CC BY
7
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА
1976
Том 296
ОПТИМИЗАЦИЯ НОРМИРОВАННОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ, ОПИСЫВАЕМОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ 4-го ПОРЯДКА
Д. И. СВИРЯКИН
(Представлена научным семинаром научно-исследовательского института
электронной датроскопии)
Исследование временных характеристик усилителей всегда имело большое значение и в теоретическом, и в практическом планах, так как без этого немыслимо полное использование свойств усилителей. Одним из средств улучшения импульсных характеристик усилителей является коррекция в области малых времен, что ведет к повышению степени характеристического уравнения, отписывающего схему. Полный анализ дан в литературе [1, 2, 3] для схем усилителей лишь с квадратными уравнениями или же с приведением более высоких степеней уравнений ко второй. Такой расчет допустим в тех случаях, когда при доводке усилителя возможна подстройка и подбор его элементов. Современные же методы производства интегральных схем требуют более точного расчета усилителей со степенями характеристических уравнений выше второй, так как наладка схем после изготовления практически исключена. Крайне ограниченное количество работ, посвященных разработке таких методов расчета, говорит о том, что задача определения параметров, обеспечивающих минимальное время установления переходной характеристики при заданных или минимальных выбросах, является в усилительной технике одной из наиболее сложных задач на экстремум. При наличии нескольких варьируемых параметров (коэффициентов коррекции), т. е. при характеристических уравнениях выше 2-й степени, задача значительно усложняется и случайным варьированием или машинным перебором сочетаний параметров [4] решить ее чрезвычайно трудно. Вместе с тем задачи на экстремум не новость для математики, они встречались и решались на протяжении всей истории математики. Но интенсивное и последовательное их изучение началось сравнительно недавно, когда, с одной стороны, запросы экономики и автоматического управления сделали решение этих задач неотложным делом, а, с другой стороны, появление электронных вычислительных машин (ЭВМ) дало в руки исследователей мощное средство, с помощью которого решение может быть доведено до конечного итога — численного результата.
Известный метод равных модулей [1] не обеспечивает получение наилучших из всех возможных результатов, приближенные методы анализа требуют предварительного определения условия монотонности протекания переходного процесса [2], что в общем случае является весьма сложной задачей, и не гарантируют достаточно высокой точности [5].
Чаще всего при расчете усилителя необходимо найти не только па-
D
раметры немонотонной переходной характеристики, но и определить значения коэффициентов коррекции, минимизирующие время установления при заданных величинах выбросов и максимальном коэффициенте усиления. Аналитического решения такой задачи нет и без применения методов и средств вычислительной техники решить ее методами численного анализа практически тоже невозможно.
Методы анализа усилителей с характеристическим уравнением третьей степени, описанные в литературе [3], позволяют оценить характер переходного процесса и область устойчивой работы, но для определения оптимальных параметров схем эти методы непригодны. В данной работе изложена методика и алгоритм численного решения на цифровой электронно-вычислительной машине (ЗВМ) задачи определения оптимальных значений коэффициентов коррекции при известных исходных параметрах усилителя, имеющего нормированный коэффициент передачи вида
дд/п\ = 1 + аф + а2р2 + а3р3
1 +Ь»р + Ь2р2 + Ь3р3 + Ь4р*
и переходную характеристику
Ь(т) ==|1+А1е-а1т51п(со1Т+<р)+А2е-а2т5т(о)2Т+г|}),
где р = jo)CoRa> j —У—1, '<о — циклическая частота;
ai, аг, coi, (о2 являются действительными и мнимыми частями корней pi,2——ai±j(Db Рз,4= —a2±j(02 характеристического уравнения
l+bip+b2p2+b3p3+b4p4=0.
Произведение C0Ra есть постоянная времени анодной (коллекторной) цепи активного элемента рассчитываемого каскада усилителя. Далее
bi=l—х+(1— b)k2+b(q+xm)+xb, Ь2— (k1+k2)[l—x(1-b)]+bk2(q+xm-l)+b[q+xm(l-x)], b3= .(1-х) (l-b)kik2+b(kI+k2) [q+xm(l-x)]f b4+bkik2 [q+xm (1-х) ],
д 1./ Ti' + ys,8
1 co,b4 V RiPQ
Д - _L 1
2" co2b4 V R2PQ '
Ti =!—aiai+ (ai2—coi2) a2+ (—<ii3+3ai(üi2) a3, T2 =d—a2a i +i (ct22—(o22) a2+ (—a23+3a2(022) аз, Si = а!—2ctia2+ (3ai2—coi2) a3, S2 = а i—2a2a2+ (Заг2—а>22) a3, Ri = ai2+o)i2,
R2=Ct22 + 0)22,
P= (a2—ai)2+(coi—CÜ2)2, Q= (a2—а!)2+(со1+а)2)2,
WjSj , 0)! Ш| — Ш2 ÍOj
ф ^ arctg ---arctg ---arctg --—' - arctg
11 aI 1
A 0)2So , i W2 — Ш1 x ~~ <°2
ib = arctg —Lr-— arctg —---arctg —--arctg--
[ 2 —0^2 0C| — Otj — ^2
ai = q+ki,
8 — 437
6
113
а2 = я(к!+к2), а3 = дк1к2.
Исходными параметрами каскада являются Ь, ш, х, искомыми коэффициентами коррекции — ки к2 и q. Например, для лентодного каскада [6] эти параметры и коэффициенты записываются через выражения
и __1_ _ __ ^к V_ СВЬ1Х -)- Свх
ь~ТГжГ' IV о •
к - — ко - —Ь-к— е = ?кКк
1 — РР2»л2 Г4 и Р. ' & Г Р '
где Б — крутизна анодного тока пентода;
вх+'См; Свых? СВх> См ■ соответственно емкости выхода, входа пентода и монтажа;
На и Як — резисторы в анодной и катодной цепях;
Ск — корректирующий конденсатор в катоде,
Ьа и Ьк — корректирующие индуктивности в анодной и катодной, цепях.
Для определения нормированного времени установления У используется выражение У=то,э—т0д. Здесь то,1 и то,9 — моменты времени, где функция принимает значения, соответственно равные 0,1 и 0,9. ¡Первый и второй выбросы соответственно равны 61 — Ь(тт1)—1 и б2 = Ь(тт2)— где Тщ1 и Тш2 — моменты времени, соответствующие экстремальным значениям функции Ь(т) при т>0. Здесь: т — - * , 1—вре?ля в секундах.
Сложную схему коррекции, описываемую уравнением 4-й степени, можно представить в виде сочетания двух более простых схем, каждая из которых получается отключением корректирующих элементов и приравниванием соответственно коэффициентов к! или к2 нулю. (Как будет показано далее, для удобства вычислений лучше брать не к! = 0 или к2=0, а приравнивать их к очень малой величине, например, к1 = 1*10~5 или к2=Ы0-5). Поэтому программа, составленная для вычислений основных параметров переходной характеристики у, 61 и б2, пригодна как для сложной, так и для более простых схем. Предварительные исследования, проведенные с помощью ЭВМ, показали, что в схеме с двумя коэффициентами коррекции q и возникает задача определения оптимальных значений этих коэффициентов для получения минимального времени установления при заданной допустимой величине би так как для любого сочетания значения Ь, ш, х можно получить выброс, равный при большом числе сочетаний коэффициентов q и кь но при отнюдь не минимальном времени установления (рис. 1). Схема с коэффициентами q и к2 может дать переходную характеристику, у которой второй выброс сравним или даже больше первого. Но в этой схеме каждое сочетание значений q и к2 обеспечивает только одно сочетание величин выбросов 61 и б2, поэтому, зная предельно допустимые величины 61 и б2, можно определить значения q и к2.
При трех коэффициентах коррекции q, к! и к2 зависимости между ними и параметрами переходной характеристики усложняются и здесь при поиске оптимальных значений q, к! и к2 необходимо обеспечить не только минимальное время установления, но и выбросы, величины которых не превышают заданных значений 613 и б2з. Для известных значений исходных параметров Ь, х, гп поиск оптимальных коэффициентов коррекции производится по разности между полученными для случайно взятых сочетаний значений q, кь к2 и заданными допустимыми величинами выбросов 613, б2з и по «сбегу» приращения времени установ-
Рис. 1. Кривые зависимости У = при разных значениях к! с нанесенными на них кривыми неизменных выбросов 61 (пунктир), иллюстрирующими наличие УМИн при оптимальных сочетаниях q и кь
ления (ДУ) при последовательном переходе от варианта к варианту, где были получены выбросы, равные заданным. Называя программу для определения с помощью ЭВМ параметров У, 61 и 62 основной [6], поиск оптимальных значений коэффициентов q, кь к2 проводится следующим образом.
I. Определить исходные параметры каскада Ь, х, ш, используя величину коэффициента усиления на средних частотах и паспортные параметры выбранного активного элемента.
II. а) Для исходных значений Ь, х, ш и заданного допустимого значения выброса 613, пользуясь основной программой и приняв к2=1-10~5, взять три значения q (в диапазоне q=0,Зч-0,8), отличающиеся друг от друга на Дq (например, Дq=0,05), и по результатам вычислений основной программы произвести проверку выполнения неравенства у<2Ь для каждого значения q, приняв при этом к! = 0,1-^0,3.
б) Если неравенство не выполняется, увеличить q на 0,1 и повторить все сначала.
в) В случае выполнения неравенства для каждого из принятых значений q определить величину кь при которой выброс 61 получается равным заданному (т. е. 61 = 613). Для этого задаться величиной Ак\ = 0,001 -1-0,005 и по основной программе вычислить при неизменном Ч два варианта: 1) при кь где получается выброс 811; 2) при к/ = к1+ +Дкь где получается 81". Определив алгебраическую разность Дб1 = = 81"—8/, найти нужное значение к1 по формуле
= ki + Akt
»13 ~~
Д8, '
г) Произвести проверку найденного значения к/' по разности 6,3—öim где 6ш — выброс, полученный по основной программе для к/'.
Если 813—8in>±e, то взяв за исходные найденное значение к/' и прежнее значение q и уменьшив приращение Aki (например, в 5 раз), повторять вычисления до выполнения условия öi3—8in^±e, где е — заданная погрешность.
III а) Имея три варианта с одинаковыми величинами выбросов, но с разными временами установления и значениями q и ki, определить
8*
115
алгебраические величины приращений времени установления и коэффициента.
1) чь ^1,1,6^ = 6.3, Ух } Дк/ = к"1, и—к"1: х; ДУ'=У„-У1;
2) ян, к I, п, 0ш = б1з, Ун { ,
3) Чш,к"1>ш, 61п=й,а, Уш) Ак] =к 1, ш к 1, и; ЛУ"=Уш~¥„.
б) Используя кривую равных выбросов, соответствующую значению 613, по изменению величины ДУ при переходе от варианта к варианту определить искомые значения q и кь при которых будет наблюдаться минимум времени установления по формулам
I л
Чиск = Чп1 + У/Г '
ki иск — ki ,"„
AY'
AY/ AY'
Ak 11 Ak/'
в) Для значений qHCK и ki иск вычислить по основной программе параметры переходной характеристики и заслать в запоминающее устройство.
IV а) Взяв в качестве исходных найденные значения qHCK и kj иск и уменьшив приращение Aq (например, в 5 раз), повторить поиск, начиная с пункта 1а.
б) Сравнить результаты вычислений этапов III и IVa по величинам 6i и Y.
Повторять вычисления до совладения с заданной точностью величин öi и Y, полученных на последнем этапе с величинами этих же параметров предыдущего этапа.
V а) Приняв найденные на IV этапе значения коэффициентов q и ki за исходные (увеличив при этом для сокращения времени поиска найденное также на IV этапе значение q примерно на 0,2—0,4), задать некоторое значение коэффициента к2 (например, к2 = 0,2-^0,5) и величины приращений Aq = 0,05-^0,1 и Ak2=0,01-i-0,05 и вычислить по основной программе параметры Y, 6ь б2 для трех вариантов: 1) q, кь к2, где получаются У, бь б2; 2) q' = q+Aq, кь к2, где получаются У7, б/, б2'; 3) q, кь к2' = к2+Дк2, где получаются У77, б/7 и б2".
Если в варианте 1) имеет место неравенство Y>2b или 6i<0, задать новое значение q (например, q+0,14-0,2) и повторить вычисления с начала эта/па Va.
б) Может оказаться, что условие Y<2b не выполняется ни при одном из принимаемых значений q. В таком случае взять среднее из опробованных значение q и менять величину к2.
Если условие Y<2b опять не выполняется ни в одном из вариантов, это значит, что по сравнению с некоррелированным каскадом рассчитываемая схема коррекции при полученном сочетании исходных параметров Ь, х, m не может дать выигрыша во времени установления больше чем на 10%. Поэтому следует сменить активный элемент и начать вычисления при новых значениях Ь, х, гл.
в) Если Y<2b — продолжить вычисления.
VI. а) Определить приращения выбросов при изменении q и кг на Aq и Дк2, а также приращение ДУдд при изменении q.
AölAq = б i7 б 1, Аб2Дд = б2/—62, ДУдд —>У7 У, Аб 1 д1с2 = б I77—б 1, Абгдкг—Зг"—62.
AYiq _ AY
As"üq •Если дат:
приращение по q и начать снова вычисления с пункта Va.
б) Проверить отношение 4 • Если Д8~Ч ^ дать
AY
в) Если ^ üq <0 — продолжить вычисления.
VII. а) Определить количества шагов по q и к2, необходимых для получения значений q и к2, при которых предполагается выполнение равенств ói = 6i3 и б2=б2з по формулам
AS
813 ~ 81 —м1Ак2 — ^
п =
_ (число шагов по q),
А 8]Дк
А81Дч — Д82Дч—¡г=-L
AS2Ak2
890 — 82 — Д82дп-П . , .
m — —=—-г-*--— (число шагов по к2).
дь2Дк2
б) Изменить q и к2 до значений q7/=q+-Ti«Aq и k2"=k2+ni-Дк2, вычислить снова значения 6\ и б2 и, если они расходятся с 6i3 и б2з более, чем на заданную величину, то уменьшить шаг по q и к2 до значений Aq'(0,2-^0,5) -Aq, Дк2'=1(0,2ч-0,б) Дк2 и повторять цикл вычислений, начиная с VI этапа до получения значений ói и б2 с заданной точностью. Заслать полученные в последнем цикле значений У, 81, б2 в запоминающее устройство.
VIII. а) Взяв значения q и к2, полученные в последнем цикле этапа VI16, и значение кь использованное в этом же цикле, за исходные и, задавшись приращением Akj= (0,005-^0,01), повторить вычисления по этапам VI—VIII для значений ki=k\—Aki и ki//=ki+Aki.
б) Имея три варианта, в которых Si=6i3 и б2 = б2з,
1) q1, ki,=ki—Д-ki, ki2, Y1 jAYx = Yn—Y1, Дк3 = кп2—k2\ Aq^q11—q1,
?í 4ni vUmkt Гл,' YÍI ш vm\AYII = Yin-Y" Akn2 = km2—kn2, 3) qm, kini = ki+Akb к2ш, Уш|\qii = qm_qn
Определить число шагов по кь которое необходимо сделать, чтобы достигнуть предполагаемого оптимального значения или значения близкого к оптимальному.
- AY" Пк1 ~ AY' — AY" •
Предполагаемое оптимальное значение определить как
kionT=ki+nkl-Aki.
в) Предполагаемые оптимальные значения q и к2 определить по формулам
AY"
Чопт = q +
1*2 ОПТ — кр -f
AY' AY"
Aq' Aq"
AY"
Л Y7 AY'
Дк'2 Дк"2
г) Для найденных значений qoпт, к! 0пт, к2 опт вычислить по основной программе значения Y, бь 62 и заслать в запоминающее устройство.
IX а) Приняв значения qoпт> ^ 0пт, к2 опт, найденные на VIII этапе, за исходные, повторить цикл вычислений, начиная с V этапа (не увеличивая q на 0,24-0,4), и получить значения коэффициентов q'oпт, к/опт, кг'опт более близкие, по сравнению с полученными в предыдущем цикле, к оптимальным.
со
ОЛ 0,16 0,15
0,14 0,15
ОД
и
0,10 Ч?2
9
0,9 0$ <1
I
0,6
-0.5 -Щ
41
§ м »
1
\ 1
N Л /
!
\
\
В%
52 48 44 40 36
0,1 0,4 0,6 0,8
Рис. 2. Кривые зависимости Втах = = При Чопт—^(х), кюпт ^ ^г(х) и выбросах 61=2% и 62<—0,15%.
ОМ 0,28 од-
од-од 0,18-0,1В-
ФА-0,1^
\ ' ^--2,0%
\ \
> \\ л
\\
V \ /
\ в л \ г
\ К \1
Я
19
28
V
■26
О 0,2 0,4 0,6 0,8 х Рис. 3. Кривые зависимости
Вшах = Их) ПРИ Яопт —Г(Х),
К2опт = и выбросах
61-2% и 0,01%.
Рис. 4. Кривые зависимости Втах —^х)
при Яопт = Ых), кюпт — ^г(х), к2от = Ых)
и выбросах 61 = 2% и б2=—0,01%.
б) Сравнить времена установления, полученные в первом (У[) и во втором (¥2) циклах. Если У]—(где е — заданная погрешность), можно считать q/oпт, к/опт, кг'опт оптимальными значениями коэффициентов коррекции. Если У*—У2>±е или 613—61 >±£1 и 623—62 >±«2, то, взяв q/oюi к'юпт и кг'опт в качестве исходных, снова повторить вычисления, начиная с V этапа, не увеличивая q на 0,2—0,4.
Автоматизация поиска оптимальных значений коэффициентов q, кь к2 сложной схемы коррекции сделала возможным использование этой схемы при любых значениях исходных параметров каскада Ь, х, т и при любых значениях (но не более 15-=—20%) первого и второго выбросов, не приводя к громоздким инженерным расчетам и большим затратам времени.
На рис. 2, 3 и 4 приведены графики оптимальных значений коэффициентов q, кь к2 (или двух из них) и получаемых значений выигрыша В в зависимости от х при постоянных допустимых значениях 61 и 62.
На определение каждого оптимального сочетания коэффициентов коррекции при работе на вычислительной машине М-20 затрачивается в зависимости от сложности схемы от трех до тридцати минут машинного времени.
ЛИТЕРАТУРА
1. О. Б. Лурье. Усилители видеочастоты. М., «Советское радио», 1961.
2. Г. К. Г а в р и л о в. Приближенные методы анализа переходных процессов. М., «Советское радио», 1966.
3. И. Г. М а м о н к и н. Импульсные усилители. М.( Госэнергоиздат, 1953.
4. И. В. Дубровская. Метод исследования передаточной функции линейной цепи в области малых времен с характеристическим уравнением выше третьей степени. Известия вузов СССР, «Радиоэлектроника», т. 13, № 6, 1970, 716—720.
5. Т. М. Агаханян. Приближенный расчет переходной характеристики в области малых времен. Теория и расчет импульсных и усилительных схем на полупроводниковых приборах. Сб. статей, вып. 1. М., Атомиздат, 1069.
6. Д. И. С в и р я к и н, И. А. Суслов. Видеоусилитель с параллельной индуктивной коррекцией в катодной и анодной цепях. Труды ТИРиЭТа, т. 7. Томск, изд-во ТГУ, 1972.
