представляет собой цепочку из относительно массивных звеньев, соединенных упругими элементами, то провисание нити вследствие растяжения станет более существенно влиять на результаты решения оптимизационной задачи.
н
к
Рис. 2. Графики зависимости г* и от к
4. ЦЛ в ньютоновом поле
Рассмотрим теперь другую модификацию обычной ЦЛ, помещая ее вместо однородного гравитационного поля в ньютоново поле тяготения. Будем полагать, что ЦЛ длиной 2 I, плотностью на единицу длины р1 и площадью поперечного сечения 5 подвешена за оба своих конца в ньютоновом силовом поле в точках расположенных на одинаковом
расстоянии К от притягивающего центра О, а угловое расстояние между этими точками равно 2а (рис. 3).
(р =0
Уравнение такой ЦЛ удобно получить в полярных координатах г и р. Известно, что уравнение равновесия в этих координатах записывается в виде [14]:
2
сСв ¿в) Тг(ср) + ^ 0' цдч
^(тг 2 + ^ = 0'
С С
где Т — натяжение нити, а Рг и — соответствующие компоненты гравитационной силы, относящейся к элементу ЦЛ длиной Св. Будем полагать, что значение р = 0 отвечает наинизшей точке ЦЛ, а значения р = ±а — точкам ее закрепления. В силу того, что
гравитационная сила направлена к притягивающему центру, можно записать очевидные соотношения:
F = - £, ^ = 0, (20)
где q = jpiS, 7 — гравитационный параметр притягивающего центра. Поскольку ЦЛ предполагается здесь нерастяжимой, то имеет место условие:
ds 2 = dr2 + r2dp2. (21)
Если домножить первое уравнение системы (19) на dr/ds, а второе — на df/ds, а затем их сложить и проделать ряд преобразований, принимая во внимание соотношения (20) и (21), то можно получить простое уравнение:
dT _ q
dr г2'
которое после интегрирования дает:
T = С - q, С = const. (22)
Возвращаясь теперь ко второму уравнению системы (19), запишем с учетом (20) его первый интеграл:
T 2
= Н = const, (23)
J2
где штрихом здесь и далее обозначается производная по Отметим, что константа С характеризует составляющую натяжения Т, которая те зависит от г, а константа Н = TqVq — величина, пропорциональная натяжению То в ее наинизшей точке го, в которой г' = 0. Именно выражение для натяжения нам и будет необходимо в дальнейшем для решения за-
Т
(С г - q)r = HVr2 + г'2. (24)
Отметим, что это уравнение может быть получено и с помощью вариационных принципов на основе выражения для потенциальной энергии ЦЛ и условия связи (условия нерастяжимости). Для удобства решения уравнения (24) и его дальнейшей графической интерпретации перейдем к безразмерной радиальной координате р = r/R и введем в рассмотрение новые безразмерные константы интегрирования:
к=Н »=CR. <25»
В результате уравнение (24) можно переписать в более удобной форме:
( р -к Ъ)р = Ъ^р2 + р'2. (26)
р'
р> = £ у/(р -Kb )2 - Ь2, (27)
Ь
+
ловине ЦЛ, для которой р' > 0, а другая половина при заданных условиях закрепления, очевидно, будет ей симметрична. В результате приходим к квадратуре:
Мр = Г фр. (28)
pyJfP2 - 2кЬр + (к2 - 1) Ь2
Пользуясь справочником [15], можно установить, что представленный в левой части интеграл берется по-разному при различных значениях к, а именно: 1) при к < 1, 2) при к > 1 и 3) при к = 1. В этой связи необходимо рассмотреть в отдельности указанные три случая. Случай 1. к < 1. В этой ситуации уравнение (28) приводится к виду
агевт
(к2 - 1) - — к
= р + 0,
где в — еще одна константа интегрирования. Разрешая это уравнение относительно р, получим
к2 _ 1
Р = Ь-;-~-. (29)
8Ш V 1 — к2 (<£> + 0) + к
Удовлетворим теперь граничным условиям, полагая, как было сказано выше, что р = а при г = К (то есть р = 1) и р = 0 при г = Го (то есть р = ро). Согласно (27), эта точка определяется соотношением ро = (к + 1) Ь. В результате находим, что
ж , ео^ л/1 — к2а — к
* = —о Л-2 , 6 = -Л-2-. (3°)
2\/1 — к2 1 — к2
Таким образом, из (29) и (30) получим окончательное уравнение ЦЛ в ньютоновом поле
к < 1
ео^ л/1 — к2а — к
р(Р) =-^^-, к< 1. (31)
еов V1 — к2р — к
к > 1
■Ук2—1^/(р — к б)2 — б2 + 6(к2 — 1) — кр
1 1п
= р + 0. (32)
Нетрудно показать, что выражение под знаком модуля отрицательно. В самом деле, имеем
Ь(к2 — 1) — кр = —к(р — к6) — Ь < — 6(1 + к) < 0, поскольку р>ро = (к + 1)6. Рассматривая и вычисляя разность
( к2 — 1)[(р — к б)2 — б2] — [к(р — к 6) + б]2 = —р2 < 0,
доказываем высказанное утверждение. С учетом данного замечания можно разрешить (32) р
к2 — 1
р = о-
— ch % + 0)'
Используя те же самые граничные условия, находим
0 = 0, 6= к — . (33)
к2 — 1
к > 1
. . к — ch \/к2 — 1а
р(р) =-и /-^т , к> 1. (34)
к — еи у к2 —
1
р
Случай 3. к = 1. В этом последнем случае интеграл (28) берется наиболее просто
Я?
1 - + в.
Р
откуда находим
Р = 61 - (р + •
Удовлетворяя граничным условиям, имеем
1 - а2
0 = 0. Ъ =• (35)
В результате уравнение ЦЛ в ньютоновом поле при к = 1 примет вид
1 — а2
рЫ = 1 2. к =1 (36)
Подчеркнем, что зависимость (36) может быть получена предельным переходом при к ^ 1 как из (31), так и из (34). Помимо этого, можно заметить, что формулы (31) и (34), так же
зать, что если принять к > 1 в первом случае, то мнимый аргумент косинуса преобразует его к гиперболическому косинусу, что приведет к формулам из второго рассмотренного случая. Аналогично можно показать переход формул второго случая к формулам первого. Это означает, что для любого значения к можно использовать как формулу (31), так и формулу (34).
Уравнения ЦЛ содержат лишь один безразмерный варьируемый параметр к, который определяется по заданной безразмерной длине половины ЦЛ ( = I/К и половинному уг-а
обратиться к выражению для полной длины ЦЛ:
Г Га /--Гк \/г2 + г
Ь = йа = 2/ \/т2 + г'2 = 2/
Я- , /гг2 + „,'2
йг = 21.
г о г
из которого можно определить и безразмерную длину половины ЦЛ, принимая во внимание соотношения (26) и (27):
с = /1 Р — к Ь2 ,2 йр = ^(1 — кЪ)2 — Ь2 • (37)
Зро У (Р — кЪ)2 — Ъ2
однозначно связывающее параметры к и (. Интересно отметить, что пограничной ситуации между двумя упомянутыми выше случаями отвечает значение ( = а, которое получается из (37) при к = 1 и с учетом формулы (35).
Перейдем теперь к вычислению усилия Т по формуле (22), которая с учетом ранее введенных обозначений для Ь, к и р примет вид
т = * л — л.
^Ъ р)
Подставляя сюда выражения (34) для р и (33) для Ь, получим с учетом (25):
Т = Х (кСЬЛ . (38)
кК \ к — сИ у к2 — 1а I
о
Естественно, максимальное натяжение здесь также будет достигаться на опорах, то есть при р = ±а. При этом множитель g/R является масштабным и не влияет на поиск оптимального значения к. Вычисляя производную Та,в по к и приравнивая ее нулю, после серии алгебраических преобразований можно получить следующее уравнение для поиска оптимального значения к* по заданному углу а:
2 к - (1 + к2) ch л/к2 - 1а + ак2^к2 - 1 sh л/к2 - 1а = 0, (39)
которое в силу сказанного ранее можно использовать для любого значения к. График зависимости к* от а представлен на рис. 4.
5 = г - 1 = 7^ - 1 = — - 1, (40)
/о /о sin а
где ¿о = 2 R sin а — расстояние между точками А и В. Зависимость оптимального значения 5* от угла а приведена на рис. 4. Для ее построения при заданном а определяется к* из
уравнения (39), после чего по формуле (37) вычисляется половина безразмерной длины
*
а
значение 5* ~ 0.26, как это и следовало ожидать. При увеличении а до ж/2 значение
пролета и формально проходит сквозь центр притяжения. Следует подчеркнуть, что по
а
деле, поскольку параметр к* ^ 0 при а ^ ж/2, то в этом случае согласно формуле (38) Т неограниченно растет, а значит, нельзя допускать большое угловое расстояние между точками подвеса ЦЛ.
0.25 0.2 S» 0.15 0.1 0.05 0
Рис. 4. Зависимости к и í, от а
к
Практический интерес представляет также электростатическая аналогия, о которой упоминалось во введении. Обсудим далее подробно этот вопрос. С этой целью рассмотрим заряженную ЦЛ, расположенную над заряженным телом, размеры которого малы в сравнении с длиной пролета ЦЛ, чтобы можно было считать это тело точечным. При этом заряженное тело находится под наинизшей точкой ЦЛ, то есть посередине пролета.
Согласно закону Кулона [13], два точечных заряда взаимодействуют с силой
Ш2 г12
Р12 = к-
12
12
12 1 2 12
радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2 и по модулю равный расстоянию между зарядами — Т12); к — коэффициент пропорциональности. Если положить, что тело под ЦЛ обладает зарядом ^^ ^ ^^ ^^^^^^^^ ^^^^гаой плотностью заряда рд, такой,
= РдЙв,
где йз — длина элемента ЦЛ, а йд — его заряд, отличный по знаку от Q, и при этом учесть, заряд ^ ^^^^^ ^^^^^^^ють элемент нити йз, определится формулой:
Qрq
г = —к ^2 •
К = -к-
Видно, что эта сила так же обратно пропорциональна квадрату расстояния, как и гравитационная сила (20), при этом роль масс играют электрические заряды. Тем самым можно заключить, что для электростатической аналогии справедливы те же самые выкладки, что и для ЦЛ в ньютоновом поле, а все различие будет иметь место только в коэффициентах пропорциональности, не влияющих на результат оптимизации. Следует отметить, что корректно описывать заряженную ЦЛ в данной постановке можно только в том случае, если сила земного притяжения пренебрежимо мала в сравнении силой Кулона.
5. Заключение
В данной работе было показано, что посредством оптимального выбора длины ЦЛ и ее различных модификаций можно добиться минимальных значений силы натяжения в местах крепления ЦЛ. В частности, по мере увеличения податливости растяжимой ЦЛ необходимо уменьшать ее длину, чтобы обеспечить ее оптимальную конфигурацию. Было отмечено, что на практике однородные металлические нити обычно можно считать нерастяжимыми, однако если весомая нить представляет собой упругий трос или цепочку из массивных звеньев, соединенных упругими элементами, то растяжимость будет существенно влиять на результат решения оптимизационной задачи. Более того, этот эффект может привести к тому, что для обеспечения минимальных усилий потребуется принимать исходную длину ЦЛ меньшей, чем длина пролета, и осуществлять ее предварительное растяжение. При исследовании ЦЛ в ньютоновом поле тяготения было показано, что при увеличении углового расстояния между ее опорами необходимо также уменьшать длину ЦЛ. Однако в случае слишком больших угловых расстояний даже оптимально подобранная длина троса не сможет обеспечить требуемые прочностные характеристики конструкции, поскольку силы натяжения станут слишком большими. Было отмечено, что в тех случаях, когда рассмотренные модификации ЦЛ переходят в обычную нерастяжимую ЦЛ в однородном гравитационном поле, результаты решения задачи оптимизации для этих вариантов также находятся в полном соответствии друг с другом, что является одной из важных количественных проверок данных результатов.
Полученные аналитические выражения могут оказаться полезными при дальнейших исследованиях ЦЛ и для решения задач оптимизации различных конструкций и механизмов. Эти результаты могут также найти определенное применение в строительстве при возведении конструкций, содержащих цепи и тяжелые нити, а также в образовательной деятельности, поскольку рассмотренные модификации ЦЛ служат наглядным примером того, как изменяются методы вывода уравнений и насколько усложняется процесс построения их решений при некотором изменении исходной постановки задачи.
Литература
1. Смирное А.С., Дегилевич, Е.А. Колебания цепных систем: учебное пособие / СПб: Политех-пресс, 2021. 246 с. https://doi.Org/10.18720/SPBPU/2/i21-243
2. Смирнов А.С., Смольников Б.А. Оптимизация цепной линии // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2019-2020. 2020. С. 35-50. https://elibrary.ru/item.asp?id=44613865
3. Agmon D., Yizhaq H. A new solution of the discrete catenary problem // European Journal of Physics,41(2),025002. 2020. https://doi.org/10.1088/1361-6404/ab5c48
4. Song Y., Zhang M., Oiseth O., Ronnquist A. Wind deflection analysis of railway catenary under crosswind based on nonlinear finite element model and wind tunnel test. Mechanism and Machine Theory, 168,104608. 2020. https://doi.Org/10.1016/j.mechmachtheory.2021.104608
5. Gregori Verdú S., Tur Valiente M., Nadal E., Fuenmayor Fernández F. An approach to geometric optimisation of railway catenaries. Vehicle System Dynamics. 2017. P. 1-25. https://doi.org/10.1080/00423114.2017.1407434
6. Лобанов Д. С., Бабушкин А.В. Экспериментальные исследования влияния повышенных и высоких температур на прочностные и деформационные свойства комбинированных стеклоорганопластиков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2017. № 1. С. 104-117. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.L07
7. Freeman J. Dyson Search for Artificial Stellar Sources of Infra-Red Radiation // Science: journal. 1960. Vol.131, no.3414. P. 1667-1668. https://doi.org/10.1126/science.131.3414.1667
8. Alcubierre M. The warp drive: Hvper-fast travel within general relativity // Classical and Quantum Gravity, 11(5),001, L73-L77. 1994. https://doi.Org/10.1088/0264-9381/ll/5/001
9. Khamehchi M.A., Hossain K., Mossman M.E., Zhang Y., Busch Т., Forbes M.M., Engels P. Negative-Mass Hydrodynamics in a Spin-Orbit-Coupled Bose-Einstein Condensate // Physical Review Letters, 118(15),155301. 2017. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.118.155301
10. Van Den Broeck C. A «warp drive>. with more reasonable total energy requirements // Classical and Quantum Gravity, 16(12), P. 3973-3979. 1999. https://doi.org/10.1088/0264-9381/16/12/314
11. Lofstrom K.H. The Launch Loop. A low cost earth-to-high-orbit launch system. 2009. https://doi.Org/10.2514/6.1985-1368
12. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. Москва : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 336 с.
13. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Москва : Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. Т. III. Электричество. 656 с.
14. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. Москва : Наука, ГРФМЛ, 1980. 240 с.
15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва : Физматгиз, 1963. 1100 с.
References
1. Smirnov A.S., Degilevich Е.А. Kolebaniva tsepnvkh sistem (Oscillations of chain systems). Training manual. St. Petersburg: Polvtech-press, 2021. 246 p. (In Russian). https://doi.Org/10.18720/SPBPU/2/i21-243
2. Smirnov A.S., Smolnikov B.A. Optimizatsiva tsepnoi linii (Optimization of the catenary). Proceedings of the seminar «Kompvuternye metodv v mekhanike sploshnoi sredv» 20192020. 2020. P. 35-50. https://elibrary.ru/item.asp?id=44613865
3. Agmon D., Yizhaq H. A new solution of the discrete catenary problem. European Journal of Physics,41(2),025002. 2020. https://doi.org/10.1088/1361-6404/ab5c48
4. Song Y., Zhang M., Oiseth O., Ronnquist A. Wind deflection analysis of railway catenary under crosswind based on nonlinear finite element model and wind tunnel test. Mechanism and Machine Theory, 168,104608. 2020. https://doi.Org/10.1016/j.mechmachtheory.2021.104608
5. Gregori Verdú S., Tur Valiente M., Nadal E., Fuenmayor Fernández F. An approach to geometric optimisation of railway catenaries. Vehicle System Dynamics. 2017. P. 1-25. https://doi.org/10.1080/00423114.2017.1407434
6. Lobanov D.S., Babushkin A. V. Eksperimental'nye issledovaniva vliyaniva povyshennvkh i vvsokikh temperatur na prochnostnve i deformacionnve svoistva kombinirovannvkh stekloorganoplastikov (Experimental studies of the high temperature influence on strength and deformation properties of combined glass organoplastics). PNRPU Mechanics Bulletin. 2017. N 1. P. 104-117. (In Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/2017.L07
7. Freeman J. Dyson Search for Artificial Stellar Sources of Infra-Red Radiation. Science: journal. 1960. V. 131, N 3414. P. 1667-1668. https://doi.org/10.1126/science.131.3414.1667
8. Alcubierre M. The warp drive: Hvper-fast travel within general relativity. Classical and Quantum Gravity. 1994. 11(5). 001. L73-L77. https://doi.Org/10.1088/0264-9381/ll/5/001
9. Khamehchi M.A., Hossain K., Mossman M.E., Zhang Y., Busch T., Forbes M.M., Engels F. Negative-Mass Hydrodynamics in a Spin-Orbit-Coupled Bose-Einstein Condensate. Physical Review Letters, 118(15),155301. 2017. https://doi.org/10.1103/PhvsRevLett.118.155301
10. Van Den Broeck C. A «warp drive» with more reasonable total energy requirements. Classical and Quantum Gravity. 1999. 16(12). P. 3973-3979. https://doi.org/10.1088/0264-9381/16/12/314
11. Lofstrom K.H. The Launch Loop. A low cost earth-to-high-orbit launch system. 2009. https://doi.Org/10.2514/6.1985-1368
12. Beletskii V. V., Levin E.M. Dinamika kosmicheskikh trosovvkh sistem. Dynamics of space cable systems. Moscow : Nauka, 1990. 336 p.(In Russian).
13. Sivuhin D.V. Obshchii kurs fiziki (General Physics course). Moscow : Fizmatlit, 2004. T. III. 656 p. (In Russian).
14. Merkin D.R. Vvedenie v mekhaniku gibkoi niti (Introduction to the mechanics of flexible thread). Moscow : Nauka, GRFML, 1980. 240 p. (In Russian).
15. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablicv integralov, summ, rvadov i proizvedenii (Tables of integrals, sums, series and products). Moscow : Fizmatgiz, 1963. 1100 p. (In Russian).
Поступим в редакцию 14-03.2022
