CC BY
7
УДК 517.958; 535.4 doi:10.21685/2072-3040-2022-4-6
Оптимизация параметров многослойных дифракционных решеток с использованием игольчатых вариаций
В. Ю. Мартынова1, Ю. Г. Смирнов2, А. В. Тихонравов3
1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 3Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия 1 lynxbax@mail.ru, 2,3mmm@pnzgu.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - оптимизация дифракционной эффективности в первом порядке дифракции многослойной дифракционной решетки. Материалы и методы. Методы исследования: для оптимизации дифракционной эффективности используются игольчатые вариации. Результаты. Проведены вычислительные эксперименты, которые показали, что добавление второго штриха в период решетки существенно повысило дифракционную эффективность в первом порядке дифракции. Выводы. Применение игольчатых вариаций имеет смысл при проектировании многослойных дифракционных решеток.
Ключевые слова: дифракционные решетки, модифицированный метод разделения переменных, электромагнитные волны, дифракционная эффективность, оптимизация, игольчатые вариации
Финансирование: работа выполнена при поддержке гранта РФФИ и ГФЕН в рамках научного проекта 21-57-53001.
Для цитирования: Мартынова В. Ю., Смирнов Ю. Г., Тихонравов А. В. Оптимизация параметров многослойных дифракционных решеток с использованием игольчатых вариаций // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 4. С. 56-68. doi:10.21685/2072-3040-2022-4-6
Optimization of parameters of multilayer diffraction gratings using needle variations
V.Yu. Martynova1, Yu.G. Smirnov2, A.V. Tikhonravov3
1,2Penza State University, Penza, Russia 3Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia 1 lynxbax@mail.ru, 2,3mmm@pnzgu.ru
Abstract. Background. The purpose of the work is to optimize the diffraction efficiency in the first diffraction order of a multilayer diffraction grating. Material and methods. Needle variations are used to optimize diffraction efficiency. Results. Computational experiments were performed, which showed that the addition of a second line in the grating period significantly increased the diffraction efficiency in the first diffraction order. Conclusions. The use of needle variations is applicable in the design of multilayer diffraction gratings. Keywords: diffraction gratings, modified method of separation of variables, electromagnetic TE-waves , diffraction efficiency, optimization, needle variations
Acknowledgements: The work was supported by the RFBR and NSFC within the research project 21-57-53001.
© Мартынова В. Ю., Смирнов Ю. Г., Тихонравов А. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
For citation: Martynova V.Yu., Smirnov Yu.G., Tikhonravov A.V. Optimization of parameters of multilayer diffraction gratings using needle variations. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(4):56-68. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-4-6
Введение
Многослойные дифракционные решетки широко используются в современных лазерных технологиях. Они представляют собой многослойные покрытия с дифракционной решеткой, образованной в одном или двух верхних слоях покрытия [1, 2]. Такие покрытия используются, например, в системе лазерной накачки установки термоядерного синтеза в Lawrence Livermore National Laboratory в США [3]. Многослойные дифракционные решетки применяются для спектрального сложения лазерного излучения [4] с целью достижения высокой мощности суммарного излучения.
Технологии производства многослойных дифракционных решеток достигли высокого уровня [5], позволяющего создавать в верхних слоях покрытия решетки с несколькими штрихами в периоде решетки. Но на практике пока используются только элементы с одним штрихом в периоде решетки. Они позволяют получить высокую дифракционную эффективность, но при этом обладают небольшой спектральной полосой порядка 30-40 нм [6-8].
Проектирование многослойных дифракционных решеток проводится на основе расчетов дифракционной эффективности с помощью коммерческого программного обеспечения [9, 10] и оптимизации по небольшому числу параметров с использованием алгоритмов самого общего типа, таких как генетические алгоритмы. Подобные алгоритмы никак не учитывают специфику задачи и, чаще всего, не позволяют надежно найти оптимальный набор параметров. Для достижения нового уровня в проектировании многослойных дифракционных решеток требуется разработка высокопроизводительных методов решения прямой задачи расчета дифракционной эффективности и применение современных методов оптимизации параметров покрытия и решетки.
В нашей работе [2] был предложен численно эффективный метод решения прямой задачи. Этот метод позволяет разработать и алгоритмы вычисления производных дифракционной эффективности по параметрам покрытия и решетки. Тем самым появляется возможность применения современных градиентных методов оптимизации целевого функционала, оценивающего качество решения задачи проектирования. Помимо этого, совершенствования многослойных дифракционных решеток можно добиться и за счет увеличения числа допускающих оптимизацию параметров решетки.
Естественным путем увеличения числа оптимизируемых параметров является рассмотрение решеток не с одним, а с большим числом штрихов в периоде. На этом пути плодотворной является идея использования игольчатых вариаций, предложенная в [11] для решения задач оптимизации многослойных оптических покрытий. Проведение игольчатой вариации переводит задачу проектирования в новое пространство с большим числом оптимизируемых параметров. В рассматриваемой нами задаче такой физически осмысленной игольчатой вариацией является введение нового узкого по ширине штриха дифракционной решетки. В настоящей работе впервые рассматрива-
ется подход к проектированию многослойных дифракционных решеток, основанный на этой идее. Приведенные в работе результаты свидетельствуют о перспективности данного подхода.
1. Постановка задачи
Рассмотрим бинарную (с прямоугольной формой профиля) многослойную дифракционную решетку (МДР), схематично изображенную на рис. 1. Заметим, что параметры рассматриваемой МДР изменяются только в плоскости Оху. В представленных на рис. 1 обозначениях Т > 0 - период
решетки, О2/+1 > 0 - начало 7-го штриха, ^2,+! > 0 - 7-го штриха, 7 = 1,N/2, где N > 0 - четное целое число, N /2 - количество штрихов решетки, к > 0 - высота решетки.
ТЕ
У
ЭЕ,
9
\Ь
в.
а0=
с1.
А
по ------
п} Щ «ж?
а 1 а2
Щ
Щ -1
Щ :
...
X
а
!АГ
-т
Рис. 1. Периодическая диэлектрическая дифракционная решетка На решетку под углом
ф = а!гат
(1)
падает электромагнитная ТЕ-волна. Здесь 0 есть известный угол направления для первого порядка дифракции, X - длина волны. Падающее электрическое поле определяется продольной составляющей электрического поля
м0 = ехр (-7^0«0 (хsin ф-(у - к)cos ф)).
Здесь ^0 =2п / X - волновое число свободного пространства, «0 - индекс преломления свободного пространства. Рассмотрим показатель преломления п(х,у), равный везде вне решетки «0 , а в линиях решетки « , где 7 = 1,N/ 2 .
При у < 0 п(х,у) равно nj в слоях многослойной диэлектрической структуры, где j = 1, J, J > 0 , - количество слоев.
Требуется найти продольную составляющую полного электрического поля и (х, у), которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца
( + kjn2 (x,У))u(x,y) = 0:
условию квазипериодичности Флоке [3],
u (x, y) = u (x + T, y) exp (iкощТ sin ф),
условию непрерывности на поверхности решетки, за исключением краев заземления и на границах раздела между слоями, условию излучения на бесконечности [12] и условию конечности энергии в каждой ограниченной пространственной области. Также необходимо определить значения дифракционной эффективности основных порядков дифракции [13, 14].
Согласно методу плоских волн [13] представим отличную от нуля компоненту полного электрического поля в виде
,(0),
u( )(x, y ) = uo (x, y)+ 2 nzl (x )exp (—ikoy (у — h)), У > h
l =—<ж
(xУ) = 2 zi(x)((^exp(ikjyi(y—dj))+exp(—ikj,yi(y—dj))
,U)(xy)= 2 -(x))exp(k. ■ (У—d.))+q(j
i=—
dj < y < dj—i,
í Í i^i\ ^
где zi (x ):= exp —i ^ konosin ф — x, j =1,J, p\J+Y) = 4 , Ч^1 = 0
V
ё0 = 0.
Все коэффициенты р(^ и ^ выражаются через ; ц и - неизвестные амплитудные коэффициенты отражения и прохождения I -х мод. Величины кх1, kj у[ определяются соотношениями
. 2п1 Кг = ko noSln Ф-—,
kj, yi
J^nj — kh, koп. >| kxi|, v 0 < j < J +1.
—i<lkli — k0 nj , k0 nj < kxi
2. Вычисление дифракционной эффективности
Первым этапом данной работы является вычисление дифракционной эффективности в первом порядке дифракции для конечного набора длин волн на выбранном диапазоне:
DE1 = |r12Re
Г к
0, y1
\
ко no cos ф
+ ti Re
( кт , , Л kJ+1, y1
ко no cos ф
Для определения амплитудных коэффициентов отражения и прохождения первых мод применим модифицированный метод разделения переменных [2, 15, 16]. Тогда приближенное решение задачи, описанной в разд. 1, можно представить в виде рядов
М/2
и(х,у)= ^ X (х)(У), /=-М/2
где
Х1 (х) = с1,/ sin (У;,/ (х - а7 )) + (у 1,1 (х - а7 ) ), хе (а,а7+1), У/ (у ) = 6/(1)ехр(ф/у) + 6/(2)ехр((/X/"(у - к));
у7 / = д/к2 - X/ , 7 = 0, N -1, значения волнового числа равны К2г- = £0«), к2г+1 = £0««г+1, 7 = 0,N /2 -1, и, вообще говоря, различны (см. рис. 1). Значения сц, ёц, б«, 6/(2), X/ подлежат определению; 7 = 0, N -1,
/ = -М / 2,М /2, М > 0 - четное целое, а М +1 - число найденных собственных значений X/.
Для поиска собственных чисел X/, / = -М / 2,М / 2 , задачи необходимо решить следующее уравнение:
(I -0%-2--Л ) = 0,
где I - единичная матрица второго порядка;
0 = ' Л?-} У N-1, / (-1,/А N-1) -АУ-} У N-1,/ sin (У N-1,/А N-0 ^ А sin (у N-1,/А N-1) А cos (У N-1,/А N-1)
О = (УГ+\,/ 1Ц cos (,/А7) -У-+\,/У/,/sin (,/А7)
Оу =
(,/А1) cos(,/А7 )
A¿ = аг+1 - üj, i = 0, N - 2,
здесь
A = exp (ikonoT sin ф) -постоянная, входящая в условие квазипериодичности, |A| = 1.
После нахождения собственных чисел X/, / = -М / 2,М / 2 , можно определить с /, ёц , 7 = 1, N -1, / = -М / 2,М /2, по формуле
Т Т _
(+1,1, ¿/+1,/) = ^ (,) , ■ = 0Я- 2,
где в качестве (о,¿о) можно взять любое нетривиальное решение системы
(^¿0 ) = QSN-2 ••• (0¿0 )
при Х = .
Далее коэффициенты Ь^,Ьр-*, / = -М /2,М /2, находятся как решение системы, представленной в матричной форме
W(Х)Ь =f,
где Ь = (Ъ%/2 ЬМ/2, b-M/2,^^•, ЬМ/2 ) , ^ = ( ^-М/2, • • •, ^М/2 ) ; коэффиЦиенты матрицы W = (w/■ j )м 2) (2М 2) определяются в виде
Wj р = ■ ехр ((/^т)) у),
WjM+1+р = /Хт,/ у/ ) ,
WM+1+Лр = ■ ехР((,уА )т,/ (Ь,у1 (р/1) - ^ ) - (р/(1) + Я11) ),
wм+1+jм+1+р=■ ехр (■ (^т^т+^ )х ку(р>Р - ?,">)+(р,(1) + ?,"> ),
/ = -М /2 + j , т = -М /2 + р , j, р = 0,М, все элементы вектора f равны нулю, кроме М /2 +1, который в свою очередь равен
¡М/2+1 =/Т ( 0,у+ф)
N-1 -1
Хт,/ = X гт К )Т (Т 2 У2,/-(2пт - Т sin Ф)2 ) ( с*,1 У * Т + М*/ (2пт - Т sin Ф)-
5=0
-с*,/2т ( А * ) ( ■ ( 2пт - Т sin Ф ) sin (У * / А * ) + Т У * / cOs (У *,/ А * ) ) --гт ( А* )(■ (2пт -Тsin Ф)cOs(У*,/А* ) + ТУ*,/ sin(У*,/А* ))) ■■ Постоянные р(1), Ц1 определяются по формулам:
р(j) = 1Г р(+1)Р(+1) + ц(+1Ы;+1) + kj+1,у1 (ри+1)ри+1) 71и+1)ои+1))
р/ =т р/ р/ +ц/ +~т \р/ р/ -ц/
21 kj у/ У \
P(j+1)P(j+1) + q(j+1)Q(j+1) kj+1,yl {P(+1)p(+1) n(+1)f>(+l)
pl pl + ql Ql - \Pl pl - ql Ql
kj,yl \
1,
гДе pij := exP (ikly (dj-i - dj )), := exp (-ikl, yj (dj-i - dj )), j = 1, J -p(1, q(J0.
Когда найдены все значения А, сц, dji, , i = 0, N -1,
l = -M / 2,M / 2 , можно определить амплитудные коэффициенты отражения и прохождения первых мод:
, M/2
n = T Е (Л),
m=-M/2
,1 = T-1 (pf) - g^ )-1 exp (ikl,yld1) ME2 (0 ).
ч-1 ч М/2
) ^
га=-М/2
3. Оптимизация многослойной дифракционной решетки
Целью данной работы является минимизация среднеквадратического отклонения дифракционной эффективности в первом порядке дифракции от значения 1 с помощью вариации параметров решетки и покрытия. Будем рассматривать следующий целевой функционал:
°(Р ) =
z / 2
z-1 е (1 - de{j} (р ) j=1
где Ь - количество выбранных длин волн, при которых будут проводиться расчеты; ' (р) - значение дифракционной эффективности в первом порядке при у-й длине волны, которое зависит от ряда параметров
т
р = (р1,...,Рк) , по которому будет проводиться оптимизация; К - количество выбранных параметров оптимизации. В качестве параметров рк,
к = 1,К , могут выступать любые характеристики МДР, например: значения ширины штрихов в периоде решетки, их высота и толщины слоев многослойного зеркала. Решение задачи минимизации функции многих переменных с( р) будет производиться квазиньютоновским методом [17].
Целью проводимых расчетов была проверка возможности использования игольчатых вариаций для оптимизации дифракционной эффективности в первом порядке дифракции при проектирования МДР. В этой связи исходной моделью была выбрана МДР, состоящая из пары тонкопленочных материалов: легированный водородом кремний и диоксид кремния ^Ю2), в периоде которой расположен только один штрих. Общая конфигурация рассматриваемой МДР представлена на рис. 2.
На основании экспериментальных результатов, полученных в Университете Тунцзи, использовались следующие показатели преломления для выбран-
ных материалов: п = 1,48 для SiO2, п = 3,52 для Si:H и п = 1,458 для стеклянной подложки. Показатель преломления за пределами решетки равен 1. Период решетки Т составляет 900 нм, при этом ширина единственного штриха составляет 139,14 нм, высота данного штриха к = 73,98 нм. Толщины первых двух слоев многослойного зеркала составляют 140 и 76 нм соответственно. Начиная с третьего слоя все нечетные слои имеют толщину 189,2 нм, а четные -75,6 нм. Всего многослойное зеркало состоит из 16 слоев, т.е. J = 16.
Glass substrate
Рис. 2. Многослойная дифракционная решетка с одним штрихом в периоде
Оптимизация производилась по 40 точкам в диапазоне длин волн от 1000 до 1195 нм.
Угол направления для первого порядка дифракции 0 = 45° . Исходя из этого значения диапазон углов падения ТЕ-волны ф для диапазона длин волн от 1000 до 1190 нм с учетом формулы (1) составляет от 23,82° до 38,36°.
Для исходной модели, которая представлена на рис. 2, а = 0,071, а дифракционная эффективность в первом порядке дифракции в каждой вычисленной точке в выбранном диапазоне длин волн представлена черным цветом на рис. 3.
На первом шаге оптимизации к исходной модели был добавлен еще один штрих фиксированной ширины 2 нм (рис. 4), а оптимизация проводилась по одному параметру - ширине первого промежутка. В итоге оптимальным значением Aq стало 510,01 нм, а а = 0,068 .
Рис. 3. Зависимость дифракционной эффективности в первом порядке дифракции от длины волны
Рис. 4. Многослойная дифракционная решетка с двумя штрихами в периоде
На втором шаге оптимизация снова проводилась по одному параметру -ширина добавленного порожка, при этом ширина первого промежутка оставалась фиксированной Aq = 510,01 нм. В итоге оптимальным значением Д1 стало 6,55 нм, а а = 0,061. Дифракционная эффективность в первом порядке дифракции для данного набора параметров в каждой точке разбиения по длинам волн представлена красным цветом на рис. 3.
После того как были определены оптимальные положения добавленного штриха и его ширина, наступил третий этап оптимизации, в котором оптимизация а проводилась по шести параметрам - ширина первого промежутка, ширина добавленного штриха, ширина исходного штриха, высота штрихов и толщина первых двух слоев многослойного зеркала. Начальными значениями на данном этапе были: Aq = 510,01 нм, Д1 = 6,55 нм, A3 = 139,14 нм, h = 73,98 нм, h = -d1 =140 нм, ^ = d1 - d2 = 76 нм. Оптимальным стал следующий набор параметров: Aq = 507,21 нм, Д1 = 4,18 нм, A3 = 136,76 нм, h = 64,58 нм, h = 146,46 нм, h2 = d1 - d2 = 77,84 нм. При этом а = 0,014. Дифракционная эффективность в первом порядке дифракции для данного набора параметров в каждой точке разбиения по длинам волн представлена на рис. 3 зеленым цветом.
Заключение
В работе показано, что применение идеи проведения игольчатых вариаций весьма перспективно для проектирования многослойных дифракционных решеток. Переход к решеткам с несколькими штрихами в периоде позволяет оптимизировать параметры дифракционной решетки и получить существенно более высокую дифракционную эффективность в выбранном диапазоне частот.
Список литературы
1. Qi H., Xie L., Zhu J., Wei Z. [et al.]. High-efficiency, polarization-insensitive 1400-lines/mm retroreflective metagrating with cascaded nano-optical modes // Optics Letters. 2022. Vol. 47, Iss. 16. P. 3972-3975. URL: https://doi.org/10.1364/ OL.463672
2. Smirnov Yu. G., Martynova V. Yu., Wei Zeyong, Cheng Xinbin, Tikhonravov A. V. Computationally efficient algorithm for designing multilayer dielectric gratings // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022. Vol. 43, № 5. P. 1277-1284. doi:10.1134/S1995080222080303
3. Nguyen H. T., Britten J. A., Carlson T. C., Nissen J. D. [et al.]. Gratings for high-energy petawatt-class lasers // Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering. Laser-Induced Damage in Optical Materials. 2005. Vol. 5991, № 59911M. P. 1-8. URL: https://doi.org/10.1117/12.633689.
4. Zheng Y., Wang J., Yang Y. [et al.]. 10.8 kW spectral beam combination of eight allfiber superfluorescent sources and their dispersion compensation // Optics Express. 2016. Vol. 24, № 11. P. 12063-12071. doi:10.1364/OE.24.012063
5. Smith D. J. [et al.]. Large area pulse compression gratings fabricated onto fused silica substrates using scanning beam interference lithography // The 3rd International Conference on Ultrahigh Intensity Lasers: Development, Science and Emerging Applications (ICUIL '08 October 27-31). China, Shanghai-Tongli, 2008.
6. Rumpel M., Moeller M., Moormann C., Graf T., Ahmed M. A. Broadband pulse compression gratings with measured 99.7% diffraction efficiency // Optics Letters. 2014. Vol. 39, № 2. P. 323-326. doi:10.1364/OL.39.000323
7. Pulse compression gratings using holographic techniques. URL: http://www.horiba. com/scientific/products/diffraction-gratings/for-scientific-applications/laser-pulse-compression/dielectric/
8. Plymouth Grating Laboratory. URL: http://www.plymouthgrating.com/Products/
9. Grating Solver Development Company. URL: http://www.gsolver.com
10. LightTrans Internation. URL: http://www.lighttrans.com
11. Тихонравов А. В. О методе синтеза оптических покрытий, использующем необходимые условия оптимальности // Вестник Московского государственного университета. Серия 3: физика, астрономия. 1982. Т. 23, № 6. С. 91-93.
12. Шестопалов В. П., Кириленко А. А., Масалов С. А., Сиренко Ю. К. Резонансное рассеяние волн. Т. 1. Дифракционные решетки. Киев : Наукова думка, 1986. 231 с.
13. Moharam M. G., Grann E. B., Pommet D., Gaylord T. Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings // Journal of the Optical Society of America. 1995. Vol. 12. P. 1068-1077.
14. Popov E. Gratings: Theory and Numeric Applications. Second Revisited Edition. Institut Fresnel ; AMU ; CNRS ; ECM, 2014.
15. Smirnov Yu. G., Moskaleva M. A., Tikhonravov A. V., Martynova V. Yu. Modified method of separation of variables for solving diffraction problems on multilayer dielectric gratings // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. 2021. Vol. 9, № 4. P. 76-88. doi:10.32523/2306-6172-2021-9-4-76-88.
16. Смирнов Ю. Г., Мартынова В. Ю., Москалева М. А., Цупак А. А. Анализ дифракционной эффективности дифракционных решеток модифицированным методом разделения переменных // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 4. С. 57-70.
17. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. М. : Издательский центр «Академия», 2007.
References
1. Qi H., Xie L., Zhu J., Wei Z. et al. High-efficiency, polarization-insensitive 1400-lines/mm retroreflective metagrating with cascaded nano-optical modes. Optics Letters. 2022;47(16):3972-3975. Available at: https://doi.org/10.1364/OL.463672
2. Smirnov Yu.G., Martynova V.Yu., Wei Zeyong, Cheng Xinbin, Tikhonravov A.V. Computationally efficient algorithm for designing multilayer dielectric gratings. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022;43(5):1277-1284. doi:10.1134/ S1995080222080303
3. Nguyen H.T., Britten J.A., Carlson T.C., Nissen J.D. et al. Gratings for high-energy petawatt-class lasers. Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering. Laser-Induced Damage in Optical Materials. 2005;5991(59911M):1-8. Available at: https://doi.org/10.1117/12.633689.
4. Zheng Y., Wang J., Yang Y. et al. 10.8 kW spectral beam combination of eight all-fiber superfluorescent sources and their dispersion compensation. Optics Express. 2016;24(11):12063-12071. doi:10.1364/OE.24.012063
5. Smith D.J. et al. Large area pulse compression gratings fabricated onto fused silica substrates using scanning beam interference lithography. The 3rd International Conference on Ultrahigh Intensity Lasers: Development, Science and Emerging Applications (ICUIL '08 October 27-31). China, Shanghai-Tongli, 2008.
6. Rumpel M., Moeller M., Moormann C., Graf T., Ahmed M.A. Broadband pulse compression gratings with measured 99.7% diffraction efficiency. Optics Letters. 2014;39(2):323-326. doi:10.1364/OL.39.000323
7. Pulse compression gratings using holographic techniques. Available at: http://www. horiba.com/scientific/products/diffraction-gratings/for-scientific-applications/laser-pulse-compression/dielectric/
8. Plymouth Grating Laboratory. Available at: http://www.plymouthgrating.com/ Products/
9. Grating Solver Development Company. Available at: http://www.gsolver.com
10. LightTrans Internation. Available at: http://www.lighttrans.com
11. Tikhonravov A.V. On a method for synthesizing optical coatings using necessary optimality conditions. Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 3: fizika, astronomiya = Bulletin of Moscow State University. Series 3: physics, astronomy. 1982;23(6):91-93. (In Russ.)
12. Shestopalov V.P., Kirilenko A.A., Masalov S.A., Sirenko Yu.K. Rezonansnoe rasseyanie voln. T. 1. Difraktsionnye reshetki = Resonant wave scattering. Volume 1. Diffraction gratings. Kiev: Naukova dumka, 1986:231.
13. Moharam M.G., Grann E.B., Pommet D., Gaylord T. Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings. Journal of the Optical Society of America. 1995;12:1068-1077.
14. Popov E. Gratings: Theory and Numeric Applications. Second Revisited Edition. Institut Fresnel ; AMU ; CNRS ; ECM, 2014.
15. Smirnov Yu.G., Moskaleva M.A., Tikhonravov A.V., Martynova V.Yu. Modified method of separation of variables for solving diffraction problems on multilayer dielectric gratings. Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. 2021;9(4):76-88. doi:10.32523/2306-6172-2021-9-4-76-88.
16. Smirnov Yu.G., Martynova V.Yu., Moskaleva M.A., Tsupak A.A. Analysis of the diffraction efficiency of diffraction gratings by a modified method of separation of variables. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(4):57-70. (In Russ.)
17. Tyrtyshnikov E.E. Metody chislennogo analiza = Numerical analysis methods. Moscow: Izdatel'skiy tsentr «Akademiya», 2007.
Информация об авторах / Information about the authors
Валерия Юрьевна Мартынова Valeriya Yu. Martynova
кандидат физико-математических наук, Candidate of physical and mathematical
доцент кафедры математики sciences, associate professor of the
и суперкомпьютерного моделирования, sub-department of mathematics
Пензенский государственный and supercomputer modeling,
университет (Россия, Penza State University
г. Пенза, ул. Красная, 40) (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: lynxbax@mail.ru
Юрий Геннадьевич Смирнов Yuriy G. Smirnov
доктор физико-математических наук, Doctor of physical and mathematical
профессор, заведующий кафедрой sciences, professor, head of the
математики и суперкомпьютерного sub-department of mathematics
моделирования, Пензенский and supercomputer modeling,
государственный университет (Россия, Penza State University
г. Пенза, ул. Красная, 40) (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Александр Владимирович Тихонравов
доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией вычислительного эксперимента и моделирования, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Aleksandr V. Tikhonravov Doctor of physical and mathematical sciences, head of the laboratory of computational experiment and modeling, Lomonosov Moscow State University (1 Leninskie Gory, Moscow, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 23.10.2022
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 12.11.2022 Принята к публикации / Accepted 26.11.2022
