Оптимизация годовой производственной программы предприятия методом справедливого компромисса Текст научной статьи по специальности «Математика»

41 (296) - 2012

Экономико-математическое

моделирование

УДК 330.46+519.863

ОПТИМИЗАЦИЯ ГОДОВОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ ПРЕДПРИЯТИЯ МЕТОДОМ СПРАВЕДЛИВОГО

КОМПРОМИССА

А. А. МИЦЕЛЬ,

доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем управления E-mail: maa@asu. tusur. ru Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники М. А. ЗЕДИНА, E-mail: m. zedina@yandex. ru

В статье изложен подход к формированию производственной программы предприятия как к процессу решения двухкритериальной оптимизационной задачи. Для решения оптимизационной задачи используется метод справедливого компромисса. Приведены результаты вычислений производственной программы для машиностроительного предприятия.

Ключевые слова: производственная программа, многокритериальная оптимизация, метод справедливого компромисса, прибыль, трудоемкость.

Введение

Под производственной программой понимаются номенклатура и объем выпуска продукции. Ее формирование - одна из центральных задач текущего планирования. Каждое предприятие заинтересовано в формировании оптимальной производственной программы. Под ней понимают программу, которая в наибольшей степени учитывает

запросы потребителей, отвечает структуре ресурсов предприятия и обеспечивает наилучшие результаты его деятельности по принятым критериям.

Для постановки задачи многокритериальной оптимизации введем следующие обозначения: фк (X), к е 1; 5 - частные критерии оптимальности; Ф(Х)=[ф (X), ф2 (X),..., ф5 (X)] - векторный критерий оптимальности.

Положим, что ставится задача минимизации каждого из частных критериев оптимальности ф1 (X), ф2 (X),..., ф5 (X) в одной и той же области допустимых значений DX е R".

Задачу многокритериальной оптимизации будем записывать в виде

ши1 Ф (Х )= Ф (Х *), (1)

где DX - множество допустимых значений вектора варьируемых параметров X. Многокритериальную задачу можно решать различными методами оптимизации. Метод весовых множителей требует наличия информации об отно-

сительнои важности частных критериев, что делает результаты субъективными. В методе е-ограничений требуется выбрать самый важный критерий, а также необходима информация о максимально возможных допущениях по каждому критерию. В методе последовательных уступок частные критерии опять-таки располагаются и нумеруются в порядке убывания важности. Также дополнительной информацией является величина уступок с точки зрения лица, принимающего решения. Поэтому для решения данной задачи выбран метод справедливого компромисса [1, 3, 4], который допускает одинаковую важность всех частных критериев и не требует их нормализации и упорядоченности по степени важности.

Справедливым компромиссом будем называть такой компромисс, при котором относительный уровень снижения качества по одному или нескольким частным критериям не превосходит относительного уровня повышения качества по остальным частным критериям (меньше или равен) [1].

Метод справедливого компромисса

Для формализации понятия справедливого компромисса нам понадобится ввести отношение превосходства на множестве Парето (множество Парето можно определить как множество, в котором значение любого из частных критериев оптимальности можно улучшить только за счет ухудшения других частных критериев - любое из решений, принадлежащее множеству Парето, не может быть улучшено одновременно по всем частным критериям) [1]. Множество Парето называют также эффективным множеством.

Пусть во множестве Парето задачи (1) даны две точки X1 е D* , X2 е D* и значения всех частных критериев оптимальности в них ф* (X1), ф* (X2), k е 1; 5. Введем меру относительного изменения (снижения -знак «минус» или повышения - знак «плюс») качества решения по каждому из этих критериев [1]

Дф* (X1, X2)

ъ (X1, X2)

Л е 1; s,

Фах 2>Ф* (Х )

X е{Х1, X2}

где ДФ* (X\ X2 )=ф* (X1 )-Ф* (X2) - абсолютные изменения значений частных критериев оптимальности ф* (X), * е 1; 5 при переходе от решения X1 к решению X2. Вычислим максимальное снижение качества решения при переходе от решения X1 к решению X2

Фmn (X1, X2 )= min Фк (X1, X2).

Аналогично вычислим максимальное повышение качества решения при переходе от решения X1 к решению X2

Фmax (X1 , X2 )= max Фк (X1, X2 ).

Будем говорить, что решение X2 превосходит решение X1, если

Фmax (X1, X2 )>|фmin (X1, X2 ) .

С другой стороны, будем говорить, что решение X1 превосходит решение X2, если

Фmax (X1, X 2 )<|Фmm (X1, X 2 ) .

Выбор решений Xr е D*X будем производить с помощью полного перебора узлов сетки, покрывающей эффективное множество задачи (1). Поскольку метод справедливого компромисса использует относительные изменения частных критериев оптимальности, этот метод инвариантен к масштабу измерения частных критериев, т. е. не требуется их нормализация [1].

Экономико-математическая модель

Рассмотрим экономико-математическую модель формирования производственной программы, содержащую два критерия оптимальности и ограничения по ресурсам, спросу и важнейшим показателям деятельности. Данные заимствованы из работы [2].

Машиностроительное предприятие выпускает 24 вида продукции. Необходимо сформировать такой план производства, который обеспечивал бы максимум прибыли при минимальной трудоемкости программы. Решение такой задачи не является оптимальным ни для одного из частных критериев, а оказывается некоторым компромиссом для вектора Ф (X) в целом.

Известны нормы расхода материалов первого и второго видов на выпуск единицы продукции и общая трудоемкость единицы изделия, цены (оптовые) на единицу выпускаемой продукции, себестоимость и прибыль единицы изделия, минимальное и максимальное количество каждого изделия в производственной программе, определяемое спросом, допустимая годовая трудоемкость, возможный объем расхода ресурсов на производство продукции, контрольное (предельное) значение себестоимости, а также ограничения по объему реализуемой продук-

ции и контрольному значению прибыли. Исходные данные для модели приведены в табл. 1-3.

Обозначим через х ., j е 1; 24 годовое количество .-го изделия в производственной программе.

Оптимизационная модель имеет следующий

вид:

- функции цели

ф = У Р. х. ^ шах

з =1

24

(2)

ф2 = У г. х. ^ шт

з =1

ограничения

24

У г. х. < т

3 3

3=1

Ь . - минимальное количество .-го изделия; и. - максимальное количество .-го изделия (определяется спросом).

Необходимо рассчитать годовое количество каждого изделия в производственной программе.

Первая группа ограничений - первые три неравенства в системе (3) - представляет собой ограничения на ресурсы. Вторая группа ограничений - четвертое, пятое и шестое неравенства системы (3) - это ограничения по основным показателям деятельности предприятия. Третья группа ограничений - последние соотношения в системе (3) - это ограничения по спросу (сбыту).

Исходные данные

Ет, .х. <М,

и з 1

=1

24

У т2.хз < М2 =1

24

У с.х. < с , (3)

=1

24

У ах . > V

¿—1 3 3

=1

24

У Р.х. > Р =1

L . < х . < и., / е 124

./ з з ■>

где р. - прибыль единицы .-го изделия;

х. - годовое количество .-го изделия в производственной программе (искомая величина); г . - общая трудоемкость единицы .-го изделия; Т - максимально допустимая годовая трудоемкость производственной программы; т.. - норма расхода /-го лимитирующего вида материала на единицу -го изделия; М. - максимально возможный объем расхода на производственную программу .-го лимитирующего вида материалов, обусловленный возможностями его поставки и имеющимися запасами;

с. - себестоимость единицы .-го изделия; С - контрольное (предельное) значение по себестоимости;

а. - цена (оптовая) единицы .-го изделия; V - контрольное значение по объему производства продукции;

Р - контрольное значение по прибыли;

Нормы расхода материалов первого и второго видов на выпуск единицы продукции т., т. и общая трудоемкость г. единицы .-го изделия приведены в табл. 1.

Цены (оптовые) на единицу выпускаемой продукции а., себестоимость с. (переменные издержки, производственные материальные затраты) единицы .-го изделия; прибыль (величина покрытия) единицы .-го изделия р.; минимальное количество к и ] _ _

максимальное количество к -го изделия в производственной программе, определяемые спросом, приведены в табл. 2.

В качестве исходных ограничений рассматриваются ограничения на допустимую годовую трудоемкость Т, возможный объем расхода ресурсов Мр М2 на производство продукции, контрольное (предельное) значение себестоимости (переменных издержек) С, максимальные значения которых представлены в табл. 3, а также ограничения по объему реализуемой продукции V и контрольному значению прибыли (величине покрытия) Р, минимальные значения которых также представлены в табл. 3.

Результаты решения

Сначала решались по отдельности две одно-критериальные задачи целочисленного линейного программирования. Первая с максимизацией

целевой функции ф1 = У р.х. . Вторая - с

ми-

.=1

нимизацией целевой функции ф2 =У г.х.. Для

=1

первой задачи значение целевой функции на оптимальном решении оказалось равным 11 243 тыс.

Таблица 1

Исходные данные для первой группы ограничений [2]

№ п/п Наименование продукции Норма расхода материалов на единицу продукции Трудоемкость ^, нормо-час

ту, т т кг

1 Грохот ГИТ-1М 4,80 1,30 488,19

2 Грохот ГИТ-2М 4,20 1,10 553,50

3 Грохот ГИЛ-1К 4,34 1,20 667,38

4 Грохот ГИЛ-2К 4,10 1,40 976,10

5 Грохот ГИЛ-3К 4,53 1,23 1 137,42

6 Грохот ГИСЛ-УКА 4,61 1,12 1 750,71

7 Грохот ГИСТ-АК 4,40 1,42 2 563,30

8 Грохот ГИСЛ-АК 4,23 1,32 2 961,76

9 Сепаратор ПБМ-1 3,38 0,40 358,90

10 Сепаратор ПБМ-2 3,10 0,58 396,94

11 Сепаратор ЭБМ-П1 3,25 0,63 1 079,40

12 Сепаратор ЭБМ-П2 3,44 0,75 1 687,72

13 Сепаратор ЭВС 13,22 0,83 416,60

14 Питатель ДТ-1А 1,30 1,20 331,34

15 Питатель ДТ-2А 1,20 1,50 347,11

16 Питатель ПК-1 1,44 1,34 474,25

17 Питатель ПК-2 1,50 1,48 549,09

18 Питатель ПК-3 1,12 1,56 647,93

19 Буровой станок СБШ-МИА 2,50 2,10 10 919,30

20 Буровой станок РД 2,90 2,00 23 240,00

21 Самоходный вагон 5ВС-1М 2,22 0,50 3 543,60

22 Самоходный вагон 5ВС-2М 2,43 0,78 4 769,16

23 Погрузочная машина ПТ 1,80 3,30 1 011,86

24 Погрузочная машина ПД 1,87 3,50 6 258,86

Таблица 2 Исходные данные для второй и третьей групп ограничений [2]

№ п/п Наименование продукции Оптовая цена единицы продукции а,, тыс. руб. Себестоимость единицы продукции с, тыс. руб. Прибыль единицы продукции р j, тыс. руб. Количество продукции, ед.

тт Ь. ] тах и. ]

1 Грохот ГИТ-1М 64,23 40,16 24,07 15 25

2 Грохот ГИТ-2М 73,06 45,29 27,77 15 25

3 Грохот ГИЛ-1К 48,43 35,59 12,84 3 10

4 Грохот ГИЛ-2К 75,93 69,10 6,83 3 10

5 Грохот ГИЛ-3К 87,72 79,83 7,89 8 12

6 Грохот ГИСЛ-УКА 162,68 149,01 13,67 8 12

7 Грохот ГИСТ-АК 250,05 230,04 20,00 8 12

8 Грохот ГИСЛ-АК 317,65 279,53 38,12 4 8

9 Сепаратор ПБМ-1 88,81 81,35 7,46 80 120

10 Сепаратор ПБМ-2 137,45 126,45 11,00 25 40

11 Сепаратор ЭБМ-П1 186,93 268,24 18,69 8 12

12 Сепаратор ЭБМ-П2 290,96 266,52 24,44 3 7

13 Сепаратор ЭВС 42,21 37,57 4,64 5 15

14 Питатель ДТ-1А 36,75 34,18 2,57 5 15

15 Питатель ДТ-2А 40,98 36,88 4,10 5 15

16 Питатель ПК-1 36,41 33,35 3,06 5 15

17 Питатель ПК-2 53,13 47,29 5,85 10 20

18 Питатель ПК-3 59,08 54,35 4,73 5 15

19 Буровой станок СБШ-МИА 1 322,82 1 203,76 119,05 38 42

20 Буровой станок РД 2 408,95 2 206,60 202,35 1 4

21 Самоходный вагон 5ВС-1М 386,72 344,18 42,54 38 42

22 Самоходный вагон 5ВС-2М 450,68 414,62 36,05 8 12

23 Погрузочная машина ПТ 91,08 84,70 6,38 25 35

24 Погрузочная машина ПД 532,18 478,96 53,22 3 7

Таблица 3

Исходные данные для правых частей ограничений [2]

Показатель Граничное значение показателя

Контрольное значение по объему реализуемой продукции V, тыс. руб. 103 555

Контрольное значение по себестоимости С, тыс. руб. 100 497

Минимально допустимая годовая прибыль Р, тыс. руб. 9 618

Максимально допустимая годовая трудоемкость производственной программы Т, нормо-час 891 420

Максимальный объем поставки материалов:

-М1, т 1 360,206

- М2, кг 532,809

руб. (максимальная годовая прибыль предприятия), при этом трудоемкость производственной программы составила 891 312 нормо-часов. Для второй задачи значение целевой функции равно 825 355 нормо-часам (минимальная годовая трудоемкость производственной программы), при этом годовая прибыль предприятия получилась равной 10 057 тыс. руб.

Оптимальные решения этих задач приведены в табл. 4.

В строке «Задача 2» выделены жирным шрифтом компоненты решения, которые отличаются от компонент решения задачи 1. Этот факт позволяет сократить объем вычислений при решении двух-критериальной задачи (2) и (3).

Для решения задачи (2) при ограничениях (3) реализуем метод справедливого компромисса в Mathcad. Поскольку решение многокритериальной задачи требует сонаправленности функций цели (все критерии на минимум, либо все критерии на максимум), а в нашем случае один критерий -максимизация прибыли, а другой - минимизация трудоемкости, то необходимо один из них принять со знаком «минус»:

24

Ф1 =-Z Pj XJ ^ т1П

j=1

<

24

Ф2 tj Xj ^ max

j=i

Оптимальные

Ранее было отмечено, что выбор решений Xг е DX производится с помощью полного перебора узлов сетки, покрывающей эффективное множество задачи. С учетом результатов, приведенных в табл. 4, перебор узлов сетки будем производить только по тем номерам переменных, которые выделены жирным шрифтом: 1, 2, 3, 8, 9, 11, 12, 15, 19, 21. Значения остальных переменных не изменяются.

Диапазоны изменения переменных, отмеченных жирным шрифтом, также определяются из табл. 4. Так, для переменной № 3 диапазон изменения составит [3, 10], для переменной № 9 - [111, 120].

Результаты оптимизации приведены в табл. 5.

Значения функций цели при оптимальном плане производства следующие: Прибыль предприятия - 10 861 тыс. руб., Трудоемкость программы - 855 058 нормо-часов.

Решение задачи многокритериальной оптимизации в общем случае не является оптимальным ни для одного из частных критериев, а оказывается некоторым компромиссом в целом.

Заключение

Таким образом, на примере машиностроительного предприятия проиллюстрированы возможности оптимизации годовой производственной программы с использованием двух критериев и

Таблица 4

решения задач

Задача Номе| J продукции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Задача 1 25 25 10 3 8 8 8 8 111 40 9 7 5 5 15 5 10 5 40 1 42 8 25 3

(максимизация

прибыли)

Задача 2 15* 15 3 3 8 8 8 4 120 40 8 6 5 5 5 5 10 5 38 1 38 8 25 3

(минимизация

трудоемкости)

* Здесь и далее жирным шрифтом выделены компоненты решения, которые отличаются от компонент решения задачи 1.

Таблица 5

Оптимальный план производства

№ Наименование Количество

п/п продукции продукции, шт.

1 Грохот ГИТ-1М 25

2 Грохот ГИТ-2М 25

3 Грохот ГИЛ-1К 10

4 Грохот ГИЛ-2К 3

5 Грохот ГИЛ-3К 8

6 Грохот ГИСЛ-УКА 8

7 Грохот ГИСТ-АК 8

8 Грохот ГИСЛ-АК 8

9 Сепаратор ПБМ-1 120

10 Сепаратор ПБМ-2 40

11 Сепаратор ЭБМ-П1 9

12 Сепаратор ЭБМ-П2 7

13 Сепаратор ЭВС 5

14 Питатель ДТ-1А 5

15 Питатель ДТ-2А 5

16 Питатель ПК-1 5

17 Питатель ПК-2 10

18 Питатель ПК-3 5

19 Буровой станок СБШ-МИА 38

20 Буровой станок РД 1

21 Самоходный вагон 5ВС-1М 38

22 Самоходный вагон 5ВС-2М 8

23 Погрузочная машина ПТ 25

24 Погрузочная машина ПД 3

множества ограничений. Решена двухкритериаль-ная задача оптимизации производственной программы предприятия. Получен план продаж, позволяющий предприятию получить годовую прибыль 10 861 тыс. руб. при общей трудоемкости программы 855 058 нормо-часов.

Список литературы

1. Карпенко А. П. Методы оптимизации (базовый курс). URL: http://bigor. bmstu. ru/?cnt/?doc=MO/ base. cou.

2. Лихачева Л. Н., Щепина И. Н., Воищева О. С. Щекунских С. С. Практикум по применению экономико-математических моделей для формирования продуктовой (производственной) программы коммерческой организации. Воронеж: ВГУ, 1999.

3. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-опти-мальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

4. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения / пер. с англ. М.: Радио и связь, 1992.