CC BY
33
F(P1)(P1+) = PI о Р1+ + V = Р1+.
Отсюда получаем следующее свойство для фиксированной точки Р 1 +: Р 1 + = Р 1 ° Р 1 + + и.
Используя это свойство, имеем ^ ( 0) = = (Sj gN «и ° Р 1 i + SkE N ß i k ЛР 1 1 k + 8 ( Р 1 1 ) ) ° Р 1 + + где 8 (Р 1 1) = 8 (Р11)\ £, то есть S (Р11) =
= S p g n8 1 p и V p 8 1 p í £.
Применяя аксиомы А4, А5 и А11, получим
?(0) = ZjeNaljo(PiljoPi+) +
+ S kE Nß 1 кЛ Р 1 1 к°Р 1 + +
+ Hp6N ^ip ° Pl+ + и =
= HjeN alj ° Pij + UkeN ßikAPik + 8 (0 ) , (5) где все Р 1 1 j, Р 11k входят в (4), а 8 (0 ) = и , поскольку и может принимать лишь одно из трех значений: LOO Р, £, 0, что соответствует определению .
Для 5 (u -р. . ., иг) по индуктивному предположению имеем
+ Sk6Nßu1k/4Pu1k + S(Pu1) + - + + IjEN «urJ о P„rJ + IkEN ßurk"Purk + S(PuJ) о Pl+ ■
Используя аксиомы А4, А5, А6, А8, А11, получаем
+ £keN ßUlkAPUlk°Pl+ +- +
+ SkE N ß urk ЛРигк ° Р 1 + + ( 8 ( Ри J + . ■ ■ + 8 ( Риг) ) ° Р 1 + . Рассмотрим последнее слагаемое (8 (Ри1) + .
Если сумма ( 8 ( Ри1) + . . . + 8 ( Р%) ) содержит £, то заменяем в соответствующем слагаемом выражение Р 1+ его представлением (5).
Применяя вновь аксиому А4, получим 5(11!,..., ur) = EieN Hj6N «¡j о PA +
+ S 1 E N S kE N ßl k Л Р/k + 8 ( и 1 , . . ., и J ,
где все , входят в (4).
Таким образом, получаем, что Р 1 + эквацио-нально характеризуемо. Теорема полностью доказана.
Программная реализация
В соответствии с изложенной теорией авторами была создана программа, которая по тексту входной программы на языке Ь строит семантическое значение исходной программы и систему рекурсивных уравнений, представляющую это значение. Так, например, для заданной программы
рг = 1 ::* [ ои1:2 -> сг] || 2 ::* [ тг -> с2] будут построены семантическое значение
С1рг]р = (оит^-С! )+||(Ш2ДЛС2)+ и соответствующая система рекурсивных уравнений:
Рх = У1,2лР2;
Р2 = Сх о рз + с2 о р4;
Р3 = С2 о Р1;
Р4 = С1 о Р1 .
Таким образом, в работе предложен метод задания процессной семантики схем распределенных программ и показано, что сопоставляемые программам семантические значения могут быть представлены системами рекурсивных уравнений. Это дает возможность решить ряд как теоретических, так и практических задач.
Разработанная программа представления семантических значений в виде систем рекурсивных уравнений существенно упрощает и автоматизирует процесс анализа семантических значений распределенных программ.
Литература
1. Кораблин Ю.П. Семантика языков распределенного программирования. М.: Изд-во МЭИ, 1996. 102 с.
2. Кораблин Ю.П. Семантика языков программирования. М.: Изд-во МЭИ, 1992. 102 с.
УДК 621.396.96
ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ СРЕДСТВ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ГЕНЕТИЧЕСКИМИ АЛГОРИТМАМИ
А.А. Ковалев, к.т.н. (НПК «ТРИСТАН», г. Москва, kaaswsys@mail.ru)
Описан подход к оптимальному размещению средств траекторных измерений с применением генетических алгоритмов. Предложенный подход иллюстрируется результатами математического моделирования.
Ключевые слова: оптимизация, траекторные измерения, генетический алгоритм, вектор состояния, геодезические координаты.
Задача оптимального размещения средств траекторных измерений формально сводится к минимизации (или максимизации) целевой функции,
характеризующей эффективность совместной обработки данных. При этом в общем случае с каждым из средств траекторных измерений может
быть связана пространственно-временная функция Г(ХД), характеризующая локальную эффективность средства, где X - вектор координат средства, I - время.
В качестве Г (Х,0 может использоваться пространственно-временное распределение средне-квадратических ошибок (СКО) оценки вектора наблюдений, состав которого в общем случае различен для разных средств.
Связывая с каждым ^средством соответствующую функцию локальной пространственно-временной эффективности средств ¡¡(Х^), можно построить (вычислить) и локальную пространственно-временную эффективность совместной обработки Б^Х^Х^,...,Хк4), где Х| -
пространственные координаты ¡-средства, Р -вектор СКО оценок компонент вектора состояния цели.
Полученная локальная пространственно-временная эффективность совместной обработки
, Х2,, 1) позволяет построить и собственно целевой функционал Ф^Х^Х^,...,^,!;)}. В качестве заданного ограничения-равенства при таком рассмотрении выступает траектория цели, под которую осуществляется размещение средств траекторных измерений.
Таким образом, при имеющейся математической модели БХХ^Х^, ...,ХК4) средств траектор-ных измерений и связанным с ней целевым функционалом Ф{Р(Х,,Х,,...,ХЧзадача оптимального размещения средств траекторных измерений может быть сформулирована как выбор таких координат Х1,Х2,...,ХК средств траекторных измерений, при которых достигается наилучшее значение целевого функционала Ф{Б'(Х1,Х2,...,Х1Ч,1)}. Иными словами, (Х^, Х0|„2,..., Х0рЦ )т =
= щах ф{р(Х,,Х2,...,Хч,1)} при заданных
ограничениях, в общем случае при ограничениях-равенствах и ограничениях-неравенствах.
Сложность задачи обусловлена как ее многомерностью, так и пространственно-временной динамикой эффективности алгоритмов совместной обработки (например, фильтрации Стратоновича-Калмана).
Таким образом, решение задачи подразумевает использование методов численной оптимизации, результат которых может зависеть от выбора начальных приближений.
Применение генетических алгоритмов [1] позволяет избежать этап выбора начальных приближений и обеспечивает получение глобального максимума эффективности.
Формально установим соответствие между категориями генетических алгоритмов и категориями средств траекторных измерений:
- ген - двоичный бит;
- хромосома - набор из m битов, реализующих двоичную кодировку вещественного десятичного числа; хромосоме k соответствует координата j средства i (k=j+i(M-1), где M - число координат средств);
- особь (индивид) - набор из NxM хромосом (всех из M координат всех из N средств);
- поколение - набор из 10-20 особей;
- фитнес-функция (fitness function) -
Фрр^х,,...,^)}
Предложенный подход проиллюстрируем на примере размещения двух однотипных радиолокационных станций (РЛС) для обеспечения точности оценки координат, не хуже заданной, вдоль заданной трассы полета цели. Для определенности полагаем, что цель совершает полет с постоянной скоростью на постоянной высоте по прямой.
Введем локальный пространственно-временной показатель эффективности обработки:
F(Xj,X2,t) = F
if В,
w h у
СвА Л
Vh2 J
,t
(®B (t F
CTL (t) (t)
V h
где представлены СКО оценок геодезических: широты цели - CTB(t), долготы цели - CTL(t), высоты цели - CTh(t).
В качестве вектора состояния цели принимаем набор ее геодезических координат, скоростей и ускорений, а векторов наблюдения - векторы вида (Ri pi ei)T (дальность, азимут и угол места цели).
Обобщенным целевым функционалом будет ц
®{F(X1,X2,t)}= Jds(t).9(F(X1,X2,t)),
где ф^Х^Х,,^ _ fl,CTB(t)^Ств_тах иCTL(t) £ сть_тах;
1 0,СТв (t) > Ств max или CTL (t) > CTL
- характе-
ристическая функция; «(1) - текущая протяженность трассы цели, отсчитываемая от момента ^ до момента 12.
Таким образом, требуя
Г г
B
Opt
LOpt,
^V hop'i J t
B
Opt2
Opt2
Vh°P'2 J J
= argmax®{F(X1,X2,t)} =
= |ds(t).9(F(X1,X2,t)),
по сути требуем максимальной протяженности той части трассы цели, в пределах которой ошибки оценки широты и долготы цели оказываются не выше заданных.
и О_100_200 ^ UDO_<100_^'- 'Ту.'.'М ,mt I
50 40 и 20 10 .■■'0 -10 '
L.KM
Рис. 1. Ошибки фильтрации до оптимального размещения локаторов с помощью генетических алгоритмов
Ti Inn 200 yjo Inn ^ < öoo^
f(j 40 35 20 LO ö ~10 '
L,km \
10 5 <тЛ*\М
100 ¿00 300 400 ^ 500* B)K« 600 f, с
Ü 30 M 10 П
Рис. 2. Ошибки фильтрации по результатам оптимального размещения локаторов с помощью генетических алгоритмов
Пусть цель летит на высоте 10 км по долготе со скоростью 100 м/с с дальности от первой РЛС 50 км, обе станции расположены вдоль трассы,
при этом другая РЛС на 25 км отстоит от первой по долготе ближе к цели.
Результаты совместной обработки (фильтрации Стратоновича-Калмана) [2] в виде ошибок оценки широты и долготы цели в метрах при размещении РЛС без использования генетических алгоритмов показаны на рисунке 1.
После привлечения генетических алгоритмов для поиска такого местоположения РЛС, при котором реализуется максимальная часть трассы с ошибками оценивания широты и долготы не хуже 10 м, получены результаты фильтрации, приведенные на рисунке 2.
При сравнении рисунков обнаруживается, что удалось увеличить часть трассы, в пределах которой реализованы ошибки не выше требуемых, а сходимость генетического алгоритма гарантирует глобальность полученного максимума.
Таким образом, на примере оптимального размещения двух РЛС показана эффективность использования генетических алгоритмов для оптимального размещения средств траекторных измерений.
Литература
1. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Интеллектуальные информационные системы. М.: Финансы и статистика, 2004. 424 с.
2. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.
УДК 519.767.2
ВОПРОСЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ СХЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ
Ю.П. Кораблин, д.т.н.; И.В. Кучугуров; М.Л. Косакян
(Российский государственный социальный университет, г. Москва, y.p.k@mail.ru, tws13@mail.ru, xbix@list.ru)
Рассматриваются вопросы эквивалентности схем параллельных программ. Предложен метод сравнения систем рекурсивных уравнений на эквивалентность, позволяющий анализировать различные свойства программ.
Ключевые слова: верификация, процессная семантика, эквациональная характеризация, эквивалентность, разрешимость систем рекурсивных уравнений.
При создании качественных программ важную роль играет этап верификации, в процессе которого возникает потребность анализа отдельных частей программы на наличие тупиков, блокировок, зацикливаний и т.д. Также возникает необходимость проверки программ на различные виды эквивалентности. При этом программе сопоставляется множество вычислительных последовательностей (путей).
В [1] было показано, что множество вычислительных последовательностей (ВП) Р 6 5 Рст эк-вационально характеризуемо, если имеется ко-
нечное множество , таких, что
и для любого
Р = £ 6 N «и о Рч + £кбК Рк л Рк + « (Р) , (* ) где N = { 1 ,2 ,. . . , п}, «к 6 АСТ , р ¡к 6 Т Е 5 ,
V 1 8 ( Р) с Т (А С Т' и { Ш О Р } ) , где А С Т' =
и , что , и
VI Vк 3 г 6 N , что Рк = Рг.
Определим метод сравнения систем рекурсивных уравнений вида , что позволит получить формальный метод для сравнения схем программ в языке . Очевидно, что наличие одинаковых
