Оптимизация геометрических параметров выпуклых сегментов из сплавов TiNi с памятью формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

С.А.Попов, В.А.Андреев, М.А.Хусаинов, А.Б.Бондарев

ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ВЫПУКЛЫХ СЕГМЕНТОВ ИЗ СПЛАВОВ TiNi С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого

A least-squares method for constructing the surface of allowable geometric parameters is used. On the basis of the model of the clap force dependence of these parameters and the obtained allowable surface the optimal parameters providing the maximum clap force value has been defined.

Введение

В статье [1] рассмотрена задача моделирования зависимости силы хлопка Р (или силы удара) выпуклых сегментов с памятью формы от геометрических размеров — диаметра (Б), толщины круглой пластинки (И) и радиуса кривизны (Я) срединной поверхности. Полученная по результатам обработки наблюдений модель зависимости силы хлопка от геометрических размеров имеет вид

р = ь0 + Ь1Х1 + ь12 Х1Х2 + Ь13Х1Х3 + Ь23Х2 Х3 + ь11х12, (1)

где Х], х2, х3 — геометрические параметры Б, И и Я соответственно (в мм). Оценки коэффициентов этой модели и соответствующие им /-статистики приведены в табл.1.

Таблица 1

Оценки коэффициентов модели и абсолютные величины их /-статистик

bo/ kol -19/2,97

V kii 2,і7/3,93

ьіг/ кі2І -4,46/2,20

ьіз/1^131 -8,72-і0-2/2,7і

b23 /1^231 2,93/2,04

b1ll кіі 1 9, і6-10-2/2

Оценка коэффициента Ь считается статистически значимой, если соответствующая /-статистика по абсолютной величине превышает квантиль распределения Стьюдента /1-а,/ , т.е. |/| > /1-а,/, где /— число

степеней свободы / = п - 1, п — объем выборки), а — уровень значимости, который в технических задачах обычно принимается равным 0,05. Для п = 41 /1-0 05 40 = 1,68, поэтому все коэффициенты значимы.

Полученная модель (1) позволяет рассчитать величину силы хлопка при заданных геометрических параметрах. Однако хлопок выполняется не при всех комбинациях этих параметров, поэтому для расчета силы хлопка кроме функции (1) необходимо построить область допустимых значений геометрических параметров. В данной работе используется метод построения разделяющей поверхности, позволяющий оптимизировать геометрические параметры в целях реализации эффекта хлопка максимальной силы.

Построение разделяющей поверхности

Использование параметров распределения вероятностей классов при построения дискриминанта Фишера и статистического моделирования для уточнения разделяющей поверхности приводит к большим погрешностям ввиду недостаточной информации о классах. В этих условиях можно использовать метод наименьших квадратов [2], в соответствии с которым можно строить разделяющую поверхность / (А, X) = 0, обеспечивающую минимум суммы

п

квадратов отклонений в виде ^[/(А,Х{) - уг ]2, где

г=1

А = {а1,а2,...,а1 }Т — вектор коэффициентов разделяющей поверхности; X = {В,к,Я}Т = {хх,х2,х3}Т — вектор геометрических параметров. При у = 1 хлопок реализуется, а при у = -1 его нет.

Однако при таком подходе вклад в сумму отклонений будут давать объекты с большими значениями / (А, X), что приводит к значительным ошибкам распознавания, особенно при сложном виде разделяющей функции, характерном для рассматриваемого случая.

Следует считать, что для каждого объекта существует вероятность эффекта хлопка с ударом q1 и вероятность его отсутствия q2 (^ + q2 = 1). Факт

реализации хлопка (у = 1) или его отсутствие (у = -1) дает оценку величины q = q1 - q2 . Аппроксимация зависимости величины q от геометрических параметров записывается в виде

q( X, А) = яеп[£ (X, А)]{1 - ехр[-| Я (X, А)|]}, (2)

где функция g(X, А) представляется полной квадрат

тичной функцией g (X, А) = АТ X = а() + ^а^- +

г=1

т т

+ а^х^ = 0, г, ] = 1,т . Тогда разделяющая

г =1 ] =1

поверхность определяется уравнением

g( X, А) = 0. (3)

Для расчета оценок коэффициентов разделяющей функции можно использовать метод наименьших квадратов. В нашем случае этот расчет выполняется с помощью следующей итерационной процедуры:

As+1 = As +

£ P (X, As) PT (Xt, As)

- i=1 -

n

x£ P(X, As) - q(Xt, A)], (4)

где s — номер итерации; P (X, A) =

= sign[g (X, A)]exp[-| g (X, A)|]dg (X,A), а

dq( X, A)

dA '

dg (X, A)

5А 5А

= {, {, х2, х3, ххх2, ххх3,к, X"2 }.

Ковариационная матрица оценок коэффициентов (4) рассчитывается по формуле

Va = С

(5)

£ P (Xt, A) PT (Xt, A)

- i = 1

где с2 — дисперсия ошибки наблюдения классов: i n

ce =-£ [q(Xi, A) - _уг- ] (l — число коэффициен-

n -1*—1

i=1

тов в модели (2)).

Диагональные элементы матрицы УА (5) представляют дисперсии оценок соответствующих коэффициентов, что позволяет рассчитать их /-статистики и, таким образом, проверить их значимость.

В результате расчетов по выборке из 41 сегмента получена разделяющая поверхность (3) с десятью коэффициентами в виде а0 + а1Б + а2к + а3хЯ + а12 хБхк + а13хБхК +

+ а23кхК + а11Б 2 + а22 к2 + а33 К 2 = 0. (6)

Расчет вектора оценок коэффициентов в выражении (6) и ковариационной матрицы этих оценок (5) выполнялся по разработанной программе в соответствии с итерационной процедурой (4). Получены следующие значения коэффициентов: а0 = 1; а1 = -4,12; а2= -3,42; а3= -8,09-10-3; а12 = 0,384; а13 = 3,48-10-3; а23= -6,72-10-2; а11= -5,74-10-3; а22= -2,4; а33 =

= -7,73-10-4. Все коэффициенты статистически значимы.

Данная разделяющая поверхность правильно

R ,мм

40

30

20

10

X

X X

оо О О \ К XX

О о о

о о г

оо

0,2

0,3

0,4

0,5

Рис.1. Разделяющая поверхность для диаметра хлопуна й = 17 мм и объекты с хлопком (кружок) и без хлопка (крестик)

распознает все объекты, как с хлопком, так и без хлопка (см. рис.1).

Расчет оптимальных значений

Оптимальные значения параметров определялись методом статистических испытаний [3]. Для этого генерировался вектор коэффициентов B модели (1) с ковариационной матрицей VB, вектор коэффициентов разделяющий функции (3) с коэффициентами A и с ковариационной матрицей VA . Далее в заданном интервале генерировался вектор параметров X. Если этот вектор принадлежал области допустимых значений, определяемой неравенством g(X, A) > 0, то рассчитывалось значение отклика P. В результате статистических испытаний при заданном диаметре D определялось максимальное значение силы хлопка Pmax и соответствующие ему значения параметров — hmax и

R

max •

Дисперсия с2 оценки силы хлопка в процессе статистических испытаний по определению максимального значения (внутренний цикл) рассчитывается по формуле

_ с2+1=[(Pj - P щ - P)+(j - 1)ср,у ]/j,

где Pj+1 = [pj +(j -1)Pj ]/j, а j — номер статистического испытания.

Относительная погрешность вычислений силы P методом статистических испытаний рассчитывается по формуле

T = с

p , j

(7)

Аналогично определялись значения параметров ктах и Ктах , обеспечивающих наибольшую силу

удара, и дисперсии оценок этих параметров с2 и сК во внешнем цикле статистических испытаний.

Во внутреннем цикле статистических испытаний для определения максимального значения силы Р при заданной величине X задавалось 107 испытаний, погрешность определения силы Т (7) не более 1,1-10-4. Во внешнем цикле — для определения максимального значения Р и соответствующих ему параметров X задавалось 105 испытаний, погрешность определения оптимальных параметров составила 5,4-10-4.

Зависимость наибольшей силы хлопка Ртах от диаметра сегмента Б, а также получаемые оптимальные значения толщины ктах и радиуса прогиба Ктах показаны в табл.2, где под косой чертой приводятся соответствующие стандартные отклонения (с).

Таблица 2 Оптимальные параметры ктах и Ктах в зависимости от диаметра Б

D Pmax /с P hmax/ ch Rmax /с R

17 11,5/0,9 0,25/3,7-10-3 22,6/2,2

20 10,3/1,1 0,46/4,7-10-3 23,1/2,9

30 22,5/2,1 0,68/6-10-3 18,8/3,2

40 31,8/4,3 0,81/8,1-10-3 23,8/4,7

-1

i=1

Рис.2. Сила хлопка и области допустимых параметров. О — точки, соответствующие расчетным значениям параметра Я, обеспечивающим наибольшую силу хлопка, при заданном диаметре О и заданной толщине Л, изменяющейся через 0,05 мм; • — точки, соответствующие расчетным значениям параметров Я и Л, обеспечивающим наибольшую силу хлопка для данного диаметра О; ■—точки, показывающие значения параметров Я и Л экспериментальных сегментов с хлопком для соответствующего диаметра й. Соответствующее значение силы хлопка в килограммах приводится рядом с точкой

На рис.2 показаны области допустимых значений параметров, экспериментальные значения и оптимальные параметры сегментов.

Вывод

Приведенный график (рис.2) позволяет определить оптимальные параметры сегмента, обеспечивающие максимальную силу удара Ртах, в следующих ситуациях:

— при заданном диаметре Б и расчетных значениях ктах и Ктах;

— при заданных диаметре Б, толщине к и расчетном значении Ктах;

— при заданных диаметре Б, радиусе К и рас-

четном значении ктах.

Полученные результаты позволяют существенно оптимизировать геометрические размеры выпуклых сегментов.

1. Попов С.А., Хусаинов М.А., Бондарев А.Б., Андреев В.А.

// Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 2005. №34. С.12-16

2. Л.Хартман и др. Планирование экспериментов в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977. 552 с.

3. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. 349 с.