Алгоритм коррекции структуры управления автоматическим подводным аппаратом для построения области достижимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Михаил Михайлович Безрядин

Геннадий Иванович Лозгачев

Сведения об авторах аспирант; Воронежский государственный университет, кафедра технической кибернетики и автоматического регулирования; E-mail: [email protected]

д-р техн. наук, профессор; Воронежский государственный университет, кафедра технической кибернетики и автоматического регулирования; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой технической кибернетики и автоматического регулирования

Поступила в редакцию 06.12.11 г.

УДК 681.513.54:629.7.015

В. В. Малышев, Д. С. Кабанов

АЛГОРИТМ КОРРЕКЦИИ СТРУКТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИМ ПОДВОДНЫМ АППАРАТОМ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ

Рассматривается алгоритм коррекции структуры управления автоматическим подводным аппаратом, полученной с использованием принципа максимума, для построения области достижимости. Приведены результаты численного моделирования и сравнительного анализа алгоритма с решением задачи методом Крылова — Черноусько.

Ключевые слова: принцип максимума, прогнозирующая модель, область достижимости, автоматический подводный аппарат.

При решении задач управления автоматическим подводным аппаратом в ряде случаев (например, при оценке его маневренных возможностей с учетом ограничений на перегрузки, расход топлива, скорость движения, а также при решении игровых задач о встрече движений) возникает проблема построения областей достижимости (ОД), исследованию которой посвящено множество работ (см. например, [1—3]). Построение ОД в темпе движения подводного аппарата затруднительно, так как необходимо обеспечить надежную сходимость решения двухточечных краевых задач. Для преодоления этих трудностей предлагается использовать алгоритм коррекции структуры управления [4], полученной с использованием принципа максимума [5, 6], с помощью которого вычисляются граничные точки ОД.

В настоящей статье рассматривается задача управления центром масс автоматического подводного аппарата (далее — ПА) на основе критерия, характеризующего удаление ПА на максимальное расстояние от точки старта в выбранном направлении с учетом ограничения на управление (выпуклая часть границы ОД). Полагается, что вектор состояния ПА точно известен в любой момент времени. При этом выявляется структура оптимального управления, использование которой предусматривает вычисление сигнала управления по различным формулам на соответствующих участках интервала оптимизации.

Требуется найти такую программу изменения нормальной перегрузки пу(^ [7, 8], которая позволит обеспечить за время tf перевод ПА из начального положения в вертикальной плоскости в максимально удаленное от точки старта положение в выбранном направлении движения, заданном единичным вектором Ь и углом Е, его наклона относительно стартовой системы координат. На величину перегрузки пу накладывается ограничение. Построение

выпуклой части границы области достижимости автоматического ПА осуществляется путем изменения угла £ [1, 3].

При такой формулировке требований к управляемому движению ПА становится возможным удерживать его в эксплуатационной области, которая формируется исходя из условий достижения максимальной дальности хода в выбранном направлении и обеспечения безопасности функционирования объекта управления при заданных конструктивных ограничениях на прочность ПА. В качестве управляющего воздействия (сигнала) выбирается перегрузка пу.

Для упрощения описания алгоритма управления положим [4], что скорость ПА изменяется незначительно в процессе маневра. Уравнения движения центра масс ПА в вертикальной плоскости имеют следующий вид [7, 8]:

0 = — ( - cos 9); x = V cos 9; y = V sin 9, (1)

V

T

где (9 x y) = X — вектор состояния ПА; 9 — угол наклона траектории ПА; x, y —

продольная дальность движения и глубина погружения ПА соответственно; V — скорость ПА; g — ускорение свободного падения.

Граничные условия задачи: 9 (0) = 90, x (0) = x0, y (0) = y0, где 90, x0, y0 — заданные величины.

При построении выпуклой части границы ОД осуществляется минимизация критерия оптимальности, характеризующего точку касания границы ОД с прямой, перпендикулярной направлению вектора b [1, 3]:

J = F[X(tf )] = -bTX(tf ) = -x(tf ) cos £ - y(tf) sin £, (2)

где bT = [0 cos £ sin £].

Для формирования структуры оптимального управления обратимся к необходимым условиям оптимальности [5, 6, 9, 10]. Запишем гамильтониан для системы (1) с критерием качества (2):

H = y9 V(ny - cos9) + yxV cos9 + yyV sin 9,

где (е y x y y) T = ¥ — вектор сопряженных переменных [5].

В соответствии с принципом максимума сопряженные переменные определяются из

¥ (днY

уравнения ¥ = -| "д^ I , или в поэлементном виде:

— г:.

V

] ^

y9 = -y9 — sin 9 + yxV sin 9-yyV cos 9, yx = 0, yy = 0, (3)

с граничными условиями

¥ (tf )

f dF [ X(tf )] dX

а сигнал управления определяется из усло-

У

вия inf Н(X, пу, г) = Н(X, пу , г). При существовании конечного интервала

Пу^[-Пуи.Пуп ] V У ' V Уо. )

времени, на котором у0 = 0, требуется ввести „особое" управление Пу . Тогда

[-пуп 8§п(Уе) пРи Уе ^ 0; пу = \ п (4)

I пу при уе = 0 для I е [T1,

а „особое" управление ny согласно условию

d

2 (

dt2

dH

Л

dny V y

= 0 [10] характеризуется выражением

Пу =

У ос

gWq- V уд

2 2 gy9 cos 9- V wx cos 9- V wy sin 9

Здесь пу — предельное значение перегрузки, т1з Т2 е [0,] — моменты, ограничивающие интервал времени нахождения ПА на траектории, соответствующей предельным углам ее на-

клона.

„Особое" управление возникает в случае, когда = 0 и \j/e = 0 на интервале [ti , Т2 ]. Тогда у0 = уxV sin 0 - yyV cos0, и с учетом уравнений (3) при граничных условиях уx (tj-) =

= - cos £, уу (tj- ) = - sin £ получаем V(- cos £)sin0 + V(sin £)cos0 = 0, откуда sin(£ - 0) = 0, тогда ny = cos £.

Решение краевой задачи (1), (3), (4) методом Ньютона [4, 11, 12] связано с вычислительными трудностями, обусловленными поиском начального приближения для сопряженного вектора ¥ (0) и обеспечением сходимости алгоритма при изменении граничных условий

задачи оптимизации. Для преодоления этих трудностей рассмотрим следующую вспомогательную задачу оптимизации. Представим сигнал управления ny в общем виде [4], когда возможно несколько переключений (например, два):

ny = -nym s§n(V00 ) + Anyl(t, т1) + Any21(t, т2 ) ,

где У00 = У0 (0), Any1 = nym sgn (у00 ) + nyoc, Any2 =-nycc + nym sgn tУ00 ), а l(t, T1), l(t, t2 ) —

функции вида

l (t, t1) = 2 + П arctg t (t -11)),

Здесь k — коэффициент, при неограниченном возрастании которого функция l(t, t1) приближается к единичной функции Хэвисайда (для задач с управлением релейного типа аналогичная структура рассмотрена в работах [5, 8, 9]).

На рис. 1 приведен график функции l (t, t1) при t1 = 4, k = 10 000.

l(t) , 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

-2

0

2

8

10 t

4 6 Рис. 1

Моменты переключения т и Т2 функции пу(/) будем рассматривать в качестве компонент расширенного вектора состояния объекта, а в качестве сигналов управления выберем производные от т и Т2 по времени. Тогда динамика объекта управления может быть представлена уравнениями

9 = V ( sgn () + Any1l (t, T1) + Any21 (t, T2)- cos е), (5)

x = V cos 9 , y = V sin 9 , t1 = w1, T2 = w2.

Здесь (w1 w2 )T = w — вектор управления во вспомогательной задаче оптимизации. Таким

образом, управление осуществляется косвенно — через вектор управления w .

Для поиска оптимальной траектории движения автоматического ПА предлагается использовать алгоритм коррекции структуры управления с помощью прогнозирующей модели [5, 8, 9]. В отличие от указанных работ, в рассматриваемой в данной статье структуре управления имеется „особое" управление ny = cos £.

В соответствии с алгоритмом на основе прогнозирующей модели в качестве критерия оптимальности выберем функционал Красовского [5]:

1 1

./1 = F[X(tf)] + -1 wг • к• wЛ + -1 wTПт • к • w0ПтЛ, (6)

2 0 2 0

где F[X(tf )] = -х (tf )соб £ - у ( £; wоПт — оптимальное значение вектора управления w, w0Пт = (1опт w2oпт )т, кW = (, к-2), коэффициенты kWl и kW2 определяются модели-

рованием при отладке вычислительного алгоритма.

1 ^ 1 ^

1 Г Т —2 1 Г Т —2

Введение слагаемых — I w • кw ■ wdt и — I w0пт • кw • w0птлг в исходный критерий

2 ^ 2

0 0

оптимальности фактически не меняет требований задачи, ибо по завершении переходных процессов переключения Т1 ^), Т2 (}) имеем т = 0, т 2 = 0, что приводит к обнулению этих слагаемых. Запишем гамильтониан вспомогательной задачи оптимизации:

н = v(пу — 9) + Ух^ е + Уу^ sin 9 + ¥т! wl + ¥т2 w2 +

. 1 Т . -2 . 1 Т . -2 +— w • к • w +— w • к • w

1 2 ^ " 1 2 опт "■w "опт-

Система канонических уравнений имеет следующий вид: V

9 = — ( s§n (^0 ) + АпУ1 1 (-Т1 ) + АпУ2 1 (-Т2 )-cosе),

x = V cos 9, y = V sin 9, т1 = 0, т 2 = 0,

g (7)

= V sin 9 + ^xV sin 9-y yV cos 9,

g Л™ „ \ _ g

y x = 0, yy = 0, Vtj = У y Anyl 5 (t, т1), Vt2 = У y Any2 5 (t, т2 )

где 5 (t, T1) , 5 (t, T2 ) — функции вида

dl (t, t1) к

5 (t, t1 )=•

dt1 n (1 + k2(t -11)2)' Из условия трансверсальности получаем

¥T ( )=£FEf

1 f ' dX (tf )

или в развернутом виде

( ) = 0, ( ) = — сое £, Уу ^ ) = - вт £, уТ1 () = ^ уТ2 ( ) = 0. (8)

Составляющие вектора управления

() = -к"1 ^ (Т1), () = -к^2 уТ2 (Т2 ) . (9)

Алгоритм вычисления сигнала управления с использованием прогнозирующей модели состоит из следующих действий.

1. Численное интегрирование системы уравнений (7) в прямом времени на интервале [^,] при начальных условиях X (), ¥ (I) (на первом шаге t = 0).

2. По найденным значениям X (tf ) определение граничных условий (8) для ¥ ^ ) при совместном решении в обратном времени системы уравнений (7) на интервале [^ ^ ] для нахождения ¥ ().

3. Вычисление составляющих вектора управления (9).

4. Интегрирование системы уравнений (5) при выбранных сигналах управления на один шаг, определение нового значения X ^) .

5. Повторение процесса вычислений начиная с п. 1 до достижения конечного момента времени tf.

Как видно из алгоритма, для определения сигнала управления не требуется решать двухточечную краевую задачу. Вычисления сводятся к решению двух задач Коши, решаемых в прямом и обратном времени соответственно.

На рис. 2—4 приведены графики, полученные для начальных условий движения ПА:

£ = 20°, V = 30 м/с, 00 = 0, Х0 = 0, у0 = -100 м, т1 = 1 с, т2 = 6 с, пут = 3, к^ = 0,2, к^ = 0,3,

tf = 8 с, шаг интегрирования 0,01 с.

На рис. 2 представлены траектория движения автоматического ПА и графики зависимости угла 0 и сигнала управления пу от времени t, полученные с использованием предлагаемого численного метода решения.

У, м 20

0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140

50

0, 25

20 15 10 5

100 150 200 х, м

Пу

3 2 1 0 -1 -2 -3

1 234567 t, с

0 1 23 4567 ^ с

Рис. 2

0

о

0

На рис. 3 представлены графики зависимости управления моментами переключений т и от времени, наглядно демонстрирующие, что момент т сходится к оптимальному значению, а Т2 стремится к ^, траектория как бы растягивается в прямую линию в целях дос-

тижения максимальной дальности.

Ть С_

1,2

1,1 1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

Т2, С 8

7,8 7,6 7,4 7,2 7 6,8 6,6 6,4 6,2 6

0,2

0,4

0,6

0,8

2345

6 7

г, с

1 г, с Рис. 3

Как видно из представленных графиков, фактически имеется только одно переключение т, что подтверждается физической сутью задачи.

График области достижимости при изменении угла £ от -70 до 20° при начальных условиях, обозначенных выше, приведен на рис. 4.

V, м -50

-100

-150

-200

-250

-300

100

Рис. 4

Полученное решение можно использовать в качестве начального приближения для управления по методу Крылова — Черноусько, что сокращает число итераций при поиске оптимального управления. В рассматриваемых диапазонах изменения угла £ использование такого начального приближения позволяет найти оптимальную программу для пу за 1—2 итерации. Выбор начального приближения при Т2 = г^ и неоптимальном значении Т1, отличающемся от оптимального на 1 с, приводит к решению за 8 итераций. В отличие от этого разработанный алгоритм коррекции структуры управления обеспечивает решение при произвольном выборе значений параметров Т1 и Т2 из интервала оптимизации.

Проведенные исследования показали устойчивую работу предложенного алгоритма при изменении условий задачи и начальных значений параметров системы управления. Алгоритм может быть применен и для построения вогнутой части границы области достижимости, а также для построения ее границ в пространстве при изменении скорости автоматического подводного аппарата, когда „особые" управления определяются по более сложным зависимостям [4]. При этом объем вычислений изменяется незначительно, что позволяет осуществлять построение границы ОД в процессе движения.

1. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.

2. Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

3. Толпегин О. А. Области достижимости летательных аппаратов. СПб: БГТУ, 2002. 106 с.

4. Малышев В. В., Кабанов Д. С. Оптимизация траектории движения материальной точки в пространстве с использованием алгоритма с заданной программой прогноза движения при ограничениях на управление // Тез. докл. 15-й Междунар. конф. „Системный анализ, управление и навигация". М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009. С. 61—62.

5. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

6. Малышев В. В. Методы оптимизации в задачах системного анализа и управления: Учеб. пособие. М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2010. 440 с.

7. Лебедев А. А., Чернобровкин Л. С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. Учеб. пособие. М.: Машиностроение, 1973. 616 с.

8. Буков В. Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987. 232 с.

9. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб: Изд-во СПбГУ, 1997. 200 с.

10. Горбатенко С. А., Макашов Э. М., Полушкин Ю. Ф., Шефтель Л. В. Расчет и анализ движения летательных аппаратов: Инж. справочник. М.: Машиностроение, 1971. 352 с.

11. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

12. Кабанов Д. С. Оптимальное управление ядерным реактором с учетом случайных возмущений // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 5. С. 27—30.

Сведения об авторах

Вениамин Васильевич Малышев — д-р техн. наук, профессор; Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), кафедра системного

список литературы

Дмитрий Сергеевич Кабанов

анализа и управления; E-mail: [email protected] аспирант; Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), кафедра системного анализа и управления; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой системного анализа и управления

Поступила в редакцию 16.01.12 г.