CC BY
34
Чаще всего формирование портфеля инвестиционных проектов выполняют по критериям чистого дисконтированного дохода NPV и индекса общей рентабельности инвестиций PI. В данной работе на примерах выполнено сравнение этих методов и метода линейного программирования, показавшее преимущество метода линейного программирования. Кроме того, разработана методика вероятностной оценки независимых инвестиционных проектов различной продолжительности, позволяющая определять NPV и риск каждого проекта при заданных годовых ставках дисконта.
Выводы. 1. На основе стохастического программирования разработана методика формирования портфеля инвестиционных проектов в условиях риска, которая позволяет выбирать проекты, обеспечивающие максимум чистого дохода при заданном уровне риска либо минимум риска при заданном уровне чистого дохода.
2. Сравнение методов формирования портфеля инвестиционных проектов по критерию чистого дисконтированного дохода NPV, индекса общей рентабельности инвестиций PI и линейного программирования показывает преимущество метода линейного программирования.
3. Разработана методика вероятностной оценки независимых инвестиционных проектов различной продолжительности, позволяющая определять NPV и риск каждого проекта при заданных годовых ставках дисконта. Если NPV проекта положителен и риск допустим, то проект рекомендуется для включения в портфель проектов.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Большаков В. И. Управление организациями с помощью проектов / В. И. Большаков, А. И. Белоконь, Д. Л. Левчинский. - Д. : ПГАСА, 2006. - 123 с.
2. Лашук А. М. Моделi i методи управлшня бюджетом проекпв i портфелiв проекпв в проектно-орieнтованих оргашзащях : автореф. дис... на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.13.22 «Управлшня проектами та програмами» / А. М. Лашук. - К., 2007. - 17 с.
3. Матвеев А. А. Модели и методы управления портфелями проектов / А. А. Матвеев, Д. А. Новиков, А. В. Цветков. - М. : ПМСОФТ, 2005. - 206 с.
4. Минько А. А. Принятие решений с помощью Excel. Просто как дважды два / А. А. Минько. - М. : Эксмо, 2007. - 240 с.
5. http: //www. math. mrsu. ru / text / courses / invest / index. html.
УДК 625.7/.8:519.863
ОПТИМ1ЗАЦ1Я МАТЕМАТИЧНО1 МОДЕЛ1 ПРОЕКТУ Д1ЛЯНКИ АВТОМОБ1ЛЬНО1 ТРАСИ З МОСТОВИМИ СПОРУДАМИ
С. В. Баев, д. т. н., проф., А. А. Кулик, студ.
Ключовi слова: математична модель, оптим1зац1я, автомобтьна дорога, Mocmoei споруди, насип, витка, тунель
Постановка проблеми. У процес проектування автомобшьно! траси розглядаються рiзнi !! варiанти, що вiдрiзняються довжиною траси, конструкщею штучних споруд i мають рiзну вартють. Треба оцшити вартють кожного варiанта, щоб залишити свш вибiр на одному з них для подальшого детального розрахунку обраного варiанта. Виникае потреба застосувати для прорахунку варiантiв систему автоматизованого проектування з одночасною оптимiзацiею.
Мета роботи. Метою роботи е створення математично! моделi дшянки автомобшьно! траси, побудова цшьово! функцп - вартост проекту дшянки, мiнiмiзацiя вартост проекту. Покажемо, яким чином можна використати апарат математики для створення оптимального проекту профшя автомобшьно! дшянки траси.
Побудова математичнот моделi та цшьовот функцн. Для спрощення проблеми будемо вважати, що план траси вже визначений. Треба визначити профшь траси. Проектування повздовжнього профшю е найважлившим етапом розробки проекту. Вщ проектно! лшп залежать не тшьки обсяги земельних робщ а й iншi показники, що впливають на вартють проекту. Безпеку руху й економiчнiсть перевезень забезпечують шляхом проектування плавно! проектно! лшп з повздовжшми ухилами, радiусами вертикальних кривих, що вщповщають нормативним документам ДБНВ.2.3 - 4:2007 [1; 2] i гарантують видимють та ясшсть дороги.
Hapa3i проектувальники користуються системою CREDO CAD автоматизованого проектування з одночасною оптимiзацieю. Пiдсистема, що використовусться для проектування повздовжнього профiлю, мае два шдходи, за якими вiдрiзок профiлю мiж контрольними точками апроксимуеться многочленом третього степеня. У статп запропоновано iнший пiдхiд до оптимiзацiï математично1 моделi, вiдмiнний вiд використаного в системi CREDO CAD. Нехай дшянка траси складаеться з вшмки, насипу, моста i тунелю в зазначенш послiдовностi. Припустимо, що профшь траси перед мостом описуеться многочленом n-го степеня, а не третього, з не визначеними поки що коефщентами. Ц коефщенти будуть параметрами цiльовоï функцiï, якою обираемо вартють побудови траси. Для спрощення задачi нехай профiль буде многочленом четвертого степеня
y(x, al, a2, a3, a4) = al - x4 + a 2 ■ x3 + a3 • x2 + a4 • x.
Графiк функци проходить через початок координат, тому вшьний член вiдсутнiй. Перша i друга похщш визначаються вiдповiдно за формулами:
yl(x, al, a2, a3, a4) = 4 ■ al ■ x3 + 3 ■ a2 ■ x2 + 2 ■ a3 ■ x + a4 ,
y2(x, al, a2, a3, a4) = 12 ■ al ■ x2 + 6 ■ a2 ■ x + 2 ■ a3 .
Профшь мюцевост дшянки траси е заданим матрицею вщм^ок. Нехай дшянка траси е такою, що схожа на д^нку траси А 75 магiстралi «Париж - Барселона» та мае мостовий перехщ, схожий на вiадук Мшо. До того ж дшянка мютить насипи, вшмки i тунель. Для визначення оптимальноï вартост проекту треба визначити щну побудови кубiчного метра насипу, вшмки та погонного метра тунелю i вiадука за схожими проектами. Цша будiвництва погонного метра насипу та вшмки пропорцшна площi перерiзу. Перерiз насипу i вшмки мае вигляд трапеци. Вщносний нахил насипу та вшмки вщповщно складають 1 : 1.75 та 1 : 1.5. Ширина насипу i мосту LH . Ширина вшмки в основi дорiвнюе LB. Позначимо висоту насипу i вшмки через HN. Площi перерiзу насипу та вшмки вщповщно дорiвнюють SH = (LH +1.75 ■ HN) ■ HN та SB = -(LH -1.5 ■ HN) ■ HN . Тут узято до уваги, що висота
насипу як рiзниця мiж ординатою дороги й ординатою мюцевосп е вщ'емною для вшмки.
Позначимо через CTN, CTB, CTM, CTT вщповщно вартють погонного метра насипу, вшмки, моста та тунеля, а через VH, VB, VTоб'еми насипу, вшмки та тунелю. Вартють погонного метра моста CTM мае двi складов^ Перша, cc, е вартють прогоновоï будови, вона не залежить вщ висоти мосту. Друга, cp ■ HM — вартють опори, що приходиться на погонний метр моста, пропорцшна висот опори HM. Складемо програму обчислення цшьово1' функци.
У процеш бущвництва грунт iз вшмки i тунелю засипаеться в насип, тому сума об'емiв вшмки i тунелю мае бути рiвною об'ему насипу. Нехай xl е абсциса точки М профшю траси, в якш насип переходить в мют.
Розiб'емо дшянку траси на n рiвних вiдрiзкiв довжиною Ax. Змшюючи х iз кроком Ах, обчислюемо об'ем вшмки i насипу. Одночасно обчислюемо суму об'емiв вшмки i насипу. Якщо вона зрiвняеться з об'емом насипу, заюнчуемо обчислення. Останне значення х слiд вважати абсцисою х1 точки початку моста. Ця точка е функцiею параметрiв al, а2, а3 i а4.
Параметри al, а2, а3, а4 мають задовольняти Державнi будiвельнi норми Украши ДБНВ.2.3-4:2007. Нехай найбiльший допустимий повздовжнш ухил дорiвнюе yd, найменший радiус криво1' в профiлi е Ro м для опукло1' криво1' i Ry м для угнуто1'. Маемо обмеження на першу похщну:
|yl(x,al,a2, a3, a4)| < yd . (1)
Враховуючи, що ухил дороги в точщ xl мае збiгатися з ухилом kk моста, маемо перше додаткове обмеження на першу похщну:
yl(xl, al, a2, a3, a4) = kk .
На жаль, значення xl та кутового коефщента kk не вщом^ тому в першому наближеннi не будемо додержуватися цього обмеження. Врахуемо його для другого наближення iз значеннями xl i kk з першого.
Беручи до уваги, що радiус кривизни е обернений до кривизни, а кривизна лши за малими ухилами дорiвнюе абсолютнiй величинi друго1' похiдноï, до того ж друга похщна е вщ'емною для опукло!' криво1' i додатною для угнуто!', отримаемо таке обмеження на другу похщну:
l4
Алгоритм побудови математичноТ моделi проекту
Процедура обчислення вартосп насипу та вшмки
i = 0..1999
Л
Обчислення об'ему та вартосп
ВИ1МКИ
VBM =VBt + SB -Ax •( i + 1)
CBi+1 = CBt + CTB -Ax • (i + 1)
1 Початкове наближення параметрiв a1, a2, a3, a 4
2 Створення матриц повздовжнього профiлю мiсцевостi
3 т Обчислення довжини унеля, його об'ему VT та вартосп CT
4 на Обчислення висоти HN юипу та вшмки як функци параметрiв
5 на ¡числення площi перерiзу сипу SH та вшмки SV
Процедура обчислення вартосп моста С
12 j=0..1000
13 С0=0
14
числення вартосп Ax • j метрiв моста
Cj+i = Cj + (cc + cp • HMj)
CM = C
шслення вартосп CCD проекту як функцп параметрiв CCD(a1, a2, a3, a4) = CHB + CT + CM
17
>бчислення шших параметрiв проекту як функци параметрiв (a1, a 2, a3, a 4)
18 Створення оператора Given
19 [ення системи обмежень на
першу i другу похiднi функци
y(a1, a2, a3, a4) вiдповiдно до
ДБНВ.2.3 - 4:2007
*
r
20 Шшмзащя вартостi проекту
-<
21 Визначення оптимальних
параметрiв a1, a 2, a3, a 4 та iнших
чинниюв проекту
22 будова оптимального профiлю
дшянки траси
Рис. Блок-схема математичног модели
6
9
-1 1
— < у2(х, а1, а2, a3, a4) < — . (2)
Ro Ry
Уведемо додаткове обмеження на другу похщну. Воно полягае в тому, що шукана крива мае бути одночасно i перехiдною кривою. Сила шерци, що дiе на транспортний засiб у вертикальнiй площиш, пропорцiйна до кривизни. Щоб запобшти удару пiд час в'!зду транспорту на мют, кривизна профiлю мае збшатися з кривизною прямо! лши, якою е профiль моста. Такий профшь дороги буде перехвдною кривою. Кривизна прямо! дорiвнюе нулю, тому маемо додаткове обмеження на другу похщну — кривизна в точщ х1 мае дорiвнювати нулю
у 2(х1, a1, a 2, a3, a 4) = 0.
Ус обмеження мають справджуватися в кожнш точцi х. На жаль, !х кiлькiсть нескiнченна. Вiзьмемо довшьно декiлька таких точок iз рiвними промiжками, аби !х кiлькiсть була значно бшьшою за степiнь многочлена.
Створюемо векторну функцiю, першою компонентою яко! е вартiсть проекту. Наступними компонентами е iншi кориснi вихщш данi: абсциса точки початку моста, абсциса точки кшця моста, вартють насипу i ви!мки, висота насипу перед мостом, об'ем насипу, об'ем ви!мки, вартiсть моста, кутовий коефщент лiнi! моста, ордината точки початку моста. Тепер слщ мiнiмiзувати першу компоненту векторно! функцi!, визначити оптимальш коефiцiенти многочлена та найменшу вартють проекту. Алгоритм створення вектор-функцi! математично! моделi наведено на рисунку.
Як приклад розглянемо оптимiзацiю проекту д^нки траси довжиною 2 000 м за такими даними: CTM = 106 120 + 216 • HM, СТТ = 566 000, ST = 273,2кв. м, LH = 32,25 м, LB = 41,3 м, щна кубiчного метра насипу 17,5, ви!мки 13,5 (тут i надалi вартють визначаеться в евро).
Матриця вщм^ок мiсцевостi в метрах на шкетах е рядок
22 = (0,8,6, -1, -5, -4, -60, -100, -250, -270, -250, -270, -270, -270, -50, -2,10,200,100,23,20) .
Траса мае першу категорда, за Державними бущвельними нормами уё = 0.03, Ro = 70 000, Ry = 8 000. Обмеження (1) i (2) застосуемо на кожному шкет траси до моста. Пюля ошташзаци отримаемо мшмальну вартють проекту 376,5 млн евро.
Висновок. Застосування запропоновано! математично! моделi траси в проектуванш значно корочуе термши виконання проектних робiт, а виконання оптимiзацi! проекту дозволяе миттево отримувати вартють проекту при змшюванш його складових.
ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА
1. Державш будiвельнi норми Укра!ни. Споруди транспорту. Автомобшьш дороги. Ч. I Проектування. Ч. II Будiвництво. ДБН В.2.3 - 4:2007. К., Мiнрегiонбуд Укра!ни, 2007.
2. Справочная энциклопедия дорожника. Т. V. Проектирование автомобильных дорог. М., 2007.
УДК 666.97.035
ВАКУУМНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ ВОЗВЕДЕНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ МОНОЛИТНОГО БЕТОНА
И. А. Соколов, д. т. н., проф., А. Н. Березюк, к. т. н., проф., К. Б. Дикарев, к. т. н., доц., А. Р. Аббасова, магистрант
Ключевые слова: бетонная смесь, бетоны, опалубка, фильтры, вакуумирование, вакуумбетон, прочность
Постановка проблемы. При вакуумировании бетонной смеси в монолитных конструкциях обычно применяют режим с постоянной величиной разрежения (давления). Как правило, величина разрежения зависит от мощности (производительности) источника вакуума (вакуумнасоса). Однако при вакуумировании по такому режиму в первый период процесса у вакуумного устройства (вакуумтрубки) образуется запирающий слой за счет сильного уплотнения бетонной смеси на этом участке, этот слой уменьшает скорость извлечения излишней воды затворения, резко замедляет процесс вакуумирования. По нашему мнению, для
