CC BY
37
УДК 621. 311
ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМА РАБОТЫ АВТОТРАНСФОРМАТОРОВ В СИСТЕМООБРАЗУЮЩИХ СЕТЯХ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ
В.Л. Бурковский, Б.Г. Винников, В.В. Картавцев, Э.О. Ломов
Рассматривается задача выравнивания загрузки автотрансформаторов на подстанциях связи двух ступеней напряжения в системообразующей электрической сети. Предложена математическая модель типа задачи целочисленного линейного программирования и описан метод решения этой модели
Ключевые слова: загрузка, автотрансформатор, две ступени напряжения, целочисленное линейное программирование
Оптимальное регулирование трансформаторов и автотрансформаторов на подстанциях связи двух ступеней напряжения является одной из основных задач оптимизации режима системообразующей электрической сети [1]. В данной работе эта задача рассматривается в аспекте уравновешивания, то есть выравнивания загрузки автотрансформаторов путем перераспределения передаваемой мощности. Решение этой задачи позволяет повысить пропускную способность электрической сети и существенно снизить технические потери активной мощности.
Задача уравновешивания автотрансформаторов заключается в поиске оптимальных положений РПН (устройство «регулирования под нагрузкой») на всех автотрансформаторах, работающих в одном контуре, при которых обеспечивается выравнивание загрузки автотрансформаторов и попадание значений напряжения на шинах НН (низшего напряжения) автотрансформаторов в заданный интервал.
В [2] приведена постановка задачи и описан пошаговый алгоритм ее решения. В данной работе предлагается математическая модель, которая позволяет при определенных допущениях сразу получить оптимальные положения РПН. Эта модель является задачей целочисленного линейного программирования (ЗЦЛП). Для ее решения применен универсальный алгоритм решения ЗЦЛП, разработанный Н.Я. Краснером.
Алгоритм Краснера опубликован в [3], однако изложен недостаточно ясно, поэтому потребовалась его интерпретация с уточнением некоторых вопросов. Кроме того, в [3] допущено большое количество явных опечаток, затрудняющих понимание алгоритма. По этим причинам здесь приведены как оригинальный алгоритм Краснера, исправленный от обнаруженных в [3] опечаток, так и предлагаемая интерпретация алгоритма.
Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук,
профессор, e-mail: [email protected]
Винников Борис Геннадьевич - МИКТ, канд. техн.
наук, доцент, тел. (84732)713974
Картавцев Владимир Владимирович - ВГАУ,
канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected]
Ломов Эдуард Олегович - ВГТУ, аспирант, e-mail:
Математическая модель
Будем для определенности рассматривать задачу уравновешивания автотрансформаторов по реактивной мощности. Эту задачу можно описать целевой функцией вида
й
SH
(1)
или, с учетом дискретности регулирования трансформаторов, в минимаксной форме:
й
■< F, i = 1,...,K,
(2)
F ^ min , (3)
где Qi - реактивная мощность нагрузки i-го трансформатора, SH0M - номинальная мощность i-го трансформатора, F - наибольшая из всех трансформаторов загрузка по реактивной мощности, K - число трансформаторов связи в контуре.
Автотрансформаторы, работающие на некоторой подстанции в параллельном режиме, должны всегда иметь одинаковые коэффициенты трансформации и должны быть представлены в виде одного эквивалентного трансформатора, для которого значения Qi и S’H°M находят суммированием соответствующих параметров этих трансформаторов.
Напряжение узлов НН трансформаторов должно попасть на заданный интервал:
Umin < Ui < Umax, i = 1,...,K , (4)
где Um'n и U- заданные допустимые границы регулирования напряжения на i-ой подстанции.
Введем следующее допущение: будем считать, что изменение нагрузки автотрансформаторов и напряжения на шинах НН всех подстанций при регулировании автотрансформаторов на какой-либо подстанции имеет линейный характер. Это допущение принято на основе анализа результатов большого числа режимных расчетов.
Тогда можно построить линейные функции зависимости нагрузки автотрансформаторов и напряжения узлов НН от положений РПН:
Q, = Q0 +ХqjXj, i = i,...,k , (5)
Ui = U0 +^i
i = 1,...,K
(6)
где qij - коэффициент чувствительности по реак-
тивной мощности, то есть увеличение реактивной мощности, проходящей через і -ый трансформатор, при сдвиге РПН у-го трансформатора на 1, то есть при увеличении коэффициента трансформации на один шаг регулирования;
иу - коэффициент чувствительности напряжения, то
есть повышение напряжения узла НН і-го трансформатора при сдвиге РПН у-го трансформатора на 1;
П і - модуль напряжения узла НН і-го трансформатора;
П и Й0 - начальные значения напряжения узла НН и мощности і-го трансформатора, рассчитанные при заданных положениях РПН; ху - сдвиг положения РПН ]-го трансформатора от
начального положения, целочисленная переменная, которая должна удовлетворять условию
(7)
тт тс
Xj < Xj < Xj
где xmin = nmin - n0,
max max 0 . Xj = nj - nj ;
n- начальное
(заданное) положение РПН у-го трансформатора; пгті”,пг^ах - нижняя и верхняя границы изменения
РПН у-го трансформатора.
В выражениях (5), (6) и далее по тексту суммирование выполняется дляу от 1 до К.
Как показано в [2], при повышении коэффициента трансформации на некотором трансформаторе его нагрузка снижается, а нагрузка остальных трансформаторов в контуре увеличивается; при этом напряжение понижается по всему контуру на стороне НН. Это значит, что коэффициенты собственной чувствительности qtt должны быть отрицательными, коэффициенты взаимной чувствительности q¡j при іфі - положительными, а коэффициенты и.у -все отрицательные:
qt¡ < 0 Уі = 1,...К ; q¡j > 0 У і = 1,...К,} Фі; и.. < 0 У і, і = 1,...К . у
Коэффициенты чувствительности на практике можно получить следующим образом: выполнить расчет режима электрической сети при заданных положениях РПН и серию расчетов режима с последовательным сдвигом положения РПН на 1 на каждой автотрансформаторной подстанции, а затем вычислить сдвиг значений реактивной мощности и напряжения на шинах НН трансформаторов по сравнению с исходным режимом.
Ограничение (2) с учетом выражения (5) можно записать в виде
б° + Ху • Ху
‘ — < Е, і = 1,...,К (8)
или
X q, • Xj - SH™ • F <-Q0, i =
(9)
Ограничения по напряжению узлов НН (4) с учетом выражения (6) могут быть записаны в виде
или
Umin < U0 +У и.. • х. < Umax, i = 1,...,K (10)
i i ij j i
Ümin < Yu.. • x. < Ümax, i = 1,...,K , (11)
i V j i У У у \ /
где Umin = Umin - U0, Umax = Umax - U0.
В итоге получаем следующую модель типа задачи частично целочисленного линейного программирования:
F ^ min
Е % • X - Sr • F <-Q0, i = 1,...,K
Ümin <V u..x. < Ümax, i = 1,...,K
i 4 3 i
(12)
j=1
x. - целое, i = 1,...,K xmin < x < xmax, i = 1,...,K
Здесь непрерывной является только переменная Е. Учитывая, что другие элементы модели -
qj,uу, й0, О™'” ,ит™ - вычисляются приближенно,
можно без потери точности ввести шкалу значений для переменной Е с округлением до некоторого знака после запятой, например до 10-4, и сделать масштабирование стоящих при ней коэффициентов ^щ>м . Тогда модель (12) приводится к ЗЦЛП.
Алгоритм решения ЗЦЛП
Пусть І(а) - целая часть числа а, а ти п - натуральные числа. Символом N обозначим множество первых п чисел натурального ряда, а символом М множество первых т чисел натурального ряда соответственно. Рассмотрим следующую задачу целочисленного линейного программирования: найти целочисленный вектор І(х) = (І(Ху)): у є N , максимизирующий целевую функцию
X °іхі (13)
jeN
при условиях:
Za..x. < b.,i eM ij j .
jeN
aj < xj <ßj’je N
(14)
(15)
где ау, Ь1, cJ - рациональные числа, а а^, в (а1 < в¡) - целые числа.
Символом /и обозначим некоторое достаточно большое число. Если переменная х1 не ограничена снизу или сверху, то соответственно = -и,
в =М-
Сделаем несколько важных замечаний: если целевая функция минимизируется, то она приводится к виду (13) умножением на -1 (в решении производится обратное преобразование); если с1 < 0, то производится замена х1 на -х1
что означает для данных замену а ^ на -ау, а} на
-ßj, ßj на -aj и cj на -cj;
если в исходной задаче существуют ограничения-равенства: Е ajxj = bt, то они приводятся к
jeN
виду (14) записью двух следующих неравенств:
Е ajxj < bi и Е (-aj)xi < -bi.
jeN jeN
Алгоритм использует следующие основные преобразования.
Пусть xk = (xj) - некоторая точка, полученная на k-том шаге алгоритма. Тогда, перенеся начало координат в точку хк и обозначив
x3+1 = x3 + yj:
(16)
получаем преобразованную задачу: найти вектор
к . к , w
yj = (yj), максимизирующий
jeN
при условиях:
X <bj,i e M,
jeN
a < yj <ßj,je n,
где
bj = bj-1 -X
jeN
aj = aj- xj,
ßj =ßtj -1 - xj ,
ajx],
cj = X<
jeN
Основные расчетные характеристики:
yk. = 7 ij
bi
для случая a. > 0
yk = -7 i!
для случая а. < 0
= X bk.
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
Введем в рассмотрение следующие множества и соответствующие расчетные величины:
(27)
N = {j e N: пк > 0, yj > 0,Y > 0} ,
Yj = min( Yj Yj) , где Yj = min y., Yj = minyj ; (28)
N2 = {JeN:y* <0,yJ <0}■
(29)
= max(y.,y.) , где y, = maxy3 , y f = maxy3 ;(30)
N3 = {J e N: yj < 0, yj > 0 ,П > 0},
Y =i
yj,если yj <
yj, если yj >
где Yi = max yj, y kj = min y jj ;
N4 = {J e N: Yj < 0,yij > 0 ,П < 0},
y. = yj , где yj = maxyk
(31)
(32)
(33)
(34)
N5 = {J e N: yj > 0,j < 0}, Yj = yj , где yj = min yj, .
(35)
(36)
Описанные выше множества позволяют определить координату, по которой необходимо осуществлять движение. На каждом шаге алгоритма множества перебираются, начиная с первого, строго в указанном порядке до тех пор, пока не обнаружим непустое множество, из которого и выберем координату для движения по ней.
Шаг yt определяется по следующим прави-
лам.
Рассмотрим величину
zj =
max(I(Y —¡^),1) если l e N1,N3,N5
-1(1 -/¡-¡г) , если l e N2 ,N4
(37)
Замечание: скорость движения пропорциональна с]. Если 2] не единственно, то выбирается такой индекс I, для которого величина у, принимает наибольшее значение.
Определим у] = тт(2],рк) для случая
2к1 > 0, и у] = тах(2к1,ак1) для случая 2к1 < 0. Ес-к ¿~\
ли у1 = 0, то переходим к следующему индексу того же множества, если все индексы текущего множества исчерпаны, то переходим к следующему множеству индексов.
Примечание: запрещается выполнять два шага подряд по одной и той же координате в противоположных направлениях.
При каждом шаге величина ск сравнивается
к-1
с предыдущим значением с и запоминается максимальное значение целевой функции Стах = тах(с°,сх,...,ск) и соответствующие ей характеристики. Если на к-ом шаге получено, что
max
делаем контрольные шаги алгоритма.
Алгоритм допускает движение по точкам, как принадлежащим допустимому множеству, так и не принадлежащих ему.
Продолжаем алгоритм либо до того момента пока он не вернется к той же точке (цикл), либо до получения точки с большим значением целевой функции.
Если мы вернулись к той же точке, то ищутся те координаты, по которым ни разу не было движения, и выполняется движение по ним, начиная со значения ^^. Если вновь произошел возврат в прежнюю точку и все множества пусты, то найденная точка - решение задачи.
Если "зацикливания" не происходило, но дополнительных ходов больше нет и все индексные множества пусты, то найденная точка также является решением задачи.
Если в процессе исполнения алгоритма
к
С
к
С
a
b
a
71
произошел возврат к прежнему значению стаа, но не все Ьк > 0 (то есть мы ни разу не вошли в допустимое множество), то задача несовместна.
Если обе последовательности с и п возрастают, то в этом случае возможна неограниченность исходной задачи. Возможны два следующих случая:
1. Если для выбранного направления на данном шаге в1 неограниченно, то это означает, что у1 - неограниченно.
2. Если для данного шага величина огра-
пк_1
ничена, а на предыдущем шаге р1 - неограни-
ченно, тогда нам необходимо составить линейную комбинацию по двум направлениям, и если с и п для полученной линейной комбинации
возрастают по сравнению с предыдущими значениями с и п , то в этом случае задача также считается неограниченной.
Интерпретация алгоритма
В выражениях (27)-(36) для множеств Ы1-Ы5 необходимо расставить кванторы общности и существования, уточнить индексы суммирования и знаки неравенств. Рассмотрим эти вопросы.
Основные расчетные характеристики гк и гк
имеют простой геометрический смысл: это расстояние от текущей точки до границы /-го ограничения, вычисленное с учетом направления для движения по к-ой координате. Очевидно, что из этих двух величин может существовать только одна, в зависимости от знака коэффициента а к в соответствии с (24)-(25). При
этом знак соответствующей величины указывает на то, выполняется ли /-е ограничение в текущей точке. Если
ук > 0 или у* < 0, то Ь/ > 0 и ограничение выполняется. Напротив, если ук < 0 или ук > 0, то Ьк < 0, и, следовательно, в этом случае ограничение не выполняется. Двигаясь по у-ой координате на величину ук или
к
ук , можно достичь границы /-го ограничения, а при
большем по модулю шаге перейти ее и изменить статус этого ограничения. Если движение выполняется в противоположную сторону на любую величину, то статус ограничения не может измениться.
Если же а ^ = 0 , то движение по у-ой координате
вообще не может повлиять на статус -го ограничения, а
к к
величины ук и ук не определяются вовсе.
Поэтому расширим определение основных расчетных характеристик так, чтобы они существовали во всех случаях (вместо (24)-(25)):
Yк =1
I и
ьк
, если а ц > 0
если а у < 0
-/и, если а „ > 0
Имеет смысл различать два случая: все ограничения выполняются, либо хотя бы одно не выполняется, поэтому, применяя новое определение величин ук и ук , уточним определение множеств ’Ы\-Ы5\
N = {] е N : (пк > 0, V/: у\ > 0, 3/: у\ > 0)} , (40)
у* = т1п(ук,ук), где у* = тгпук, ук = т/п ук ; (41)
N2 = { к е N: (V/: / < 0, 3/: ^ < 0)}, (42)
ук = тах(ук,ук) , где у/ = т^ху/ , 7/ = тахук ;(43)
N3 = {} е N : (3/: ук < 0, 3/: ук > 0 ,пк > 0)}, (44)
г] =1
ук если ук <
у], если ук >
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(38)
U, если a nj < 0
где ук = max у], ук = min у] ;
i: Y]<0 -- ¡:УЦ >0
N4 = {j е N: (3i: Yj < 0,3/: у[ > 0, пк < 0)},
ук = ук, где ук = maxyj ;
i:rj<0
N5 = {j е N: (У/: ^ > 0,У/: $ < 0)}, ук = ук , где ук = min ук .
Остальная часть описанного выше алгоритма не нуждается в комментариях.
Практическое применение алгоритма
В предложенной интерпретации алгоритм Краснера был апробирован на модели (12) для нескольких режимов электрических сетей Воронежской энергосистемы. Во всех случаях было получено решение, совпадающее с результатами пошагового алгоритма или лучше.
Электросети 220 и 110 кВ Воронежской энергосистемы связаны тремя подстанциями: ПС-26 «Латное», ПС-40 «Кировская» и ПС-12 «Южная». Рассмотрим один из рассчитанных примеров: номинальные мощности трансформаторов на подстанциях (SH0M), МВА: (325 335 400); границы для допустимых значений напряжения, кВ: U?” = 113, Umax = 116, У/ = 1,2,3 ; минимальное и максимальное положение РПН:
min г max г w • 1 л о .
П/ = -6, ni = 6 У/ = 1,2,3 ;
начальное положение РПН: n0 = 2 У/ = 1,2,3.
С помощью четырех расчетов режима электросети получены следующие данные: коэффициенты чувствительности по реактивной мощности, МВАр:
к
b
а
а
"-15,65 10,64 12,01 ^
12,13 -19,09 18,33 ;
v 12,35 16,57 -17,69,
коэффициенты чувствительности напряжения, кВ:
" -1 -0,8 -0,9 ^
-0,7 -1,1 -1,1 ;
v-0,7 -0,9 -1,3, начальные значения реактивной мощности (Q0), МВАр:
(113,2 252,34 267,27); начальные значения напряжения (U0), кВ:
(109,7 111,3 110,8).
Подставляем данные в модель (12) и получаем следующую задачу:
0x1 + 0x2 + 0x3 +1 • F ^ min
113.2 - 15,65x1 +10,64x2 + 12,01x3 -325 • F < 0 252,34 + 12,13x1 - 19.09x2 + 18,33x3 -335 • F < 0 267,27 +12,35xj +16,57x2 -17,69x3 - 400 • F < 0
3,3 < -Xj -0,8x2 -0,9x3 < 6,3
1,7 < -0,7Xj - 1,1x2 - 1,1x3 < 4,7
2.2 < -0,7Xj -0,9x2 -1,3x3 < 5,2 -8 < x, < 4, xt - целое, i = 1,2,3
После преобразований для применения алгоритма Краснера по описанным выше правилам получаем следующую задачу (здесь f = - F • 104):
0Xj + 0x2 + 0x3 +1 • f ^ max -1565x1 +1064x2 + 1201x3 - 3,25f < -11320 1235x1 -1909x2 + 1833x3 - 3,35f < -25234 1235x1 +1657x2 -1769x3 - 4f < -26727
-10x1 - 8x2 - 9x3 < 63 • 10x1 + 8x2 + 9x3 < -33 -7x1 -11x2 - 11x3 < 47 7 x1 + 11x2 +11x3 < -17 -7x1 - 9x2 - 13x3 < 52 7x1 + 9x2 + 13x3 < -22 -8 < xj < 4, xj - целое, i = 1,2,3
Воронежский государственный технический университет Международный институт компьютерных технологий Воронежский государственный аграрный университет
По алгоритму Краснера оптимальная точка хопт = (-5,0,-1), /опт =-5581 была получена после
12-го шага. Это означает следующие результаты: оптимальные положения РПН:
„опт ^ с о „опт ъ ъ /■> „опт /■> 1 л .
П = 2 - 5 = -3, п2 = 2 + 0 = 2, п3 = 2 -1 = 1;
наибольшая загрузка по реактивной мощности: Fmax = 0,5581 = 55,81% .
Контрольный расчет режима электросети при задании найденных оптимальных положений РПН дал следующие результаты:
узловые напряжения в узлах НН попали в заданные пределы: и, = 115,7, П2 = 115,9,П3 = 115,7; загрузка трансформаторов по реактивной мощности на всех трех подстанциях оказалась в пределах 5356% (исходная загрузка составляет 35-75%);
Этот результат лучше, чем было получено пошаговым алгоритмом. Объясняется это тем, что пошаговый алгоритм дает обычно внутреннюю точку допустимой области, то есть значения напряжения узлов НН оказываются близко к середине допустимого интервала, а решение ЗЦЛП, как в приведенном примере, всегда находится близко к границе допустимой области с лучшим значением целевой функции.
В заключение отметим, что преимущество описанного метода по сравнению с пошаговым алгоритмом состоит также и в том, что он требует, как правило, значительно меньшего объема режимных расчетов.
Литература
1. Герасименко А.А., Федин В.Т. Передача и распределение электрической энергии/ Издание 2-ое. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2008.- 715 с.
2. Винников Б. Г. Оптимизация загрузки автотрансформаторов связи в электрических сетях / Компьютерные технологии в технике и экономике. Сб. докладов между-нар. науч. конф., ч. 2 / Воронеж, Международный институт. компьютерных технологий, 2007, с. 48-52.
3. Краснер Н. Я., Пастухов А. И., Щепина И. Н. Алгоритм решения задачи целочисленного линейного программирования / Системное моделирование социальноэкономических процессов / Воронеж, ВГУ, 2000, с. 126132.
OPTIMISATION OF AN OPERATING MODE OF AUTOTRANSFORMERS IN BACKBONE NETWORKS ON THE BASIS OF DISCRETE MODEL
V.L. Burkovsky, B.G. Vinnikov, V.V. Kartavtsev, E.O. Lomov
The problem of alignment of loading of autotransformers on substations of communication of two steps of voltage in a backbone electric network is considered. The mathematical model of type of a problem of integer linear programming is offered and the method of the decision of this model is described
Keywords: loading, autotransformer, two steps of voltage, integer linear programming
