Оптимизация программы с учетом надежности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОГРАММЫ С УЧЕТОМ НАДЕЖНОСТИ

В.Н. Бурков, А.И. Бородин, П.А. Колесников, В.Г. Тельных, Т.Я. Хулап

В статье рассматривается алгоритм решения задачи оптимизации программы реформирования промышленного предприятия с учетом ограничений на надежность

Ключевые слова: задача, надежность, проект, программа, решение

Имеются п проектов, из которых необходимо сформировать программу (например, программу реформирования промышленного предприятия) . Каждый проект описывается тремя параметрами [1]: эффект а, стоимость е, и надежность р под которой понимается вероятность успешной реализации проекта. Обозначим Q - множество проектов, вошедших в программу. Тогда надежность программы можно оценить величиной

Р = П Рг

т

Пусть задан требуемый уровень надежности программы Рт, то есть

Р = П Рг > Рт .

ieQ

Переходя к логарифмам, получим

1п Р = I 1п р. > 1п Рт .

т

Обозначая

Ь = - 1п р..

В = - 1П Рт получаем ограничение

IЬ < В

ieQ

Обозначим х, = 1, если проект / входит в программу х, =0, в противном случае.

Задача 1. Определить {х}, максимизирующие

А(х) = 1ах (1)

,=1

I Ьх < В (2)

I

Iех < С (3)

I

где С - заданная величина финансирования программы. Поставленная задача является двумерной задачей о ранце. Применим для ее решения метод сетевого программирования. Для этого представим коэффициенты а, в виде

а, = V, + и,, I = 1, п

при ограничениях

и рассмотрим две задачами о ранце.

Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, тел. (495) 334-79-00

Бородин Александр Иванович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Колесников Павел Анатольевич - ИПУ РАН, аспирант, тел. (495) 334-79-00

Тельных Виталий Геннадьевич - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Хулап Татьяна Яковлевна - МФТИ, студент, тел. (495) 334-79-00

Задача 2. Максимизировать

V (x) = X W

i

при ограничении (2).

Задача 3. Максимизировать

U (х) = £ uixi

i

при ограничении (3)

Обозначим Fjfv) значение V(х) в оптимальном решении первой задачи, а F2(u) - значение и(х) в оптимальном решении второй задачи. Сумма F(v,u) = Fi(v) + F2(u) является оценкой сверху эффектаА(х) для исходной задачи (1) - (3).

Сформулируем двойственную задачу. Двойственная задача: определить {v} и {и}, минимизирующие F(v,u) при ограничениях

vi + ut = at, i = 1, n Обозначим Q1(v) - множество оптимальных решений первой задачи, Q2(u) - множество оптимальных решений второй задачи.

Лемма 1. Если Q1 (v)nQ2(u)^0 , то любое решение x e Q1 (v)n Q2 (u) является оптимальным

решением исходной задачи.

Доказательство. Любое решение

x e Q1 (v)n Q2 (u) удовлетворяет обоим ограничениям (3.2) и (3.3) и поэтому является допустимым решением исходной задачи. Следовательно, оценка сверху F(v,u) является достижимой, а соответствующие решения x e Q1 (v) n Q2 (u) являются оптимальными [2].

Пример 1. Рассмотрим следующую задачу 20х1 + 30х2 + 40х3+ 50х4 + 60х5 ^ max х1 + 2х2 + 3х3+ 4х4 +5 х5< 8 2х1 + 6х2 + 3х3+ 5х4 + х5< 9

1 шаг. Возьмем vj = 10, v2 = 15, v3 = 20, v4 = 25, v5 = 30 u1 = 10, u2 = 15, u3 = 20, u4 = 25, u5 = 30 Задача 2.

10х1 + 15х2 + 20х3+ 25х4 + 30х5 ^ max при ограничениях

х1 + 2х2 + 3х3+ 4х4 +5 х5 < 8.

Приведем оптимальные решения х1 = (1,1,0,0,1) х2 = (1,0,1,1,0)

F1(v) = 55 Задача 3

10х1 + 15х2 + 20х3+ 25х4 + 30х5 ^ max при ограничении

2х1 + 6х2 + 3х3+ 5х4 + х5 < 9.

Оптимальное решение x3 = (0,0,1,1,1) F(u) = 75 Оценка сверху F(v,u) = 55 + 75 = 130.

2 шаг. Поскольку Q1 (у)г^ Q2(и) = 0 , то попытаемся улучшить (уменьшить) оценку изменив величины V и и. В данном примере сразу видно, что если уменьшить VI, увеличив иь то F-i(v) уменьшится, а ^г(и) - не изменится. Для удобства записи будем приводить только коэффициенты V, Ь, и и в виде таблиц.

Vi 5 15 20 25 30

b, 1 2 3 4 5

В этом случае три оптимальных решения ôi(v) = {(1,1,0,0,1), (1,0,1,1,0), (00101)}, F1(v) = 50

Задача 3

Ui 15 15 20 25 30

Ci 2 6 3 5 1

Оптимальное решение Q2(u) = (0,0,1,1,1), ^2(и) = 75 Е^,и) = 125, Ql(y)г Q1 (и ) = 0

3 шаг. Увеличим у4 и у5 на 10, уменьшив, соответственно и4 и и5 также на 10.

Задача 2

Vi 5 15 20 35 40

b, 1 2 3 4 5 II OO

Оптимальные решения &(v) = {(11001), (00101), (10110)}, Fl(v) =

60

Задача 3

Ui 15 15 20 25 30

ft 2 6 3 5 1

Оптимальные решения

Q2(и ) = {(00111), (10101)} ^2(и ) = 55 ^( и , у) = 115, Ql(у)г Qг(и) = 0

4 шаг. Увеличим у1, у3 и у4 на 5, а у5 на 10, соответственно, уменьшив и1, и3, и4 на 5, и5 на 10. Задача 2

Vi 10 15 25 40 50

A, 1 2 3 4 5

Оптимальные решения Qi(v) = {(11001), (00101), (10110)} Fj(v) =

75

Задача 3

10 15 15 10 10

2 6 3 5 1

Оптимальные решения Q2(и ) = {(0,0,110,1), (1,0,1,0,1), (11001)}

^2( и ) = 35, Я и у) = 110 Q(u, у) = Ql (у)г Qг (и ) = (11001) = х0

Так как Q1 (и,v)^ 0 , то общее решение х° = (11001) является оптимальным для исходной задачи.

В рассматриваемом примере изменение величин и и V производились интуитивно. Опишем алгоритм определения изменений и и V на каждом шаге.

Алгоритм решения двойственной задачи

Примем, что получены оптимальные решения задач 2 и 3, то есть множество Q1(v) и Q2(u). Пусть множество Q1(v) содержит д1 решений, а множество Q2(u) - q2 решений. Обозначим д^ - координаты решения у е Q1(v), sik - координаты решения к е Q2(u), у = 1, д1, к = 1, д2 . Обозначим далее у1 - изменение v1 (и соответственно (-у,) изменение и,), , = 1, п . Тогда изменение величины F1(v) можно записать в виде

Му)=тах2д^у, ,

J I

а изменение величины Б2(и)

Д2 (у) =- 1тп 2 s¡kУ¡

к I

Для того чтобы оценку F(u,v) можно было уменьшить необходимо и достаточно выполнить условия Д1(у) + Д1(у) < 0 или

тах I д„ у, < т1п 15шУ,

1 , к I

Для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы имела решение система линейных неравенств

I(д,1-&к)у, <-е , 1 = 1,да, к = 1,д2, (4)

где е > 0. Решение этой системы можно получить известными алгоритмами. Величина е выбирается из условия появления новых решений либо первой, либо второй задачи.

Литература

1. Баркалов П.С., Буркова И.В., Глаголев А.В., Колпачев В.Н. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами. - М.: 2002 (Научное издание / Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН), 63 с.

2. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. - Материалы международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий», Радио и связь, 2003.

С. 23-28.

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (г. Москва) Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Московский физико-технический институт (государственный университет)

OPTIMIZATION OF THE PROGRAM IN VIEW OF RELIABILITY

V.N. Burkov, A.I. Borodin, P.A. Kolesnikov, V.G. Telnykh, T.Y. Khulap

In clause the algorithm of the decision of a problem of optimization of the program of reforming of the industrial enterprise in view of restrictions on reliability is considered

Key words: a problem, reliability, the project, the program, the decision