Оптимизация шага заклепок в панели с учетом требований механики разрушения Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVII 1986

№ 5

УД К 629.735.33.015.4:539.43+539.219.2

ОПТИМИЗАЦИЯ ШАГА ЗАКЛЕПОК В ПАНЕЛИ С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

В. Г. Лагутин

Рассматривается задача определения рационального шага заклепок для однооснорастянутых панелей, в обшивке которых допускается возникновение и безопасное развитие усталостных трещин обнаруживаемой длины. Для определения искомого шага заклепок (в зависимости от принятых значений шага стрингеров, полудлины обнаруживаемой трещины, относительной жесткости стрингеров и обшивки) используется многокритериальная оптимизация. Полученные рациональные соотношения параметров принадлежат множеству Парето и позволяют компромиссно удовлетворить трем противоречивым требованиям: сдерживать рост трещины в обшивке, снижать нагрузку на наиболее нагруженный стрингер (под которым развивается трещина), снижать нагрузку на наиболее нагруженную заклепку (ближайшую к берегам трещины).

1. Парето-оптимальные решения. Многокритериальная оптимизация позволяет обоснованно [1—3] принимать решение в тех случаях, когда необходимо выполнить несколько противоречивых критериев, характеризующих качество и совершенство конструкции. Под противоречивостью критериев подразумевается, что предпочтительное отношение к одному из критериев приводит к еще большему игнорированию других, критериев. Одним из основных, признанных и эффективных приемов решения многокритериальных задач является построение множества Парето, которое дает возможность осуществить выбор компромиссных и наиболее выгодных соотношений между оптимизируемыми параметрами конструкции, учитывая все рассматриваемые противоречивые критерии. Основные достоинства решений, полученных на основе многокритериальной оптимизации заключаются в следующем:

1) в возможности анализа зависимостей между параметрами конструкции одновременно с учетом многих требований.

2) в получении нетривиальных решений [1], которые нельзя предусмотреть на основе опыта и интуиции.

3) в математической обоснованности получаемых компромиссных решении, наглядности результатов, удобстве их для анализа и практического использования.

Известно [I], что минимизация произведения равноправных критериев, при одинаковых показателях их степеней (определяющих „равноправие" критериев) позволяет получить параметры, принадлежащие множеству Парето.

Воспользуемся этим приемом для поиска рационального шага заклепок в’однооснонагруженных панелях, допускающих при эксплуатации возникновение усталостных трещин и их безопасное развитие.

2. Трехкритериальная задача оптимизации шага заклепок для панелей, допускающих развитие трещины под неразрушенным стрингером. Рассмотрим панель (рис. 1) растянутую одноосным напряжением а. Введем следующие обозначения:

Ы f М Ы - t

Наиболее нагруженный участок J''' стрингера ^

О о" о о -V

О о О о

о 21 о О

■о о . _о

о о 1^ о

о г о

о о О о

у

О О о о

о о — о —~ О. -

Наиболее

нагруженная

заклепка

6

J3L

Рис. 1

>Е2__________в|а к|а :

Е, £стр — модули упругости обшивки и стрингеров соответственно; р, Ь—шаг заклепок и шаг стрингеров соответственно,

В — толщина обшивки; / = да<— площадь поперечного сечения каждого стрингера, представляющего собой полосу шириной ® и толщиной і; ц. =

£стр f

относительная жесткость стрингера.

^стр f Е Ъ b

Пусть в рассматриваемой панели при эксплуатации допускается возникновение и развитие, в обшивке под неразрушенным стрингером, усталостной ■трещины с полу длиной I. Возникновение и развитие такой трещины можно уверенно ожидать в двух случаях:

— если усталостная прочность материала стрингера, имеющего заклепочное отверстие, заведомо выше усталостной прочности материала обшивки, имеющей такое же заклепочное отверстие;

— если материал стрингера и обшивки одинаков, но заклепочное отверстие в стрингере пластически упрочнено [4] и имеет заведомо большую усталостную прочность, чем неупрочненное заклепочное отверстие в обшивке.

Предположим, что исходя из назначения панели воспринимать статическую нагрузку (при отсутствии трещины), заданы следующие ее конструктивные параметры: w, t, Е, Естр, Ь, В, с. При этом определение шага заклепок будем рассматривать не из условия работоспособности панели на статическую нагрузку. Величина шага заклепок будет влиять на способность панели эффективно сопротивляться развитию возможной усталостной трещины обнаруживаемой заданной полудлины I. Размер I задается, исходя из разрешающей способности средств контроля за трещинами. Через заклепки происходит перераспределение нагрузки с разрушенного полотна обшивки на неповрежденные стрингеры. Введем в рассмотрение три критерия:

1). Коэффициент интенсивности напряжений Кг для трещины обнаруживаемой полудлины I, которая развивается под неразрушенным стрингером, должен быть минимальным:

( 1 Р \

где /ч — ; ; (а I <! 1 — функция влияния [5], учитывающая уменьшение за

счет приклепанных стрингеров, по сравнению с коэффициентом интенсивности

о Уъ1 для такой же панели без стрингеров.

Отметим, что К[ определяет конструктивное совершенство панели по „сдерживанию* роста трещины длиной 2/ и не является характеристикой материала, из которого изготовлена обшивка.

2). Нагрузка Я на наиболее нагруженный участок стрингера под которым развивается трещина, должна быть по возможности меньшей

I 1 р \

где Ь ; -у ; ц ) — функция влияния, определяющая .перегрузку" [5] на наиболее нагруженный участок стрингера, т. е. коэффициент увеличения нагрузки на стрингер по сравнению со случаем отсутствия трещины в обшивке. Отметим, что в качестве критерия, вместо R можно было бы принять и напряжение а =

R

= , действующее в наиболее нагруженном участке стрингера.

3) Нагрузка ф на наиболее нагруженную заклепку, расположенную на наиболее нагруженном участке стрингера, под которым развивается трещина также должна быть минимальной:

( 1 р ьь°я\-ъ-; т ’ *

. 1 р \

где q |-£- ; -j-; (j. I—.перегрузка" [5] на наиболее нагруженную заклепку, т. е.

увеличение нагрузки из-за наличия трещины в долях нагрузки а ЬЪ, воспринимаемой участком обшивки, площадью поперечного сечения ЬЪ при отсутствии трещины.

Таким образом, для повышения сопротивляемости клепаной панели развитию трещины длиной 2I необходимо одновременно уменьшить величину каждого из трех критериев Kj, R\ Q■ Уменьшение К/ — гарантирует уменьшение скорости роста усталостной трещины длиной 21 в момент, когда ее уже можно обнаружить средством эксплуатационного контроля за трещинами, т. е. этот фактор влияет на замедление процесса усталостного разрушения обшивки обнаруживаемой трещиной.

Уменьшение R предотвращает появление в перегруженном стрингере пластических деформаций, при которых стрингер теряет способность сдерживать развитие трещины и уменьшать „раскрытие" ее вершины. Уменьшение Q предотвращает разрушение заклепок и потерю их способности перераспределять усилия с поврежденной обшивки на неповрежденные стрингеры.

Для нахождения компромиссного решения, принадлежащего множеству Парето, минимизируем [1] целевую функцию Ф в виде произведения трех равноправных критериев Kf, R', Q-

Ф = KjRQ = АВ = min (1)

при условии

1 р 1 I

0.3<|х<1, < -у < -д- , 0,9<-г<1,4, (2)

£с

где

'CTD _____

А = a3 wt Ъ 8 -■g Y~i ;

в = 'Чт ’ “F : ) 1 (~Г ; -Т ’ ^) * (“Г ; 4s; Iх

(3)

Подразумевается, что I, Ь, wt, 5, £стр, Е заданы такими, что относительная жесткость стрингеров принимает следующие фиксированные значения: (л = 0,3;

0,5; 1. (В этом случае для решения оптимизационной задачи можно воспользоваться графиками функций ц, приведенными в [5] для ц = 0,3; 0,5; 1).

Значения параметров р/Ь, варьируемые в решении оптимизационной задачи, соответствуют распространенным в конструкторской практике. Отметим, что указанный прием оптимизации частных критериев использовался для решения ряда других задач [2], [3]. Очевидно, что при заданных значениях о, иа(, Ь, 8, £стр. Е> I входящих в параметр А, минимуму Ф будут соответствовать те значения переменной р, которые реализуют минимум функции В при условиях (2)-Значения оптимизируемых функций Р, Ь, q с учетом ограничений (2) показаны на рис. 2 в виде сечений при = 0,17; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,69; 0,72. На рис. 2 ромбиками обозначены точки, у которых (х = 0,3, кружочками — р. = 0,5, а треугольниками—= 1. Границы сечений, заштрихованных на рис. 2, построены с использованием линейной интерполяции. Для поиска минимума целевой функции В-тт использовался способ графической оптимизации, который заключался

в перемножении графиков функций F, L, q при одних и тех же значениях I р (lp\(lp\[lp\

~Г>~У > Iх- Графики финкций F ; -у ; и- j ; L [-у, -у ; [xj Т"; ^)

заимствовались из работы [5], где они получены в предположении абсолютной

( 1 Р\

жесткости заклепок. Вид минимизируемой функции В ПРИ И = 0,5 по-

казан на рис. 3, где видно, что при увеличении отношения pjb возрастает

( 1 Р\

.пологость" зависимости В l~y, ~у I . т. е. при больших значениях р/b умень-

шается чувствительность панели к изменению отношения 1/Ь.

I 1

На рис. 3 точками а, Ь, с отмечены минимальные значения функции В [—у; р \ P 111

—у ; [л = 0,5 I соответственно при -у = -у ; -g- ; -jy . Соединяя между собой

точки а, Ь, с отрезками прямых (на рис. 3 они отмечены пунктиром) и пере-

страивая полученную зависимость в осях pjb; Ijb (рис. 4), получим при ;х = 0,5 окончательный результат оптимизации: зависимость отношения р/b от заранее заданного отношения lib. Аналогично (см. рис. 4) получим искомую зависимость plb от отношения lib при [л = 0,3 и 1. Для промежуточных значений ц можно использовать линейную интерполяцию. Значения отношений Ijb; pjb, при кото-

1 0,9<-у<1,4 В ^Ш1П /=• /. Я 1 ~Ь~

со о~ II Й- Р 1 Ъ ~ 3 0,570887 0,582 2,325 0,425 1,14

Р 1 Ь = ~6~ 0,4195727 0,426 2,6125 0,377 1,14

р 1 Ь ^ 12 0,2423846 0,316 2,72 0,282 1,08

ю о II а. Р 1 6 = 3 0,3752755 0,446 1,726 0,4875 1,22

Р 1 Ь = 6 0,2254336 0,34 1,792 0,37 1,14

р 1 Ь = 72 0,11253 0,248 1.815 0,25 1,07

|Г а. р 1 ь =1Г 0,16932 0.34 1 0,498 1,2

-1» II 0,08075 0,25 1 0,323 1,12

р : 1 Ь ~ 12 0,03315 0,17 1 0.195 1,07

рых функция В принимает свое наименьшее значение Вт-,а приведены в таблице-Там же указаны соответствующие значения критериев .Р, £, д, при которых В = Вт\а в диапазонах значений р.; р/Ь; 1\Ъ определяемых неравенствами (2).

Для часто встречающихся авиационных панелей с параметрами (л. = 0,5; Р 1

= наиболее рациональными, согласно графику рис. 4, является отношение

I

~у ~ 1,14, при котором панель будет наиболее эффективно сдерживать рост

обнаруживаемой трещины в обшивке, снижать нагрузку на наиболее нагруженный участок стрингера, под которым развивается трещина, снижать нагрузку на наиболее нагруженную заклепку, ближайшую к берегам трещины.

I

Отметим, что полученное отношение--------у = 1,14 близко к эксперимен-

I

тально найденному в [6] рациональному отношению у = 1, при превышении кото-

Р 1

рого остаточная прочность реальной авиационной панели с р = 0,5; —у = -у

перестает оставаться неизменной и начинает падать (см. в работе Г. И. Нестеренко [6] график 6, б, построенный для панели с трещиной под не разрушенным стрингером).

В заключение автор признателен В. М. 1'ролову за полезные замечания и обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. П о д и н о в с к и й В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения мнО! окритериальных задач.—М.: Наука, 1982.

2. 3 у р а е в Т. Г., Фролов В. М. Об одном способе решения многокритериальных задач оптимизации силовых конструкций.— Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. VIII, № 2.

3. Фролов В. М. Оптимизация упругой системы на несколько случаев нагружения методом произведения функционалов потенциальной энергии.— Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. X, № 3.

4. Л а г у т и н В. Г. Растяжение пластины с трещиной вблизи упрочненного отверстия заполненного упругим диском.— Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XII, № 5.

5. Р о е С. С. Stress-intensity factor for a cracked sheet with riveted and uniformly spaced stringers NASA TR R—358, 1971.

6. Нестеренко Г. И. Анализ остаточной прочности подкрепленных панелей.—Труды ЦАГИ, 1977, вып. 1879.

Рукопись поступила 17/IV 1985