CC BY
26
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА МНОГОШАГОВОЙ РЕДУКЦИИ РАЗМЕРНОСТИ И.Б. Бондаренко, Ю.Ю. Гатчина
Решение проектно-конструкторских и научно-исследовательских задач с применением современных средств вычислительной техники позволяет сократить сроки разработки, повысить производительность оборудования и снизить затраты на производство. С одной стороны, к современным САПР сложных технологических систем (СТС) предъявляются постоянно растущие требования: возможность мониторинга и управления в объектах промышленной автоматизации, дружественный объектно-ориентированный интерфейс "человек-машина", сбор, обработка и хранение информации в базе данных (БД) реального времени с возможностью её обмена при межсистемных взаимодействиях и анимации. С другой стороны, необходима высокая эффективность и оптимальное соотношение цены с качеством готового продукта. Для обеспечения баланса необходима тщательная проработка СТС на всех этапах её жизненного цикла, особенно на начальном этапе проектирования, который характеризуется наибольшей сложностью из-за многовариантности и многокритериальности функции глобального критерия оптимальности и широты применяемых методов оптимизации.
Глобальный критерий описывается как
Ф = (Ф1,Ф2,...,Ф1),
Фг = ехгт 0 ( X)),
0 ( X) = 0 (х1, х2,..., х„), где: хп - параметр оптимизируемой системы; п - размерность задачи.
Локальные критерии оптимальности Ф^ "свёртываются" одним из способов, в результате чего получаются различные формы представления глобального критерия:
т т
Ф = £к^; Ф = ПФк';
1 =1 1=1
ф=—
т 5
Е *' / Фг
'=1
где '=1,...,т - номер локального критерия; к' - весовые коэффициенты, которые определяются по результатам экспертной оценки важности локальных критериев. В результате операции свертки образуется средневзвешенное арифметическое, средневзвешенное геометрическое и средневзвешенное гармоническое представление, соотвейазшернвге величины приводятся к безразмерной форме по соотношениям [1]:
Ф - Ф. ~ф
ф' = _!-^ • ф' = '
ф * - ф ' 1 ф '
' 'г р гг р
где Ф\ - безразмерный уровень локального критерия; Ф{ - размерный уровень локального критерия; Р - граничное значение критерия; Ф* - экстремальное значение
критерия. Для выбора комбинации форм представления локальных критериев использована чувствительность Б по каждой свертке [2]:
ИХ 1 ^ ;
Х = (xl, x2,..., хп X
где в качестве х могут выступать количество локальных критериев, весовые коэффициенты, уровни локальных критериев, уровни помехи и т.п.
Работа СТС осуществляется в реальном времени со значительным количеством удаленных объектов и измерительных датчиков, что накладывает временные ограничения на обработку информации и процессы оптимизации. Для исследования СТС с большой размерностью параметрического пространства необходимо использование математического аппарата методов глобальной оптимизации, одним из которых является метод многошаговой редукции размерности [3].
Данный метод применим для поиска глобального минимума многомерной функции Q(X), зависящей от небольшого числа переменных (менее 3). Необходимое условие поиска - определённость и непрерывность функции в n-мерной области D:
min Q (X)
XeD '
X = C^ x 2,...,> Xn), (1)
D = {X|a £ xt £ b,i = 1,2,...,n}
Идея метода состоит в последовательном свертывании во вложенные друг в друга одномерные задачи глобальной минимизации:
minQ(X) = min min ... min Q(x 1,x2,...,xn) (2)
X eD ai £x 1 £i\ Ü2 £xг £&2 an£xn £bn
Это означает, что многомерная задача (1) сводится к одномерной задаче минимизации функции Q1(xj) на интервале \ax,b J . Затем переменная xx фиксируется и решается задача одномерной минимизации для x2 функции Q2(x:, x2) и т.д. Характер спуска в данном методе сильно зависит от порядка расположения координат в функции Q(X).
Число испытаний данного алгоритма растёт экспоненциально с ростом числа переменных n: N = An,
где А - число испытаний при одномерном поиске. В связи с этим метод многошаговой редукции выгоднее применять при количестве переменных до 5. Дальнейший рост показателя n приводит к ощутимой задержке во времени поиска глобального минимума функции.
В свою очередь, задача одномерного поиска глобального минимума функции решается при помощи следующего алгоритма.
Так как с практической точки зрения сохранение постоянного шага на всем отрезке поиска [a, b] является нецелесообразным из-за того что, во-первых, сложным ТС, работающим в условиях непредсказуемых внешних возмущений, присуще свойство грубости, при котором малым изменениям параметров системы соответствуют небольшие изменения показателей качества ТП, а, во-вторых, параметры объекта обычно известны неточно и в процессе эксплуатации могут меняться в некоторых пределах, то осуществим перебор на неравномерной сетке узлов:
k +1 k , г k
(3)
xk+1=xk +s i,
5к = тах(е г ,е • Хк ),
где к - номер узла сетки перебора; 5 - шаг; е^ - постоянные коэффициенты, ориентированные на конкретную задачу; е - точность определения глобального минимума.
Для данного алгоритма поиска характерны следующие достоинства. Во-первых, алгоритм исключает вероятность зацикливания у нулевой точки области допустимого изменения /-го параметра, а, во-вторых, участки с малыми абсолютными значениями х^
ускоренно проходятся в линейном, а большими - в логарифмическом масштабе.
В испытаниях алгоритма для трехмерного случая оптимум функции достигается за сотни итераций. Несмотря на простоту метода и небольшое число входных данных, с ростом размерности экспоненциально растут и общие затраты на поиск экстремума. Поэтому при большом числе переменных т метод теряет эффективность:
*=П»,. <4)
,=1
Таким образом, метод многошаговой редукции размерности с использованием неравномерной сетки перебора является простым и надежным при глобальной оптимизации с размерностью задач не более 10.
На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что описанные методы позволяют принимать оптимальные проектные решения, исходя из задач и целей проектирования ТП. Каждый метод в отдельности охватывает свою область исследования глобального критерия оптимальности, поэтому их удобно объединить в пакет прикладных программ, с дальнейшей интеграцией в систему САПР СТС.
Литература
1. Лысенко Э.В. Проектирование автоматизированных систем управления технологическими процессами. М.: Радио и связь, 1987.
2. Кофанов Ю.Н. Применение функций чувствительности для управления надежностью радиоэлектронной аппаратуры. Киев: Общество "Знание" УССР, 1981. / Автоматика и электроника.
3. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
