CC BY
9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.958:535.4
DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-1
А. А. Цупак
АНАЛИЗ ДИФРАКЦИОННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ОДНОМЕРНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ МЕТОДОМ ПЛОСКИХ ВОЛН (СЛУЧАЙ TE-ПОЛЯРИЗАЦИИ)1
Аннотация.
Актуальность и цели. Цель работы - исследование дифракции электромагнитной ТЕ-волны на одномерной цилиндрической дифракционной решетке.
Материалы и методы. Задача рассматривается в полной электродинамической постановке, для ее решения применяется метод плоских волн; для численного решения вспомогательной полной проблемы собственных значений применяется метод вращений Якоби.
Результаты. Метод плоских волн программно реализован, проведены вычислительные эксперименты, подтвердившие сходимость и устойчивость метода.
Выводы. Результаты вычислительных экспериментов согласуются как с известными теоретическими результатами исследования задачи, так и опубликованными в работах других авторов результатами численного анализа. Описанный численный метод является эффективным и может применяться для решения задач моделирования одномерно-периодических решеток с заданными характеристиками.
Ключевые слова: дифракционные решетки, метод плоских волн, электромагнитные ТЕ-волны, дифракционная эффективность.
A. A. Tsupak
ANALYSIS OF THE DIFFRACTION EFFICIENCY OF ONE-DIMENSIONAL BINARY DIFFRACTION GRATING BY THE PLANE WAVE EXPANSION METHOD (THE TE-POLARIZATION CASE)
Abstract.
Background. The aim of this work is to study the diffraction of an electromagnetic TE-wave by one-dimensional cylindrical diffraction gratings.
Material and methods. The problem is considered in rigorous electromagnetic formulation, for its solving the method of plane waves expansion is used; the Jacobi rotation method is used for the numerical solving of the auxiliary eigenvalue problem.
1 Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 18-01-00219A.
© Цупак А. А., 2020. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Results. The plane wave method has been implemented in software; computational experiments have been carried out, which have confirmed the convergence and stability of the method.
Conclusions. The results of computational experiments are consistent with both theoretical and numerical results previously published by other authors. The described numerical method can be efficiently used to solve problems of modeling one-dimensional periodic gratings with specified characteristics.
Keywords: diffraction gratings, plane wave expansion method, electromagnetic TE-waves , diffraction efficiency.
Введение
Рассматривается задача дифракции плоской электромагнитной монохроматической TE-волны на бесконечной одномерно-периодической диэлектрической решетке с одним штрихом на периоде.
Образующие цилиндрической поверхности решетки параллельны оси 0y декартовой системы координат 0xyz. На рис. 1 изображено сечение решетки в плоскости 0 xz.
Z
Рис. 1. Одномерно-периодическая диэлектрическая дифракционная решетка
В качестве падающей на решетку волны рассматривается плоская ТЕ-волна единичной амплитуды; вектор распространения волны имеет вид
к = ^тедо^е).
Для исследования задачи удобно представить неограниченное трехмерное пространство объединением трех подобластей, две из которых -Д := {(х,у,2): 7 > d} и Бц := {(х,у,2): 7 <0} - являются однородными и изотропными, а третья - Бщ - характеризуется кусочно-постоянной диэлектрической проницаемостью.
Согласно методу плоских волн [1-4] полное поле в областях Д и Бц представляется рядами плоских волн. В слое Бш:={(х,у,2):0<2<d} выписываются ряды для касательных компонент электромагнитного поля.
Из системы уравнений Максвелла, а также из условий сопряжения на поверхности решетки вытекают уравнения, связывающие неизвестные коэффициенты в разложениях по плоским волнам.
Отыскание этих коэффициентов не только позволяет определить вид электромагнитного поля (как отраженного решеткой, так и прошедшего через нее), но и дает возможность определить важнейшие характеристики решетки -ее дифракционную эффективность в основных дифракционных порядках. Знание этих характеристик необходимо для расчета и оптимизации оптических элементов на основе дифракционных решеток [5].
1. Постановка задачи
Пусть свободное от рассеивателя пространство характеризуется постоянными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей £q > 0 и > 0. Рассмотрим неограниченную цилиндрическую периодическую решетку (геометрия задачи представлена на рис. 1).
Область, расположенная ниже поверхности решетки, является однородной и характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью £(x) > 0. Период решетки обозначен через Л, ширина гребня решетки составляет Л/, f е (0;1), а его высота - d > 0.
На решетку падает плоская монохроматическая электромагнитная волна E0, H0, которая определяется второй компонентой электрического
г-2
поля E0 :
2
E0 = exp(-ik0«i(xsin 0- (z - d)cos 0)). (1)
Здесь k0 =2n / ^0 - волновое число свободного пространства; n -индекс преломления свободного пространства (индекс преломления в точках решетки обозначается через %).
Требуется найти полное электромагнитное поле E, H, удовлетворяющее всюду вне поверхности решетки системе уравнений Максвелла:
rot E = -iw^0H, rot H = iwe0e( x)E,
условию квазипериодичности Флоке [2]:
E(x + Л) =E(x)e~ik0"isin 0Л, условию непрерывности касательных компонент
[E]T= [H]t = 0
на поверхности решетки (за исключением точек ребер), условию излучения на бесконечности, состоящему в том, что в рассеянном поле отсутствуют волны, приходящие из бесконечности [1], а также определить значения дифракционной эффективности основных дифракционных порядков [3, 4].
2. Метод плоских волн в задаче рассеяния плоской TE-волны
Согласно методу плоских волн [3] представим отличную от нуля компоненту E2 полного электрического поля в областях D и D^ в виде
e2 = E02 + ^RJe~i(k]xX+kLz]("d" z > d; (2)
J
Eg = Ylf- (kx]X~klLz'Z), z <0. (3
Здесь и всюду ниже символом ^ обозначены суммы по всем целым j.
j
Коэффициенты R и Tj в разложении отраженной и прошедшей волн подлежат определению. Величины kxj, kjzj и £д zj определяются соотношениями:
kxj = ko (ni sin 0 - До / Л), (4)
-у/k0nj - kXj , k0nl >| kxj L
kl, z^' =
--l = I,II. (5)
- kÓ2"2' k0nl <| kxj |>
Магнитное поле в областях D и Dц определяется согласно уравнению
rot E = -/юц0 H. (6)
Далее, переходя к рассмотрению области Djn:={( x, y, z ):0< z < d}, представим касательные компоненты электромагнитного поля Eg, Hg рядами Фурье с неизвестными коэффициентами, зависящими от пространственной переменной z:
Eg= TSJ (z)e XjX, ()
72 = ( z)e~ikX,X
j
-ikXjX
Hg = -i,/£o / |о TFj (z)e_i XjX. (8
j
Система уравнений Максвелла
rot E = -/юц0 H, rot H = /юе0е( x)E
приведется к виду
dEg 1 dE2
g = iM|l0 H g, = -iro|i0 H3g, (9)
dz g' dX
dHg g dHg
= /roeoe(x)Eg + —g. (10)
dz 6 dx
В области Djjj для кусочно-постоянной функции е(x) рассмотрим разложение в ряд Фурье
£( X) = 2
£ je
i 2 nj / Лх
(11)
с коэффициентами (учтем, что квадрат показателя преломления ц равен относительной диэлектрической проницаемости в области ):
£ j =
n2i f+n2(i - f), j = o,
.2 2 \i(1 - e"2rojf)
(( -nn))
2nj
j * o.
(12)
Подставляя (7) и (8) в (9), (10), исключая компоненту Н , получим
-Ц ее/ Цо ^^'■ (^е-'^ = (г)е—кхрХ--— ^ (г^е-^*,
■ Р ®Ц0 ■■
-Лх,-х 1 ^ , ^-, £(x)VS (^)e-ikxPx
IUj (- )e xj = у Is, (- )kx
k0
j j Преобразуем последнюю сумму с учетом (11):
ko£( x)ISp (- )e
p
ISp (-)£(x)e~ikxpx = ISp (-)l££qe Л e
q p
i2n-^x -i(koon sin 9-2n^)x
= ISp (-)£q
p, p
. „ , p+q. -t(koHj sin 9-2П-—-)x
e Л ={j = p+q} =
= ISp (- )I£ j -
-i(k0nj sin 9-2nj)x
f
л = Е Е5р (*■
Р ■ ■ V р
Окончательно получим систему уравнений
-ikxjx у xj
dS
dU,- k2
j vj
д-
J = koUj, -д-Т = T~Sj - ko I£j-pSp •
д- ko
(13)
Далее будем рассматривать конечные разложения в суммах вида (7), (8) или (13), считая, что индексы суммирования (■, т) изменяются в пределах от
« е Z до «2 е ^ (« < «2 )•
Вводя новую переменную г' = ког и исключая из (13) функции и■, получим систему п = «2 — «1 +1 дифференциальных уравнений
д 2S
д-
2
= AS.
(14)
Т
Здесь S = (£п ...,Sn2) - искомое решение, а Л - квадратная матрица порядка п, элементы которой определяются следующим образом:
£■—т, (15)
А ■ = 8
^jm vjm
(k Л2 kxt
\ko /
5т - символ Кронекера.
Замечание 1. Матрица Л является симметрической. Для решения полной проблемы ее собственных значений применим метод вращений (Якоби) [6, 7].
2
Пусть дп - собственные числа матрицы Л; Q - диагональная матрица с элементами дп (Яе(дп) > 0, 1т(дп) > 0) на диагонали, W - матрица собственных векторов матрицы Л, V := WQ. Тогда решение системы (14) можно записать в виде
S( г') = WeQ( /—й )с+ + We-Qz'c—. (16)
Выполняя подстановку г' = к0 г, выпишем развернутые представления решений Sj и и■
Sj(г)= Е ■ {{(г—й) + е—е^}, (17)
и■ (г) = Е Vт { е^(г—й) — е— е-™* }. (18)
т =щ
Для нахождения неизвестных коэффициентов е+ и е— используем
условия сопряжения на границе раздела сред (т.е. на поверхности решетки).
Проведем сначала вычисления для касательных компонент электрического поля. При г = й имеем
Е^=й = Е^=й, (19)
откуда получим с учетом представлений (1), (2) и (7):
ЕSJ (й)е= е~кп!х81П9 + Е^]е~1кх]Х. (20)
} }
Приравнивая коэффициенты при функциях е —кх]Х, получим с учетом равенства кх0 = к0 п^т 9 следующую систему:
Е ■ { + е— е-^ } = 5у0 + ^. (21)
Аналогично, из условия
последовательно выведем
Eg lz=0= E2I lz=0
-ikxjx sr^m -ik„x
xj
JSj (0)e_kj = Yj
J
(22)
(23)
Y w- {c+e~k0qmd + c_} = T■
(24)
Запишем теперь равенство касательных компонент магнитного поля при 2 = d с учетом уравнений Максвелла:
H 1l = -i dEI
HI |z=d---
= H
z=0
дг
откуда получим с учетом представлений (2), (8):
- ^)е~**х =
Ьо^
1 |
g lz=d'
e—ikQnix sin 8
ik0ni cos8 + YR,e гкщХ(-ikj zj)
Приравнивая коэффициенты при е '^Х]Х, получим
Y Vjm {cm- cm e~k0qmd } = i |б j 0П1
cos 8—^Z-Rf I.
k0 j I
(25)
(26)
(27)
Аналогично, из условия
H1 l = -i dEI2I HII |z=0
= H
g |z=0
z=0
ЮЦо дг
получим последовательно с учетом представлений (3) и (9):
-^Т]е~1кхХ (%, г),
; 1£0 ^тт (0)e~ikxjx = _,-. 1 ^^ ~ikxix,n
YUj (0)e
IM-0
j
ЮЦ0
(28)
(29)
Y Vjm {
.+ e-k0qmd _ c_\ = ,■ kn,zj T
m vm ( ' , 1j■
k0
(30)
Таким образом, для отыскания коэффициентов с+, с_, К_ и Т_
получена система 4п линейных алгебраических уравнений (21), (24), (27) и (30), которую запишем в матричной форме:
W WX -I O " c+ " 8 j 0
V -VX iK I O c- ini cos 0
WX W O -I R 0
VX -V O -iK n _ T 0
3j о
(31)
Здесь I и О - единичная и нулевая матрицы, а X, КI и Кд -диагональные матрицы с элементами
е-%та и кПя
k0 k0
соответственно. Исключая неизвестные Rj и Tj из (31), получим систему линейных уравнений порядка 2n :
-VX + iKj WX] Гс+1 _ Г/8j0 (nJ cos 0 + (KJ) j0)" -V - iKjj W c- _ 0
V + iK J W VX - iK JJ WX
(32)
Решая (32), найдем коэффициенты С++, с_ , а затем вычислим Я_- и Т_ по формулам (21) и (24) соответственно.
3. Результаты вычислительных экспериментов
С целью верификации вычислительного алгоритма была рассмотрена задача рассеяния плоской ТЕ-волны, описанная в статье [3].
Рассмотрим волну частотой 500 ТГц (=599,5нм). Фиксируем следующие параметры среды и решетки:
П = п^ =1, пц = пг^ = 2,04, Л = 10^0, ^ = 0,5^о, / = 0,5, 0 = п /18.
Дифракционные эффективности _-го порядка определяются по формулам
DErj _\R
DEtj _\ T
Re
\zj
к0ni cos 0
Re
kII, zj
к0ni cos 0
На рис. 2,б приведен график значений коэффициента ВЕ1 = ВЕ^ + ВЕ^ в зависимости от числа п в разложениях (17), (18) (во всех расчетах принято П1 <0 и п1 = —п2). Приведенные результаты совпадают с приведенными в работе [3] (см. рис. 2,а) и подтверждают стабильное вычисление параметров дифракционной эффективности.
а) б)
Рис. 2. Дифракционная эффективность решетки на первом дифракционном порядке (п = 2п2 +1)
Еще одним критерием эффективности устойчивости описанного алгоритма является выполнение закона сохранения энергии, который в случае непроводящих диэлектрических сред приводит к равенству (см. [3, с. 1075]):
БЕ := БЕг] + БЕ1]) = 1,
]
которое должно выполняться с достаточно высокой точностью (допустимой
считается погрешность 10-10).
На рис. 3 приведен график зависимости погрешности 11 - БЕ | расчета коэффициента БЕ от числа слагаемых п в разложениях (17), (18). Описанное выше требование выполняется при п < 150. Как показывают вычисления, в выборе столь большого числа членов ряда Фурье нет никакой необходимости.
Рис. 3. Точность вычисления коэффициента БЕ
2
На рис. 4 приведены графики компоненты отраженного электрического поля в области х е (0; Л), г е (2d;3d) при некоторых значениях П2 (общее число членов ряда составляет 2п2 +1). Качественное поведение решения описывается достаточно точно уже при п = 11, при этом количественные характеристики решений при п >20 мало отличаются (см. подписи к шкалам на рисунках).
11.413
'-1.382
а) П2 = 5
б) n2 = 75
Рис. 4. Вещественная часть рассеянного электрического поля на периоде Флоке при различном числе членов в разложении по плоским волнам
При конструировании оптических покрытий с дифракционными решетками важно знать, как зависит дифракционная эффективность решетки от одного или нескольких параметров (см., например, [8]).
На рис. 5 графически представлена зависимость БЕг^ от ширины и высоты порожка решетки. В двух рассмотренных случаях (значение коэффициента пг^ =1,48 соответствует стеклу, пг^ = 2,4 - алмазу) наибольшая отражательная эффективность достигается при ширине порожка, близкой к половине длины волны, при этом эффективность значительно выше для алмазной решетки.
а) пм =1,48, ВЕг1 е (0; 0,015) б) пм = 2,4, ВЕг1 е (0; 0,08)
Рис. 5. Зависимость коэффициента БЕг^ от ширины и высоты порожка решетки; п = п^г = 1, Л = 10^, 0 = п /18
На рис. 6 представлена зависимость БЕ^ от коэффициента преломления пг^ е (1,48; 2,28), отвечающего различным видам стекла, и угла 0 падения волны Е0. На рис. 5, 6 минимуму значений ВЕг[ соответствует синий цвет, максимуму - красный.
а) f = 0,15, DEr1 е (0; 0,012) б) f = 0,25, DEr1 е (0; 0,012)
85
в) f = 0,5, DEr1 е (0; 0,014)
Рис. 6. Зависимость коэффициента DErj от коэффициента преломления решетки и угла падения волны (в градусах); nx = ngr =1, Л = 10Aq
Заключение
В работе описано применение метода плоских волн для расчета дифракционной эффективности одномерной цилиндрической диэлектрической решетки в случае падения на нее плоской ТЕ-волны. Предложена и верифицирована эффективная программная реализация метода, исследованы его сходимость и устойчивость, проведено сравнение результатов расчетов с ранее опубликованными.
Библиографический список
1. Шестопалов, В. П. Резонансное рассеяние волн. Т. 1. Дифракционные решетки / В. П. Шестопалов, А. А Кириленко, С. А. Масалов, Ю. К. Сиренко. -Киев : Наукова думка, 1986. - 232 с.
2. Шестопалов, В. П. Динамическая теория решеток / В. П. Шестопалов, Ю. К Сиренко. - Киев : Наукова думка, 1989. - 216 с.
3. Moharam, M. G. Pommet Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings / M. G. Moharam, Eric B. Grann, and Drew A. Pommet // J. Opt. Soc. Am. A. - 1995. - Vol. 12, № 5. - P. 1068-1077.
4. Popov, E. Gratings : Theory and Numeric Applications / E. Popov. - Second Revisited Edition. - Institut Fresnel, AMU, CNRS, ECM, 2014. - 59 p.
5. Бахвалов, Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) / Н. С. Бахвалов. - Москва : Наука, 1973. - 632 с.
6. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов / В. М. Вержбицкий. -Москва : Высшая школа, 2002. - 840 с.
7. Design of broadband polarization-independent multilayer dielectric grating / Chen Junming et al. // Proc. of SPIE. - 2017. - Vol. 10339. - P. 1033-911.
8. Optical characterizations and thermal analyses of HfO2/SiO2 multilayered diffraction gratings for high-power continuous wave laser / Inki Kim et al. // J. Phys. Photonics. -2020. - Vol. 2. - P. 025-004.
References
1. Shestopalov V. P., Kirilenko A. A., Masalov S. A., Sirenko Yu. K. Rezonansnoe ras-seyanie voln. T. 1. Difraktsionnye reshetki [Resonant scattering of waves. Volume 1. Diffraction gratings]. Kiev: Naukova dumka, 1986, 232 p. [In Russian]
2. Shestopalov V. P., Sirenko Yu. K. Dinamicheskaya teoriya reshetok [Dynamic lattice theory]. Kiev: Naukova dumka, 1989, 216 p. [In Russian]
3. Moharam M. G., Grann Eric B., Pommet Drew A. J. Opt. Soc. Am. A. 1995, vol. 12, no. 5, pp. 1068-1077.
4. Popov E. Gratings: Theory and Numeric Applications. Second Revisited Edition. Institut Fresnel, AMU, CNRS, ECM, 2014, 59 p.
5. Bakhvalov N. S. Chislennye metody (analiz, algebra, obyknovennye differentsial'nye uravneniya) [Numerical methods (analysis, algebra, ordinary differential equations)]. Moscow: Nauka, 1973, 632 p. [In Russian]
6. Verzhbitskiy V. M. Osnovy chislennykh metodov [Numerical basics]. Moscow: Vysshaya shkola, 2002, 840 p. [In Russian]
7. Junming Chen et al. Proc. of SPIE. 2017, vol. 10339, pp. 1033-911.
8. Kim Inki et al. J. Phys. Photonics. 2020, vol. 2, pp. 025-004.
Цупак Алексей Александрович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, subdepartment of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Образец цитирования:
Цупак, А. А. Анализ дифракционной эффективности одномерно-периодической дифракционной решетки методом плоских волн (случай ТЕ-поляри-зации) / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 3 (55). - С. 3-14. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-3-1.
