Оптимизация динамики летательного аппарата по различным критериям Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.5

А. А. Александров

ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПО РАЗЛИЧНЫМ КРИТЕРИЯМ

Рассматривается решение задачи оптимального управления летательным аппаратом как твердым телом, динамика которого описывается уравнениями Эйлера и Пуассона. Исследуется вопрос построения оптимальных траекторий движения ЛА с помощью алгоритма последовательной оптимизации по иерархии критериев качества и с использованием принципа максимума Понтрягина. Приведен сравнительный анализ полученных результатов.

Ключевые слова: летательный аппарат, оптимальное управление, принцип максимума Понтрягина.

Постановка задачи. При управлении летательным аппаратом (ЛА) важной задачей является определение оптимальных траекторий его движения на различных участках полета. Исследуем управляемое пространственное движение ЛА. Требуется привести его из начального состояния в заданное конечное при минимизации затрат на управление.

Уравнения динамики ЛА как твердого тела содержат [1, 2]:

— уравнения Эйлера, описывающие движение центра масс в связанной системе координат (СК):

V = Пу + g(n-82), (1)

где V — вектор абсолютной земной скорости, g — ускорение свободного падения, п — вектор перегрузок, О — матрица Пуассона, 82 — элемент матрицы направляющих косинусов в ;

— уравнение Пуассона, описывающее динамику направляющих косинусов между осями связанной и нормальной СК:

8 = Ов; (2)

— уравнения для определения географических координат:

1

= ё 8V,

а * =

Яз + И 0

о

0

1 о

о

0

1

(ЯЗ + И )ео8 ф

(3)

где Я3 = 6 375 км — радиус Земли, И — высота полета, ф и X — широта и долгота положения ЛА.

Матрица Пуассона (кососимметрическая)

" о ®г -Шу

О = -ОТ = о

® у о

где ю — вектор угловой скорости ЛА относительно земной нормальной системы координат, представленный в проекциях на оси связанной СК.

Матрица направляющих косинусов между осями связанной и нормальной систем координат вТ = (, 82, 83 ) , где 81, 82, 83 — соответствующие векторы, представлена в таблице,

где у, , у — углы крена, тангажа и рыскания; у^, хё, — линейные координаты высоты, продольной и боковой дальности.

Координата xg yg zg

x 8ii = cos у • cos п s2i = sin П 83i = - sin у • cos п

y si2 = sin у • sin у -- cos у - sin П • cos y 822 = cos п • cos Y 832 = cos у • sin Y + + sin у • sin П • cos y

z 8i3 = sin у • cos Y + + cos у - sin П • sin y s23 = - cos П • sin y s33 = cos у • cos y -- sin у • sin П • sin y

Хо

Представим вектор состояния в виде х =

\T

Хт Хт Хт Хт Хт

Х1 5 Х2 ' Х3 5 Х4 ' Х5

где Х1 = 8i =(ец,ei2,sj3)т,

= 82 = ( S225 823 ) 5 Х3 = S3 = (83b ^ S33 ) 5 Х4 = (vx5 vy5 Vz ) 5 Х5 = ( h, X) . При

этом

y = h 5 Xg = (ЯЗ + Ъ)ф 5 zg = (ЯЗ + h) cos ф • X .

Задача состоит в приведении ЛА из начального состояния x(t0) = x0: = П = Y 0 =

Xg0 = 05 yg0 = 200 м Zg0 = 05 Vx0 = 300 м/с Vy0 = vZ0 = 05 в конечное xf : уf = yf « 05 Пf e

e [0 ^ 5]° Xgf = 2000 м5 ygf = 05 = -200 м5 vy = vz^ « 0. Таким образом планируется

осуществить маневр по ¿'-образной траектории при выполнении условий равенства углов и соответствующих проекций скоростей на левом и правом концах траектории.

Оптимизация динамики ЛА по иерархии критериев. В настоящее время известно несколько способов решения рассматриваемой задачи. Согласно одному из них оптимизация динамики ЛА производится по функционалу обобщенной работы Красовского [1—3]:

I = V [x t2 ]+J

Q(Xt) + 2 uTk 2u + 2 uLk 2иопт

dt.

где V, Q — заданные функции, имеющие непрерывные частные производные по х и

Рассмотрим более сложное решение задачи определения оптимального режима маневрирования — по иерархии критериев качества для функционалов следующего вида [4]:

Ii = Vi

Х5 t

f

tf

N I2 _ X tf _ +J

t0

2uTk 2и + 2uTomk 2иоПТ + Q(x1)

dt;

Vi = 2 pi

arcsin

-23

cos(arcsin 8 2i)

i i ■ п*\2 i -P2 (arcsin 82i -П ) + -p3

C.31 *

-arctg--у

8ii

i

2 i

2 i

V2 = 2p4 (xgf - xg) + 2p5 (ygf - yg) + 2p6 (zgf - zg Q = 2(n -n*)т e(n - n*)5 e = diag(Pi5 p25 P3).

Здесь pk 5 k = i ...5 65 Py 5 i = i5 25 35 — весовые коэффициенты; u =

т

■ т - т n 5 со

nX 5 ny 5 nz 5 C X 5 C y 5 CC z

— вектор управления; пх, Пу, п2 — производные компонент вектора перегрузки в связанных осях; со х, со у, со 2 — производные компонент вектора угловых

скоростей; индексом ,, отмечены заданные значения соответствующих переменных.

t

t

0

Управление определяется как и = щ + ^, и ^ минимизируют критерии оптимальности ¡^ и ¡2 соответственно.

В алгоритме последовательной оптимизации и1 = АУ 5 (^), 5 (^) — дельта-функция Дирака. На первом этапе вычисляется величина АУ путем итераций на модели ЛА, описываемой уравнениями (1)—(3), при и = 0 из условия минимума критерия ¡1 по АУ [4]. При этом

минимум определяется последовательно для всех компонент вектора управления.

На втором этапе при Q = 0 сигнал управления можно найти аналогично способу реше-

7 АУ2 о

ния задачи с одним критерием в виде: и2 = - 7 "Ау • Отличие здесь заключается в том, что приращение АУ2 определяется при У (I) = У (^) + АУ (I) .

2

Момент времени корректируется на втором этапе уравнением [3] =-в обеспечение условия равенства нулю гамильтониана Н(х, р, и, I) ^ = 0 .

а) пх, пу, пг у%, м

7,5 5,0

2,5 0,0 -2,5

300 200 100 0

-100

-5,0 -200

- —уе ..... —пх |

-- — П Г

400 800

и... * ■■ я Щ * ш * Шг

б)

б)

рад/с 1,8

30 20

■■■■ — Шх — а

■ — Шу — в

~" _ — ш7

■ х№ м

1600

2000 хп

Рис. 1

На рис. 1, а—в представлено решение задачи оптимизации динамики ЛА по иерархии критериев: а — проекции оптимальной траектории и зависимости пх (хё ), пу (хё ), п7 (хё );

б — углы а( хё ), в( хё ) и зависимости шх (хё ), ш у (хё ), ш7 (хё ); в — пространственный вид оптимальной траектории.

в

о

а

7

К

Оптимизация динамики ЛА при минимизации затрат на управление. Содержание данного раздела является продолжением и развитием ряда исследований по оптимальному управлению с использованием модели, описанной уравнениями (1)—(3) [1—5]. Оптимальное управление строится по принципу максимума Понтрягина [6].

В качестве целевого функционала выбирается критерий Лагранжа

I =

2 ?(

Т —2 \ и к и ),

'0

отражающий минимизацию затрат на управление на интервале оптимизации; здесь

к1 , к6

к = ё1а§ времени соответственно, и =

¿0 и — начальный заданный и свободный конечный моменты

Т г -г

Т Т п , ш

пх, пу, п2, шх, шу, ш2

вектор управления.

Синтез оптимального управления по принципу максимума [6] сводится к решению двухточечной краевой задачи, которая решается методом Ньютона [7]. Выбранный метод численного решения позволяет добиться сходимости и необходимой точности решения.

а)

б)

7,5 5,0

2.5 0,0

-2,5 -5,0

Шх, Шу, шг,

рад/с-10-5

3.6

2,4

1,2 0,0 -1,2

yg, Ъ м

300 200 100 0

-100 -200

а, р

30 20

10 0 -10

- — уе — пх

-----% — пу

--— п

— "'400 '' ' ' ' ' ' '.800

1200

1600

-2,4 -20

..... — со,---а

---— со,, -----р

400 800 1200 1600

в)

200

1600

2000 х0

Рис. 2

При заданных начальных условиях в течение одной итерации были получены [8] оптимальные начальные значения сопряженных переменных. Решение по критерию Лагранжа представлено на рис. 2, а—в: а — проекции оптимальной траектории и зависимости пх (хё ),

пу (хё ), п2 (хё ); б — углы а( хё ), в( хё ) и зависимости шх (хё ), ш у (хё ), ш2 (хё ); в — пространственный вид оптимальной траектории.

п, п,, п

х • 'у •

х, м

о

х^ м

0

2

&

0

Заключение. Рассмотрена задача построения оптимальных траекторий полета ЛА с помощью алгоритма последовательной оптимизации по иерархии критериев и с использованием принципа максимума. Оба алгоритма позволяют реализовать ¿'-образные траектории. Алгоритм последовательной оптимизации имеет вычислительные преимущества по сравнению с решением задачи по принципу максимума за счет использования аналитических выражений для прогнозируемых значений вектора состояния. При решении задачи по принципу максимума Понтрягина при минимизации затрат на управление в вектор невязок можно включить любое количество заданных на правом конце компонент вектора состояния без изменения структуры алгоритма. Полученное по принципу максимума управление отличается близким к линейному характером для данного типа траектории и находится за одну итерацию методом Ньютона.

Исследования показали, что с помощью рассмотренных алгоритмов оптимального управления по различным критериям можно решать задачи маневрирования ЛА в широком диапазоне задания начальных и конечных условий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский А. А. Метод быстрого численного интегрирования одного класса динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1989. № 1. С. 3—14.

2. Красовский А. А. Основы алгоритмического обеспечения систем автоматического управления полетом с глубокой интеграцией // Вопросы кибернетики: Проблемы комплексирования кибернетических динамических систем / Науч. совет АН РСФСР по комплексной проблеме „Кибернетика". М., 1992. С. 6—30.

3. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. 200 с.

4. Wang H. M., Kabanov S. A. Optimal control of the return of a flying object on the hierarchy of criterion of quality // Proc. 2002 FIRA Robot World Congress. Seoul, Korea. 2002. P. 187—190.

5. Кабанов С. А. Алгоритм последовательной оптимизации со спиральным прогнозом для управления спускаемым аппаратом // Изв. РАН. Сер. Техн. кибернетика. 1993. № 4. С. 141—147.

6. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматлит, 1961. 392 с.

7. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

8. Кабанов С. А., Александров А. А. Прикладные задачи оптимального управления: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2007. 76 с.

Сведения об авторе

Антон Аскольдович Александров — аспирант; Балтийский государственный технический университет

„Военмех", кафедра систем обработки информации и управления, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем обработки информации 05.06.08 г.

и управления