CC BY
169
ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЦЕПТУРЫ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ПРОДУКТА МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
п. а. лисин, л доктор технических наук, профессор,
и. в. кистер,
аспирант,
е. а. молибога,
кандидат технических наук, доцент, А. П. Скоков, кандидат технических наук, доцент, Т. Д. вороновА, кандидат химических наук, доцент,
в. в. браницкий,
ассистент, омский государственный аграрный университет
имени П. А. Столыпина
644008, г. Омск, Институтская пл., д. 2; тел.: 8 (3812) 65-01-81, 8 (3812) 65-12-77; 89131481713, 89083190255;
e-mail: [email protected], [email protected]
Положительная рецензия представлена О. В. Пасько, доктором технических наук, профессором кафедры технологии продуктов питания и сервиса, деканом технологического факультета Омского экономического института.
Конструирование пищевых продуктов с заданными потребительскими свойствами — востребованное в последнее время научное и прикладное направление в пищевой отрасли. В связи с этим поиск методологических особенностей решения данных задач является весьма актуальным.
Целевое комбинирование рецептурных ингредиентов может обеспечить получение пищевой композиции с заданным химическим составом. При этом обобщение научных и практических предпосылок создания рациональных рецептур многокомпонентных молочных продуктов показывает, что повышение степени адекватности состава композиций без увеличения себестоимости эффективно может быть достигнуто только с использованием современных компьютерных математических систем.
Уникальный состав молочных продуктов позволяет с успехом использовать даже традиционные массовые продукты (питьевое молоко, сметану, творог, сыр и т. п.) в диетических и лечебно-профилактических целях. Создание молочных продуктов нового поколения, имеющих многокомпонентный состав, отвечающий современным требованиями трофологии, остается актуальным вопросом современного общества [1].
Поэтому закономерно, что одним из приоритетных направлений современной науки о питании является разработка принципов проектирования многокомпонентных продуктов питания с заданным химическим составом. Особенности проектирования продуктов и рационов питания с задаваемой пищевой ценностью подробно рассмотрены в работах академиков Н. Н. Липатова (мл) и И. А. Рогова [2]. Ими сформулированы основные принципы проектирования состава сбалансированных продуктов с требуемым комплексом показателей пищевой ценности и содержащих их рационов. В настоящее время активно проводится работа в данном направлении научной школой КемТИПП под руководством профессора Л. А. Остроумова [3], а также другими учеными, в том числе из ОмГАУ, АлтГТУ, СибНИИС и т. д.
Фактором, определяющим соответствие многокомпонентных систем их ожидаемым свойствам, является обоснование их рецептурного состава. При моделировании продуктов сложного сырьевого состава ис-www.m-avu.narod.ru www.avu.usaca.ru
пользуют основной принцип теории сбалансированного питания — пищевые нутриенты должны поступать в организм человека в определенном количестве и соотношении. Таким образом, одной из серьезных задач при создании многокомпонентных, в заданной степени приближенных к эталону, продуктов является обеспечение предпочтительного набора и соотношения компонентов, которое невозможно без привлечения формализованных методов, оперирующих численной информацией о составе исходных ингредиентов, и статистически обоснованного или индивидуально определенного «эталона» и обеспечивающих желаемую пищевую и биологическую ценность композиции без неоправданного перерасхода ее эс-сенциальных составляющих.
Поставленная задача решается путем направленного варьирования количественными соотношениями сырьевых компонентов. Важную роль в совершенствовании технологии молочных продуктов и методов экономического анализа играет использование современных компьютерных систем в решении рецептурной задачи. Среди различных моделей технологических процессов особое место занимают так называемые линейные модели, то есть модели, где математические зависимости (равенства или неравенства) — линейны относительно всех переменных величин, включенных в модель. Сущность задач такого рода заключается в том, чтобы из множества возможных вариантов исследуемого процесса необходимо выбрать по заданному признаку оптимальный вариант. Разработка общих методов их решения начата в 1939 г. российским математиком, лауреатом Нобелевской премии, академиком Л. В. Канторовичем. Затем в работах американского ученого Д. Данцига этот метод получил название метод линейного программирования, частным вариантом данного метода является симплекс-метод [4, 5]. В основе метода линейного программирования лежит алгоритм симплексных преобразований системы, дополненный правилом, обеспечивающим переход не к любому, а к лучшему опорному решению. Симплекс-метод получил широкое применение и стал универсальным методом линейного программирования.
В то же время предлагаемые для студентов учебные пособия по технологии молока и молочных про-
Аграрный вестник Урала № 8 (114), 2013 г. —
Инженерия /
дуктов рекомендуют рассчитывать рецептуры продуктов с использованием алгебраического метода или метода произвольного выбора и приводят в учебниках большой набор типовых рецептур. Данный подход, хотя по своему содержанию и является формально правильным, не отвечает требованиям современности, так как не позволяет оперативно проектировать (конструировать) новые виды многокомпонентных молочных продуктов с прогнозированным белковым, углеводным, жировым и витаминным составом. Сложность решения многокомпонентной рецептурной задачи заключается также и в том, что в настоящее время при конструировании используется большое количество ингредиентов (от 5 и более). Решение системы линейных уравнений и неравенств при большом числе переменных вручную представляет значительные трудности, при которых не исключены ошибки расчета. Поэтому расчет рецептуры многокомпонентного продукта без использования современных компьютерных технологий, требующий значительных затрат времени, приводит к потере оперативности управления производством и снижению рентабельности производства.
Также следует заметить, что для снижения себестоимости продукта технологи в настоящее время широко практикуют замену натуральных молочных продуктов (молоко, крестьянское, сливочное масло) относительно дешевыми ингредиентами — растительными жирами (пальмовым, кокосовым), заменителями молочного жира, сывороткой и водой. При этом у специалистов-практиков сложилось не совсем верное убеждение, что чем выше в составе многокомпонентного продукта доля ингредиентов с низкой стоимостью, тем ниже по себестоимости будет конечный продукт. Не отрицая данного факта, технологам следует знать и о наличии второго фактора снижения себестоимости — возможности более рационального использования составных частей ингредиентов. Авторы данной статьи ниже на конкретном примере покажут такую возможность. Использование симплекс-метода для оптимизации рецептур многокомпонентных молочных продуктов позволяет получить значительное снижение себестоимости конечного продукта без потери его качественных показателей.
Авторами сформулированы методологические основы математического конструирования многокомпонентных молочных продуктов методом линейного программирования.
Сначала следует технологическая постановка вопроса. При решении системы линейных балансовых уравнений прикладной, производственный интерес представляет (в математической терминологии) неопределенная система, то есть множество неотрицательных решений. С технологической точки зрения это означает нахождение множества вариантов рецептур продукта, соответствующих нормативным требованиям. Задача технолога заключается в том, чтобы из данного множества выбрать рецептуру с заданными параметрами (минимальной себестоимостью, высокими качественными показателями, комплексным использованием составных частей ингредиентов и др.).
Опишем далее методологическое пошаговое (поэтапное) решение задачи. В основу решения рецептурной задачи положен фундаментальный закон — закон сохранения массы.
При конструировании рецептуры многокомпонентного молочного продукта следует:
1. составить информационный банк данных, который должен включать в себя вид, химический состав, оптовые цены ингредиентов и стандартный состав разрабатываемого многокомпонентного молочного продукта;
2. на основании банка данных составить балансовые уравнения по химическому составу конечного продукта (например, по содержанию жира, СОМО, влаги, углеводам);
3. установить технологические ограничения на использование отдельных видов ингредиентов, согласно нормативной документации;
4. определить функцию цели для проведения оптимизации рецептуры;
5. решить поставленную задачу в компьютерной математической системе;
6. проанализировать с технологической и экономической точек зрения варианты рецептур и выбрать тот, который наиболее полно отвечает поставленным целям.
Рассмотрим пример реализации матричного метода проектирования рецептурной смеси на примере составления рецептуры плавленого сыра. Как известно производство плавленого сыра относится к материалоемкой отрасли производства. Одним из важнейших резервов повышения рентабельности производства плавленого сыра является снижение себестоимости выпускаемой продукции. Алгоритм решения поставленной задачи приведен на рис. 1.
Рисунок 1
Алгоритм проектирования рецептурной смеси многокомпонентного продукта по критерию его минимальной себестоимости
www.m-avu.narod.ru www.avu.usaca.ru
Блок 1. Ввод химического состава сырья и стоимости 1 кг, ограничений по составу проектируемого продукта.
Блок 2. Ввод начальных точек отсчета массы ингредиентов.
Блок 3. Балансовые линейные уравнения, функция цели (в примере — себестоимость) и энергетическая ценность продукта.
Блок 4. Итерационный процесс приращения массы ингредиентов.
Блок 5. Промежуточный вывод массы ингредиентов.
Блок 6. Выбор среди множества значений массы — положительных значений.
Блок 7. Выбор среди множества вариант рецептур, рецептуры продукта с минимальной себестоимостью.
Блок 8. Вывод спроектированной рецептуры продукта, с минимальной его себестоимостью и рассчитанной энергетической ценностью.
Существующие методы пересчета табличных рецептур учитывают только технологические требования, предъявляемые к смеси плавленого сыра и не учитывают экономического показателя — себестоимости смеси.
Формулируем задачу: требуется разработать рецептуру плавленого сыра «Новый» 50 %-й жирности в сухом веществе сыра. Смесь плавленого сыра должна содержать в 100 г: жира — 30,00 г, СОМО — 10,5 г, углеводов (сахароза) — 16 г.
Ингредиенты, используемые в качестве компонентов плавленой смеси, представлены в табл. 1. Собственно, в табл. 1. сформирована информационная матрица данных для расчета рецептуры плавленого сыра, которая включает в себя пять элементов:
ингредиенты; химический состав ингредиентов; оптовые цены; требования стандарта конструируемого продукта; идексированные переменные (обозначены через Х).
Абсолютная массовая доля воды в плавленом сыре составит 100 - (10,5 + 30,0 + 16,0) = 43,5 г, содержание сухих веществ 10,5 + 30,0 + 16,0 = 56,5. Содержание пищевой добавки Фонакон составляет 2 кг 25 % раствора и ванилина 0,05 кг на 100 кг смеси плавленого сыра.
На основании матрицы данных (табл. 1) формируем систему линейных балансовых уравнений — по сухим веществам, белку, жиру, углеводам и воде (табл. 2).
Функцию цели — минимальная себестоимость плавленого сыра «Новый» — запишем в виде:
124 х х1 + 24,2 х х2 + 104,5 х х3 + 99,5 х х4 + 24,3 X х5 + 0,06 х х6 +120 х х7 + 240 х х8 ^ min.
Систему линейных балансовых уравнений решаем в программе EXCEL с использованием функции «Поиск решения». Скриншот решения поставленной задачи представлен на рис. 2.
С учетом принятых обозначений рассчитанная рецептура на производство 100 кг плавленого сыра «Новый» приведена в табл. 3. Кроме того, в табл. 3 приведены варианты рецептур плавленого сыра.
Как можно заметить, вариация рецептур позволяет определить минимальную себестоимость продукта. Так, рецептура 2 (min) дешевле рецептуры под номером 1 (max) на 144,3 рубля, при этом, что показательно, в смеси отсутствует самый дешевый ингредиент — питьевая вода, которая заменена сливками.
Таблица1
Матрица данных для составления рецептуры плавленого сыра «Новый»
Ингредиент Индекс, Х Массовая доля, % Оптовая цена, руб./кг
сухого вещества СОМО жира углеводов влаги
Сыры сычужные (советский, алтайский) Х1 62,5 31,3 31,2 - 37,5 124,00
Сливки Х2 24,2 4,2 20,0 - 75,8 24,6
СОМ Хз 93,0 93,0 - - 7,0 104,5
Масло сливочное х4 84,0 1,5 82,5 - 16,0 99,5
Сахар 99,5 - - 99,5 0,5 24,3
Питьевая вода х6 - - - - 100 0,06
Фонакон — соль плавитель (2 кг 25 % раствора) х7 25,0 25,0 75,0 120,00
Ванилин (0,05 %) Х 8 100,0 100,0 - - - 240,00
Стандарт сыра «Новый» 56,5 10,5 30,0 16,0 43,5
Таблица 2
Система балансовых линейных алгебраических уравнений
Баланс по: Уравнения и ограничения
Сухим веществам 0,625х1 + 0,242х2 + 0,93х3 + 0,84х4 + 0,995х5 + 0,25х7 + х8 = 56,5
Сомо 0,313х1 + 0,042х2 + 0,93х3 + 0,015х4 + 0,25х7 + х8 = 10,5
Жиру 0,31х1 + 0,20х2 + 0,825х4 = 30,0
Углеводам 0,995х5 = 16,0
Воде 0,375х1 + 0,758х2 + 0,07х3 + 0,16х4 + 0,005х5 + х6 + 0,75х7 = 43,5
Фонакону, ванилину х7 = 2,0; х8 = 0,05
Массе сыра х1 + х2 + х3 + х4 + х5 + х6 + х7 + х8 = 100,00
www.m-avu.narod.ru www.avu.usaca.ru
Аграрный вестник Урала № 8 (114), 2013 г. —«^ХЛЭЕ
Инженерия
Ингредиенты Масса. Массовая доля,% Цена, Масса.
X кг жира сомо сахара воды сухого руб.'кг кг
в-ва 1000
Сыр советский х1 25.00 31.2 31.3 0 37.5 62.5 124.0 250.00
Сливки х2 39.24 20.0 4.2 0 75.8 24,2 24.6 392.41
СОМ хЗ 0,23 0 93 0 7,0 93,0 104,5 2,32
Масло сливочное х4 17,40 82.5 1.5 0 16.0 84,0 99.5 173,96
Сахар х5 16.08 0 0 99.5 0.5 99.5 24.3 160.80
Питьевая вода хб 0,00 0 0 0 100 0 0,06 0.00
Фонакон х7 2,00 0 25.0 0 75.0 25,0 120,0 20,00
Ванилин (0.05%) Х8 0.05 0 100 0 0 100 240,0 0.50
ИТОГО, кг 100.0 1000.0
Сыр "Новый'' 30.0 10.5 16.0 43.5 56,5
Функция цели, руб 6463.3 64632.59
Балансовые уравнения 30,0 10,5 16,0 43,5 56,5
Рисунок 2
Фрагмент оптимизации рецептуры плавленого сыра «НОВЫЙ» в системе EXCEL
Таблица 3
Варианты рецептур плавленого сыра «Новый»
Ингредиент Индекс, Вариант рецептур плавленого сыра «Новый», расход сырья (кг) на 100 кг (без учета потерь)
1 (max) 2 (min)
Сыры сычужные (советский, алтайский) 25,000 25,00
Сливки 2,000 39,24
СОМ 1,77 0,23
Масло сливочное 26,42 17,40
Сахар 16,08 16,08
Питьевая вода 26,68 0,00
Пищевая фосфатная добавка — Фонакон 2,00 2,00
Ванилин 0,05 0,05
Масса плавленого сыра, кг 100,0 100,0
Себестоимость 100 кг сыра, руб. 6607,6 6463,3
Эффективность выполнения оптимизации рецептуры, руб. - 144,30
Данный метод назван матричным методом, так как информационная матрица данных (табл. 1) формируется в виде строк и столбцов — матрицей заданной размерности.
Разработанный матричный метод проектирования многокомпонентных молочных продуктов отличается простотой и наглядностью при своей реализации. С использованием современного математического аппарата сложные рецептурные задачи конструирования многокомпонентных молочных продуктов решаются без потери оперативности управления производством. Включая в матричный метод операторы
Литература
1. Липатов Н. Н., Рогов И. А. Методология проектирования продуктов питания с требуемым комплексом показателей пищевой ценности // Известия вузов. Пищевая технология. 1987. № 2. С. 9-15.
2. Остроумов Л. А., Козлов С. Г. Новые подходы к проектированию комбинированных молочных продуктов. Продукты питания и рациональное использование сырьевых ресурсов : сб. науч. работ. Кемерово, 2007. С. 24-25.
3. Косой В. Д., Меркулов М. Ю., Наумов А. В., Юдина С. Б. Программа для создания рецептур многокомпонентных продуктов // Молочная промышленность. 2003. № 3. С. 58-60.
4. Лисин П. А. Компьютерные технологии в рецептурных расчетах молочных продуктов М. : ДеЛи принт. 2007.102 с.
5. Щетинин М. П., Мусина О. Н., Сахрынин М. Н. Состояние и тенденции развития биотехнологии комбинированных молочных продуктов : монография. Барнаул : Изд-во АлтГТУ, 2006. 335 с.
оптимизации, то есть функцию цели, можно разработать рецептуру с заданными свойствами, например минимальной (или заданной) себестоимостью продукта.
Таким образом, конструирование многокомпонентных молочных продуктов позволяет рационально использовать молочные ресурсы, прочее дорогостоящее сырье, расширять ассортимент конкурентоспособных продуктов с привлекательными для потребителя органолептическими показателями, повышенной пищевой и биологической ценностью.
www.m-avu.narod.ru www.avu.usaca.ru
