ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ АГРЕГАТОВ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА Текст научной статьи по специальности «Математика»

АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ

УДК 631.3: 51-74

ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ АГРЕГАТОВ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА

OPTIMIZATION OF PARAMETERS OF STRUCTURAL ELEMENTS OF AGGREGATES OF THE AGRO-INDUSTRIAL COMPLEX

Чемодуров В.Т., доктор технических наук, профессор;

Ажермачев С.Г., кандидат технических наук, доцент;

Литвинова Э.В., кандидат технических наук, доцент,

Институт «Агротехнологическая академия» ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского».

Chemodurov V.T., Doctor of Technical Sciences, Professor;

Azhermachev S.G., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor; Litvinova E.V., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor; Institute «Agrotechnological academy» of FSAEI HE «V.I. Vernadsky Crimean Federal University».

При проектировании агрегатов, звеньев, технологических комплексов и поточных линий агропромышленного комплекса широко применяется математическое моделирование. В частных случаях рассматривается класс задач по проектированию систем, функционирование которых происходит в рамках большого числа ограничений (ограничений по нагрузкам, габаритам, допустимым отклонениям параметров, по стоимости и др.). В статье даются рекомендации по поиску оптимума в задачах с ограничениями по вероятности.

Ключевые слова: оптимальные решения, стохастическая модель, математическое моделирование.

Mathematical modeling is widely used in the design of units, links, technological complexes and production lines of the agro-industrial complex. In particular cases, a class of problems on designing systems is considered, the functioning of which occurs within the framework of a large number of restrictions (limitations on loads, dimensions, permissible deviations of parameters, cost, etc.). The article gives recommendations for finding the optimum in problems with probability constraints.

Keywords: optimal solutions, stochastic model, mathematical modeling.

Введение. Физическое и математическое моделирование широко применяется в научных исследованиях при проектировании агрегатов, звеньев, техно-

139

логических комплексов и поточных линий. Это объясняется тем, что натурные эксперименты на реальных объектах агропромышленного комплекса зачастую невозможно организовать по различным соображениям. Материал данной статьи является обобщением опыта работы авторов в области системного анализа.

Материал и методы исследований. Каждый шаг человеческой деятельности связан с принятием тех или иных решений. Нередко спустя некоторое время (к сожалению), мы убеждаемся в том, что принятые нами решения оказываются неудовлетворительными с некоторых точек зрения или неоптимальными. Поэтому естественно ставить вопрос о развитии стандартных, научно обоснованных принципов выбора оптимальных решений.

Рассматриваемый класс задач включает в себя подавляющее число задач проектирования систем, поскольку функционирование последних происходит в рамках большого числа ограничений (ограничений по нагрузкам, габаритам, допустимым отклонениям параметров, по стоимости и другие) [1]. Если оптимальное решение искать без учета помех методами нелинейного программирования, и оно оказывается принадлежащим детерминированной границе, то это означает, что в реальных условиях (при наличии помех), практически в 50 % случаев будет иметь место отказ системы. Найденное таким образом оптимальное решение может служить основой для определения вероятностных характеристик ограничений задачи в этой области.

Необходимо отметить, что случайные переменные, которые в сложных системах представляют наложение многих различных более или менее независимых причин, могут рассматриваться как суммы случайных переменных. Известно, что сумма произвольно распределенных случайных переменных приближенно распределены по нормальному закону, причем тем ближе, чем больше членов этой суммы. Это служит основой того, что многие статистические распределения при достаточном объеме выборки хорошо аппроксимируются нормальным распределением. Поиск оптимальных решений можно проводить при выполнении решений конкретных прикладных задач [1-4].

Например, это может быть проектирование механизма подъема и опускания рыхлительного рабочего органа трактора [5, 6]. Постановкой задачи может быть выбор гидроцилиндров в соответствии с усилиями РЗ и РВ, определение скоростей подъема и опускания зубьев рыхлителя и расчет гидроцилиндров на прочность. Усилия в гидроцилиндрах, а также реакции в шарнирах и усилия в стержнях рыхлительного оборудования определяют для параллелограммной навески согласно расчетным схемам, изображаемым на рис. 1.

При расчете все составляющие сил сопротивления рыхлению считаются приложенными на конце наконечника рыхлителя. Опорные реакции в шарнирах закрепления, усилия в гидроцилиндрах и стержнях оборудования определяют при подъеме и заглублении зубьев на различных глубинах рыхления, в том числе в начале заглубления.

140

Рисунок 1. Схемы сил для определения усилий:

заглубления (а) и подъема зубьев рыхлителя (б)

При заглублении зубьев рыхлителя во всех расчетных положениях действует следующее сочетание нагрузок: горизонтальная составляющая сопротивлению грунта рыхления Т сила сопротивления грунта заглублению РЗ и сила тяжести рыхлителя G При подъеме зубьев рыхлителя во всех расчетных положениях действуют: Тдсц, Gp и вертикальная составляющая сопротивлению рыхлению Р

Ь

1 "Г — в

Ч—г—— 1> 1/7, с

' /// /// /// л / /// /;/ /// /л /, /и

г"

/ я/

Рисунок 2. Расчетные схемы для определения усилий в гидроцилиндрах и стержнях при заглублении (а) и подъеме (б)

Усилие в гидроцилиндре должно быть равно или более максимального усилия в гидроцилиндре, определяемого исходя из расчетной схемы рис. 2, а и б.

Для расчета деталей рыхлителя на прочность исходными являются случайные нагрузки, действующие на зуб. Эти нагрузки возникают сравнительно редко, в наиболее неблагоприятных случаях нормальной эксплуатации. Однако напряжения, возникающие в элементах конструкции рыхлителя, не должны превышать допускаемых величин.

Расчету на прочность подлежит рабочая балка и зуб рыхлителя. Расчетными положениями для рабочей балки рыхлителя являются:

а) зуб рыхлителя натолкнулся на непреодолимое препятствие, все нагрузки от тягача приложены к одному крайнему зубу;

б) средний зуб натолкнулся на непреодолимое препятствие, все нагрузки

141

от тягача приложены к зубу. Эти положения проверяются при максимальной глубине рыхления в моменты подъема и заглубления зуба.

Расчетными положениями для зуба являются:

а) производится подъем стойки и рыхление грунта, при этом действуют горизонтальная составляющая грунта рыхлению Т и вертикальная составляющая Р определяемая из условия опрокидывания трактора.

б) производится рыхление грунта, действуют горизонтальная составляющая сопротивления грунта рыхлению Тц и сила сопротивления грунта заглублению зуба Р определяемая из условия опрокидывания трактора.

Зуб рыхлителя работает в основном на изгиб и проверка его прочности производится в наиболее опасных сечениях I - I, II - II, III - III, IV - IV (рис. 3).

Йв

Ял

В

ч

&

4

/

4

в

Ру

изложение '""-_ / 2-е положение

Рисунок 3. Схема действия сил на зуб и расчетные схемы Результаты и обсуждение. Если производить поиски оптимальных решений то, в общем случае, параметры распределения функций f '(х, 9) зависят от

вектора х, поэтому их представление f' (х, 9) = и' (х)+V' (б) на всей области Dx не всегда возможно. Однако если найдено оптимальное решение, принадлежащее одной из функциональных границ (либо их пересечениям), методами нелинейного программирования, то для вектора X представление вида возможно [1, 4].

Пусть V '(9) имеет нормальное распределение с плотностью

(г-мИГ

1

-ЛЦ/'

Интегрируем (3.38) в пределах от - да до 0.

2сг(/Т

(1)

(2)

После введения новой переменной у' = (/' -м(/' ))/ст(/') получим

где*,. =-М{г)/а{г) Тогда

дЫ

можно записать

142

л/2тЦ

к,

W

dv > р, ,

(3)

или

Откуда окончательно получим

м[/(х,е)]+ф>[/(х,е)]<0, / = 1^п. (5)

Последовательность оптимизации выделенного класса задач с использованием их стохастических моделей заключается в следующем. Используя детерминированный аналог стохастической модели (в качестве значений случайных параметров используются их средние значения), находится вектор х. Оценки параметров распределения функциональных ограничений в точке х получаем с помощью формул математической статистики. При этом используется стохастическая модель исследуемой задачи

м\/!(х,в)]=±Г(х,е)/п,

(6)

где n - объем выборки.

Особенности задач стохастического программирования можно показать на сравнении их с задачами нелинейного программирования.

Задача нелинейного программирования возникает в том случае, когда искомое решение можно охарактеризовать конечным набором чисел (параметров) х = (х , ■■■, хJ и с каждымх связать конечное число показателей f (х), i = 0,т так, чтобы цель принимающего решение сводилась к минимизации функции цели f(x) при ограничениях /'(х)<0, i = \,m, х с X.

Теория нелинейного программирования строится в предположении, что функции f'(x), i = 0,m однозначны, имеется возможность вычислить точные значения этих функций, а также установить принадлежность решения x множеству X.

Оптимальное решение с учетом ограничений по вероятности x* находится вновь, но с учетом (5). При этом сделаем предположение: в малой окрестности параметры распределения функциональных ограничений не меняются.

Минимизируем

f"U) (7)

при условиях: ^ ^ _

143

где

(9)

(10)

Необходимо иметь в виду, что по формулам (6) мы определяем оценки параметров. В задачах, где требуется высокая точность вероятности не нарушения функциональных ограничений, необходим расчет соответствующего объема выборки. Согласно теоремы Ляпунова отношение -\/2п(с> — с>)/о стремится к нормальному при возрастании n, имея это в виду, можно записать

I- , ч (П)

а-ст-< га =20{zCÍ)-a, v '

а

где Ф(„) - функция Лапласа, а — доверительная вероятность того, что истинное значение будет накрыто интервалом б = zaa! -Jlñ. Обозначим |ст - ст| = Аа, где А - заданная величина. Решим относительно п неравенство zad / \!2л < До

_2 4

п>

Z„CF

где

<1п =

(12)

2А; 2д; и

При заданном Р вероятность не нарушения определяется величиной Ы. Зададимся допустимым отклонением Аа , тогда вероятность не нарушения функционального ограничения будет определяться величиной к'о, то есть

к-к' С. к'

А„ = <т-= с 1--

к к

Сравнивая (12) и (13), будем иметь

.2

(13)

(14)

Коэффициенты k и ^ связаны с вероятностью через соотношения:

Выводы. Использование рассмотренной методики оптимизации параметров элементов конструкций и механизмов с заданной вероятностью их функционирования позволяет уменьшить материальные затраты на синтез, проектирование и исследование механизмов сельскохозяйственных машин.

Предложенная методика оптимизации позволяет расширить диапазон исследований и рекомендуется для применения в сельскохозяйственном машиностроении.

Список использованных источников: References:

1. Чемодуров В.Т. Моделирова- 1. CHemodurov V.T. Systems ние систем: монография / В.Т. Чемо- Modeling: monograph / V.T. CHemodurov,

144

дуров, Э.В. Литвинова. - Симферополь: ИТ «АРИАЛ», 2016. - 236 с.

2. Аюпов В.В. Математическое моделирование технических систем: учебное пособие / В.В. Аюпов; М-во с.-х. РФ, федеральное гос. бюджетное образов. Учреждение высшего образования «Пермская гос. с.-х. акад. им. акад. Д.Н. Прянишникова». - Пермь: ИПЦ «Прокростъ», 2017. - 242 с.

3. Основы теории и практики моделирования динамических систем: учебное пособие / В.М. Кашин, В.Г. Новиков. - Коломна: КИ МГОУ, 2011. - 215 с.

4. Чемодуров В.Т. Методы теории планирования эксперимента в решении технических задач: монография / В.Т. Чемодуров, В.В. Жигна, Э.В. Литвинова, О.А. Кузьменко. -М.: НИЦ ИНФРА-М, 2018. - 110 с. / http: //znanium.com /catalog/product/ 982205.

5. Шемякин, С.А. Расчет земле-ройно-транспортных машин: учебное пособие / С.А. Шемякин, А.В. Лещин-ский. - Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2014. - 75 с.

6. Сечкин В.С. Основы метода оптимизации механизма подвески рабочих органов сельхозмашин / В.С. Сечкин, В.В. Белов // Сборник научных трудов СЗНИИМЭСХ. -2003. - Вып. 74. - С. 54-62.

E.V. Litvinova. - Simferopol': IT «ARIAL», 2016. - 236 p.

2. Ayupov V.V. Mathematical modeling of technical systems: textbook / V.V. Ayupov; Ministry of Agriculture of RF, FSBEI HE «Perm State Academy named after academician

D. N. Pryanishnikov». - Perm: IPC «Prokrost"», 2017. - 242 p.

3. Fundamentals of the theory and practice of modeling dynamic systems: textbook / V.M. Kashin, V.G. Novikov. -Kolomna: KI MGOU, 2011. - 215 p.

4. CHemodurov V.T. Methods of the theory of experiment planning in solving technical problems: monograph/ V.T. CHemodurov, V.V. ZHigna,

E.V. Litvinova, O.A. Kuz'menko. - M.: NIC INFRA-M, 2018. - 110 p. / http: // znanium.com /catalog/product/ 982205.

5. SHemyakin S.A. Calculation of earthmoving machines: textbook / S.A. SHemyakin, A.V. Leshchinskij. -Habarovsk: Publishing House Tihookean. state un-ty, 2014. - 75 p.

6. Sechkin V.S. Fundamentals of the method for optimizing the suspension mechanism of the working bodies of agricultural machines / V.S. Sechkin, V.V. Belov // Collection of scientific papers SZNIIMESKH. - 2003. -No. 74. - P. 54-62.

Сведения об авторах:

Чемодуров Владимир Трофимович - доктор технических наук, профессор, профессор кафедры общетехнических дисциплин Институ-

Information about the authors:

Chemodurov Vladimir Trofimo-vich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Professor of the Department of General Technical Disciplines of the

145

та «Агротехнологическая академия» ФГАОУВО «КФУ имени В.И. Вернадского», e-mail: Chens_mu1@mail. ru, 295492, Россия, Республика Крым, г. Симферополь, п. Аграрное, Институт «Агротехнологическая академия» ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского».

Ажермачев Сергей Геннадьевич - кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры общетехнических дисциплин Института «Агро-технологическая академия» ФГАОУ ВО «КФУ имени В.И. Вернадского», e-mail: SGA.simf@gmail.com, 295492, Россия, Республика Крым, г. Симферополь, п. Аграрное, Институт «Агро-технологическая академия» ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского».

Литвинова Элла Валентиновна -кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры общетехнических дисциплин Института «Агротехноло-гическая академия» ФГАОУ ВО «КФУ имени В.И. Вернадского», e-mail: EllaLit@mail.ru, 295492, Россия, Республика Крым, г. Симферополь, п. Аграрное, Институт «Агротехнологи-ческая академия» ФГАОУ ВО «КФУ им. В.И. Вернадского».

Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", e-mail: Chens_mu1@ mail.ru, Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", Agrarnoye v., Simferopol, Republic of Crimea, 295492, Russia.

Azhermachev Sergei Gennadevich -Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of General Technical Disciplines of the Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", e-mail: SGA.simf@ gmail.com, Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", Agrarnoye v., Simferopol, Republic of Crimea, 295492, Russia.

Litvinova Ella Valentinovna -Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of General Technical Disciplines of the Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", e-mail: EllaLit@ mail.ru, Institute "Agrotechnological academy" of the FSAEI HE "V.I. Vernadsky Crimean Federal University", Agrarnoye v., Simferopol, Republic of Crimea, 295492, Russia.

146