CC BY
14
УДК 681.5
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ТЕХПРОЦЕССА С ПОЗИЦИЙ УВЕЛИЧЕНИЯ ИЗНОСОСТОЙКОСТИ ИНСТРУМЕНТА И МИНИМИЗАЦИИ ЕГО КОЛИЧЕСТВА
А.Н. Баранов, Е.М. Баранова, А.И. Титоров
Представлены результаты экспериментального определения оптимальных параметров технологической операции полугорячего обратного выдавливания, исходя из максимизации износостойкости производящего штампового инструмента.
Ключевые слова: оптимизация, износостойкость, инструментальная оснастка, технологическая операция, выдавливание, градиентный спуск, градиентное восхождение, опыты, эксперимент.
В теории планирования экспериментальных исследований после постановки факторного эксперимента, результатом которого является уравнение регрессии, описывающее в зависимости от факторов функцию отклика в некоторой ограниченной области факторного пространства, возможны следующие варианты развития событий:
1) если цель эксперимента - построение интерполяционной формулы, то исследование заканчивается на этапе построения адекватной математической модели;
2) если цель эксперимента - оптимизация значимых факторов исследуемого процесса, то адекватная модель, полученная на первом этапе исследования, будет являться исходной для выбора направления движения к области оптимума, и исследование продолжается с применением метода движения по градиенту.
Математическая модель, полученная ранее на этапе постановки полного факторного эксперимента (метод крутого восхождения рассматривается только для линейной функции), представляет собой разложение аналитической функции в ряд Тейлора [2]. При этом коэффициенты регрессии представляют собой частные производные функции отклика по соответствующим факторам:
= + (1)
дхг ох2 охк
где У<р - обозначение градиента; - частная производная по к-му фактору; ¿,у, к - единичные векторы в направлении координатных осей.
Таким образом, если 1,],к - единичные векторы в направлении координатных осей и коэффициенты уравнения регрессии - частные производные функции отклика, то приращение величины отклика определится так:
^у = + Ь2У + —I- Ькк
179
Выражение (2) задает кратчайшее направление движения к экстремуму. Очевидно, что, если изменять независимые переменные пропорционально величинам коэффициентов регрессии, то движение будет производиться в направлении градиента функции отклика по самому короткому пути.
Величины составляющих градиента определяются формой поверхности отклика и решениями, которые были приняты при выборе параметра оптимизации, нулевой точки и интервалов варьирования. Знак составляющих градиента зависит только от формы поверхности отклика и положения нулевой точки, как показано на рис. 1.
Рис. 1. Зависимость знака градиента от формы поверхности отклика
и положения нулевой точки
На рис. 1 представлен график движения по градиенту в случае, если на отклик оказывает влияние один фактор. Первая производная в геометрической интерпретации представляет собой угол наклона касательной к кривой. Опираясь на вышесказанное, можно записать
Ь£ = гд<р. (3)
Тогда схема движения по градиенту в случае, если на отклик оказывает влияние только один фактор, будет иметь вид, представленный на рис. 2.
Рис. 2. Схема движения по градиенту при одном факторе
Значение функции в точках, лежащих на градиенте, можно определить из выражения
У (а) =Уо + (4)
где 61 - интервал варьирования.
Движение по градиенту в каждом конкретном случае представляет собой шаговую операцию, которая продолжается до тех пор, пока не будут получаться результаты «ниже» предыдущих.
Алгоритм отыскания оптимальных факторов и отклика при использовании метода движении по градиенту сводится к определению текущих значений факторов, при которых будут проводиться опыты. Часть опытов может быть проведена мысленно (спрогнозированы) в зависимости от тех результатов опыта, которые реализованы по факту.
Алгоритм отыскания оптимальных факторов и максимального (в данном случае) отклика при использовании метода движении по градиенту представлен в табл. 1.
Таблица 1
Алгоритм отыскания оптимальных факторов и отклика при использовании метода движении по градиенту
Интервал варьирования и уровни факторов Фактор х1 Фактор хк
Нулевой уровень хю хк0
Интервал варьирования^ зк
Коэффициент регрессии Ь£ Ьг Ьк
Значение Ь151 ЬА
Ъ -
- -
5 С окр - -
Реализация опытов (мысленных и фактических)
Опыты - - - - - - -
Первые три строки табл. 1 (нулевой уровень, интервал варьирования и коэффициент регрессии) заполняются сведениями, полученными в ходе линейной аппроксимации функции отклика.
В строке значения Ь^б^ осуществляется переход к натуральному масштабу интервалов варьирования, то есть определяется произведение интервала варьирования фактора на соответствующий коэффициент регрессии Ъ181.
После расчета произведений Ь[8[ выбирается фактор, для которого произведение оказывается наибольшим по абсолютной величине, и рассчитывается значение коэффициента пропорциональности
_ \bjSj |
~ IъТ\-' ^
\и1и1\тах
где - максимальное значение данного произведения.
Полученным коэффициентам пропорциональности К^ приписываются знаки, соответствующие коэффициентам регрессии ранее полученной прогнозной модели, и заносятся в соответствующую строку табл.1.
Для фактора с наибольшим произведением ^¿£¿1 выбирается новый интервал варьирования для движения по градиенту. Интервалы для остальных факторов 81 получают, умножая величину выбранного интервала варьирования на коэффициент пропорциональности К^:
^ ^ выбранное^^ '
где 8,* Л - выбранное значение нового интервала для фактора,
1 выбранное * г ^ г >
имеющего максимальное значение произведения Ъф^
Таким образом, выбор интервала варьирования при движении по градиенту всецело зависит от интуиции исследователя. Строгих правил, определяющих эту процедуру, быть не может, так как прикладной аспект теории планирования эксперимента очень широк. Однако, существует рекомендация, следуя которой выбирать интервал варьирования необходимо таким образом, чтобы при первом движении по градиенту оказаться либо вблизи границы исследования, либо несколько выйти за ее пределы. Если при этом окажется, что существующее оборудование не может обеспечить четкого задания значений некоторых факторов в силу малости получившихся интервалов, то их следует менять через два-три опыта. Для удобства интервалы округляются и записываются в соответствующую строку 8С окр.
После расчетов всех составляющие для реализации метода движения по градиенту, получают условия опытов (значения факторов) путем алгебраического сложения нулевого уровня с рассчитанным интервалом варьирования по каждому фактору.
Последним этапом является постановка мысленных и фактических опытов с последующим экспериментальным определением соответствующих значений функции отклика.
Расчеты, необходимые для реализации опытов с применением метода движения по градиенту, представлены в табл. 2.
Исходными данными для расчетов являлась ранее полученная математическая модель [1]
У = 2501,6 - 611,6*! - 412,5х2 - 349,9х3 - 151,5х4 -—74,06х1х2 — 64,35 ххх3 + 212,4x^4 + 40,8х2х3 + 62,9х2х4 — —76,52х3х4 + 174,Зх1х2х3 + 24,19x^x4 — 11,4x^x4 + 63,53х2х3х4. (7)
По результатам расчетов, представленных в табл. 2, принят интервал варьирования первого фактора (сила), равный 45 МПа. Перерассчитанные по формуле (6) и округленные интервалы варьирования других факторов записаны в табл. 2 в строке З^окр.
Выбранный интервал варьирования плохо описывает область эксперимента, так как значения факторов варьируются в слишком малой области, что может привести к тому, что экстремум отклика (наибольшее значение износостойкости) будет находиться за областью эксперимента и его значение не будет выявлено.
Таблица 2
Расчеты, необходимые для реализации опытов с применением метода движения по градиенту
Интервал варьирования и уровни факторов %2 Х4
Нулевой уровень 900 6 60 50
Интервал варьирования 200 0 20 20
Коэффициент регрессии Ъ£ -611,56 412,56 -349,85 -151,26
Значение ¿¿¿>£ -123312 20628 -6997 -3031,2
Ъ 1 0,17 0,058 0,025
8^* окр 45 8 3 1
Опыты
1 900 750 6 50
2 855 742 57 49
3 810 734 54 48
4 765 26 51 47
5 720 18 48 46
Был принят новый интервал варьирования первого фактора, равный 20 МПа. Значения факторов, достаточно широко характеризующие поверхность отклика, представлены в табл. 3.
Полученные значения факторов переданы технологам для постановки опытов и выявления в выбранной области эксперимента величины отклика. Эксперимент реализовывался на базе ОАО «Тульский патронный завод». Фиксировалась износостойкость инструмента на операции полугорячее обратное выдавливание. Исследовалась марка инструментальной стали Р6М5.
После постановки эксперимента в точках, полученных методом движения по градиенту, получены значения откликов, представленные в табл. 4.
Опыты с номерами 4, 6, 8, 14, 16 и 18 - мысленные. Из полученных значений отклика выбирается максимальное, причем интерес представляют собой значения факторов, дающих возможность получить максимальную износостойкость инструмента.
Оптимальные значения факторов процесса полугорячего выдавливания, дающие максимальное значение износостойкости пуансонов полугорячего выдавливания, выполненных из стали Р6М5, представлены в табл. 5.
Таблица 3
Значения факторов, в достаточной степени характеризующих поверхность отклика (для 20 опытов)
Номер опыта хг *3 X4
1 900 750 60 50
2 880 747 59 49
3 860 744 58 48
4 840 741 57 47
5 820 738 56 46
6 800 735 55 45
7 780 732 54 44
8 760 729 53 43
9 740 726 52 42
10 720 723 51 41
11 700 720 50 40
12 700 717 49 39
13 700 714 48 38
14 700 711 47 37
15 700 708 46 36
16 700 705 45 35
17 700 702 44 34
18 700 702 43 33
19 700 702 42 32
20 700 702 41 31
Таблица 4
Результаты эксперимента по обнаружению оптимального значения отклика (максимальной износостойкости инструмента полугорячего выдавливания, выполненного из стали Р6М5)
Номер опыта хг X4 У
1 900 750 60 50 2657
2 880 747 59 49 2680
3 860 744 58 48 3046
4 840 741 57 47 3120
Информационные системы в решении прикладных задач
Окончание табл. 4
Номер опыта хг X4, Y
5 820 738 56 46 3154
6 800 735 55 45 3200
7 780 732 54 44 3595
8 760 729 53 43 3701
9 740 726 52 42 3890
10 720 723 51 41 4003
11 700 720 50 40 4218
12 700 717 49 39 4210
13 700 714 48 38 4079
14 700 711 47 37 4070
15 700 708 46 36 4046
16 700 705 45 35 4033
17 700 702 44 34 4029
18 700 702 43 33 4017
19 700 702 42 32 4013
20 700 702 41 31 4013
Таблица 5
Оптимальные значения факторов процесса полугорячего выдавливания, дающие максимальное значение износостойкости пуансонов (полугорячее выдавливание, марка инструментальной стали Р6М5)
Сила, МПа Температура, °с Производительность, шт./мин Вибрация, Гц Износостойкость, кол-во циклов
700 720 50 40 4218
Оптимизация параметров технологического процесса (в данном случае технологической операции полугорячее выдавливание) заключается в приведении исходных параметров процесса к оптимальным, т.е. позволяющим получать максимальное значение износостойкости ударного инструмента - пуансонов. Однако оптимальные значения, получаемые в ходе мысленных опытов, не всегда могут быть установлены фактически, так как имеющееся оборудование может не развить оптимального усилия, а оптимальная температура может выходить за границы, установленные именно для данной технологии.
Следовательно, после того как было выявлено максимальное значение износостойкости и получены оптимальные значения параметров технологической операции, технологами формируются рекомендации по выбору окончательных режимов производственного процесса:
185
1) каждый, определенный экспериментальным путем оптимальный параметр операции (сила, температура, производительность, уровень вибрации оборудования), сравнивается с диапазоном параметров, установленных ГОСТами или техническими условиями предприятия;
2) если оптимальное значение параметра вписывается в диапазон, то параметр, установленный ГОСТами или техническими условиями, повышают или понижают до оптимального;
3) Если оптимальное значение параметра в диапазон не укладывается, то параметр, установленный ГОСТами или техническими условиями, оставляют на прежнем уровне.
Таким образом, может возникнуть случай, когда часть параметров укладывается в диапазоны, а часть параметров лежит за пределами допустимых значений. В этом случае следует часть параметров оптимизировать, а часть оставить на прежнем уровне. Причем возможны ситуации, когда проведение процесса возможно при оптимальных параметрах даже если они выходят за предельные значения, указанные в ГОСТах или технических условиях (например, когда имеется в наличии новое оборудование, способное развить силу до полученного экспериментальным путем оптимального значения).
Однако следует отметить, что выбор окончательного режима проведения технологической операции - это уникальная процедура в каждом отдельном случае, где и опыт технологов, и результаты эксперимента имеют одинаково важное значение.
Значения параметров технологической операции полугорячего обратного выдавливания (для изготовления изделия А) представлены в табл. 6.
Таблица 6
Значения параметров технологической операции полугорячего обратного выдавливания (для изготовления изделия А)
Сила, МПа Температура, °С Производительность, шт./мин Вибрация оборудования, не более Гц
700...750 700...780 50 50
Опираясь на значения оптимальных параметров, представленных в табл. 5, была составлена рекомендация по оптимизации параметров исследуемой операции. В рамках рекомендации были установлены следующие значения основных параметров операции:
1. Сила - 700 Мпа.
2. Температура - 720 0С.
3. Производительность - 50 шт./мин (при условии, что сроки завершения работ по производству изделия А не будут нарушены).
4. Вибрация - 40 Гц.
Окончательное решение об оптимизации и изменении необходимых параметров технологического процесса принимается инженерами-технологами, ответственными за производство. Изменение параметров производства должно осуществляться только при условии, что не будут нарушены нормы и правила производства.
Таким образом, применение в ходе экспериментальных исследований метода движения по градиенту позволило получить оптимальные параметры технологического процесса, исходя из максимизации износостойкости штампового ударного инструмента - пуансонов.
Решение вопроса подобным образом позволит точно определять количество циклов работы инструмента и, следовательно, рассчитать его точное количество, достаточное для осуществления заказа в установленные сроки.
Предполагается, что проведение подобного рода экспериментов позволит накопить и систематизировать информацию, что, в свою очередь, приведет к рационализации ведения технологических процессов.
Список литературы
1. Титоров А.И., Баранов А.Н. Применение методов регрессионного анализа при диагностике износостойкости пуансона в процессе полугорячего выдавливания // Региональная научная студенческая конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, ТулГУ. С. 144 - 145.
2. Титоров А.И., Баранов А.Н., Баранова Е.М. Автоматизированная система по определению прогнозной величины ударного выдавливания в процессе полугорячего выдавливания при изготовлении моноблочных оболочек // III Международная научно-практическая конференция «Техника и технологии». 2015. С. 166 - 167.
3. Чернова Н.А., Налимов В.В. Статистические методы планирования экспериментов. М.: Наука, 2012. 340 с.
Баранов Андрей Николаевич, канд. техн. наук, доц., an111111 @mail.т, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Баранова Елизавета Михайловна, канд. техн. наук, доц., elisafme@yandex.т, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Титоров Александр Игоревич, инженер, [email protected], Россия, Тула, ООО «Солид Системс»
OPTIMIZA TION OF PARAMETERS OF TECHNOLOGICAL PROCESS FROM THE STANDPOINT OF DECREASING WEAR RESISTANCE OF THE TOOL AND MINIMIZE
THE NUMBER
A.N. Baranov, E.M. Baranova, A.I. Titorov
The article presents the results of experimental determination of optimal parameters of technological operations polygonacea backward extrusion on the basis of maximize the wear resistance of the producing punching tools.
Key words: optimization, wear-resistance, tooling, process operation, extrude, gradient descent, gradient ascent, experiments, experiment.
Baranov Andrej Nikolaevich, candidate of technical sciences, docent, an111111 a mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Baranova Elizaveta Mihajlovna, candidate of technical sciences, docent, elisa-fine'a yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Titorov Aleksandr Igorevich, engineer, sitl38 a mail.ru, Russia, Tula, LLC «Solid
Sistems»
УДК 531.8
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ
В ИНЖЕНЕРНОЙ ПРАКТИКЕ
Л. А. Белая, И.М. Лавит
Рассматривается компьютерное моделирование механических процессов -важная составная часть проектирования машин и аппаратов. Сложившаяся в последние десятилетия практика предполагает применение универсальных пакетов программ, предназначенных для решения широкого класса задач. Сложность использования этих пакетов иногда приводит к серьезным ошибкам в расчетах. Предлагается иной подход, суть которого в создании узконаправленных программ, ориентированных на типичные конструкции, разрабатываемые конкретным предприятием. Эксплуатация этих программ проста и не может быть источником ошибок. Приводится пример такой программы, реализующей прочностной расчет оболочки вращения.
Ключевые слова: проектирование, моделирование, численные методы, прочность, оболочка вращения.
1. Введение. Эффективное решение задач проектирования всегда включает в себя математическое моделирование тех или иных процессов, использующее методы механики, термодинамики и т. п. Математические модели получаются подчас весьма сложными. В докомпьютерную эпоху был возможен только один путь - упрощение модели до тех пор, пока
188
