CC BY
45
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ РАСКРОЯ ПИЛОВОЧНИКА С ВЫПИЛИВАНИЕМ ТРЕХ БРУСЬЕВ И ТРЕХ ПАР БОКОВЫХ ДОСОК
Агапов А.И. (ВятГУ, г.Киров, РФ)
Developed an algorithm for solving the optimization problem with cutting saw-logs Cutting three bars and three pairs of lateral plates.
При раскрое пиловочника больших размеров (60..,100см) брусово-развальным способом целесообразно выпиливать три одинаковых по толщине бруса, а из боковой части бревна можно получить еще три пары досок. Важно знать оптимальные размеры брусьев и досок. Для решения поставленной задачи составляем математическую модель. В качестве критерия оптимальности выбираем объемный выход четырехкантных брусьев и боковых обрезных досок, получаемых при первом проходе брусово-развального способа раскроя бревна. Целевую функцию можно записать в виде суммы площадей поперечных сечений трех брусьев и трех пар боковых обрезных досок
Z = HAj + 2HA2 + 2!^ + 2T2b2 + 2T3b3, (1)
где Н - толщина бруса, А1 - ширина пласти центрального бруса, А2 -ширина наружной пласти боковых брусьев, Т1, Т2, Т3 - толщина соответственно первой, второй и третьей пары боковых досок, b1s b2, b3 - ширина наружных пластей соответственно первой, второй и третьей пары боковых досок.
Для составления уравнений связи воспользуемся теоремой Пифагора. Взаимосвязь диаметра бревна в вершинном торце с размерами брусьев и досок
можно представить следующими уравнениями
d2 - H2 - A2 = 0, (2)
d2 -9H2 - A2 = 0, (3)
d2 - b? - 9H2 - 12HT1 - 4T12 = 0, (4)
d2 - b2 - 9H2 - 4T12 - 4T22 - 12HT1 - 12HT2 - 8T1T2 = 0, (5)
d2 - Ь2 - 9Н2 - 4Т]2 - 4Т22 - 4Т32 -12НТ - 12НТ2 - 12НТ3 -
- 8Т1Т2 - 8Т1Т3 - 8Т2Т3 = 0,
где d - диаметр бревна в вершинном торце.
Полагаем, что математическая модель составлена.
Для решения данной модели воспользуемся методом множителей Ла-гранжа. Функцию Лагранжа представляем в следующем виде Ь = НА1 + 2НА2 + 2Т1Ь1 + 2Т2Ь2 + 2Т3Ь3 +Х1 (d2 - Н2 - Л?) +
+ Х2 (d2 -9Н2 -Л2) + Х3 (d2 -Ь2 -9Н2 - 12НТ1 -4Т12) +
+ X4 (d2 - Ь2 - 9Н2 - 4Т12 - 4Т22 - 12НТ1 - 12НТ2 - 8Т1Т2) + (7)
+ Х5 (d2 - Ь2 - 9Н2 - 4Т12 - 4Т22 - 4Т32 - 12НТ1 - 12НТ2 - 12НТ3 -
- 8Т1Т2 - 8Т1Т3 - 8Т2Т3),
где Х.2 Хз Х4 -множители Лагранжа.
Находим частные производные и приравниваем их к нулю
ят
я = Н - 2Х, А = 0,
ЯЛ!
ят
= 2Н - 2Х, Л = 0,
ЯЛ2 2 2
ят
— = Л + 2Л - 2^н -18Х2Н -18Х3Н -12Х3- -18^4Н -12Х4- -12Х4— -ЯН
-18Х5Н -12Х5- -12^Т -12^5Т = 0,
ят
-= 2Т - 2Х3 Ь = 0,
яь 1 3 1
ят
-= 2Ь -12Х3Н - 8Х3- - 8Х4Т -12^Н - 8Х4Т2 - 8Х5- -12Х5Н - 8Х5Т2 - 8Х5Т3 = 0,
ЯТ1 ят
-= 2Т - 2Х4Ь2 = 0,
ЯЬ2 2 4 2
ят
= 2Ь, - 8Х, Т -12Х„Н - 8Х, Т - 8Х<Т -12^Н - 8Х<Т - 8Х<Т = 0,
яТ2 2
ят
= 2Т - 2Х< Ь = 0,
яЬ 3
ят
-= 2Ь3 -12Х5Н - 8Х5Т - 8Х5Т - 8^5Т = 0.
ят
(8)
Решаем систему уравнений (8) совместно с уравнениями связи. Рассматриваем предпоследнее уравнение системы (8)
Т
Тз =Х5Ьз, X 5 = -3. (9)
Ьз
Рассматриваем последнее уравнение системы (8), в которое подставляем выражение (9)
Ь2 = 6Т3Н + 4Т1Т3 + 4Т2Т3 + 4Т32 = 2Т3(3Н + 2Т1 + 2Т2 + 2Т3). (10) Рассматриваем шестое уравнение системы (8)
Т
Т2 =Х 4Ь2, X 4 = (11)
Ь2
Рассматриваем седьмое уравнение системы (8), которое с учетом выражения (11) можно представить в следующем виде
Ь2 = 4Т1Т2 + 6Т2Н + 4Т22 + Ь2Ь3. (12)
Зная ширину второй доски можно определить ширину третьей доски по формуле
к 4— + 6Н + 4Т2 _ _
Ь3 = Ь2--^-2 Т2. (13)
Ь2
Рассматриваем четвертое уравнение системы (8)
Т
-1 =Х3Ь1, X 3 = (14)
Ь1
Рассматриваем пятое уравнение системы (8), из которого определяем ширину второй доски
<
ь2 = Ь, - . (15)
Ь1
Зная ширину второй пары досок Ь2, используем уравнение связи (5) и определяем толщину этих досок
-2 = 1(>М2 - Ь2 - (3Н+2Т1)). (16)
Рассматриваем первое уравнение системы (8)
Н
Н = 2Х1А1, X! =-. (17)
11 1 2Л1
Рассматриваем второе уравнение системы (8)
Н
Н = Х 2Л2, Х2 = —. (18)
Л2
Рассматриваем третье уравнение системы (8), которое с учетом множителей Лагранжа Х1 и X 2 представляем в следующем виде
Н2 н2
Л1 + 2Л2 = — +18 — + 3Ь1. (19)
Л1 Л2
Из последнего равенства можно определить ширину первой доски
1 18 1
ь = (Л1 + 2Л2 - Н2 (— + —)) -. (20)
Л1 Л2 3
Из уравнения связи (2) можно написать
л1 =у1 а2 - н2 . (21)
Из уравнения связи (3) можно написать
а =л/ а2 - 9н2. (22)
Определив ширину пластей брусьев А1 и А2, можно определить по формуле (20) ширину первой доски. Пользуясь уравнением связи (4) можно определить толщину первой доски по формуле
-1 = 1(>М2 - Ь12 - 3Н). (23)
По формуле (13) можно определить ширину третьей доски Ь3, а затем воспользуемся уравнением связи (6) определяем толщину третьей доски
-3 = 1 (^М2 - Ь2 - (3Н + 2—1 + 2Т2)). (24)
Таким образом, рассмотрены все уравнения системы (8), а также уравнения связи и получены формулы для определения размеров брусьев и досок. Однако в этих формулах размеры брусьев и досок взаимосвязаны, что затрудняет нахождение оптимальных размеров. Для решения поставленной задачи воспользуемся численным методом. Для этого изменяем толщину бруса, а остальные размеры брусьев и досок, а также целевую функцию будем определять по полученным выше формулам. По результатам расчетов можно найти вариант, при котором получается максимальное значение целевой функции. Это и будет соответствовать оптимальным размерам брусьев и досок. Для облегчения рас-
четов и анализа результатов, полученные ранее формулы, представляем в относительных единицах, полагая отношение H/d=mн.
Тогда алгоритм решения задачи будет иметь следующий вид. Относительная ширина пласти центрального бруса
т
А1
- А1
т
Относительная ширина наружной пласти бокового бруса
А,
тА2 -
а
-д/1 - 9т
Относительная ширина первой пары боковых досок
т
Ь1
а
(тА1 + 2тА2
- тн (-
18
т
А1
т
))
А2
Относительная толщина первой пары досок
Т
т
Т1
- 1 - т21 - 3тн ).
Относительная ширина второй пары досок
Ь2
тЬ2 - "Г - тЬ1 а
2т
Т1
3т н + 2тТ1
т
Ь1
Относительная толщина второй пары досок
Т
т
Т2
6 1 - тЬ2 - (3тн + 2тТ1)).
Относительная ширина третьей пары досок
Ь3
^ т
тЬ3 - -г - тЬ2
3т н + 2тТ1 + 2тТ2
Ь2
Относительная толщина третьей пары досок
т
Т3
- Тз -
а 2
тЬз
(3т н + 2тт1 + 2тт2)).
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Относительная площадь поперечных сечений брусьев
2бр = тн тА1 + 2тн тА2 = тн (тА1 + 2тА2).
Относительная площадь поперечных сечений досок
Zд - 2тТ1т + 2тТ2тЬ2 + 2тТ3тЬ3. (34)
Суммарная относительная площадь поперечных сечений брусьев и досок
(35)
Z - Zбр + Zд.
Таким образом, впервые разработан алгоритм для определения оптимальных размеров пилопродукции при раскрое пиловочника с выпиливанием трех брусьев и трех пар боковых досок.
1
1
3
