CC BY
32Математика и математическое моделирование. 2019. № 01. С. 1-14.
DOI: 10.24108/mathm.0119.0000176
Математика ft Математическое
моделирование
© А.Н. Соловьев, Д.А. Ермаков
Сетевое научное издание http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
УДК 539.32
Математическое и компьютерное моделирование пьезоэлектрического генератора устройств накопления энергии
Соловьев А.Н.1, Ермаков Д.А.1*
1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Россия :1ои1199254@уапЛехл1
Статья посвящена моделированию работы пьезоэлектрического генератора (ПЭГ) в виде круглой биморфной пластины с двумя пьезоактивными слоями и инерционной массой. Рассматриваемый ПЭГ может служить элементом устройства накопления энергии, в качестве источника электрической энергии, получаемой из вибраций элементов конструкций и машин. Целями работы является повышение эффективности ПЭГ с помощью определения его рациональных геометрических параметров Упругие и пьезокерамические среды моделируются в рамках линейной теории электроупругости. В статье решается задача вынужденных гармонических колебаний на первой частоте антирезонанса и определяется выходной электрический потенциал. В качестве инструмента исследования используются CAE пакет ACELAN. В численных результатах проводится анализ зависимостей выходного потенциала от различных геометрических параметров.
Ключевые слова: пьезоэлектрический генератор, накопление энергии, электрических потенциал, метод конечных элементов
Представлена в редакцию: 16.01.2019, исправлена 30.01.2019
В настоящее время пьезоэлектрические устройства накопления энергии позволяют собирать механическую энергию колебаний движущихся механизмов и преобразовывать ее в электрический заряд и наоборот. Они используются в различных областях, где мощности потребляемой энергии малы: от аэрокосмической области для мобильных устройств. Основным элементом таких устройств являются пьезоэлектрические генераторы (ПЭГ). Существует множество подходов к моделированию работы ПЭГ.
Авторы работ [1-5] использовали модельный подход, чтобы получить зависимости между выходными параметрами (потенциал, частота резонанса и антирезонанса) и меха-
Введение
ническими характеристиками. Задачи решаются с помощью упрощенных моделей и в строгой постановке на основе краевых задач электроупругости. Также в работе [5] проведен учет случайных колебаний ПЭГ. В работах [6,7] описывается построение моделей ПЭГ в пакетах ANSYS, ACELAN и FlexPDE и результаты расчетов, с помощью которых проведен анализ применимости прикладных теорий расчета ПЭГ. В описанных работах инерционная масса прикрепляется непосредственно к пассивной пластине, что уменьшает площадь пьезоактивного слоя или к пьезокерамическому элементу, что препятствует его изгибу. В настоящей работе используется модифицированная конструкция (рис. 1). Авторы работы [8] предложили устройство, которое может преобразовать механическую энергию в электрическую, если его встроить в вибрирующую среду и использовать для питания других устройств. В данной работе рассматривается пьезоэлектрический генератор, представляющий собой круглую пластину, которая имеет конструкцию биморфа. На дис-ковидный центральный слой приклеены два симметрично расположенных пьезоактивных слоя меньшего диаметра из пьезокерамики. Также исследуются выходные характеристики ПЭГ при гармонически изменяющейся во времени механической нагрузке, проведенные расчеты позволяют выбрать рациональные параметры конструкции пьезогенератора для достижения наибольшего выходного потенциала.
1. Постановка задачи
Пьезоэлектрический генератор (рис.1) устройства накопления энергии это составная конструкция, состоящая из упругих и электроупругих элементов, совершающих малые колебания в подвижной системе координат, на лицевую поверхность которой (инерционной масса рис. 1 номер 3) приложено равномерное давление (силовое возбуждение колебаний).
3
Рис.1. Конструкция пьезогенератора на основе биморфа. 1 - пластина; 2 - пьезоэлемент; 3 - инерционная
масса; 4 - стойка
В данной конструкции (рис. 1) используются следующие материалы: пьезоэлементы 2 - пьезокерамика Р2Т-4. Материал тонкой армирующей металлической круглой пластины 1- сталь; инерционного элемента 3 и радиуса стойки 4 - сталь.
В этих условиях математической моделью функционирования устройства является начально-краевая задача линейной теории электроупругости [7]. Для пьезоэлектрической среды:
где р - плотность материала; и - компоненты вектора - функция перемещений; а ^ -компоненты тензора механических напряжений; - компоненты вектора плотности массовых сил; Я - компоненты вектора электрической индукции; - компоненты тензора упругих модулей; Щ - компоненты вектора напряженности электрического поля; -компоненты тензора пьезомодулей; е - компоненты тензора деформаций; ( - электрический потенциал; э^. - компоненты тензора диэлектрических проницаемостей; X, Р,^ -
неотрицательные коэффициенты демпфирования. Для упругой среды:
Механические условия задаются на объединении непересекающихся областей
ип = и,п, к, = 0 > £
и к = и0
£ =ап к = р, - п Лк) -
(к) I _
к
0
(7)
(8) (9)
Электрические краевые условия задаются на совокупности областей -на электродах задается значение электрического потенциала
(I
о
Рт = С0^
(10) (11)
- на неэлектродированной поверхности
Я к=Яп к=Я (= 0)
- если электрод подключен к внешней электрической цепи, то значение электрического потенциала на нем в (10) неизвестно и для его нахождения используется дополнительное условие
= (=0) (12)
где /т - ток в цепи.
В программном комплексе ACELAN для описания потерь механической и электрической энергии используются коэффициенты затухания О, Р,^, которые выражаются через добротность Q следующим образом [11]
О= 2 , р = д = . 1
+ /л)р ь + Л2) (13)
где /л,/г2 - частоты резонанса, которые находятся при использовании граничного условия (10) или частоты антирезонанса /л,/а2 для определения которых используются граничные условия (10), (12), в случае работы устройства в режиме ПЭГ.
2. Конечно-элементное моделирование в ACELAN
В качестве инструмента решения системы дифференциальных уравнений с граничными условиями (1)-(12) используется конечно-элементный комплекс ACELAN [7]. В настоящей работе рассматриваются осесимметричные установившиеся колебания, находятся частоты резонанса и антирезонанса, определяется выходной электрический потенциал на частоте антирезонанса, когда устройство работает в режиме генератора.
На рис. 2 представлена половина осевого сечения ПЭГ (рис.1). На границах областей задаются следующие граничные условия: линия 1 ось симметрии - условие (9); на линию 2 действует нормальное давление; линия 3 - условие (9); линии 4 и 5 - электроды, 4 - условие (10) потенциал равен 0; 5 -условия (10), (12); точка 6 - шарнирное закрепление. Конструкция ПЭГ имеет ряд геометрических параметров, на рис. 2 представлена половина осевого сечения конструкции с обозначением геометрических параметров. В работе изучается влияние этих параметров на выходные характеристики. В частности будет рассмотрено влияние на выходной потенциал ( следующих параметров: радиуса пьезоэлемента г ,
высоты инерционной массы к , толщины пьезоэлемента Н и радиуса стойки г .
Рис.2. Параметры модели
При построении конечно-элементной сетки (рис. 3) использован треугольный шести узловой конечный элемент, был проведен численный эксперимент по определению достаточного количества ее узлов. Так в таблице 1 приведена зависимость первой резонансной частоты от количества узлов, расчеты показали, что при дальнейшем увеличении числа (узлов) частота изменяется незначительно (аналогичное поведение показали частоты антирезонанса и выходного потенциала), поэтому, расчеты, приведенные в п. 3 проведены с использованием 1956 - элементов и 4675 - узлов. Размер и количество элементов в инерционной массе (номер 3 на рис. 1) не оказывал существенного влияния на точность расчета, т.к. на рассматриваемой частоте ее движение практически поступательное.
В таблице 1 представлены расчеты частоты резонанса и выходного потенциала от количества узлов элементов
Таблица 1. Расчет частоты резонанса при разных сетках
Кол-во узлов 1403 1977 2743 3623 4112 4675 5448
/г 624,9 623 621,85 621,72 621,6 620,2 618,4
Рис.3 Конечно-элементная сетка
3. Результаты численного эксперимента
Расчеты приводятся при неизменных в процессе исследования следующих значениях параметров: радиуса инерционной массы Гт = 20 мм, высоты стойки Г = 2.5 мм, высоты
пластины ^ = 0.3 мм и радиуса пластины г = 20 мм. При этом приняты ограничения на
геометрические размеры конструкции согласно рисунку 3: И = 0,2 +1 мм; г = 13 ^19
мм; Гг = 2 ^ 6 мм; Ит = 5 ^ 10 мм.
Первым шагом численного эксперимента является определение частот резонанса, антирезонанса и коэффициента механической связи К
к =
V
I
1
I
Л а
(14)
Рис.4 График зависимости частот резонанса и антирезонанса от радиуса пьезоэлемента
На рис.4 представлены зависимости частот резонанса и антирезонанса от радиуса пьезоэлемента, из которого видно, что частоты увеличиваются с увеличением радиуса. Расчеты проводятся при следующих значениях параметров: И = 0,6 мм, Гг = 2,5 мм, Ит = 7,5 мм.
Рис.5. Зависимость коэффициента электромеханической связи от радиуса пьезоэлемента
На рис. 5 представлена зависимость коэффициента электромеханической связи от радиуса пьезоэлемента. Максимум достигается при радиусе пьезоэлемента 18,3 мм.
Рис.6. График зависимости частот резонанса и антирезонанса от толщины пьезокерамического слоя
На рис. 6 представлены зависимости частот резонанса и антирезонанса от толщины пьезокерамического слоя, из которого видно, что частоты увеличиваются с увеличением толщины. Расчеты проводятся при следующих значениях параметров: гр = 15 мм,
Г = 2,5 мм, = 7,5 мм
Рис.7. График зависимости коэффициента электромеханической связи от высоты пьезоэлементов
На рис. 7 представлена зависимость коэффициента электромеханической связи от высоты пьезокерамического слоя, из которой видно, что максимум достигается при высоте пьезокерамического слоя 1 мм.
Рис.8. График зависимости частот резонанса и антирезонанса от высоты инерционной массы
На рис. 8 представлены зависимости частот резонанса и антирезонанса от высоты инерционной массы, из которых видно, что частоты уменьшаются с увеличением высоты инерционной массы. Расчеты проводятся при следующих значениях параметров: ^ = 15
мм, Гг = 2,5 мм, й = 0.6 мм
Рис.9. Зависимость коэффициента электромеханической связи от высоты инерционной массы
На рис. 9 представлена зависимость коэффициента электромеханической связи от высоты инерционной массы, из которой видно, что максимум достигается при высоте инерционной массы 10 мм.
В данной работе рассматривается силовое возбуждение колебаний ПЭГ на частоте антирезонанса, при этом на поверхность инерционной массы (рис. 2 линия 3) задается рав-
номерно распределенное давление с постоянной амплитудой <n = 100 Па. На рисунках
(9-12) представлены зависимости амплитуды электрического потенциала на электродах (рисунок 3 линии 4) рассчитанной по формуле
H = V (Rep)2 + (Imp)2
где Re р и Im р - действительная и мнимая части электрического потенциала.
(15)
Рис.10. - Зависимость выходного потенциала от радиуса пьезоэлемента
На рис. 10 представлена зависимость выходного потенциала от радиуса пьезоэлемента, из которой видно, что потенциал уменьшается с увеличением радиуса пьезоэлемента. Расчеты проводятся при следующих значениях параметров: А = 0,6 мм,
Г = 2,5 мм, Ат = 7,5 мм.
Рис.11. Зависимость выходного потенциала высоты от высоты инерционной массы
На рис.11 представлена зависимость выходного потенциала от высоты инерционной массы, из которой видно, что потенциал увеличивается с увеличением высоты. Расчеты
проводятся при следующих значениях параметров: г = 15 мм, Гг = 2,5 мм, й = 0.6 мм
Рис.12. - зависимость выходного потенциала от высоты пьезоэлемента
На рис.12 представлена зависимость выходного потенциала от толщины пьезокерами-ческого слоя, из которой видно, что потенциал увеличивается с увеличением высоты. Расчеты проводятся при следующих значениях параметров г = 15 мм, Гг = 2,5 мм, Ит = 7,5 мм.
Рис.13. - Зависимость выходного потенциала от радиуса стойки
На рис. 13 представлена зависимость выходного потенциала от радиуса стойки, из которой видно, что потенциал уменьшается с увеличением радиуса. Расчеты проводятся при
следующих значениях параметров й = 0,6 мм, г = 15 мм, Ит = 7,5 мм.
Заключение
В данной работе исследована задача эффективности ПЭГ в зависимости от геометрических параметров и характера возбуждения. Построена конечно-элементная модель в конечно-элементном комплексе ACELAN, позволяющая менять геометрические параметры устройства, вычислять выходной электрический потенциал.
При силовом возбуждении частоты резонанса и антирезонанса увеличиваются при увеличении радиуса и высоты пьезоэлемента, а также от радиуса стойки. Коэффициент электромеханической связи достигает максимума при значении радиуса пьезоэлемента
^ = 18,3 мм, высоте инерционной массы hm = 7,5 мм и высоте пьезокерамического слоя
hp = 1 мм. При силовом возбуждении колебаний выходной потенциал увеличивается от
увеличения высоты инерционной массы и толщины пьезоэлемента. Наиболее эффективная работа устройства происходит на резонансной частоте, которой в случае ПЭГ является частота антирезонанса. Построенные зависимости, в том случае, когда задана "рабочая частота", связанная с внешним воздействием позволяют выбрать параметры устройства для настройки на эту частоту.
Список литературы
1. Häsler E., Stein L., Harbauer G. Implantable physiological power supply with PVDF film // Ferroelectrics. 1984. Vol. 60. No. 1. Pp. 277-282. DOI: 10.1080/00150198408017528
2. Kymissis J., Kendall C., Paradiso J., Gershenfeld N. Parasitic power harvesting in shoes // IEEE 2nd intern. symp. on wearable computers (Pittsburgh, PA, USA, October 19-20, 1998): Digest of papers. N.Y.: IEEE, 1998. Pp. 132-139. DOI: 10.1109/ISWC.1998.729539
3. Starner T. Human-powered wearable computing // IBM Systems J. 1996. Vol. 35. No. 3-4. Pp. 618-629. DOI: 10.1147/sj.353.0618
4. Соловьев А.Н., Ле Ван Зыонг. Конечно-элементное моделирование пьезоэлектрического устройства накопления энергии на основе кантеливера // Вестник Донского гос. техн. ун-та. 2014. № 1(76). C. 169-179. DOI: 10.12737/3516
5. Соловьев А.Н., Ле Ван Зыонг. Конечно-элементное моделирование и анализ пьезоэлектрического устройства накопления энергии в форме круглой пластины с пьезо-элементами // Экологический вестник науч. центров Черноморского экономич. сотрудничества. 2013. Т. 1. № 4. C. 112-119.
6. Акопьян В.А., Паринов И.А., Рожков Е.В., Чебаненко В.А., Ле Ван Зыонг. Экспериментальное и конечно-элементное моделирование устройств накопления энергии // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: IX Все-росс. школа-семинар (с. Дивноморское, Краснодарский край, Россия, 26-30 мая 2014 г.): Сб. тр. Ростов-на-Дону: Изд-во Южного Федерал. ун-та, 2014. C. 57.
7. Ле Ван Зыонг, Рожков Е.В. Оптимизация конструкции устройств накопления энергии на основе пьезоэлектрических элементов с помощью конечно-элементного моделиро-
вания // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: VIII Всеросс. школа-семинар (с. Дивноморское, Краснодарский край, Россия, 27-31 мая 2013 г.): Сб. тр. Ростов-на-Дону: Изд-во Южного Федерал. ун-та, 2013. C. 61.
8. Williams C.B., Yates R.B. Analysis of a micro-electric generator for microsystems // Sensors and Actuators A: Physical. 1996. Vol. 52. No. 1-3. Pp. 8-11. DOI: 10.1016/0924-4247(96)80118-X
Mhm;;ciandMathematicaiModeiing, 2019 Mathematics & Mathematical
DOI: 10.24108/mathm.0119.0000176
Modelling
Electronic journal
© A.N. Soloviev, D.A. Ermakov http://mathmelpub.ru ISSN 2412-5911
Mathematical and Computer Modeling of Piezoelectric Generator for Energy Harvesting DevicesPaper Formatting in Microsoft Word
A.N. Soloviev1, D.A. Ermakov1*
:Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia "lord 19 9 2 5 4 :gy andexju
Keywords: piezoelectricity, ultrasonic devices, finite element method Received: 16.01.2019, Revised: 30.01.2019
The paper deals with modeling a Piezoelectric Generator (PEG) that includes piezoactive elements, inertial mass, plate and rack. The PEG under consideration can be an element of the energy storage device in the capacity of the source of energy provided from vibrations of elements of structures and machines.
The main objective of the paper is to gain the PEG efficiency by finding the optimal geometric parameters for finding the highest output potential.
The elastic and piezoceramic media are modeled within the framework of the linear theory of electroelasticity. As a research tool, CAE package ACELAN is used in which three-dimensional and axisymmetric device models are built. The numerical experiments performed a modal and harmonic analysis that enabled us to identify the most effective operating frequencies.
References
1. Hasler E., Stein L., Harbauer G. Implantable physiological power supply with PVDF film. Ferroelectrics, 1984, vol. 60, no. 1, pp. 277-282. DOI: 10.1080/00150198408017528
2. Kymissis J., Kendall C., Paradiso J., Gershenfeld N. Parasitic power harvesting in shoes. IEEE 2nd intern. symp. on wearable computers (Pittsburgh, PA, USA, October 19-20, 1998): Digest of papers. N.Y.: IEEE, 1998. Pp. 132-139. DOI: 10.1109/ISWC.1998.729539
3. Starner T. Human-powered wearable computing. IBM Systems J., 1996, vol. 35, no. 3-4, pp. 618-629. DOI: 10.1147/sj.353.0618
4. Solovyev A.N., Le Van Duong. Finite element modelling of piezoelectric energy storage device based on cantelever. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo
universiteta [Vestnik of Don State Technical University], 2014, vol. 14, no. 1(76), pp. 169-179. DOI: 10.12737/3516 (in Russian)
5. Solovyev A.N., Le V.D. Finite element modeling and analysis of piezoelectric device of energy storage in the form of a circular plate with the piezoelements. Ekologicheskij vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva [Ecological Bull. of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation], 2013, vol. 1, no. 4, pp. 112-119 (in Russian).
6. Akop'yan V.A., Parinov I.A., Rozhkov E.V., Chebanenko V.A., Duong L.V. Eksperimental'noe i konechno-elementnoe modelirovanie ustrojstv nakopleniia energii [Experimental and finite element modeling of energy storage devices]. Matematicheskoe modelirovanie i biomekhanika v sovremennom universitete: IX Vserossijskaia shkola-seminar [Mathematical modeling and biomechanics in a modern university: IX All-Russia workshop school (Divnomorskoe, Krasnodar Region, Russia, May 26-30, 2014)]: Proc. Rostov-on-Don: South Federal Univ. Publ., 2014. P. 57 (in Russian).
7. Duong L.V., Rozhkov E.V. Optimizatsiia konstruktsii ustrojstv nakopleniia energii na osnove p'ezoelektricheskikh elementov s pomoshch'yu konechno-elementnogo modelirovaniia [Optimization of the design of energy storage devices based on piezoelectric elements using finite element modeling]. Matematicheskoe modelirovanie i biomekhanika v sovremennom universitete: VIII Vserossijskaia shkola-seminar [Mathematical modeling and biomechanics in a modern university: VIII All-Russia workshop school (Divnomorskoe, Krasnodar Region, Russia, May 27-31, 2013)]: Proc. Rostov-on-Don: South Federal Univ. Publ., 2013. P. 61 (in Russian).
8. Williams C.B., Yates R.B. Analysis of a micro-electric generator for microsystems. Sensors and Actuators A: Physical, 1996, vol. 52, no. 1-3, pp. 8-11. DOI: 10.1016/0924-4247(96)80118-X
