CC BY
24
УДК 539.3
С.А.Попов, М.А.Хусаинов, А.Б.Бондарев, В.А.Андреев
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТА ПРОЩЕЛКИВАНИЯ С ХЛОПКОМ ВЫПУКЛЫХ СЕГМЕНТОВ ИЗ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
A problem of the behaviour modelling of segment with shape memory for calculating the optimal geometric parameters is considered. The full quadratic regression model, for describing the dependence of the snap force with geometric parameters, followed by stepwise regression was constructed. Since not all geometric parameters inside their permissible range produce a snap, a separating surface has been constructed in the geometric parameter space to separate parameter area with a snap from the one without a snap. Combined use of the regression model obtained and the separating surface allowed to define the relationship between the geometric parameters of the convex segments, for the segment diameters in the range of 14-40 mm, producing a snap of the maximum force when re-heated.
Систематические исследования технического поведения выпуклого сегмента из сплавов на основе никелида титана с эффектом памяти формы показали, что прогнутый (деформированный) сегмент в мартенсите зеркально по отношению к исходному очертанию (см. рис.) прощелкивает при отогреве с резким хлопком, а при наличии препятствующего тела — с ударом [1]. Сила хлопка (или сила удара) является основным оценочным параметром накопленной энергии при деформировании сегмента, уровень которой сложным образом зависит от соотношения геометрических размеров — диаметра (D), толщины круглой пластинки (h) и радиуса кривизны (R) срединной поверхности. Экспериментально установленная взаимосвязь между размерами выпуклого сегмента диаметром 17, 20, 22 мм [2] из сплава Ti-50,2ат.%Ni позволяет выявить наличие или отсутствие эффекта прощелкивания. При одних соотношениях геометрических размеров выпуклых сегментов скачок деформации (хлопок) при отогреве отсутствует, т.е. имеет место явление памяти формы, при других — сообщенная мартенситу деформация изгиба не восстанавливается, вследствие чего эффект прощелкивания тоже не реализуется. Эти соотношения можно считать граничными, поскольку в промежуточной области наблюдается возврат деформации с хлопком. Однако найти соотношение геометрических размеров, обеспечивающее хлопок (удар) максимальной силы, опытным путем довольно трудно.
В данной работе осуществлена попытка построения модели, позволяющей рассчитать геометрические размеры сегмента из заданного сплава TiNi, при которых реализуется эффект прощелкивания с хлопком.
Зависимость силы удара (у) от геометрических размеров сегмента строилась в виде регрессионной модели с тремя независимыми переменными: x1 — диаметр, х2 — толщина, х3 — радиус кривизны. Эксперимент выполнялся для сегментов диаметром от 14 до 40 мм с толщиной пластинки от 0,28 до 0,86 мм и радиусом кривизны от 16,5 до 53 мм.
h
Выпуклый сегмент в разрезе после задания формы и памяти
Метод построения модели
Чтобы найти соотношение геометрических размеров, обеспечивающее максимальный эффект скачка деформации с хлопком, использовалась линейная по коэффициентам регрессионная модель, определяющая зависимость критерия оптимальности (отклика) у от параметров X в виде
у = f (Х,В) + е = Р(X )Т В + є,
(1)
где у — сила удара; X = {х1,х2 ,х3} — вектор геометрических размеров выпуклого сегмента; В = {Ь1,Ь2 ,Ь1 }т — /-мерный вектор коэффициентов; e — ошибка наблюдений отклика
у. Вектор Р(X) представляется в виде Р( X) =
д/і(В,Х) д/2(В,Х) д/т(В,Х)
дЬ1
дЬ2
дЬ
Максимально правдоподобные оценки коэффициентов модели (1) рассчитываются на основе [3]:
-1 и —
В =
£ р(Х, )р (Х, у
І=1
£Р(Хі)уі =[Тг] гу,
(2)
І=1
где п — количество наблюдений у; У = {у1,у2,...,уп} — вектор наблюдений отклика в п
экспериментах.
Ковариационная матрица оценок (2)
Ув =
£ р (Х і )р (Х і )
І=1
(3)
где ае — дисперсия ошибки наблюдений.
Матрица Z имеет размерность пх/ и представляется в виде
р Т (Х у
г (Х ) = ■ Р Ч Х 2 ) > = •
РТ(^п ).
х„ . 8 х х11х21 Хт-1,1Хт1 Хп • • Хт1'
Х12 • • хт2 2 2 х 2 х1 • Хт-1,2 Хт2 Хп • • Хт2
£ х1 х тп Х1пХ2п • хт -1 ,п хтп Х1П • Х 2 тп,
После расчета оценок коэффициентов (2) и их ковариационной матрицы (3) для каждого коэффициента рассчитывается величина /-статистики:
і = Щ/уічІ . (4)
Оценка коэффициента принимается незначимой (т.е. коэффициент принимается равным нулю), если выполняется следующее неравенство:
і ,1-а, (5)
где і/ 1-а — квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы / для вероятности 1 - а.
Для определения оптимальных значений геометрических параметров сегментов в качестве начальной модели (1) использовалась полная квадратичная модель, в которой
Р(Х) = {{, к ,Хт,Х1Х2,к ,Хт-1Хт,х!, .. . ^ } и } = 1+ 2т + С^.
Чтобы получить значимые оценки коэффициентов, сначала строилась полная квадратичная модель зависимости отклика от этих параметров, а затем использовалась процедура шаговой регрессии с убыванием числа членов путем их исключения, когда оценки коэффициентов оказывались незначимыми в соответствии с выражениями (4) и (5).
-1
В результате была получена модель вида у = Ь0 + й1х1 + Ь12 х1 х2 + Ь13 х1 х3 + Ь23 х2 х3 + Ь11х12 со следующими оценками коэффициентов:
Ь0 Ь1 Ь12 Ь13 Ь23 Ь11
-19,0 2,17 -4,46 -8,72-10-2 2,93 9,16-10-2
Для этой модели остаточная дисперсия составляет 9,07 при дисперсии относительного общего среднего 22,2. Эта модель является линейной по параметрам х2 и х3 и имеет минимум по параметру х1. В такой модели отклик имеет наибольшее значение на границе допустимого диапазона изменения размеров сегмента.
Практика показывает, что не все комбинации параметров х1, х2 и х3 в допустимых диапазонах их изменения, которые представлены выше, обеспечивают хлопок. При значениях переменных х1 = 40, х2 = 0,28, х3= 16,5 и силе удара у = 120,4 выпуклый сегмент не прощелкивает. В данной модели наибольшее значение отклика находится на границе диапазона изменения геометрических параметров. В связи с этим для определения значений переменных, обеспечивающих реальный хлопок, необходимо построить разделяющую поверхность g(X), определяющую область независимых переменных, в которой хлопки физически реализуемы. (Разделяющая поверхность — граница в пространстве параметров сегмента, отделяющая область с реализацией хлопка от области без хлопка).
В качестве формы такой поверхности была выбрана поверхность второго порядка в
т т
виде эллипсоида ^ + и а-х^х- = 0. Для определения оценок коэффициентов в этом
2=1 ]=1
выражении, описывающем разделяющую поверхность, применялся метод распознавания образов [3]. В качестве критерия оптимальности использовалось число выборок, классифицируемых с ошибкой посредством разделяющей поверхности. Преимуществом такого критерия является то, что в нем можно задавать различные веса для ошибок распознавания различных классов. Оценки коэффициентов разделяющей поверхности рассчитывались методом статистического моделирования.
Сложность реализации метода статистического моделирования состоит в необходимости определения как можно более узких задаваемых интервалов изменения коэффициентов.
Здесь использование сходства квадратичной разделяющей поверхности с дискриминантом Фишера позволило определить интервалы моделирования коэффициентов. В этом случае для нормально распределенной случайной величины строится доверительная область, которая также имеет форму эллипсоида. Чтобы получить допустимую область исследуемой величины X, необходимо рассмотреть доверительную область для нормально распределенной случайной величины У:
р = [У - М(У )]Т У-1[У - М(У)].
Здесь р является скалярной величиной, которая распределена как х2 с / = т числом степеней свободы. Тогда область допустимых значений переменных У определяется уравнением
[У - М(У)Г УЫ\У - М(У)] = х2-а, где а — уровень значимости.
Переменные величины X в данном случае имеют равномерное распределение в области допустимых значений. Поэтому по расчетной ковариационной матрице
1 Т Уи =—[У - М (У )]]У - М (У )]т,
П -1
1 П
Т 1 ^ ^
где М = {т1,т2, . . . ,тк} — вектор математических ожиданий, т = —} х2, можно опреде-
П“
2 =1
лить матрицу Ум, которая обеспечивает доверительный интервал нормальной случайной величины, равный области допустимых значений для равномерно распределенной случайной величины X.
Области допустимых значений могут быть получены из равенства доверительного интервала для нормальной случайной величины и допустимого интервала для равномерно распределенной величины. В этой связи рассмотрим случай одномерной случайной величины. Если эта величина распределена равномерно на интервале (а + Ь), то этот интервал и будет для нее интервалом допустимых значений. При расчете ковариационной матрицы нужно учесть дисперсию случайной величины, имеющей равномерное распределение на интервале (а + Ь):
_2 (а - Ь)2 (6)
=---------. (6)
12
Если задаться уровнем значимости а = 0,05 , то для определения доверительного интервала в виде (а + Ь) для нормального распределения дисперсию можно рассчитать следующим образом.
Доверительный интервал случайной нормальной величины определяется как
(т-и1-а/2аМ ) + (т + и1-а/2аМ> (7)
Решая совместно (6) и (7), получим Ь = ° + Ь -и1-а/2ам или Ь = а - 2и1-а/2ам, иначе а - Ь = 2и1-а/2ом. Тогда
= 1
а и = ^3 и 1 а/2® N.
В этом случае стандартное отклонение для нормальной случайной величины определяется из выражения
^ ^3 088
аМ = аи-------= ^ — = 0,88аи ,
1,96
а дисперсия нормальной случайной величины
а- = 0,77 а ^. (8)
Таким образом, по экспериментальным данным рассчитывается ковариационная матрица У и, а затем ее элементы умножаются на 0,77 для получения матрицы Ум случайной нормально распределенной величины, у которой доверительная область равна допустимой области для равномерной величины.
Учитывая, что У = X и М(X) = М(У), получим уравнение разделяющей поверхности в виде
[X - М(X^У-1^ - М(X)] = х2-а, (9)
где У- = 0,77Уи.
Х2-0 о5 = 6 для двух переменных, когда число степеней свободы / = 2, и х2-0 о5 = 7,8
для трех переменных, когда число степеней свободы / = 3.
Согласно этим рассуждениям в качестве коэффициентов при квадратичных членах
разделяющей поверхности можно использовать соответствующие диагональные элементы матрицы Ум, а в качестве коэффициентов при смешанных произведениях можно использовать соответствующие недиагональные элементы этой матрицы, умноженные на 2. Эти величины следует рассматривать как нижние границы соответствующих интервалов коэффициентов, поскольку получаемые по формуле (8) оценки будут всегда занижены. Поэтому в качестве верхних границ использовались величины для нижних границ интервалов, умноженные на 10. Принятое для расчета выражение для разделяющей поверхности (9) имеет вид
а11х12 + а22 х2; + а33 х3 + а12 х1х2 + а13 х1х3 + а23 х2 х3 = 7,8.
Рассчитанные предварительные значения коэффициентов разделяющей поверхности использовались для поиска оптимальной разделяющей поверхности методом статистического моделирования. В результате расчета коэффициентов для выражения этой поверхности с равными весами получены следующие величины коэффициентов:
а11 2 2 а 3 3 а а12 а13 3 2 а
0,7737 409,7 0,4152-10-2 -34,68 -0,3219 6,844
При этом неправильно распознаны четыре выборки (сегменты с разными размерами Б, к и К) первого класса (с хлопком) и четыре выборки второго класса (всего 8 ошибок). Поскольку в данном случае необходимо правильно распознавать выборки второго класса, для них был введен весовой коэффициент, позволивший получить разделяющую поверхность, правильно распознающую все выборки второго класса и неправильно распознающую 9 выборок первого класса. Ее коэффициенты:
а11 2 2 а 3 3 а а12 а13 3 2 а
0,7146 348,3 0,1738 -30,60 -0,6731 14,27
Таким образом удалось найти соотношение геометрических параметров (кК) выпуклых сегментов для заданных диаметров (Б) в интервале 14-40 мм, обеспечивающих при отогреве удар максимальной силы.
Изложенный в статье алгоритм реализован в виде программы расчета геометрических размеров, обеспечивающих максимальную силу хлопка.
Полученный результат представляется чрезвычайно важным с практической точки зрения, поскольку дает возможность рассчитывать оптимальные геометрические размеры сегментов.
1. Хусаинов М.А. // ЖТФ. 1997. Т.67. №6. С.118-120.
2. Хусаинов М.А., Малухина О.А. // Науч. тр. III Междунар. семинара «Современных проблемы прочности» им. В. А. Лихачева. 20-24 сентября 1999 г. Старая Русса. Т.2. В.Новгород, 1999. С.199-203.
3. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. 349 с.
4. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. М.: Мир, 1976. 511 с.
