CC BY
218
__________________________________ © Д.К. Потресов, А.В. Анпилов,
2010
Д.К. Потресов, А.В. Анпилов
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ ФИРМЫ МЕТОДОМ ДОСТИЖИМЫХ ЦЕЛЕЙ
Рассмотрена проблема формирования оптимального инвестиционного портфеля фирмы в новых рыночных условиях, требующая анализа как минимум четырехмерного пространства критериев. Разрабатываемый метод значительно облегчает процесс выбора окончательного портфеля для инвестирования, путем предоставления клиенту удобной для анализа декоративной карты решений. Раскрывается проблема формирования инвестиционного портфеля, указываются минусы текущих способов формирования, а также приводится методология целостного рассмотрения задачи оптимизации методом достижимых целей.
Ключевые слова: формирование оптимального инвестиционного портфеля, декоративная карта решений, метод достижимых целей.
~П настоящее время в мире и в частности в России наблюда-
-Я-М ется волна восстановления интереса к различным способам инвестирования в ценные бумаги. Транснациональные компании и крупные инвесторы отошли от кризисной лихорадки и начинают вновь возвращаться на фондовые рынки, тем самым способствуя началу нового бычьего ралли на рынках. Вслед за ними потянулись и частные инвесторы, растет количество клиентов брокерских компаний, различных видов пифов, а так же клиенты услуг private banking. С ростом интереса к возможностям инвестирования, формируется рост интересов и к способам формирования инвестиционной стратегии, начиная от сроков инвестирования и заканчивая формированием оптимального для инвестора инвестиционного портфеля.
Именно портфель ценных бумаг является тем инструментом, с помощью которого может быть достигнуто требуемое соотношение всех инвестиционных целей, которое недостижимо с позиции отдельно взятой ценной бумаги, и возможно только при их комбинации.
Тема формирования и оптимизации портфеля ценных бумаг стала актуальной с появлением самих ценных бумаг, особенно по мере возникновения различных их форм. Как примирить стремле-
ние инвестора к получению максимальной прибыли от ценных бумаг со стремлением иметь наименьший риск получения убытка -главный вопрос рассматриваемой проблемы. Решение этого вопроса и есть решение задачи оптимизации портфеля ценных бумаг инвестора.
В последние годы при формировании инвестиционных портфелей практически всегда применялась классическая картина «риск/доходность»: чем ниже риск, тем меньше ожидаемая доходность, и наоборот. На основе этой двухмерной модели до кризиса для клиентов составлялось множество разнообразных инвестиционных портфелей. Начиная с консервативного, из государственных облигаций, которые давали низкие доходности и риск, и заканчивая рискованными бумагами второго эшелона, которые сулили высокую доходность, но при этом обещали большой риск. Эти модели отлично себя зарекомендовали, и всё было хорошо. Но кризис всё изменил. Оказалось, что плоской двухмерной модели недостаточно и в неё необходимо добавить несколько важных измерений.
Третье измерение, применяемое для оценки инвестиционного портфеля в данной работе, является ликвидность. В ходе кризиса выяснилось, что многие активы перестали быть ликвидными. До кризиса инвесторы почти не учитывали риск потери ликвидности активом. Теперь, они четко почувствовали, что необходимо учитывать ликвидность при формировании инвестиционного портфеля.
Четвертое измерение - это кредитный рейтинг актива. Учитывается не просто волантильность цен на торгах по активу, а так же стратегический кредитный рейтинг актива присуждаемый ему рейтинговым агенством.
Кризис переместил всю индустрию фондовых инвестиций из классического двухмерного пространства «риск/ доходность» в новое многомерное пространство. В этом новом пространстве нет понятия «хорошо» или «плохо». Здесь всё индивидуальное, всё формируется для конкретного человека. Теперь инвестор должен сам принимать активное участие при выборе оптимального для него инвестиционного портфеля. Причем сам механизм выбора должен претерпеть изменения и стать максимально удобным и понятным инвестору для анализа.
Поэтому, разработка нового подхода к процедуре формирования оптимального инвестиционного портфеля, позволяющего ин-
вестору принимать решения на основе анализа многомерного пространства критериев и представлять требуемую для принятия решения информацию в удобном и эргономичном виде является актуальной научной и практической задачей.
Проблемой оптимизации инвестиционного портфеля активно занимались такие ученые, как Гарри Марковиц , Мертон Миллер , Уильям Шарп, которым впоследствии была присуждена Нобелевская премия «за работы по теории финансовой экономики».
Целью данной работы является разработка нового целостного подхода к процедуре формирования оптимального инвестиционного портфеля основанного на поддержки принятия решения методом достижимых целей и представления вариантов формирования оптимального инвестиционного портфеля в виде диалоговых карт решений.
Построение математической модели многокритериальной оптимизации инвестиционного портфеля фирмы
При формировании оптимального инвестиционного портфеля акций предполагается, что у инвестора имеется в распоряжении некоторая сумма свободных инвестиционных ресурсов, которую он хотел бы разместить на финансовом рынке. При этом инвестор определил временной интервал (инвестиционный горизонт) на который данная сумма свободных инвестиционных ресурсов может быть размещена без возникновения, в течение этого периода, необходимости её досрочного изъятия.
Инвестор хотел бы определить оптимальные доли размещения суммы свободных ресурсов в акции на фондовом рынке РФ.
Описание математической модели:
I. Предполагается размещение денежных средств на период t месяцев.
II. Инвестор рассматривает п акций на российском фондовом рынке для инвестирования. Все расчеты с акциями проводятся строго в российских рублях. Минимальная доля каждой акции в портфеле равна 1 единицы.
Каждая i акция характеризуется следующими показателями:
1. Доходность mi (прогнозируемая доходность от инвестиций по истечению t месяцев);
2. Риск неблагоприятного изменения рыночных котировок ак-
2
ции 7 i ;
3. Ликвидность акции ^ (не зависит от ^);
4. Кредитный риск акции SPi (не зависит от ^).
III. Взаимосвязь между различными акциями описывается коэффициентом корреляции доходности акций в портфеле 8р, рассчитываемой по формуле (стр 25, внизу).
IV. Необходимо определить доли Vi, i = 1, п размещения
средств в каждый из секторов. При этом должны выполнятся условия:
Сформированный портфель j, составленный из долей размещения средств по акциям, так же описывается набором из четырех критериев:
1. Прогнозируемая доходность портфеля ценных бумаг Е-
Доходность вложенных инвестиций играет важнейшую роль при выборе конечного инвестиционного портфеля. Значительно чаще внимание человека обращено именно то, какой доход он может получить при инвестиции, нежели на риск инвестиций.
Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается по следующей формуле:
где Vi - доля >й ценной бумаги в портфеле, mi - математическое
ожидание доходности ьй ценной бумаги.
Ожидаемая доходность ьой ценной бумаги рассчитывается по формуле:
где Р1 - рыночная стоимость на начало периода, руб., Р2 - рыночная стоимость на конец периода, руб.
п
0( = (1, п). ^ = 1.
п
(1)
(2)
Математическое ожидание доходности ьой ценной бумаги рассчитывается по формуле:
1 п
т = -Ег-,
п ]■=1
(3)
где п - количество месяцев, по которым собирается статистика, Г- доходность ьй ценной бумаги в j-й месяц.
2. Риск сформированного портфеля 2 ■
Вторым важнейшим критерием выбора оптимального инвестиционного портфеля является осознание возможных потерь при инвестировании. Возможные потери от инвестирования в j-й инвестиционный портфель рассчитываются по формуле:
2 =Ъ'. 7 + Е , (4)
¿=1 ¿=1 р=1,гФ р
где V - доля ьй ценной бумаги в портфеле, Vp - доля р-й ценной
2
бумаги в портфеле, 7 i - квадратическое отклонение ьй ценной _2
бумаги, ^'ip - ковариация доходности между >й и р-ой ценной бумагой, I - количество ценных бумаг включенных в сформированный инвестиционный портфель.
Квадратическое отклонение >й ценной бумаги рассчитывается по формуле:
Е(х- - т )2
^г2 = -------:-----, (5)
п -1
где X- - доходность ьй ценной бумаги за j-й месяц, по которому
собирается статистика, - математическое ожидание доходности
ьй ценной бумаги, п - количество месяцев, по которым собирается статистика.
Для расчета ковариации доходности между ьй и р-й ценной бумагой (определяет связь между доходностью >й и р-й ценной бумагой) используется следующая формула:
Е(х-- т)(хя - тр)
8р = ----------;---------, (6)
п-1
где х- - доходность ьй ценной бумаги за j-й месяц, по которому собирается статистика, т1 - математическое ожидание доходности ьй ценной бумаги, хр- - доходность р-й ценной бумаги за j-й месяц по которому собирается статистика, тр - математическое ожидание доходности р-й ценной бумаги, п - количество месяцев по которым собирается статистика.
3. Совокупная ликвидность портфеля Lj
Ликвидность определяет минимально требуемое количество дней для изъятия средств из инвестиционного портфеля в случае возникновения срочной необходимости и при условии гарантированного неприменения к инвестору штрафных санкций. В период кризиса, ликвидность портфеля, приобрела очень важное значение, в связи с возможностью скорейшего выхода инвестора из падающего рынка.
Расчет показателя ликвидности в данной работе выполняется на основании следующего алгоритма:
1. Рассчитаем значения среднедневного оборота, медианы дневного оборота и среднедневного количества сделок для рассматриваемых акций.
2. Рассчитаем десятичные логарифмы каждого из значений.
3. Приведем значения каждого рассчитываемого параметра к единому знаменателю. Для этого необходимо найти максимальные значения для каждого из показателей. Разделив на эти максимальные значения соответствующие критерии, получим коэффициент, характеризующий уровень каждого из параметров ликвидности.
Поскольку все 3 показателя, характеризующие уровень ликвидности, имеют для нас одинаковое значение, а стало быть, и одинаковый вес в результирующем показателе, то рассчитаем собственно коэффициент ликвидности как среднее арифметическое всех этих показателей.
Ликвидность инвестиционного портфеля рассчитывается как сумма ликвидностей входящих в него акций:
т
Ц = 2 I (7)
1=1
4. Кредитный риск портфеля SPj.
Для оценки кредитного риска акции в данной работе применяется оценка кредитного рейтинга акций рейтинговым агентством SP500. Кредитный рейтинг характеризует долгосрочный прогноз по стабильности эмитента и зачастую является пропуском для компании в получении кредита от зарубежных банков.
В данной работе вводиться шкала оценки кредитного рейтинга акции, которая принимает значения в диапазоне от 1 до 11 (акция с кредитным рейтингом равным 1 является самой надежной).
Кредитный рейтинг инвестиционного портфеля в данной работе рассчитывается как сумма кредитных рейтингов входящих в него акций:
т
SP1 =2 SP (8)
1=1
В результате применяя к результирующему портфелю критерии максимизации доходности, минимизации риска, максимизации ликвидности и минимизации кредитного риска получаем следующую математическую модель для решения задачи многокритериальной оптимизации инвестиционного портфеля (9).
Полученная математическая модель, является моделью многокритериальной оптимизации.
Для решения задачи оптимизации инвестиционного портфеля фирмы с учетом приведенных ограничений и указанных критериях оптимизации в данной работе решено было применять метод достижимых целей
£ =
1= 1
Ъ =
-»■ тт
Z¿ -» тах
V
1=1
Целостное рассмотрение задачи многокритериальной оптимизации инвестиционного портфеля
Для решения задачи оптимизации инвестиционного портфеля необходимо целостное рассмотрение всех показателей формируемого портфеля. При целостном рассмотрении необходимо учитывать, что максимизация значение одних показателей может сопровождаться минимизацией значениями других.
Частными критериями многокритериальной оптимизации инвестиционного портфеля являются:
• Максимизация прогнозируемой доходности портфеля ценных бумаг;
• Минимизация риска сформированного портфеля;
• Максимизация совокупной ликвидности портфеля;
• Минимизация кредитного риска портфеля.
Основные этапы целостного рассмотрения задачи оптимизации инвестиционного портфеля с использованием метода МДЦ:
1. Осуществляется качественный анализ проблемы, составляется список критериев, которые будут приниматься во внимание в процессе исследования.
2. Анализируются критерии оптимизации. Описываются формулы расчета каждого из критерия оптимизации.
3. Определяются диапазоны отклонения значений критериев от базовых значений.
4. Строится математическая модель задачи на основе интеграции отдельных критериев.
5. Формируются ограничения на возможные решения задачи.
6. Интегрированная модель изучается с помощью МДЦ Точнее говоря, строится множество достижимых целей или его ОЭП.
7. Лица, участвующие в принятии решения, анализируют (по одиночке или в группах) графическую информацию о возможных сочетаниях значений критериев и об их объективных замещениях. Каждый может выбрать удовлетворяющую его достижимую цель и найти соответствующий портфель.
8. По выбранным вариантам решения рассчитываются характеристики оптимальных портфелей. Одно или несколько решений выбирается для дальней разработки.
9. Выбранные решения используются как основа для формирования оптимального инвестиционного портфеля; при этом применяются имитационные эксперименты с моделями формирования портфелей, рассчитываются показатели прогнозируемой прибыли и возможного риска.
Основные положения использования метода достижимых целей для оптимизации инвестиционного портфеля фирмы
Основным недостатком большинства итерационных методов является отсутствие у ЛПР целостного представления о парето-вой границе. В связи с этим ЛПР даже при явно осознаваемых предпочтениях может не понимать, куда и как имеет смысл перемещать текущее решение. Такого недостатка лишены методы, направленные на информирование ЛПР о паретовой границе в целом. В таких методах ЛПР сначала изучает паретову границу, не высказывая своих предпочтений, и только потом, после осознания потенциальных возможностей выбора и связи между возможными значениями критериев, выражает свои предпочтения — указывает предпочтительную точку паретовой границы. Если требуется, ЛПР может выбрать несколько “интересных” точек паретовой границы и получить несколько решений для дальнейшего детального анализа.
Визуализация, т.е. трансформация символьных данных в геометрические фигуры, может использоваться для поддержки ЛПР в
процессе принятия решения с помощью формирования ментальной картины символьных данных.
Методы информирования ЛПР о паретовой границе, которые не требуют быстрого ответа на вопросы о предпочтительности того или иного решения, позволяют осуществлять анализ критериальных точек достаточно долго для того, чтобы ЛПР пришел к окончательному решению. При этом, однако, ЛПР должен помнить информацию о паретовой границе все это время. Человек может держать в быстрой памяти не более семи объектов одновременно. Отсюда следует, что ЛПР не может помнить сотни многокритериальных точек, аппроксимирующих паретову границу и думать при этом о выборе наилучшей из них.
Визуализация паретовой границы может изменить ситуацию. Однако для того, чтобы быть эффективной, визуализация должна быть:
1) простой, т.е. понятной без дополнительных разъяснений;
2) длящейся, т. е. изображение должно оставаться в голове человека в течение достаточно продолжительного времени;
3) полной, т.е. содержать всю требуемую информацию.
Если эти требования удовлетворяются, ЛПР может мысленно
изучать паретову границу и выбирать наиболее предпочтительную точку в течение нескольких дней. Если какие-то детали изображения будут забыты, можно будет снова взглянуть на изображение паретовой границы.
В данной работе для визуального анализа задачи многокритериальной оптимизации инвестиционного портфеля используется Метод достижимых целей (МДЦ) и его математическое обеспечение, разработанные в Вычислительном центре Российской Академии наук и широко используемый в МГГУ на кафедре АСУ [2, 3].
МДЦ дает возможность изучать разумные компромиссы на основе исследования взаимозависимостей (кривых объективного замещения) между недоминируемыми сочетаниями значений критериев, используемых для оценки качества решения.
В задаче оптимизации инвестиционного портфеля фирмы основными шагами МДЦ являются:
1. Построение множества достижимых целей в пространстве четырех выбранных критериев;
2. Визуальное представление кривых объективного замещения между различными парами критериев;
3. Выбор компромиссной достижимой цели, характеризующей мнения инвестора относительно оптимального инвестиционного портфеля;
4. Расчет характеристик инвестиционного портфеля, приводящего к выбранной цели.
Первый шаг выполняется автоматически, без участия человека, поэтому при его осуществлении выдвигаются требования эффективности и надежности алгоритмов построения множества достижимых целей.
Второй шаг является существенно интерактивным (человеко-машинным), и поэтому на нем выдвигаются жесткие требования к удобству и быстроте получения изображения. Выбор цели основывается на субъективных рассуждениях, априорной информации, участии инвестиционных аналитиков, возможностях сложившейся ситуации для конкретного инвестора.
Использования метода достижимых целей для анализа оптимального инвестиционного портфеля имеет то преимущество, что ЛПР незачем углубляться в особенности многомерных пространств критериев.
Основным средством визуализации в МДЦ являются Диалоговые Карты Решений (ДКР), основанные на визуализации оболочки Эджворта-Парето (ОЭП) и осуществляется на основе демонстрации двухмерных сечений.
Для того чтобы задать двумерное сечение некоторого многомерного множества в нашей, надо выбрать те два критерия, достижимые значения которых будут демонстрироваться на дисплее компьютера (так называемые координатные критерии). В качестве координатных критериев используется наиболее важные характеристики инвестиционного портфеля, критерии доходности и риска. Далее, надо задать набор значений остальных (некоординатных) критериев (ликвидность и кредитный рейтинг). После этого, для изображения границ двумерного сечения многогранного множества, аппроксимирующего множество достижимых целей (или его ОЭП), требуется рассчитать вершины сечения, а затем соединить их ребрами.
После визуализации множества достижимых целей процесс решения задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля переходит на третий шаг.
Третий шаг состоит из обсуждения и выбора наиболее подходящего сочетания значений критериев, т.е. компромиссной цели. Они проводятся в процессе визуального анализа или после визуального анализа всего множества достижимых эффективных сочетаний значений критериев.
Выбор отражает субъективные предпочтения инвестора и инвестиционного консультанта. Компьютер только помогает понять объективные свойства проблемы выбора, но ответственность за решение ложится на людей.
Четвертый шаг состоит из расчета, построения и визуализация решения, приводящего к выбранной компромиссной цели. Этот шаг выполняется компьютером автоматически. Решение представляется как в форме диаграмм, так и в виде таблицы.
Метод Достижимых Целей - средство совершенствования мысленных образов реальной ситуации, имеющихся у людей, участвующих в дискуссиях по изучаемой проблеме.
------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лотов А.В., Бушенков В.А., Каменев Г.К., Черных О.Л. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей - М.: Наука, 1997-240
2. Потресов Д.К., Сапожников С.И. Развитие метода достижимых целей на случай непрерывных шкал критериев // Г орный информационно - аналитический бюллетень. - М.:МГГУ. - 2006. - №8. - С. 229-237.
3. Потресов Д.К., Сапожников С.И. Информационная поддержка принятия многокритериальных решений в задачах с функциями от многих переменных на примере взрывных работ // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб. тр. 8-й Всероссийской науч. конф. / под общ. ред. В.О. Каледина.
4. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Москва. - 2003 г. 544 с.
5. Шарп, Александер, Бэйли - Инвестиции. ИНФРА-М - 2001 г. 1028
с.
6. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. Издательство «Высшая школа», 1986.
7. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. - М.: ГУ ВШЭ, 1999 г.
8. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование. - СПб.: СПб. ун-т, 1998 г.
9. Волков А., Маргевич А. Как оценить ликвидность акций при работе на бирже: новый подход к старой проблеме. РЦБ № 21 (348) 2007.
10. Лотов А.В. «Введение в экономико-математическое моделирование». Москва «Наука» 1984 г.
11. www.micex.ru - Московская Межбанковская Валютная Биржа.
12. www.rts.ru - Фондовая биржа PTC. iish=i
— Коротко об авторах ------------------------------------------
Потресов Д.К. - профессор, доктор технических наук,
Анпилов А.В. - бакалавр, студент магистратуры кафедры АСУ, Московский государственный горный университет,
Moscow State Mining University, Russia, [email protected]
