CC BY
47
УДК 625.72
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАССЫ АВТОМОБИЛЬНОЙ ДОРОГИ НА РЕЛЬЕФЕ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ МЕТОДОМ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ДОРОЖНОЙ КАРТЫ
В. С. Щербаков, М. С. Корытов
Аннотация. Предложена методика оптимизации автотрассы методом вероятностной дорожной карты с использованием предварительной обработки пространственных данных путем центроаффинного преобразования систем координат, и локальной оптимизации трассы. Учитываются произвольная форма поверхности, а также наземные препятствия произвольных размеров и протяженност и.
Ключевые слова: автомобильная дорога, трасса, трассирование, оптимизация, вероятностная дорожная карта, центроаффинное преобразование.
Введен и е Задана в локальная система координат
Проблема оптимального трассирования наземных трансп ортных путей, важнейшими из которых являются автомобильные дороги, актуальна. В качестве одного из основных критериев оптимальности при этом ис п ользуется стоимость строительства [1].
Последняя коррелирует как с геометрической п ротяженностью трассы, так и с расп оложением участков трассы на оп ределенных п оверхности рельефа. Кроме того, в процессе трассирования необходимо учитывать возможные п репятствия на кратчайшем маршруте трансп ортного п ути. В качестве препятствий могут рассматриваться не только застроенные территории и водоемы, но и склоны всхолмленной местности с крутизной выше некоторых до п устимых значений [1].
Синтез оптимальной трассы
автомобильной дороги, соединяющей начальную и конечную точки, является необходимым составным элементом
о п тимизации сетей автомобильных дорог.
Алгоритм вероятностной дорожной карты PRM (Probabilistic Road Мар) относится к современным п одходам в области планирования траекторий. Этот п одход считается одним из ведущих, в п ервую очередь в среде с п ре пятствиями. Вероятностный метод PRM является высокоэффективным, п ростым в реализации и п рименимым для различных видов задач, связанных с планированием траекторий [2, 3, 4, 5].
Представляется целесообразным
использование преимуществ алгоритма вероятностной дорожной карты (ВДК) п ри решении задачи о п тимального трассирования наземных транспортных путей с учетом рельефа земной п оверхности и п ре п ятствий.
Постановка задачи
Оо'Х0'Уо'2о, связанная с земной п оверхностью, ось У0' которой расп оложена вдоль гравитационной вертикали, заданы координаты начальной 8нач' и конечной 8кон' точек трассы автомобильной дороги:
5нач ~{%н0 , ^но"+; 5кон ~(^к0 , ^ко}-
Задана дискретная матрица п оля высот п оверхности У'ПР(/,к), где /, к - индексы координат Х0', соответственно: / е[1,/тах];
к е [1,Птах]. Точки внач' и вкон' п ринадлежат Упр-Также задана дискретная матрица стоимости строительства элементарного участка трассы на определенном участке п оверхности в плане, оп исывающая некоторую п оверхность стоимости и'(1,к), заданную из до п олнительных соображений.
Необходимо найти оптимальную траекторию трассы автомобильной дороги 5* с минимальным значением целевой функции £ стоимости строительства из начальной точки внач в конечную точку 5кон на заданной поверхности, минуя препятствия,
зап рещенные для п рокладывания трассы, форма которых задана. Одним из рациональных сп особов задания пре пятствий является матрица высот п оверхности У'ПР(/,к), в которой препятствиям будут
соответствовать элементы с бесконечно большими значениями: У'ПР(/,П)=«.
Предварительная обработка исходных данных пр и помощи центроаффинного преобразования с и стемы коорд и нат
При решении п оставленной задачи целесообразно рас п оложить ось Х0 локальной системы координат таким образом, чтобы она была направлена параллельно линии, соединяющей начальную внач и конечную 5кон точки трассы, что формализуется условием
2но=гко- (1)
Как п оказали исследования, это несложное в вычислительном отношении преобразование позволяет значительно уменьшить объем п оследующих вычислений, фактически снизив на единицу общую размерность задачи синтеза оптимальной трассы.
Для этого необходимо осуществить п еренос имеющихся исходных данных (координат дискретных точек внач' и вкон', а также матриц УПР' и и) в систему координат ОоХ0У02о, удовлетворяющую (1). Ось У0 в преобразованной системе координат также расп оложена вдоль гравитационной вертикали.
Преобразование системы координат О0 / % и ', в которой исходно задана поверхность рассматриваемой области, с целью расп оложения начальной и конечной точек вдоль оси координат Х0
(центроаффинное преобразование)
вып олняется п о зависимостям, п олученным с использованием метода однородных координат, п осле их у п рощения [6].
Переход от исходной О0 'Х0 'У0 и0' к п реобразованной О/оУс^о системе координат будет осуществляться п оворотом вокруг вертикальной оси У0 ' (рис. 1). Угол п оворота а' будет равен арктангенсу отношения двух длин:
а'=а^((Хко -Хно '-г«а )). (2)
Точка с координатами ху', г' в исходной системе координат О0/0'У0и' будет иметь в преобразованной с использованием (2)
системе координат ОсХ0Уо2о следующие значения координат:
х=х'соз(а—'зіп(а) г= х'зіп(а)+г'со5(а у=у'.
Подобным образом необходимо получить значения координат в преобразованной системе ОсХоУоио для всех точек
поверхностей УПР' и и. Затем в
преобразованной системе координат необходимо сформировать те же поверхности, но уже на новой равномерной дискретной сеткеХс/о с заданным шагом
(хк0_ХнО)Л^тах,
где /тах - заданный постоянный параметр.
Для этого используется известный способ двухмерной табличной линейной
интерполяции [7]. Интерполяция позволяет найти вертикальные координаты
промежуточных точек вблизи расположенных в пространстве узловых точек поверхностей УПР(х,г) и и(х,г).
[х*о’ У«о’
Рис. 1. Центроаффинное преобразование системы координат О0Х0'У020 ' (вид в плане, навстречу оси У0 )
Описание методики синтеза
оптимальной трассы автомобильной
дороги
После преобразования исходных данных в локальной декартовой системе координат ОсХ0Уо2о задана дискретная матрица высот
препятствий УПР(/,к), где /, к - индексы координат х0, уо соответственно: / є[і,/тах]; к є [і,Птах]. В этой же системе координат
заданы матрица целевой функции стоимости и(/,к), а также координаты начальной внач и конечной вКон точек трассы автомобильной
дороги, причем проекция линии, соединяющей данные две точки прямой, на горизонтальную плоскость Оо/ио параллельна оси Х0 системы координат ОоХоТио.
Для дискретного описания исходных данных задачи формируется граф Сг=(Мг, Ег), где Мг={«1, 52,..., 5Пд} - множество вершин графа, Ег = вл- множество дуг
(ребер). Общее количество вершин графа пд определяется заданным количеством рассматриваемых точек ВДК в пространстве конфигураций (на заданной поверхности), свободном от препятствий.
Каждой вершине графа соответствует определенное пространственное положение точки трассы в свободном пространстве дорожной карты.
Необходимо найти оптимальную траекторию трассы из начальной вершины внач в конечную вершину вкон, представляющую собой последовательность из нескольких вершин графа дорожной карты вг.
М*=К !г.1-
Структура графа дорожной карты определяется квадратной матрицей весов дуг N=^1-1^]. Значения весов между точками /1 и У1 целесообразно определять интегрально с использованием матрицы целевой функции
ит-.
( ----------1------\2--------^
=Я“. •, х" - х"-1) + (3)
,ф=2 [ 1 + (у/ф - Ун--)2 + 2 - 2и)2)
где Итах предлагается определять через «манхэттенское» расстояние [8]:
/1тах = ((Х/1~ХЛ)+ (У/1-Ул) + (2ф—2ц)) / Аф.
Значения хц и г/ф в (3) предлагается получать как промежуточные на прямой линии в плане, соединяющей точки /1 и у1. В этом случае значения у/ф и и/ф могут быть определены из матриц УПР(/,к) и и(/,П) соответственно по текущим координатам в плане Хц и г/ф с использованием известного способа двухмерной табличной интерполяции
[7].
Полученные случайным образом вершины графа общим количеством пд, соединяются между собой дугами с учетом достижимости, т.е. с выполнением условия непересечения с зонами препятствий при перемещении из вершины в вершину по прямой линии в плане, но одновременно по кривой в пространстве, т.е. по поверхности. Выполняется проверка достижимости между текущей вершиной
5(1 е {Мг} и каждой из подмножества вершин
5Л е Мх} с большими или равными
значениями координаты х. Подмножество {Мх} формируется из множества {Мг} по условию:
^51 е {Мх}) хл >(х,1 е Мг}),
где Мх}с М} .
После того, как сформирована матрица весов графа Щ, осуществляется поиск кратчайшего пути между двумя вершинами графа (внач и 8Кон) при помощи традиционных алгоритмов поиска на графе.
Далее выполняется интерполяция и локальная оптимизация найденной первичной трассы. После локальной оптимизации найденная трасса описывается как последовательность из смежных вершин, заданных на равномерной вдоль оси Х0 сетке в плане: М* = {5,.}',.1ах .
Проведенное предварительно
центроаффинное преобразование систем координат позволяет существенно упростить процедуру дискретной локальной
оптимизации найденной первичной (грубой) траектории трассы. Для этого достаточно последовательно (модификация метода покоординатного спуска) либо параллельно (использование методов локальной оптимизации типа симплексного)
осуществлять локальную оптимизацию для каждой из точек трассы 5, / е [2,(/тах -1)],
имеющей благодаря означенной
предварительной обработке, постоянное значение координаты х0.
Независимой и допускающей локальную оптимизацию при этом для каждой точки трассы остается единственная переменная г0, т.к. координата точки трассы у0 является функцией переменных х0 и у0 и определяется интерполяцией с использованием матрицы
Тпр(/,П).
В то же время, для точки изменение г0 приводит к однозначному изменению двух слагаемых общего выражения целевой функции стоимости:
Ц = Е (ифф -V(У„ - у ц-1)П +(2ц - 2 ц-1)П \ (4)
И=/-1Ч ]
Минимизируя выражение (4)
последовательно для каждой точки траектории в/-, /е[2,(/тах -1)], возможно с
минимальными вычислительными затратами осуществить дискретную локальную оптимизацию первичной траектории трассы.
В процессе дискретной локальной оптимизации происходит не только минимизация целевой функции стоимости строительства, но и также определенное сглаживание трассы. В случае необходимости, например, если степень сглаживания недостаточна (кривизна участка превышает допустимые значения), впоследствии может быть проведено дополнительное, локальное сглаживание
отдельных участков трассы по дополнительному алгоритму.
Заключени е
Эффективность предложенной методики подтверждена конкретными расчетами,
которые показали, что сформированная трасса после локальной оптимизации
совпадает с глобальным минимумом целевой функции. Кроме того, методика обладает сравнительно высоким быстродействием по сравнению с аналогичными.
Реализация описанной методики
проведена в вычислительной среде МАЛАВ. В качестве примера, иллюстрирующего работоспособность методики, на рис. 2
приведены первичные и оптимизированные трассы на случайным образом сформированных поверхностях со случайным образом расположенными препятствиями, имеющими прямоугольную форму в плане.
Численные значения параметров (кроме матриц ТПР и и, которые не приводятся из-за ограниченного объема статьи) в данных вычислительных расчетах принимали
следующие значения: размеры
рассматриваемой области 10*10 условных линейных единиц (УЛЕ), количество препятствий прямоугольной в плане формы -12, размеры отдельного препятствия в плане (длина * ширина) - от 0 до (4*1 УМЕ), формировались по равномерному закону распределения, /тах=40, Птах=40, 4Ф=0,25 УМЕ, пд=200 для рис 2, а; пд=200 для рис 2, б.
ие='100 Конечная точка - .» *
Рис. 2. Примеры синтезированных оптимальных трасс автомобильной дороги на рельефной поверхности с препятствиями: а) число точек ВДК пд=200; б) число точек ВДК пд=400
Достоинством разработанной методики является ее малая вычислительная сложность, и универсальность: поверхность и препятствия могут иметь произвольные размеры и форму. При этом не требуется использование аналитических выражений для их описания, что снимает какие-либо ограничения по форме. Малая вычислительная сложность открывает возможность использования предложенной методики в задаче синтеза оптимальной сети автомобильных дорог.
Целесообразно использование
предложенной методики при трассировании автомобильных дорог на пересеченной местности и в черте городской застройки.
Б и бли ографи чески й спи сок
1. Автомобильные дороги. СНиП 2.05.02-85. Государственный комитет СССР по делам строительства. - М.: 1986. - 51 с.
2. Geraerts R., Overmars М.Н. A comparative study of probabilistic roadmap planners // Proc. Workshop on the algorithmic foundations of robotics (15-17 December, 2002). - Nice, France: WAFR, 2002. - P. 43-57.
3. Kavraki L.E., Latombe J.-C. Randomized preprocessing of configuration space for fast path planning // IEEE Int. Conf. Robotics and Automation (8-13 May, 1994). - San Diego, CA, USA: IEEE Press, 1994. - P. 2138-2145.
4. Щербаков, В. С. Методика планирования траектории объекта в среде с препятствиями на основе модифицированного алгоритма вероятностной дорожной карты / В. С. Щербаков, М. С. Корытов // Известия Томского политехнического университета, 2011. - Т. 318, № 5. - С 144-148.
5. Щербаков, В. С. Результаты сравнительного анализа алгоритмов планирования траектории движения объекта с учетом его угловых координат в трехмерном пространстве с препятствиями / В. С. Щербаков, М. С. Корытов // Вестник СибАДИ: Научный рецензируемый журнал. - Омск: СибАДИ.
- № 1 (19).-2011.-С. 68-74.
6. Корытов, М. С. Построение матрицы
смежности графа поверхности с препятствиями для поиска кратчайшей траектории перемещения груза автомобильным краном / М. С. Корытов // «Какой автомобиль нужен России?»: материалы 69-й
Международной научно-технической конференции Ассоциации автомобильных инженеров (аАи). -Омск: СибАДИ, 2010. - С. 166-171.
7. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
8. Кормен, Томас X. Алгоритмы: построение и анализ: пер. с англ. / Томас X. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. -М.: Изд. дом «Вильямс», 2005. - 1296 с.
ROAD ALIGNMENT OPTIMIZATION FOR RELIEF WITH OBSTACLES BY PROBABILISTIC ROAD MAP
V. S. Shcerbakov, M. S.Korytov
The method of optimizing the road alignment by a probabilistic roadmap with pre-processing of spatial data through the centroaffine transformation of coordinate systems, and optimization of local trails. Accounted for an arbitrary shape of the surface and ground obstacles of arbitrary size and extent.
Щербаков Виталий Сергеевич - д.т.н., профессор, декан факультета «Нефтегазовая и строительная техника» ФГБОУ ВПО «СибАДИ». Основное направление научных исследований -совершенствование систем управления строительных и дорожных машин, общее количество публикаций - более 200, адрес электронной почты - [email protected].
Корытов Михаил Сергеевич - к.т.н., доцент, докторант ФГБОУ ВПО «СибАДИ». Основное направление научных исследований -автоматизация рабочих процессов мобильных грузоподъемных машин, общее количество публикаций - более 90, адрес электронной почты
