Оптимизация процессов управления гидроприводом с использованием методологии объединенного принципа максимума Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Оптимизация процессов управления гидроприводом с использованием методологии объединенного принципа максимума А.А. Костоглотов, И.А. Курочкина

Широкое распространение машин с объемным гидроприводом на железнодорожном транспорте усилило актуальность проблем управления их движением [1].

В настоящее время для разработки алгоритмов управления требуемым движением применяются принцип максимума Л.С. Понтрягина [2], метод планирования траектории движения исполнительного механизма [3] и др. Однако с помощью принципа максимума эффективно решаются линейные задачи программного управления, а синтез управления связан со значительными сложностями. Метод планирования траектории движения для реализации требует обработки большого объема информации и дополнительного специального алгоритма выбора оптимального управления. К тому же этими методами строятся управления, имеющие ступенчатый характер переключения, что снижает точность управления, приводит к ускоренной наработке на отказ.

Свободным от таких недостатков является метод синтеза оптимального управления нелинейными динамическими объектами [4 - 7], базирующийся на принципе экстремума интеграла действия для функции Гамильтона неконсервативной динамической системы [8].

1. Объединенный принцип максимума

Рассматривается управляемая неконсервативная система, на которую действуют управляющие силы Qs ) = и$ е GQ,S = \,п;$ -

обобщенные координаты и скорости; GQ - область допустимых управлений. Качество управляемого процесса оценивается функционалом

ік

J =|^{д,ц)Л ^ тіп. (1.1)

о

Для установления признака истинного движения используется интеграл действия [6,8]

Я = \[х{Т + А) + ^ ] =| ИсИ, (1.2)

о о

П П П ік

где Т = 0,5 ^^а$к4 $4к;А =^{ ОяЧ - работа внешних сил; X-

s=1к=1 5=1 о

множитель Лагранжа.

В рассматриваемом случае для установления признака истинного движения применено асинхронное варьирование [6].

Пусть Q є Од - произвольное допустимое управление. Первая

асинхронная вариация равна ЛЯ = И Лі

,=к + \ВИсЧ, (1.3)

0

откуда А ф 0,Н г={ = 0 и это равенство является условием

трансверсальности в правом конце траектории [5].

Теперь пусть де е Од новое управление, полученное из первого

= ^ ' "еГ1д>

Тогда

ч

игольчатым варьированием де = д + V є Од;у ф 0, если і є [,т + є5 і] [2].

АЯе = \ Нейг (1.4)

0

Вторая игольчатая вариация интеграла действия будет иметь вид [5,6]

^к

А2Я = АЯе-АЯ = / - д,)+ ( - V,)] > 0 (1.5)

0

Этим неравенством и условием Ад, = -д8А1 устанавливается принцип максимума обобщенной мощности (объединенный принцип максимума):

между двумя состояниями система движется так, что в каждой точке траектории выполняется условие максимума обобщенной мощности

ф( C, <, *, л) = тах £ ( + V )<*,

ве°а *=1

и выполняются условия трансферсальности для функции Н.

Из (1.6) получается универсальная форма закона управления

о-!

(1.6)

(1.7)

д_

^5

фиктивная сила; ц

знакоотрицательная

синтезирующая функция [5], р* = £ а5к<к - обобщенный импульс.

к=1

В фазовом пространстве (<, <)е Я2 истинную траекторию пересекают гиперповерхности (эллипсоиды), на которых Qs = 0. Тогда из (1.5) следует, что на поверхность эллипсоида

Н0 (, д, д, і, А) = АТ + _ = соті

(1.8)

и для нахождения синтезирующей функции нужно использовать скобки Пуассона [6]

дН0 дН0

дд5 др5 др5 др$

0, 5 = 1, п

(1.9)

Откуда значение синтезирующей функции будет таким

V -А

дТ

ддз

,-1

(1.10)

где Кз = т~^ ддз

Закон управления в универсальной форме будет иметь вид [5,6,9,10]

а=а

-1

- РЛ5АК55

К -А

дТ

дд5

-1

- V

' с

Є Од , 5 = 1, п

(111)

В соответствии с (1.11) управления могут выбираться из классов кусочно-непрерывных и непрерывных функций, закон управления для класса кусочно-постоянных функций удовлетворяет также и принципу максимума Л.С. Понтрягина [2,11]

а Рз\д51) 1 - К]; д =±|и5|

где |і5| - допустимое значение управления.

(1.12)

2. Математическая модель гидропривода

Рассмотрим упрощенную расчетную схему гидропривода

поступательного движения с замкнутой циркуляцией потока и дроссельным управлением с параллельным подключением дросселя (на входе или на выходе гидроцилиндра) (рис.1).

1 - насос; 2 - гидроцилиндр; 3 - регулируемый дроссель; 4 - дроссель; 5 - распределитель; 6 - сливная емкость; 7 - перемещаемый объект. Рис. 1. - Расчетная схема гидропривода поступательного движения

Уравнение неустановившегося движения поршня гидроцилиндра без учета сжимаемости жидкости и утечек в полостях имеет вид [1, 3, 6]:

т< = ЯнРн - $срс - Ятр^8п с - Я -АР, (2.1)

где с, < - перемещение и скорость перемещения поршня;

я н, ^, Ят - рабочие площади гидроцилиндра нагнетательной и сливной

полостей, живое сечение трубопровода; рн ,pc - давление жидкостей в напорной и сливной полостях; RTp - сила сухого трения груза и трение в гидроцилиндре (принято RTp = const); R - сила противодействия, m -приведенная к штоку масса частей исполнительного механизма; Ар -суммарные путевые гидравлические потери давления в гидроприводе

Ар = 4 — , (2.2)

2S

где L - подача жидкости в гидропривод,

L = STqT = SHqH = Fsqs ; (2.3)

p - плотность рабочей жидкости; 4 - коэффициент потерь в местных сопротивлениях и на гидравлическое трение [1].

Принята следующая совокупность данных для расчета управляемого гидропривода (рис.1): диаметр поршня D = 60 • 10-3 м; диаметр штока

d = 30 • 10-3 м; сила сухого трения RTp = 100 Н; сила противодействия R = 1000 Н; приведенная масса частей исполнительного механизма

_3 2

m = 100 кг; площадь поршня Sc = SH = S = 1/121 • 10 м ; диаметр живого

_3

сечения трубы dT = 2 • 10 м; длина трубы l = 5 м; кинематическая вязкость

6 2

рабочей жидкости - масло индустриальное ИА-5А, и = 4• 10- м/с; плотность жидкости р = 900 кг/м ; коэффициент гидравлического сопротивления дросселя 4 = 10; коэффициент гидравлического

сопротивления распределителя 42 = 5; рабочий ход поршня l = 1 м (q* =1 м).

3. Математическое моделирование

Задача синтеза оптимального управления: найти закон изменения силы гидравлического давления на поршень U = SHpH - Scpc такой, чтобы осуществлялось перемещение поршня из начального положения

* = 0, с0 = 0, <0 = 0 в конечное * = *к, <(*к ) = <* = 1, <(*к )= <* = 0 и при этом целевой функционал

к 1 ^к / * у2

3 = | ¥ (, <, * ) = —1(< - < *) ) - тт,

0 2 0

характеризующий качество процесса управления, принимал минимальное значение.

Функция действия рассматриваемой системы

л2 Т

Ік

К = 1

0

Ат2— + л\ и 0д^ + 2 (д - д 2 0 2

&

(3.2)

где и0 = (рнБн - рсБс )-(RTpsign д + К) - искомая обобщенная сила.

В соответствии с формулой (1.11) закон управления и0 (, <, *) в классе непрерывных функций получит вид

11 (3.3)

и 0 (д,д л )=\-ыЩ ■д ■

А

-

а сила воздействия на поршень

и(( д, і) = рн- рс$с = и0 + К + КТр^ д . (3.4)

При синтезе оптимального управления, соответствующего принципу максимума Л. С. Понтрягина

и(( д, і)= рнЯн - р^с = \и01 ■ ^

™\д\ ■ д 2 \и0І

(- д*)

+ К + RTpsign д

,(3.5)

где |и0 = 105 - допустимое управление.

Результаты исследований представлены в сравнении на рис.2-4, рассчитанных по методу объединенного принципа максимума (ОПМ) и по методу максимума Л.С. Понтрягина. При этом на рис.2а и рис.2б показаны перемещения и скорость перемещения гидроцилиндра; на рис.3а и рис.3б -законы оптимального управления и (); на рис.4а и рис.4б - подача рабочей жидкости в гидроцилиндр Ь.

а)

и

к

\ \ \

,

Vі — н

Рис. 2. - Переходной процесс

^ IV Гит

І .ІИН

и

ыо

ч«іг

0,4 С.З

1,6

Рис. 3. - Закон оптимального управления

Рис. 4. - Подача в гидроцилиндр

Заключение.

Из сравнения результатов исследований установлено:

О 0,4 О, В 1,2 1,6 2,0

1) Эффективность управления по квадратичному критерию при использовании метода объединенного принципа, максимума выше, чем при использовании принципа максимума и составляют соответственно 3 (х) = 0.226 и 3 (х )= 0.374, при одинаковом быстродействии.

2) При применении принципа максимума Л.С. Понтрягина управление имеет ступенчатый характер, что может привести к дополнительной динамической нагрузке на гидроцилиндр. В случае применения объединенного принципа максимума обеспечивается безударное управление процессом.

Литература:

1. Башта, Т.М. Гидроприводы и гидропневмоавтоматика [Текст] -М.: Машиностроение, 1982.-423 с.

2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гампрелидзе Р.В. ,

Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов [Текст] - М.: Наука, 1969. - 384 с.

3. Беренгард, Ю.Г. Динамический синтез дроссельных тормозных устройств гидроцилиндров // Пневматика и гидравлика [Текст] - 1984. -Вып.11. - С.216-223.

4. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В.

Объединенный принцип максимума в задачах оценки параметров движения маневрирующего летательного аппарата [Текст] // Радиотехника и

электроника, т. 54. вып.4, 2009. - С.450-457.

5. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В., Шевцова Л.А. Синтез оптимального управления на основе объединенного принципа максимума [Текст] // Известия вуз Сев.-Кав. региона, №2, 2010. - С.27-31.

6. Лурье, А.И. Аналитическая механика [Текст] - М.: ГИФМЛ, 1961. - 824 с.

7. Fantoni I., Lozano R. Non-linear Control for underactuated mechanical systems // Springer London, 2001. - 293 p.

8. Маркеев, А.П. Теоретическая механика [Текст] - М.: Наука, ГРФМЛ, 1990. - 414 с.

9. Костоглотов А.А., Костоглотов А.И., Лазаренко С.В.

Многопараметрическая идентификация конструктивных параметров методом объединенного принципа максимума [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, №1. - Режим доступа:

http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2011/348 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

10. Андрашитов Д.С., Костоглотов А.А., Костоглотов А.И.,

Лазаренко С.В., Ценных Б.М. Универсальный метод синтеза оптимальных управлений нелинейными Лангранжевыми динамическими

системами [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2014. №1. -Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2014/2251 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.

11. Fuller, F.T. Study of an optimal non-linear control system // Jornac of Electronics Control. №1(15), 1963. - P.63-71.