CC BY
21
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
УДК 539.3
doi 10.18522/1026-2237-2021-3-11-17
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ГЕНЕРАТОРА ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ С АКТИВНЫМ ПЬЕЗОМАГНИТНЫМ СЛОЕМ НА ОСНОВЕ СОЧЕТАНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА
© 2021 г. До Тхань Бинь1
1Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия
OPTIMIZATION OF A PIEZOELECTRIC GENERATOR OF FLEXURAL VIBRATIONS WITH AN ACTIVE PIEZOMAGNETIC LAYER BASED ON A COMBINATION OF THE FINITE ELEMENT METHOD AND A GENETIC ALGORITHM
Do Thаnh Binh1
1Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
До Тхань Бинь - аспирант, кафедра теоретической и прикладной механики, агропромышленный факультет, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000, Россия, e-mail: dothanhbinh@mail.ru
Do Than Binh - Postgraduate, Department of Theoretical and Applied Mechanics, Agribusiness Faculty, Don State Technical University, Gagarina Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia, e-mail: dothanhbinh@mail.ru
Конструкция пьезоэлектрического генератора (ПЭГ) для устройства накопления энергии оказывает значительное влияние на характеристики электромеханического преобразования. ПЭГ и оптимальный выбор его геометрических параметров являются важной предпосылкой для обеспечения эффективности электромеханического преобразования. В статье рассматривается модель ПЭГ на основе круглой трехслойной пластины в пакете ANSYS. Два пьезоактив-ных слоя - пьезоэлектрический и пьезомагнитный - приклеены на стальную подложку. Программа, построенная в пакете MATLAB, позволяет управлять скриптами ANSYS для нахождения зависимости коэффициента электромеханической связи от геометрических параметров объекта. Генетический алгоритм используется для определения максимального значения коэффициента электромеханической связи при изменении радиуса и толщины слоев в определенных пределах. Таким образом, определяется набор геометрических размеров для достижения наилучшей эффективности преобразования энергии ПЭГ. После применения алгоритма оптимизации коэффициент электромеханической связи увеличивается на 34 % по сравнению с результатами предыдущих исследований.
Ключевые слова: оптимизация, генетический алгоритм, пьезоэлектрики, пьезомагнетики, устройство сбора энергии.
The construction of the piezoelectric generator (PEG) for the energy storage device has a significant effect on the electromechanical conversion characteristics, and the optimal choice of its geometric parameters is an important prerequisite for ensuring efficiency of the electromechanical conversion. This article discusses a PEG model based on circular three-layer plate in the ANSYS package. Two piezoactive layers, piezoelectric and piezomagnetic, are glued to a steel substrate. The program built in the MATLAB package allows to control ANSYS scripts to find the dependence of the electromechanical coupling coefficient on the geometric parameters of the object. The genetic algorithm is used to determine the maximum value of the electromechanical coupling coefficient when changing the radius and thickness of the layers within certain limits. Thus, a set of geometric dimensions is determined to achieve the best PEG energy conversion efficiency. After applying the optimization algorithm, the electromechanical coupling coefficient increases by 34% in comparison with the results of previous studies.
Keywords: optimization, genetic algorithm, piezoelectrics, piezomagnetics, energy harvesting device.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
Введение
В настоящее время производство и развитие источников так называемой зеленой энергии для замены источников энергии на основе ископаемого сырья являются неизбежной тенденцией. Помимо использования чистых источников энергии (ветер, солнечная радиация, гидроэнергетика и др.) сбор энергии из невозобновляемых источников энергии стал важной составляющей из-за растущего спроса на электроэнергию. В последние годы было проведено много исследований пьезоэлектрического генератора (ПЭГ) с применением пьезоматериалов. В [1-5] исследованы ПЭГ, использующие прямой пьезоэлектрический эффект пьезоэлектрических материалов для преобразования механической энергии в чистую электрическую.
Если ПЭГ содержит пьезомагнитный слой и находится в переменном магнитном поле, то под действием переменного поля пьезоэлектрический слой деформируется, что приводит к деформации пьезомагнитного слоя. За счет этого генерируется электрический ток. В [6] получена зависимость коэффициента электромеханической связи (КЭС) от геометрических размеров пьезоэлементов на основе расчета методом конечных элементов (МКЭ), реализованным в пакете ANSYS. Однако эти вычисления были выполнены в ограниченном диапазоне значений радиуса и толщины пьезопластины.
В настоящей работе рассматривается конечно-элементная модель ПЭГ, на основе которой оптимизируется эффективность преобразования энергии за счет максимизации КЭС при изменении геометрических параметров в рассматриваемых пределах. Генетический алгоритм (ГА) применен для нахождения максимального значения КЭС, определенного путем расчета частоты резонанса и антирезонанса. Пакет ANSYS используется в качестве иструмента для решения задачи численным методом. Создана программа для соединения МА^АВ и ANSYS, позволяющая МА^АВ обрабатывать численные данные, полученные программным обеспечением ANSYS.
Континуальная постановка задачи
Модель ПЭГ с использованием биморфной конфигурации составляется из металлической подложки, внешний радиус которой закреплен жестко или шарнирно (рис. 1). На неё с двух разных сторон наклеены пьезоэлектрический и пьезомагнитный слои. Верхняя и нижняя поверхности пьезоэлектрической пластины электродированы и подключены к внешней электрической цепи, связанной с накопле-
нием энергии. Гармоническое магнитное поле, созданное постоянными магнитами, установленными на вращающейся части машины, действует на пье-зомагнитную пластину.
Рис. 1. Осевое сечение половины ПЭГ на основе круглого биморфа / Fig. 1. Axial section of half of the PEG based on a circular bimorph
На рис. 1 представлена половина осевого сечения конструкции преобразователя. Металлическая подложка (сталь) имеет толщину h и радиус г. Пье-зоэлементы, поляризованные по толщине, имеют толщину и радиус соответственно: hpe, гре (пьезоэлектрический слой), hpm, грт (пьезомагнитный слой).
Общие уравнения и определяющие соотношения для пьезомагнитоэлектрического тела [7]:
V-с + pf = pü, V-D = aQ, V-B = 0,
o = c: £ - eT - E - hT - H,
D = e: £ + к - E + a - H, (1)
B = h : £ + aT - E + ц - H,
£ = 1 (vü + (Vüf ¡[ E = -7ф, B = -Vp .
В (1) o и £ - тензоры механических напряжений и деформации; D и E - векторы электрической индукции и напряженности электрического поля; B и H - векторы магнитной индукции и напряженности магнитного поля; p - плотность материала; c -тензор упругих модулей; e - тензор пьезоэлектрических модулей; h - тензор пьезомагнитных модулей; К - тензор диэлектрических проницаемостей; a - тензор магнитоэлектрических модулей; ц -тензор магнитных проницаемостей; f - вектор плотности массовых сил; СГп - объемная плотность электрических зарядов; ü - вектор перемещений; р и ф - электрический и магнитный потенциалы.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
Таблица 1
При рассмотрении только пьезоэлектрической или пьезомагнитной среды соответствующие константы в (1) обнуляются.
Граничные условия определяются для механического, электрического и магнитного полей.
Сформулируем механические граничные условия. Пусть поверхность 5 состоит из двух частей: Г и Г2 , так что 5 = Ц и Г2, причём Г о Г2 = 0. и = и на Ц, п • о = р на Г2. Электрические граничные условия. Пусть поверхность 5 состоит из двух частей: Г3 и Г4 , так что 5 = Г3 и Г4, причём Г3 о Г4 =0 .
ф = ф(х, t) на Г3, п • D = -с0 на Г4, где Од - плотность поверхностных зарядов. Кроме того, если электроды подключены к внешней цепи, то электрический потенциал на них неизвестен и для его нахождения необходимо добавить два условия:
ф| S = V, H n • D dS = I,
(2)
S = Г5 иГ,
Г пГб =0.
Материальные свойства пьезокерамики PZT-4 / Material properties of PZT-4 piezoceramics
СЕ СЕ СЕ СЕ С33 СЕ
139 77,8 74,3 115 25,6
e31 e33 e15 k11/ 80 k33 / 80
-5,2 15,1 12,7 730 635
В табл. 1 СЕ , ГПа - модули упругости; e j, Кл/м2 -
пьезоэлектрические постоянные; kj и 8о — диэлек-
—12
трическая проницаемость; 8о = 8,85 х10 Ф/м. Плотность пьезокерамики PZT-4: р = 7500 кг/м3.
Таблица 2
Материальные свойства пьезомагнитного элемента CoFe2O4 / Material properties of the piezomagnetic element CoFe2O4
где 5е - площадь электрода; V - неизвестный потенциал, который находится из второго условия; I -электрический ток.
Магнитные граничные условия. Пусть поверхность 5 состоит из двух частей: Г5 и Г6, так что
ГМ С11 rM С12 rM С13 rM С33 rM С44
286 173 170 269,5 45,3
Ö31 Ö33 Ô15 ^11 ^33
580,3 699,7 550 5,910-4 1,57-10-4
6 , причём Г 5
Ф = ф(х, t) на Г5, п • В = О на Г6, где О} - плотность магнитного потока.
Для упругого слоя подложки неизвестными являются компоненты вектора смещений и , для пьезоэлектрического слоя к ним добавляется электрический потенциал ф , а для пьезомагнитного - магнитный потенциал ф, при этом соотношения (1) преобразуются обнулением соответствующих констант.
Конечно-элементное моделирование
В комплексе ANSYS построена конечно-элементная модель ПЭГ. Пьезоэлектрический слой и металлическая подложка моделируются, соответственно, конечными элементами PLANE13 и PLANE42. Конечный элемент PLANE13 также применяется для моделирования пьезомагнитного слоя с соответствующими материальными свойствами [6].
В табл. 1, 2 представлены константы материалов, используемых в расчетах: пьезоэлектрик - PZT-4, пьезомагнитный элемент - CoFe2O4 [8, 9]. Клеевые слои не учитываются.
В табл. 2 Су , ГПа - модули упругости; Qij, Н/Ам - пьезомагнитные коэффициенты; X ц,
10-6 Нс2/Кл2 - магнитная проницаемость. Плотность пьезомагнитного элемента CoFe2O4 р = 5290 кг/м3.
Изотропные материалы характеризуются упругими свойствами, такими как модуль Юнга Е и коэффициент Пуссона V . Для стали Е = 200 ГПа, V = 0,29, плотность р = 7860 кг/м3.
Для достижения достаточной точности в расчетах размер конечного элемента металлического слоя установлен значением не выше 1/5 его толщины, размер конечного элемента пьезослоев определяется автоматически.
При анализе собственных колебаний ПЭГ предполагается выполнение следующих механических и электромагнитных граничных условий: на левом конце заданы условия симметрии, правый конец жестко или шарнирно закреплен, как указано на рис. 1. Для вычисления частоты резонанса устройства электрические потенциалы заданы на поверхностях 1, 2; магнитный потенциал и плотность магнитного потока - на поверхностях 3, 4. В случае вычисления частоты антирезонанса устройства на всех поверхностях заданы такие же
S
Е
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
граничные условия, как для вычисления частоты резонанса, однако электрический потенциал на поверхности 1 неизвестен и для его определения дополнительно используется условие (2).
Оптимизация эффективности преобразования энергии ПЭГ
Интерфейс между пакетами ЫЛ^ЛВ и ANSYS для расчета коэффициента электромеханической связи. Важнейшей характеристикой ПЭГ с пьезоак-тивными элементами является КЭС, определяемый по формуле
k
Л
1 Lfrt
(fa F
(3)
где fa - частота антирезонанса; fr - частота резонанса.
Вычисление КЭС повторяется много раз в соответствии с различными значениями входных геометрических параметров, что занимает много времени. Таким образом, в этой работе предлагается программа в пакете MATLAB, которая позволяет получить доступ к ANSYS для вычисления частоты колебания в качестве основы для расчета коэффициента к по формуле (3).
На рис. 2 показаны последовательности вычисления коэффициента к, выполняемые при объединении MATLAB и ANSYS. Геометрические параметры ПЭГ представляют собой переменные величины, поэтому могут быть введены в программное обеспечение MATLAB и сохранены в текстовом файле в формате inp (parameter.inp). Исполняемый файл в формате bat (launch.bat) позволяет запускать программное обеспечение ANSYS и выполнять код, предварительно созданный как текст с расширением mac (modeling.mac), для расчета частоты резонанса и антирезонанса на основе входных параметров, сохраненных в файле parameter.inp. Результаты вычисления сохраняются в виде текста, что позволяет MATLAB получать к ним доступ и преобразовывать в числовой формат.
В работе [6] рассмотрены поперечные колебания круглого биморфа с пьезоэлектрическим и пье-зомагнитным слоями. Размеры подложки постоянные: радиус подложки г = 10 мм, толщина h = 0,1 мм; пьезослои имеют одинаковые размеры: гр = 6,8 + 9,8 мм, hp = 0,3 ^ 0,7 мм. Анализ показывает, что КЭС достигает максимального значения (к = 0,313) в заданной области изменения параметров при hp = 0,3, Гр = 9,8 мм.
Рис. 2. Блок-схема модуля для расчета КЭС / Fig. 2. Block diagram of the module for calculating the electromechanical coupling coefficient
В настоящей работе КЭС вычисляется в программе, соединяющей MATLAB и ANSYS. Результаты расчетов автоматически синтезируются и упорядочиваются в виде таблиц и графиков, что упрощает процесс оценки и анализа. КЭС рассчитывается как функция и реализуется в среде MATLAB, что также позволяет применять современные алгоритмы, доступные в MATLAB, для решения задач оптимизации.
Взаимодействие ГА с модулем расчета. ГА можно использовать для задач, которые трудно решить обычными методами оптимизации [10], например, когда искомая целевая функция является разрывной, нелинейной, не имеет производных [11]. ГА может полностью применяться к решению задач дискретной оптимизации [12].
На рис. 3 изображена блок-схема ГА, в которой модуль для расчета КЭС участвует в качестве фит-нес-функции. После создания исходной популяции (набор геометрических параметров ПЭГ) значение КЭС определяется расчетным модулем, описанным выше, как функция в MATLAB. Проверяются условия остановки итерации. Если ни одно из условий не выполняется, итерация продолжится с этапов гибридизации или мутации для создания новой популяции и вернется для вычисления значения КЭС, соответствующего новым геометрическим параметрам. В
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
противном случае, если одно из условии выполняется или количество итераций достигает заданного предельного значения, процесс завершается и выбирается наилучшее значение КЭС.
личных переменных. Рассмотрим модель ПЭГ на основе круглых биморфов, показанную на рис. 1, в случае, когда одновременно изменяются радиус и толщина всех трех пластин (табл. 3).
Таблица 3
Диапазон размеров пластин / Range of plate sizes
Пластина Толщина, мм Радиус, мм
Металлическая h = 0,1 + 0,5 г = 10 + 15
Пьезоэлектрическая hpe = 0,3 + 0,7 гре = 6,8 + 9,8
Пьезомагнитная hpm = 0,3 + 0,7 rpm = 6,8 + 9,8
Рис. 3. Блок-схема ГА / Fig. 3. GA block diagram
Результаты. Эффективность преобразования энергии ПЭГ оптимизируется при изменении геометрических параметров в рассматриваемых пределах, т.е. значения геометрических размеров пластин ищутся для достижения наибольшего значения КЭС. Как и другие современные алгоритмы оптимизации, ГА позволяет найти минимальное значение фитнес-функции, которое зависит от множества раз-
Поскольку по умолчанию в ГА ищется минимум фитнес-функции, то для нахождения максимального значения функции к = /(г, й, гре, йре, грт, необходимо найти минимальное значение функции с обратным знаком д = — /(г, й, гре, йре, грт, йрт). Результат (рис. 4) показывает, что = —0,419 (т. е. = 0,419), когда внешний радиус подложки шарнирно закреплен. Если внешний радиус закреплен жестко, то = —0,379 (т.е. = = 0,379). Таким образом, в рассматриваемых пределах геометрических размеров эффективность преобразования энергии ПЭГ в случае шарнирно закрепленного внешнего радиуса подложки лучше, чем при жестком закреплении.
Зависимость КЭС от радиусов пьезопластин изображена на рис. 5 в случае, когда остальные размеры не изменяются и равны значениям при максимальном КЭС.
Поколение а/а - внешний радиус шарнирно закреплен
Поколение б/b - внешний радиус жестко закреплен
Рис. 4. График наилучшей и средней пригодности / Fig. 4. Graph of the best and mean fitnesses
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
k=f(rpe,rpm)
k=t(rpe.rpm)
к 10
Поколение a/a - внешний радиус шарнирно закреплен
Поколение б/b - внешний радиус жестко закреплен
Рис. 5. Зависимость k от радиусов пьезоэлементов / Fig. 5. Dependence of k on radiuses of piezoelements
Анализ рис. 4, 5 показывает, что целевая поверхность к = f(r, к, гре, кре, грт, Ьрт) имеет несложную структуру и для определения максимума достаточно 40 поколений ГА.
Результаты расчетов также показывают, что КЭС достигает максимального значения при г = 10,4 мм, к = 0,4 мм, гре = 9,8 мм, кре = 0,6 мм, грт = = 6,9 мм, крт = 0,3 мм, если внешний радиус металлического слоя шарнирно закреплен. По сравнению с результатами работы [6] толщина ПЭГ (суммарная толщина трех пластин) меняется с 7 до 13 мм (возрастает на 86 %), радиус (радиус наибольшей пластины) увеличивается с 10 до 10,4 мм (возрастает на 4 %). Однако КЭС также значительно увеличивается с 0,313 до 0,419 (возрастает на 34 %).
В том случае, когда внешний радиус жестко закреплен, максимальная величина КЭС = 0,379) достигается при следующих значениях геометрических параметров: г = 10,6 мм, к = 0,2 мм, гре = 9,8 мм, кре = 0,6 мм
= 6,9 мм, крт = 0,3 мм.
Заключение
В статье рассматривается осесимметричная конечно-элементная модель ПЭГ, состоящего из трех круглых пластин в пакете ANSYS. Активными элементами ПЭГ являются пьезослои (пьезоэлектрический и магнитный), клеенные на металлической подложке, внешний радиус которой жестко или шарнирно закреплен. Исследована эффективность преобразования энергии ПЭГ через КЭС, зависящий от геометрических характеристик. Программа, построенная в пакете МА^АВ, позволяет рассчитывать КЭС с использованием МКЭ в пакете ANSYS.
ГА применяется для оптимизации КЭС при изменении размеров пластин в пределах рассматриваемого диапазона. Результаты расчетов показывают, что КЭС достигает максимального значения и увеличивается на 34 % по сравнению с результатами, полученными в работе [6], когда сумарная толщина слоев увеличивается на 86 %, а радиус самого большого слоя - на 4 % при шарнирном закреплении внешного радиуса подложки.
Разработанное программное обеспечение, объединяющее конечно-элементный (ANSYS), математический (MATLAB) пакеты и модуль ГА, может быть использовано при оптимальном проектировании ПЭГ с пьезоэлектрическими и пьезомагнит-ными активными элементами.
Литература
1. Shevtsov S.N., Soloviev A.N., Parinov I.A., Cherpa-kov A.V., Chebanenko V.A. Piezoelectric Actuators and Generators for Energy Harvesting. Heidelberg, Springer, 2018. 182 p.
2. Solovyev A.N., Duong L. V. Optimization for the harvesting structure of the piezoelectric bimorph energy harvesters circular plate by reduced order finite element analysis // International Journal of Applied Mechanics. 2016. Vol. 8, No. 3. P. 1-17. Doi 10.1142/S1758825116500290.
3. Duong L.V., Pham M.T., Chebanenko V.A., Solovyev A.N., Chuong V. Nguyen Finite Element Modeling and Experimental Studies of Stack-Type Piezoelectric Energy Harvester // International Journal of Applied Mechanics. 2017. Vol. 9, No. 6, P. 1-16. Doi 10.1142/ S1758825117500843.
4. Soloviev A.N., Parinov I.A., Cherpakov A.V., Chebanenko V.A., Rozhkov E.V., Duong L.V. Analysis of the performance of the cantilever-type piezoelectric generator
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 3
based on finite element modeling // Advances in Structural Integrity. 2018. P. 291-301. Doi 10.1007/978-981-10-7197-3_25.
5. Soloviev A., Oganesyan P., Romanenko P., Van Duong L., Lesnjak O. Applied theory of the vibration of inhomogeneously polarized axisymmetric bimorph piezo-elements // Advanced Materials. 2018. P. 353-362. Doi 10.1007/978-3-319-78919-4_26.
6. Соловьев А.Н., До Бинь Тх., Лесняк О.Н. Поперечные колебания круглого биморфа с пьезоэлектрическим и пьезомагнитным слоями // Вестн. ДГТУ. 2020. Т. 20, № 2. C. 118-124. Doi 10.23947/1992-59802020-20-2-118-124.
7. Kurbatova N.V., Nadolin D.K., Nasedkin A.V., Oganesyan P.A., Soloviev A.N. Finite element approach for composite magneto-piezoelectric materials modeling in ACELAN-COMPOS // Analysis and Modelling of Advanced Structures and Smart Systems. Series "Advanced Structured Materials". Vol. 81. H. Altenbach, E. Carrera, G. Kulikov (Eds.). Singapore: Springer. 2018. Ch. 5. P. 6988. Doi 10.1007/978-981-10-6895-9_5.
8. Kim J.-Y. Micromechanical analysis of effective properties of magneto-electro-thermo-elastic multilayer composites // International Journal of Engineering Science. 2011. Vol. 49. P. 1001-1018. Doi 10.1016/j.ijengsci.2011.05.012.
9. Challagulla K.S., Georgiades A.V. Micromechani-cal analysis of magneto-electro-thermo-elastic composite materials with applications to multilayered structures // International Journal of Engineering Science. 2011. Vol. 49. P. 85-104. Doi 10.1016/j.ijengsci.2010.06.025.
10. Баранов И.В., Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих тел // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, № 3. С. 14-26.
11. Бураков М.В. Генетический алгоритм: теория и практика. СПб.: СПбГУАП, 2008. 164 c.
12. Батищев Д.И., Неймарк Е.А., Старостин Н.В. Применение генетических алгоритмов к решению задачи дискретной оптимизации. Н. Новгород: ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2007. 85 c.
References
1. Shevtsov S.N., Soloviev A.N., Parinov I.A., Cherpakov A.V., Chebanenko V.A. (2018). Piezoelectric Actuators and Generators for Energy Harvesting. Heidelberg, Springer, 182 p.
2. Solovyev A.N., Duong L.V. (2016). Optimization for the harvesting structure of the piezoelectric bimorph energy harvesters circular plate by reduced order finite element analysis. International Journal of Applied Mechanics, vol. 8, No. 3, pp. 1-17. Doi 10.1142/S1758825116500290.
Поступила в редакцию /Received
3. Duong L.V., Pham M.T., Chebanenko V.A., Solovyev A.N., Chuong V. N. (2017). Finite Element Modeling and Experimental Studies of Stack-Type Piezoelectric Energy Harvester. International Journal of Applied Mechanics, vol. 9, No. 6, pp. 1-16. Doi 10.1142/S1758825117500843.
4. Soloviev A.N., Parinov I.A., Cherpakov A.V., Chebanenko V. A., Rozhkov E. V., Duong L. V. (2018). Analysis of the performance of the cantilever-type piezoelectric generator based on finite element modeling. Advances in Structural Integrity, pp. 291-301. Doi 10.1007/978-981-10-7197-3_25.
5. Soloviev A., Oganesyan P., Romanenko P., Van Duong L., Lesnjak O. (2018). Applied theory of the vibration of inhomogeneously polarized axisymmetric bimorph piezoelements. Advanced Materials, pp. 353-362. Doi 10.1007/978-3-319-78919-4_26.
6. Soloviev A.N., Do Thanh Binh, O.N. Lesnjak (2020). Transverse vibrations of a circular bimorph with piezoelectric and piezomagnetic layers. Vestnik of DGTU, vol. 20, No. 2, pp. 118-124. Doi 10.23947/1992-59802020-20-2-118-124. (in Russian).
7. Kurbatova N.V., Nadolin D.K., Nasedkin A.V., Oganesyan P.A., Soloviev A.N. (2018). Finite element approach for composite magneto-piezoelectric materials modeling in ACELAN-COMPOS. Analysis and Modelling of Advanced Structures and Smart Systems. Series "Advanced Structured Materials". Vol. 81. H. Altenbach, E. Carrera, G. Kulikov (Eds.). Springer, Singapore, ch. 5, pp. 69-88. Doi 10.1007/978-981-10-6895-9_5.
8. Kim J.-Y. (2011). Micromechanical analysis of effective properties of magneto-electro-thermo-elastic multilayer composites. International Journal of Engineering Science, vol. 49, pp. 1001-1018. Doi 10.1016/j.ijeng-sci.2011.05.012.
9. Challagulla K.S., Georgiades A.V. (2011). Mi-cromechanical analysis of magneto-electro-thermo-elastic composite materials with applications to multi-layered structures. International Journal of Engineering Science, vol. 49, pp. 85-104. Doi 10.1016/j.ijeng-sci.2010.06.025.
10. Baranov I.V., Vatulyan A.O., Soloviev A.N.
(2006). About genetic algorithm and its application in inverse problems of identification of elastic objects. Vychislitel'nye tehnologii, vol. 11, No. 3, pp. 14-26. (in Russian).
11. Burakov M.V. (2008). Genetic algorithm: theory and practice. Saint Petersburg, St. Petersburg SUAI Press, 164 p. (in Russian).
12. Batishev D.I., Neymark E.A., Starostin N.V.
(2007). Application of genetic algorithms to the solution of the discrete optimization problem. Nizhny Novgorod, Lo-bachevsky State University of Nizhny Novgorod Press, 85 p. (in Russian).
20 июля 2021 г. / July 20, 2021
