CC BY
25
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ПИЛОВОЧНИКА СРЕДНИХ РАЗМЕРОВ
Агапов А.И. (ВятГУ, г Киров, РФ)
Formulas have been obtained to determine the optimal sizes of sawn timber products when cutting lumber (logs) by the beam-breaking method.
При раскрое пиловочника средних размеров (диаметром от 26 см и до 46 см) из пифагорической зоны выпиливаются, как правило, один брус и четыре доски, а из сбеговой зоны выпиливаются также укороченные доски /2/. Таким образом, в постав устанавливается 8.. .10 штук пил. Для решения таких задач оптимизации раскроя пиловочника брусово-развальным способом составляем целевую функцию в виде площади поперечного сечения обрезных досок и бруса, вписанных в диаметр бревна в верхнем торце (d)
S = НА +2Tibi +2T2b2, (1)
где Н - толщина бруса;
А - ширина пласти бруса; Ti- толщина первой доски; bi - ширина первой доски; Т2 - толщина второй доски; b2 - ширина второй доски.
Эту формулу (1) можно представить в виде
где Бф - площадь поперечного сечения обрезного бруса;
- площадь поперечного сечения первой пары обрезных досок;
- площадь поперечного сечения второй пары обрезных досок.
Для решения целевой функции необходимо составить уравнения связи, которые можно представить в следующем виде
с!2 -Н2 -А2 -0, с!2 -Ь2 -Н2 -4НТ 1 -4Т2 =0, (2)
с!2 -Ь2 -Н2 -4Т? -4Т2 -8Т1Т2 -4НТ 1 -4НТ 2 =0,
Таким образом, математическая модель раскроя пиловочника брусово -развальным способом составлена. Для решения математической модели во с-пользуемся методом множителей Лагранжа /1/.
Функцию Лагранжа записываем в следующем виде
Ь = НА + 2Т1Ъ1 +2Т2Ъ2 +Л(с12 -А2-Н2) +
+ \{с12 - Ъ2 - Я2 - АНТ! - 4Т2) +
+ Л2(с12 -Ь2 -Н2 - АТ2 - АТ2 - 8Т,Т2 - АНТх - АНТ2),
где X, Х2 - множители Лагранжа.
Для нахождения оптимальных размеров пилопродукции записываем систему частных производных от функции Лагранжа
аь ал аь аы аь
ат 1 аь ат 2 ь
аы ь
аы
= Ы- 2 А, А = 0,
= А -2Ш-2ХЫ- АХИ1 -2ЪЫ -4ЪТ1 -4ЪТ2 ■ = 2Ы -4АлЫ- 8А1Т1 — Т1 — 8А.2Т2 -АА,2Ы= 0, - = 2Ь2 - Т 2 - 8А,2 Т 1 - 4Ъ Ы = 0, = 2Т 1 -2АлЫ =0, = 2Т 2 -2ЪЬ2 =0.
0,
(4)
Решаем систему уравнений (4). Из первого уравнения системы находим
Н - 2АА. (5)
Пользуясь первым уравнением связи (2) можно написать
А = Ы2
Подставляя это равенство в формулу (5), получим
(6)
Х =
Ы
2л/с12 -Н2
(7)
Из второго уравнения системы (4) вычтем третье уравнение этой системы. При этом предварительно третье уравнение системы сократим на два. После вычитания получим
А-2АН -Ы = 0. (8)
Пользуясь ранее полученными равенствами можно написать
л/с! -Н2
Из пятого уравнения системы (4) можно написать
Т1=Ы)1, (10)
Из шестого уравнения системы (4) можно написать
Т2=ЬЬ2, (11)
Для определения толщины первой доски воспользуемся вторым уравнением связи (2). В это уравнение подставим равенство (9), получим квадратное уравнение
4(с1 -Н )
Решая это квадратное уравнение, получим толщину первой доски
за2 -4Н2
а2 -Н2
-1). (13)
В четвертое уравнение системы (4) подставляем коэффициент Лагранжа X 2, пользуясь равенством (11)
Ъ22 =4Т22 +4Т1Т2 +2НТ2. (14) Из второго уравнения связи (2) вычитаем третье уравнение связи
Ъ2 -Ъ22 =4Т22 +8Т1Т2 +4НТ 2. (15) Сложив равенства (14) и (15), получим
Ъ2 = 8Т2 +12Т1Т2 +6НТ2. (16)
В последнее равенство (16) подставляем выражения (9) и (13). После преобразований получаем квадратное уравнение
Т2 +-НТ2 4
\
3d2 -4Н2
d2 -н2
-2\2
= 0
8 (с!2-Н2)
Решая это квадратное уравнение, находим толщину второй доски
1 тз ОО -5H2d2 -4Н4 -Ч 8 М 3d2 -4Н2
8 ]1 d2 -Н2 d2 -Н2
Т2 =
Пользуясь равенством (14) можно определить ширину второй доски
(17)
(18)
ь2 =л/4Т; +4TiT2 +2НТ 2
(19)
Подставив в равенство (10) формулы по определению толщины (13) и ширины (9) первой доски определим коэффициент Лагранжа X!
Ал
Н
2(d2 -2Н2)
(^3d2 -4Н2 -л/d2 - Н2).
(20)
Воспользуемся четвертым уравнением системы (4), в котором сделаем замену Ь2, пользуясь равенством (11). Тогда множитель Лагранжа X2 можно определить по формуле
А/2
"V
Т 2
4Тг +4Ti +2Н
(21)
Таким образом, система уравнений (4) решена. Найдены все параметры системы уравнений, по которым можно определить оптимальные размеры бруса и досок.
Литература
1. Пижурин А.А., Пижурин А.А. Моделирование и оптимизация процессов деревообработки: Учебник. - М.: МГУЛ, 2004. - 375с.
2. Рыкунин С.Н., Тюкина Ю.П., Шалаев В.С. Технология лесопильно -деревообрабатывающих производств: Учебное пособие. - М.: МГУЛ, 2003. - 225с.
2
