Оптимизация технологии работы камерной печи Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. С о к о л о в, В. А. Автоматизация технологических процессов в пищевой промышленности. - М.: Агропромиздат, 1991. - 445 с.

12. Б р у с и л о в с к и й, Л. П. Синтез структуры интегрированной автоматизированной системы управления / Л. П. Брусиловский, В. Д. Харитонов // Молочная промышленность. - 1996. - № 3. - С. 4-7.

13. Б р у с и л о в с к и й, Л. П. Автоматизированная система для учета и контроля сырья / Л. П. Брусиловский, А. С. Левин // Молочная промышленность. - 2000. - № 7. -С. 37-38.

14. С и с т е м а автоматического регулирования температуры нагрева: а. с. 1392157 СССР, МКИ2, D 0Ш13/28 G 05D23/19/ Г. М. Айрапетьянц, А. И. Васильев, Г. К. Ковалев, Г. А. Корсунский; Могилевский филиал научно-производственного объединения «Хим-автоматика». - № 4049884; заявл. 17.03.86; опубл. 30.04.88 // Открытия. Изобретения. -1988. - № 16. - 4 с.

15. С т р а х о в, В. В. Вакуум-выпарные установки молочной промышленности и их эксплуатация / В. В. Страхов. - М.: Пищевая промышленность, 1970. - 144 с.

16. Т а у б м а н, Е. И. Выпаривание / Е. И. Таубман. - М.: Химия, 1982. - 328 с.

17. К а ф а р о в, В. В. Математическое моделирование основных процессов химических производств / В. В. Кафаров, М. Б. Глебов. - М.: Высш. шк., 1991. - 400 с.

Представлена кафедрой автоматизации технологических процессов и производств Поступила 03.03.2009

УДК 62-503

ОПТИМИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИИ РАБОТЫ КАМЕРНОЙ ПЕЧИ

Докт. техн. наук, проф. КОВАЛЕВСКИЙ В. Б., инж. РАДЖУХ М.

Белорусский национальный технический университет

При функционировании нагревательных устройств возникает задача выбора наивыгоднейших условий их работы [1]. Применительно к камерным печам решены задачи: минимизации теплоты, использованной на нагрев [2]; минимизации величины окалины [3, 4].

Предполагается, что в печи нагреваются «тонкие» в теплотехническом смысле тела и двусторонние ограничения на температуру дымовых газов отсутствуют. Однако важным для практики является учет двусторонних ограничений на температуру дымовых газов. Дальнейшее изложение и посвящено решению такого рода проблемы.

Постановка задачи. Рассмотрим следующую задачу оптимизации:

ёх

— = / (х, и, 0; (1)

ш

gl( х(0)) = 0; g2( х(Т)) = 0; (2)

т

Г^(х,и,^ min. (3)

•I и<ри

Здесь Т - фиксированное число; /: В" х Вт х [0, Т] ^ В"; : В" ^ Вк;, ; = 1, 2; ¥ : В" х Вт х [0, Т] ^ В1 - функции непрерывные вместе с частными производными —; д¥; ; = 1, 2. Допустимыми управлениями яв-

дх дх дх

ляются кусочно-непрерывные функции со значениями в компактном множестве и е Вт.

Рассмотрим систему (1) с критерием качества (3), кусочно-непрерывное управление и0(0 е и и соответствующую ему траекторию х0(1) при t > 0, которые удовлетворяют условиям:

а) шт ¥ (х0 (V), и, Г) = ¥ (х°(0, и °(0, 0; (4)

иеи

б) для любого допустимого процесса х(1), и(!) задачи (1)-(3), любых t1,

н, 0 < VI < н < Т:

t2 t2

| ¥ (х0 (V), и 0 ^), V )Ш <| ¥ (х(1), и^), V Ш (5)

^ tl

Отметим, что для х0(1) равенства (2) могут и не выполняться. Определение [5]. Задачу непрерывной оптимизации

— = /(х,и, 0, &(х(0)) = 0, х(Т1) = х0(Т[); (6) Ш

Т

| [¥(х,и, t) - ¥(х0^),и0 О1), t] Ш ^ шш, (7)

0

где Т1 не фиксировано, назовем задачей 1. Аналогично, задача вида

— = /(х,и,0, 22(х(Т)) = 0, х(Т2) = х0Т); (8)

Ш

Т

| [¥(х,и, t) - ¥(х0(1 ),и0 ^), t] ^ шш (9)

Т2 ие

называется задачей 2.

Пусть 0 < Т1 < Т2 < Т - произвольные моменты времени х:(!), х2(!) - оптимальные решения задач 1 и 2, и1^), и2(!), у1^), у2(0 - соответствующие им управления и сопряженные функции. Определим функции переменной у е В":

^ (у) = шах[у( / (х° (Т), и,Т) - / (х° (Т), и0 (Т ),Т)) +

иеи

+¥(х0(Т),и0(Т),Т) - ¥(х0(Т),и,Т)];

^ (у) = шах[у( / (х°(Т), и, Т) - / (х°(т), и (Т;), т )) +

иеи

+¥(х0(Т),и (Т),Т) - ¥(х0(Т),и,Тг)], ; = 1,2. Т е о р е м а. Пусть выполнены следующие условия:

(I) х1 : [0, Т\] ^ Я", х2 : [Т2, Т] ^ Я" - регулярные [5] экстремали соответственно первой и второй вспомогательных задач 0 < Т < Т2 < Т;

(II) уравнения ^(у) = Р\(щ) = 0, С2(у) = Р2(у) = 0 имеют единственные корнир1 ир2 соответственно;

(III) х0(*) - регулярная экстремаль для задачи:

— = / (х, и, *); х(Т1) = х0(?;); х(Т^ = х0^); Ш

2

I ^(х,и,^ шт;

•I и^и

(IV) матрицы dg\ldx, dg2ldx имеют максимальные ранги к\ и к2;

(V) существуют производные х0(Т7), 7 = 1, 2. Тогда траектория

х>(0, 0 < * < Т1;

х(*) = \х0(*), Т < * < Т2; (10)

х2(0, Т2 <*<Т

является регулярной экстремалью задачи (1)-(3). Доказательство теоремы приведено в Приложении.

Пример. Пусть динамика процесса нагрева «термически» тонкого тела в камерной печи посредством радиации и конвекции описывается уравнением

Шх

— = к(а(и -х) + с(и4 -х4)), (11)

где к, а, с - положительные постоянные; х = х(*) - температура металла в момент времени *; и = и(*) - температура дымовых газов (печи). Заданы следующие граничные условия:

х(0) = х0; х(Т) = хт, (12)

где х0, хТ - начальная и конечная температуры металла соответственно; Т -фиксированное время окончания процесса нагрева. Критерий качества имеет вид

Т

1( х,0, Т) =\ 5I(13)

х

Здесь 5, р - положительные постоянные. Отметим, что величина I определяет величину окалины, образовавшуюся за время Т [4].

Из условия достижимости температуры хт и других физических ограничений полагаем, что:

0 < х0 < А < хт < А2 < Р; Т > Тшп,

где А\, А2 - минимальное и максимальное значения температуры дымовых газов; Тшт - минимальное время нагрева металла от температуры х0 до хТ.

Задача заключается в выборе такого режима изменения температуры дымовых газов во времени и(*) (0 < * < Т), в виде кусочно-непрерывной

функции, который на решениях уравнения (11) с граничными условиями (12) удовлетворяет ограничению

А < и(0 < А2 (14)

и доставляет минимум критерию качества (13).

Определим траекторию х удовлетворяющую условиям (4), (5). Для этого оценим производную подынтегральной функции функционала (13)

F (x) = и *. Имеем x

F'(х) = I-р/х ^в-1^> 0, х е [хо, А2]. Поэтому при х1 > х2 > х0 имеем F(х1) > F(х2).

Обозначим через х°(0 траекторию, являющуюся решением уравнения (11) при н(0 = А1 с начальным условием х(0) = х0. Для любого допустимого процесса задачи (11)-(14)

х(t), и(0 : х(t) > х0(t), t е [0, Т],

поэтому F(x(t)) > F(x0(t)), t е [0, Т],

Ч t2

| F(х^>| F(х0 (t0 < tl < t2 < Т.

tl tl

Таким образом, условия (4), (5) для построенной траектории х°(^ выполнены.

Задача 1 (6), (7) вырождается, и Т1 = 0. Для нахождения решения задачи 2 (8), (9) определим максимальный момент времени Т2, для которого граничная задача

лх

— = к(а(А2 -х) + а(А24 -х4)); Т2 < t < Т; х(Т2) = х0(Т2); х(Т) = хт Л

имеет решение х2^). Покажем теперь, что процесс х2(0, u2(t) = А2 и время Т2 являются оптимальным решением задачи 2.

Предположим противное. Пусть имеется лучшее по функционалу решение задачи 2 у(() на отрезке [Т2, Т]. Тогда в силу выбора Т2 имеем: у(0 > х2(t), t е [Т2, Т]. Откуда получим противоречивое неравенство 1(у(1), Т2, Т > Дх2(^, Т2, Т). Так как значение подынтегральной функции функционала для задачи 2 неотрицательно, то Т2 - наилучшее время. Отметим также, что х2(0 есть оптимальное решение задачи со свободным левым концом траектории (11), х(Т) = хТ, х(Т2) не задано, 1(х,Т2,Т) ^ шт.

А1 <и < А2

Из условия II теоремы имеем:

[ 0, V < 0;

Г 0, V > 0; Д(у) = 1

[№), V < 0,

где Р^у) > 0 при у > 0, р2(у) > 0 при у < 0 - некоторые линейные функции параметра у. Откуда р2 = 0 - единственный корень уравнения С2(у) = Р2(у) = 0.

Легко проверить выполнение остальных условий теоремы. Таким образом, траектория (10)

Ио, 0<Г < Т2.

[х2(*), Т2 < * < Т

является регулярной экстремалью задачи (11)—(13).

Так как х2(*), * е [Т2, Т], - оптимальное решение соответствующей задачи со свободным левым концом траектории, а х0(*) удовлетворяет условиям (4), (5), то х(*) - оптимальное решение задачи.

Данная методика была использована для минимизации окалины при нагреве заготовок в печи на Жлобинском металлургическом заводе.

По результатам идентификации моделей получены следующие значения коэффициентов: 5 = 14105; р = 3000; а = 30; с = 3 • 10-8. При времени нагрева 160 мин и заводской технологии заготовка нагревалась от 30 до 1110 °С. Величина окалины к концу процесса нагрева равна 1,3876 кг/м2. Для оптимального режима нагрева при А1 = 680 °С; А2 = = 1200 °С имеем величину окалины, равную 1,14615 кг/м2.

Обсуждение результатов. Известно, что для ряда оптимизационных задач оптимальная траектория при увеличении времени стремится к траектории, называемой магистралью. Например, в [5, 6, 8] магистраль определяется в результате решения специально построенной задачи математического программирования, что требует в свою очередь выполнения свойства управляемости на магистрали. В статье предложен новый способ нахождения магистрали, обобщающий известные подходы. Дана теорема, позволяющая производить декомпозицию исходной задачи на три подзадачи: задачу об оптимальном выходе на магистраль, спуска с нее и определения магистрали.

На основе предложенной методики доказано, что оптимальным по минимуму величины окалины является двухступенчатый график нагрева металла.

П Р И Л О Ж Е Н И Е

Доказательство теоремы. Не ограничивая общности, считаем, что Т1 > 0; Т2 < Т. В соответствии с принципом максимума [7] для вспомогательных задач существуют функции: у1 : [0, Ti] ^ R"; у2 : [Т2, Т] ^ R", векторы mi е Rk, i = 1, 2, такие, что выполнены следующие соотношения:

а) функции у1^) (i = 1, 2) являются решениями сопряженного дифференциального уравнения

d у1 5Я: г- i. .

= [ xi (t), U (t), t ], dt dx

где Hi(x, u, t) = F(x0(t), u0(t), t) - F(x, u, t) + yi(t)f(x, u, t);

б) почти для всех t выполняется равенство

max Ht (x' (t), u, t) = Ht (x' (t), u1 (t), t);

ueU

в) функции V(t) удовлетворяют условиям трансверсальности

У(0) = m %, y2(T) = -m2 %-;

dx dx

г) выполнены условия стационарности по Ть Т2

max Иг (xi (T), u, T) = У (T) X 0(T).

ueU

Рассмотрим условие г при i = 1.

Вычислим G1(y1(T1)). Так как xl(t) - оптимальное решение задачи 1, имеем

Gi (у1 (T)) = max Иг (xi (Ti), u, T) - V (T) / (x0 (T), u0 (T) = 0.

ueU

С другой стороны:

V1 (T)(/ (x0 (T), u1 (T ),T) - / (x0 (T), u1 (T ),T) + +F (x0 (T), u1 (T ),T) - F (x0 (T), u1 (T ),T) = 0.

Поэтому F1(y1(T1)) > 0. Далее, из условия максимума г следует выполнение неравенства

maxИ1(x1(T1),u,^) = F(x0(^),u\TX),TX) -F(x0(?1),u1^),Tx) +

ueU

+ V1 (T)/(x0(?1),u1(71),?1) > F(x0(?1),u0(T1),T1) -- F (x0 (T), u ,T) + V1 (T) / (x0 (T), u ,T)

и для любого u e U

V1 (T)(/ (x0 (T), u, T1) - / (x0 (T1), u1 (T ),T) + + F(x0(?1),u1(T1),T1) - F(x0 (T),u,T1) < 0.

Откуда получаем, что F1(y1(T1)) = 0. Требование II теоремы приводит к соотношению y1(T1) = р1. Аналогично доказывается, что y2(T2) = р2.

Рассмотрим теперь траекторию x(t) (10). Так как она допустима для задачи (1)-(3), то и процесс x(t), u(t), где

u (t) =

u1(t), 0 < t < T1;

u0(t), T < t <T2;

u 2(t), T2 < t < T,

является допустимым для задачи (1)-(3). Поэтому из (5) заключаем, что х°(0 - оптимальное решение задачи

Лх г, ч — = / (х, и, t); Ш

x(T1) = x0(?1), x(T2) = x0(T2);

T2

j F(x,w, t)dt ■

^ Ш1П.

иеи

Т

По условию III х°(() - регулярная экстремаль. Пусть у°(0 - соответствующая ей сопряженная функция. Так как производные х0(?1), х0(Т2) существуют (V), в момент времени Т1, Т2 справедливо условие максимума

—(х0(?1), и 0(?1), Т1) + V0 (Т)(/ (х0 (Т), и 0(^),Т1) > (х 0(Т1), и ,Т1) + V0 (Т)(/ (х° (Т), и, Т1)

для любого и е и; / = 1, 2. Поэтому G1(v0(T1)) = 0, I = 1, 2, откуда получаем: (V0 (Т)) = (V1 (Т)) = р (V1 (Т)) = 0;

а2 (V0 (Т2)) = а2 (V2 (Т2)) = 2 (Т2)) = 0.

Из условия II теоремы следуют соотношения:

V0(Т) = V1 (Т) = р1; VЧТ2) = V2(T2) = р2.

Построим для задачи (1)-(3) сопряженную и управляющую функции следующим образом:

V(t) =

У(0, 0 < t < T;

V0(t), T <t <T2; w(t) = -j v2(t), T2 < t < T;

" (t), 0 < t < T1;

и0(t), T < t <T2;

w 2(t), T2 < t < T.

Тройка функций х(^, u(t), v(t) и векторы т1, т2 удовлетворяют условиям принципа максимума для задачи (1)-(3). В самом деле, соотношения пункта в являются условиями трансверсальности для задачи (1)-(3). Функция v(t) является непрерывной. Сопряженное уравнение для задачи (1)-(3) выполняется на промежутках [0, Т1], [Т2, Т] с функцией Гамильтона

Н(х, и, ^ = -F(х, и, t) + v(t)/(х, и, t)

в силу пункта а. На промежутке \ТЬ Т2] оно справедливо, так как x0(t) - регулярная экстремаль по условию III теоремы. По построению выполнено условие максимума функции Гамильтона

maxH(x(t), w, t) = H(x(t), w(t), t).

ugU

Так как x(t), u(t) - допустимый процесс для задачи (1)-(3), траектория (10) является регулярной экстремалью. Теорема доказана.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Б у т к о в с к и й, А. Г. Управление нагревом металла / А. Г. Бутковский, С. А. Малый, Ю. Н. Андреев. - М.: Металлургия, 1981.

2. Б у т к о в с к и й, А. Г. Применение принципа максимума для оптимизации температурного режима печей / А. Г. Бутковский, Э. М. Гольдфарб, Э. С. Гескин // Черная металлургия. Изв. вузов. - 1967. - № 3.

3. Т е п л о о б м е н и тепловые режимы в промышленных печах / Ю. И. Розенгарт [и др.]. - Киев: Вища шк., 1986.

4. М а л ы й, С. А. Экономичный нагрев металла / С. А. Малый. - М.: Металлургия, 1967.

5. Г у с е в, Д. Е. Теорема о магистрали в задаче непрерывной оптимизации / Д. Е. Гусев, В. А. Якубович // Вестник ЛГУ. - 1983. - № 1.

6. П а н а с ю к, В. И. Оптимальное управление в технических системах / В. И. Панасюк, В. Б. Ковалевский, Э. Д. Политыко. - Минск: Наука и техника, 1990.

7. Я к у б о в и ч, В. А. К абстрактной теории оптимального управления / В. А. Якубович // Сибирский матем. журн. - 1979. - Т. 20, № 4.

8. Г у с е в, Д. Е. Магистральные свойства оптимальных траекторий в задаче непрерывной оптимизации / Д. Е. Гусев // Сибирский матем. журн. - 1985. - Т. 26, № 4.

Представлена кафедрой ПОВТ и АС Поступила 09.09.2009

УДК 614.715.621.311.22

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ЗОНЫ РЕГУЛИРУЕМОГО ХИМНЕДОЖОГА

Канд. техн. наук, доц. НАЗАРОВ В. И., асп. МАЛАФЕЙ В. Г.

Белорусский национальный технический университет

Постоянный рост цен на энергоносители ставит перед учеными Республики Беларусь задачи по повышению эффективности сжигания топлива в ТЭС. Так, около 90 % закупаемого газа в России идет на выработку тепловой и электрической энергии. Не менее важна задача улучшения экологической обстановки на территории республики за счет снижения вредных выбросов от промышленных предприятий. Среди вредных выбросов тепловых электростанций в окружающую среду одними из наиболее опасных веществ являются оксиды азота [1]. Поэтому для увеличения экологической чистоты сжигания природного газа в первую очередь необходимо снижать эмиссию КОх. Решить поставленные задачи возможно при широком внедрении энергосберегающих и экологически чистых технологий, причем в первую очередь таких, которые при минимальных капитальных вложениях имеют относительно высокую эффективность. К ним относится технология сжигания топлива в котельных агрегатах при малых избытках воздуха, при которой одновременно с экологическим эффектом (снижение выбросов оксидов азота на 25-30 %) удается повысить КПД котла [1-3].